第3章 专题 9 一次函数与几何探究问题（选做）（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦一次函数与特殊三角形、四边形的综合探究，从直线与坐标轴交点切入，通过求坐标、分类讨论等腰三角形、迁移“K型全等”模型到旋转问题，再到平行四边形存在性，搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点是以“K型全等”等模型为载体，通过辅助设问引导构造辅助线，结合分类讨论和中点坐标公式，培养几何直观、推理能力和模型意识。如等腰三角形腰的分类、平行四边形对角线中点公式应用，帮助学生提升综合解题能力，为教师提供系统例题和方法总结，提高教学效率。

2026春季学期 《学练优》·八年级数学下·XJ 第 3 章　一次函数 专题 9　一次函数与几何探究问题（选做） 类型一　一次函数与特殊三角形综合 1. 如图，直线y＝ x＋8与x轴相交于点A，与y轴 相交于点B. (1)求点A，B的坐标； 解：(1)当x＝0时，y＝8，∴点B的坐 标为(0，8). 令y＝0，则 x＋8＝0，解得x＝－6， ∴点A的坐标为(－6，0). 解：(1)当x＝0时，y＝8， ∴点B的坐标为(0，8). 令y＝0，则 x＋8＝0，解得x＝－6， ∴点A的坐标为(－6，0). 2 3 4 1 1. 如图，直线y＝ x＋8与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. (2)点M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为 顶点的三角形是以AB为腰的等腰三角形，请探究 并求出符合条件的所有点M的坐标. 2 3 4 1 解：(2)∵A(－6，0)，B(0，8)， ∴OA＝6，OB＝8. ∴AB＝ ＝10. ①当AB＝AM时，则AM＝10，又点 M在x轴上， ∴当点M在点A左侧时，OM＝6＋10 ＝16， 此时点M的坐标为(－16，0)； 当点M在点A右侧时，OM＝10－6＝4， 此时点M的坐标为(4，0). 2 3 4 1 ②当AB＝BM时，点M位于y轴右侧. ∵BM＝10，∴OM＝ ＝6. ∴此时点M的坐标为(6，0). 综上可得，点M的坐标为 (－16，0)或(4，0)或(6，0). 2 3 4 1 方法点拨 　　算出三角形的三边长，再根据腰不同分类讨 论.坐标轴上的动点也要注意根据点的不同位置 分类讨论. 2 3 4 1 2. 综合与探索 [探索发现]如图①，等腰直角三角形ABC中， ∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥l于点 D，过点B作BE⊥l于点E，易得 △ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“K型全 等”(不需要证明). 2 3 4 1 (1)直接写出OA＝ ，OB＝ ⁠； (2)在第二象限构造等腰直角三角形ABE，使得 ∠BAE＝90°，则点E的坐标为 ⁠； (3)如图③，将直线l1绕点A顺时针旋转 45°得到l2，求l2的函数表达式. 4　 2　 (－4，6)　 [迁移应用]如图②，在直角坐标系中，直线l1：y ＝2x＋4分别与y轴、x轴交于点A，B. 2 3 4 1 辅助设问 构造“K型全等”，图③中过点B作辅助线： ，得△ ⁠是等腰直角 三角形. BC⊥l2于点C　 ABC　 2 3 4 1 解：如图③，过点B作BC⊥l2于点C，过点A作 AD⊥y轴， 过点C作CN⊥x轴，CN的反向延长线与AD交于 点D. 易证△ACD≌△CBN. ∴CN＝AD，CD＝BN. 设CD＝x，则BN＝x，AD＝2＋x， ∴CN＝2＋x.∴2＋x＋x＝4， 解：如图③，过点B作BC⊥l2于点C， 过点A作AD⊥y轴， 过点C作CN⊥x轴， 点D. CN的反向延长线与AD交于 易证△ACD≌△CBN. ∴CN＝AD，CD＝BN. 设CD＝x，则BN＝x，AD＝2＋x， ∴CN＝2＋x.∴2＋x＋x＝4， 2 3 4 1 解得x＝1.∴C(－3，3). 设直线AC的表达式为y＝kx＋b， 则 解得 ∴l2的函数表达式为y＝ x＋4. 解得x＝1.∴C(－3，3). 设直线AC的表达式为y＝kx＋b， 则 解得 ∴l2的函数表达式为y＝ x＋4. 2 3 4 1 类型二　一次函数与特殊四边形综合 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点， 直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴 交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点 O的直线相交于点C，直线OC的表达式为y＝ x， 过点C作CM⊥y轴，垂足为点M， OM＝9. (1)求直线AB的表达式. 2 3 4 1 解：(1)∵CM⊥y轴，OM＝9，∴y ＝9时，9＝ x， 解得x＝12.∴C(12，9).∵AC⊥x 轴，∴A(12，0). ∵OA＝OB，∴B(0，－12). 设直线AB的表达式为y＝kx＋b， 解：(1)∵CM⊥y轴，OM＝9， ∴y＝9时，9＝ x， 解得x＝12.∴C(12，9).∵AC⊥x轴， ∴A(12，0). ∵OA＝OB，∴B(0，－12). 设直线AB的表达式为y＝kx＋b， 则有 解得 ∴直线AB的表达式为y＝x－12. 则有 解得 ∴直线AB的表达式为y＝x－12. 2 3 4 1 (2)如图，点N在线段MC上，连接ON，点 P在线段ON上(不与点O重合)，过点P作 PD⊥x轴，垂足为点D，交OC于点E. 若NC＝OM，求 的值. 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点， 直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴 交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点 O的直线相交于点C，直线OC的表达式为y＝ x， 过点C作CM⊥y轴，垂足为点M，OM＝9. 2 3 4 1 解：(2)∵∠CMO＝∠MOA＝∠OAC ＝90°， ∴四边形OACM是矩形. ∴AO＝CM＝12.∵NC＝OM＝9， ∴MN＝CM－NC＝12－9＝3.∴N(3，9). ∴直线ON的表达式为y＝3x. 设点E的横坐标为4a，则D(4a，0)， 2 3 4 1 ∴OD＝4a.把x＝4a代入y＝ x中，得y＝3a. ∴E(4a，3a).∴DE＝3a. 把x＝4a代入y＝3x中，得y＝12a.∴P(4a， 12a). ∴PD＝12a.∴PE＝PD－DE＝12a－3a＝9a. ∴ ＝ ＝ . ∴OD＝4a.把x＝4a代入y＝ x中，得y＝3a. ∴E(4a，3a).∴DE＝3a. 把x＝4a代入y＝3x中，得y＝12a. ∴P(4a，12a). ∴PD＝12a.∴PE＝PD－DE＝12a－3a＝9a. ∴ ＝ ＝ . 2 3 4 1 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋3 与过点A(3，0)的直线l2交于点C(1，a)，与x轴交 于点B. (1)求直线l2的表达式； 2 3 4 1 解：(1)把(1，a)代入y＝x＋3，得 a＝4，∴C(1，4). 设直线l2的表达式为y＝kx＋b，把 C(1，4)，A(3，0)代入 得 解得 ∴直线l2的表达式为y＝－2x＋6. 解：(1)把(1，a)代入y＝x＋3， 得a＝4，∴C(1，4). 设直线l2的表达式为y＝kx＋b， 把C(1，4)，A(3，0)代入 得 解得 ∴直线l2的表达式为y＝－2x＋6. 2 3 4 1 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋3 与过点A(3，0)的直线l2交于点C(1，a)，与x轴交 于点B. (2)若在平面内存在点D，使得以点A，B，C，D 为顶点的四边形是平行四边形， 请求出点D的坐标. 2 3 4 1 解：(2)设D(m，n)，而A(3，0)， B(－3，0)，C(1，4)， 以点A，B，C，D为顶点的四边 形是平行四边形， 分三种情况： ①以AB，CD为对角线，则AB的 中点与CD的中点重合， 解：(2)设D(m，n)，而A(3，0)， B(－3，0)，C(1，4)， 以点A，B，C，D为顶点的四边 形是平行四边形， 分三种情况： ①以AB，CD为对角线， 则AB的中点与CD的中点重合， 2 3 4 1 ∴ 解得 ∴D(－1，－4). ②以AC，BD为对角线， 同理可得 解得 ∴ 解得 ∴D(－1，－4). ②以AC，BD为对角线， 同理可得 解得 2 3 4 1 ∴D(7，4). ③以AD，BC为对角线， 同理可得 解得 ∴D(－5，4). 综上所述，以点A，B，C，D为顶点的四边形是 平行四边形时，点D的坐标为(－1，－4)或(7，4)或 (－5，4). ∴D(7，4). ③以AD，BC为对角线， 同理可得 解得 ∴D(－5，4). 综上所述，以点A，B，C，D为顶点的四边形是 平行四边形时，点D的坐标为(－1，－4) 或(7，4)或(－5，4). 2 3 4 1 方法点拨 若AB为对角线，则利用中点坐标公式可得 2 3 4 1 $