精品解析：辽宁盘锦市兴隆台区康桥中学2025-2026学年八年级下学期数学第一次阶段自测

2025-2026学年康桥中学八年级下学期数学第一次月考 一、单选题 1. 若有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数的非负性、分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：要使有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件： 二次根式的被开方数需非负，且是分式的分母，分母不能为0， ， 解得． 2. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. 8，15，17 B. 3，5， C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】勾股数是满足的三个正整数，只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：∵勾股数的定义为：三个正整数，若满足，则这组数是勾股数． 选项A中，均为正整数，且，满足定义，故A是勾股数． 选项B中，不是正整数，不满足勾股数定义，故不是勾股数． 选项C中，不是正整数，不满足勾股数定义，故不是勾股数． 选项D中，不是正整数，不满足勾股数定义，故不是勾股数． 3. 如图，数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理计算出长度，即长度，进而计算长度，则题目可求． 【详解】解：如图，由勾股定理得：， 则， ， ∴点A所表示的实数是． 4. 正十边形的每一个外角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多边形外角和定理与正多边形的性质，任意多边形的外角和为，正多边形的所有外角都相等，直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，正十边形的个外角大小相等， ∴正十边形的每一个外角的度数为． 5. 如图，是的中位线，是的高，若，，则的长度为（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的中位线以及勾股定理进行求解． 【详解】解：∵是的高线， ∴， ∵是的中位线， ∴， 由勾股定理得， ∴． 6. 如图，某海域有相距的A岛和C岛．甲船先由A岛沿北偏东方向走了到达B岛，然后再从B岛走了到达C岛，此时甲船位于B岛的（ ） A. 北偏西方向上 B. 北偏东方向上 C. 北偏西方向 D. 北偏西方向上 【答案】A 【解析】 【分析】先用勾股定理的逆定理推出，再结合方位角和平行线的性质求出的度数，即可确定C相对于B的方位角． 【详解】解：如图，由题意，得，，，，． ，， ， 是直角三角形， ． ， ， ， ∴此时甲船位于岛的北偏西方向上． 7. 如图，在中，过点分别作，的垂线段，垂足为，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用直角三角形的性质求得，再利用平行四边形的性质求得，据此计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 如图，以的顶点为圆心，的长为半径画弧，两弧分别交于点；分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形和直角三角形的判定与性质、菱形判定和性质，解题的关键是利用等边三角形的性质和勾股定理来求解线段长度． 先根据作图步骤得出三角形的形状，再利用相关性质和定理求出的长度． 【详解】作图可知，， ， 四边形是菱形， 又，且， 是等边三角形，， 四边形是菱形，平分， ， 连接交于点， 四边形是菱形， ， 是等边三角形，， ， 在中，， ， ． 故选：C． 9. 如图，在正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质解答即可； 【详解】解：连接， 正方形和正方形中， ，， ， ， ， ， 是的中点， 10. 如图，在矩形中，点M在边上，先将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．之后再将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据平行线的性质和折叠的性质得出，根据等腰三角形的判定得出；根据折叠和平行线的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，证明，设，在中，利用勾股定理求出的值，最后求出结果即可． 【详解】解：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式与最简二次根式的概念，根据同类二次根式的定义列出关于的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 12. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由勾股定理可得，再结合正方形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，，， ，，， ， 另一个正方形的面积为． 13. 如图，，△ABD的面积等于4，AD=2，BC=6，则△DCB的面积是_______． 【答案】12 【解析】 【分析】由题意得点B到AD的距离等于点D到BC的距离，即可得，根据的面积为4，即可得． 【详解】解：∵， ∴点B到AD的距离等于点D到BC的距离， ∴， ∵的面积为4， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离，解题的关键是掌握平行线间的距离． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，取中点H，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点， ，， ， ， 如图，取中点H，连接， 点为的中点，点H为的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“将军饮马”模型，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为的长，再过点作于点，证出四边形为矩形，进一步得出和的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，，过点作于点， ，，， ． 在正方形中，，， 四边形为矩形， ，， ． 在中， , 即的最小值为． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、负整数指数幂、绝对值以及零指数幂的综合计算，熟练掌握各运算的法则和公式是解题的关键． （1）先利用二次根式的除法法则化简分式，再通过平方差公式计算二次根式的乘法，最后合并结果； （2）依次进行负整数指数幂、二次根式化简、绝对值化简、零指数幂的运算，再通过去括号、合并同类二次根式的计算，得出最终结果． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【小问1详解】 解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 18. 如图，为的对角线，点E为线段的中点，连接与的延长线交于点F． （1）求证：． （2）若，，．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理及其逆定理： （1）根据平行四边形的性质可得，可证明，从而得到，即可求证； （2）根据勾股定理逆定理可得以及平行四边形的性质可得，，再由勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴， ∴． 19. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）由平行四边形性质得到且，即可得到，可得是平行四边形，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，，进而求得，，由勾股定理可求得和，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵在平行四边形中， ∴且， ∵， ∴， 即． ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 20. 如图，中，点D，E分别是的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积为8，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角形中位线证明四边形是平行四边形，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）连接交于点，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，求得菱形的对角线的长，后利用菱形的性质，勾股定理，解答即可． 【小问1详解】 证明：，分别是，的中点， ，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接交于点，如图所示： 四边形是菱形，， ，，， 则， ， ， ， ， 即菱形的周长为． 【点睛】本题考查了三角形中位线，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 21. 如图，在矩形中，，点从点出发沿向终点运动，点从点出发沿向终点运动．两点同时出发，它们的速度都是．连接．设点运动的时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形？ （2）当为何值时，四边形是菱形？ 【答案】（1）当时，四边形是矩形 （2）当时，四边形是菱形 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理的运用， （1）根据题意可得，，当时，四边形是矩形，由此列式求解即可； （2）根据题意可证四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 已知点从点运动，点从点运动．两点同时出发，速度都是，设点运动的时间为， ∴， ∴， 已知，，则当时，四边形是矩形， ∴， 解得，， ∴当时，四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵， ∴， 在中，， ∴，整理得，， 解得，， ∴当时，四边形是菱形． 22. 如图，在正方形中，是边上的一点，连接，作于点，交正方形的外角的平分线于点 （1）若正方形的边长为，当是边上的中点时，求的长； （2）求证：； （3）如图，连接，交边于点，连接，探究线段、和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可求解； （2）由“”可证，可得； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：正方形的边长为，点是边上的中点， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，在边上截取，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图，延长至，使，连接， 由（2）可知：， ， ， ， ，，， ， ，， ， 又． ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． （1）性质探究：①如图，已知：四边形中，、、、分别是、、、的中点，、交于点，，且，求证：四边形是“中方四边形”； ②可以发现：四边形的两条对角线是什么关系时，四边形是“中方四边形”？________． （2）问题解决：如图，以锐角两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，求证：四边形是“中方四边形”； （3）拓展应用：如图，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点，若，求的最小值． 【答案】（1）①见解析；②垂直且相等 （2）见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）①由中点条件及三角形中位线的性质易得四边形是平行四边形；再由，且，可得四边形是正方形，从而结论得证；②根据①的求解过程可得四边形的两条对角线是垂直且相等时，四边形是“中方四边形； （2）连接，证明，则得，由（1）即可得四边形是“中方四边形”； （3）分别取的中点E、F、H，连接；由四边形是“中方四边形”得四边形是正方形，则有；由三角形中位线定理得，则，当点H在线段上时，取得最小值，从而取得最小值，进而求得最小值． 【小问1详解】 证明：①∵E、F、G、H分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴； ∵， ∴； ∵是的中位线， ∴， ∴； ∴四边形是矩形； ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形是“中方四边形”； ②根据①的求解过程可得四边形的两条对角线是垂直且相等时，四边形是“中方四边形”， 故答案为：垂直且相等； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，， ∴， 即； ∴， ∴； ∵ ， ∴； ∵，， ∴由（1）知，四边形是“中方四边形”； 【小问3详解】 解：如图，分别取的中点E、F、H，连接； ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴； ∵的中点分别是E、F、H， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， 故当点H在线段上时，取得最小值， 从而取得最小值，且最小值为． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了平行四边形的判定，矩形的判定及正方形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，两点间线段最短等知识，有一定的综合性，三角形中位线定理的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年康桥中学八年级下学期数学第一次月考 一、单选题 1. 若有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. 8，15，17 B. 3，5， C. D. ，， 3. 如图，数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 4. 正十边形的每一个外角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的中位线，是的高，若，，则的长度为（ ） A. B. 3 C. D. 5 6. 如图，某海域有相距的A岛和C岛．甲船先由A岛沿北偏东方向走了到达B岛，然后再从B岛走了到达C岛，此时甲船位于B岛的（ ） A. 北偏西方向上 B. 北偏东方向上 C. 北偏西方向 D. 北偏西方向上 7. 如图，在中，过点分别作，的垂线段，垂足为，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以的顶点为圆心，的长为半径画弧，两弧分别交于点；分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，点M在边上，先将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．之后再将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则的值为_____． 12. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 13. 如图，，△ABD的面积等于4，AD=2，BC=6，则△DCB的面积是_______． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 15. 如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为______． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 17. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 18. 如图，为的对角线，点E为线段的中点，连接与的延长线交于点F． （1）求证：． （2）若，，．求的长． 19. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 20. 如图，中，点D，E分别是的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积为8，求四边形的周长． 21. 如图，在矩形中，，点从点出发沿向终点运动，点从点出发沿向终点运动．两点同时出发，它们的速度都是．连接．设点运动的时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形？ （2）当为何值时，四边形是菱形？ 22. 如图，在正方形中，是边上的一点，连接，作于点，交正方形的外角的平分线于点 （1）若正方形的边长为，当是边上的中点时，求的长； （2）求证：； （3）如图，连接，交边于点，连接，探究线段、和之间的数量关系，并说明理由． 23. 定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． （1）性质探究：①如图，已知：四边形中，、、、分别是、、、的中点，、交于点，，且，求证：四边形是“中方四边形”； ②可以发现：四边形的两条对角线是什么关系时，四边形是“中方四边形”？________． （2）问题解决：如图，以锐角两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，求证：四边形是“中方四边形”； （3）拓展应用：如图，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点，若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $