精品解析：辽宁省盘锦市兴隆台区盘锦市第一完全中学2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题

盘锦市第一完全中学2024—2025学年度第二学期 八年级第一次质量监测数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上．每小题3分，共30分） 1. ▱ABCD中，∠A=55°，则∠B，∠C的度数分别是（　　） A. 135°，55° B. 55°，135° C. 125°，55° D. 55°，125° 2. 如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 3. 下列四点中，在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，对角线，的长分别为8和6，将平移到 ，则四边形的面积为（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 96 5. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 若a的倒数为，则a是整数 B. 若三个数满足，则a，b，c一定是三角形的三条边 C. 若△ABC与△A′B′C′关于某直线对称，则△ABC与△A′B′C′一定全等 D. 两直线平行，同位角相等 6. 如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 下图中所反映的两个量中，y是x的函数的有几个？（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 下列说法正确的是 （　　） A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 9. 如图，将边长为 的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以，为邻边作平行四边形……依此类推，则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围为______________． 12. 当的值为______时，的值最小，这个最小值为______． 13. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_________ dm． 14. 如图，在矩形 中，，，那么 的度数为_____________． 15. 如图，在正方形中，，延长至点E，使得，，．分别连接，M为的中点，则的长为_______． 三、解答题（共8小题，合计75分） 16. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 中国联通在某地的某套餐的月租金为59元，超出套餐部分国内拨打元/分钟（不足1分钟按1分钟时间收费）．下表是超出套餐部分国内拨打的收费标准： 时间/分 1 2 3 4 5 … 电话费/元 … （1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）如果用x表示超出套餐部分的拨打时间，y表示超出套餐部分的电话费，那么y与x的关系式是什么？ （3）由于业务多，小明的爸爸上个月拨打电话的时间超出套餐部分25分钟，他需付多少电话费？ （4）某用户某月国内拨打电话的费用超出套餐部分的是54元，那么他该月拨打电话的时间超出套餐部分几分钟？ 18. 吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点向点行驶，已知点处为一所学校，点与直线上两点，的距离分别为和，，吊车周围以内为受噪声影响区域． （1）求的度数； （2）学校会受噪声影响吗？为什么？ （3）若吊车的行驶速度为每分钟，则噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 19. 如图，已知在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．（8′） （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形． 20. 如图，在中，，，，D为的中点，过点D作 交于点E，求的长． 21. 如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F． （1）求证：EO＝DC； （2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA＝60°，求：菱形ABCD的面积． 22. 如图，和都是等腰直角三角形，， ，的顶点在的斜边上，连接． （1）试判断 与是否全等，请说明理由； （2）求 的度数； （3）求证：． 23. 综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转 得到点，射线，交于点F． 特例研究： 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为正方形． 探究发现： （1）博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明； （2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盘锦市第一完全中学2024—2025学年度第二学期 八年级第一次质量监测数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上．每小题3分，共30分） 1. ▱ABCD中，∠A=55°，则∠B，∠C的度数分别是（　　） A. 135°，55° B. 55°，135° C. 125°，55° D. 55°，125° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的两组对角分别相等可知：∠C=∠A=55°，∠B=180°-55°=125°． 【详解】解：∵▱ABCD ∴∠C=∠A，∠A+∠B=180° ∴∠C=55°，∠B=180°-55°=125° 即∠B=125°，∠C=55° 故选：C． 【点睛】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分． 2. 如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先由含30°角的直角三角形的性质，得出BC，再由三角形的中位线定理得出DE即可． 【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°， ∴BC=AB=4， 又∵DE是中位线， ∴DE=BC=2． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握含30°角的直角三角形的性质及三角形的中位线定理． 3. 下列四点中，在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，在一次函数图象上的点的横纵坐标一定满足其解析式， 则分别求出，，和的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴四个点中，只有点在函数的图象上， 故选：C． 4. 如图，在菱形中，对角线，的长分别为8和6，将平移到 ，则四边形的面积为（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了菱形的面积计算及平移的意义，难度中等．根据平移的意义知四边形 是平行四边形，，故由菱形对角线的长度求其面积即可解决问题． 【详解】解：∵菱形， ，． ∴四边形 是平行四边形， ∴． ∵在菱形中， ， ∴四边形的面积等于 ． 故选：A． 5. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 若a的倒数为，则a是整数 B. 若三个数满足，则a，b，c一定是三角形的三条边 C. 若△ABC与△A′B′C′关于某直线对称，则△ABC与△A′B′C′一定全等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解析】 【分析】先写出每个命题的逆命题，再判断真假． 【详解】解：A．原命题的逆命题是：若a是整数，则a的倒数为． 此命题错误，没有排除0，0没有倒数，A不符合题意． B．原命题的逆命题是：若a，b，c是三角形的三条边，则这三个数满足． 此命题错误，满足是三角形的三条边不一定是直角三角形，自然也不一定满足，B不符合题意． C．原命题的逆命题是：若△ABC与△A′B′C′全等，则△ABC与△A′B′C′关于某直线对称． 此命题错误，全等关系与位置无关，不能推导对称关系，C不符合题意． D．原命题的逆命题是：同位角相等，两直线平行．教材定理，显然正确，D符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查写出一个命题的逆命题并判断真假，掌握写原命题的逆命题的方法和排除法是解题的关键． 6. 如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，圆的面积，等边三角形的性质，解题的关键在于正确的表示各部分的面积． 设两直角边分别为a，b，斜边为c，用a，b，c分别表示正方形，半圆，等边三角形的面积，进而可得答案． 【详解】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，则， 图1中， ， ∵， ∴，故图1符合题意； 图2中，，，， ∵， ∴，故图2符合题意； 图3中，作于点G，则，， ∴， ∴， 同理：，， ∵， ∴，故图3符合题意； 图4中，由图2中推导过程可得： ，故图4符合题意 综上，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为4个， 故选：D． 7. 下图中所反映的两个量中，y是x的函数的有几个？（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义，解题的关键是熟练掌握函数的定义． 根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，逐个进行判断即可． 【详解】解：根据函数的定义得，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系， 符合题意的有（1）（2）（3）（5）共4个， 故选：B． 8. 下列说法正确的是 （　　） A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据菱形、正方形、平行四边形和矩形的判定逐项判断即可． 【详解】对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确； 对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确； 对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确； 对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确； 故选D． 【点睛】考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握平行四边形及特殊平行四边形的对角线所满足的条件是解题的关键． 9. 如图，将边长为 的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．根据是直角三角形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠可得 ，设，则， ∵， ∴， 解得：， 即线段的长是． 故选：A． 10. 如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以，为邻边作平行四边形……依此类推，则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查了矩形及平行四边形的性质，审清题意、找出面积之间的关系是解答本题的关键． 根据矩形和平行四边形的性质得到平行四边形的面积，据此即可求解． 【详解】解：如图，分别交于，连接， ∵矩形， ∴，， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 又∵矩形的宽和平行四边形的底相等，平行四边形的高为， ∴平行四边形的面积， 同理：∵，，平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 平行四边形的面积是平行四边形的的面积的一半， ∴平行四边形的面积， 以此类推，可得的面积为 ， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围为______________． 【答案】x≥0且x≠2 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行计算判断即可． 【详解】解:∵≥0， ∴x≥0 又∵x-2≠0 ∴x≠2 故x的取值范围是x≥0，且x≠2 故答案是：x≥0且x≠2． 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解决本题的关键是熟练掌握二次根式中被开方式大于等于0，分式中分母不为0这一条件． 12. 当的值为______时，的值最小，这个最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，即，取最小值， 此时的值最小，最小值为 ， 故答案为：，． 13. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_________ dm． 【答案】25 【解析】 【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度． 【详解】解：展开图为： 则AC=20dm,BC=3×3+2×3=15（dm）, 在Rt△ABC中， （dm）. 所以蚂蚁所走的最短路线长度为25 dm. 故答案为：25． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 14. 如图，在矩形 中，，，那么 的度数为_____________． 【答案】30°． 【解析】 【分析】由矩形的性质得出∠ADC=90°，OA=OD，得出∠ODA=∠DAE，由已知条件求出∠ADE，得出∠DAE、∠ODA，即可得出∠BDC的度数． 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°，OA=AC，OD=BD，AC=BD， ∴OA=OD， ∴∠ODA=∠DAE， ∵∠ADE=∠CDE， ∴∠ADE=×90°=30°， ∵DE⊥AC， ∴∠AED=90°， ∴∠DAE=60°， ∴∠ODA=60°， ∴∠BDC=90°-60°=30°； 故答案为30°． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 15. 如图，在正方形中，，延长至点E，使得，，．分别连接，M为的中点，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，易得是直角三角形，再根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 三、解答题（共8小题，合计75分） 16. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）11 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，包括乘方，负整数指数幂，零指数幂，平方差公式等运算，掌握运算顺序是解本题的关键． （1）先进行二次根式的乘法，零指数幂，负整数指数幂，再进行加减计算即可； （2）先对第一项进行分母有理化，然后应用完全平方公式对第二项进行展开，再计算加减运算即可； （3）先利用平方差公式和乘法运算律计算二次根式的乘法，再计算加减运算即可； （4）先进行乘方、负整数指数幂和二次根式的乘法运算，再计算加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 中国联通在某地的某套餐的月租金为59元，超出套餐部分国内拨打元/分钟（不足1分钟按1分钟时间收费）．下表是超出套餐部分国内拨打的收费标准： 时间/分 1 2 3 4 5 … 电话费/元 … （1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）如果用x表示超出套餐部分的拨打时间，y表示超出套餐部分的电话费，那么y与x的关系式是什么？ （3）由于业务多，小明的爸爸上个月拨打电话的时间超出套餐部分25分钟，他需付多少电话费？ （4）某用户某月国内拨打电话的费用超出套餐部分的是54元，那么他该月拨打电话的时间超出套餐部分几分钟？ 【答案】（1）国内拨打时间与电话费之间的关系，打电话时间是自变量、电话费是因变量 （2） （3）68元 （4）150分钟． 【解析】 【分析】（1）根据图表可以知道：电话费随时间的变化而变化，因而打电话时间是自变量、电话费是因变量； （2）根据“费用=单价×时间”列出解析式即可； （3）把代入解析式，然后再加上月租59元即可解答； （4）在解析式中令即可求得x的值． 【小问1详解】 解：由表格可知：国内拨打时间与电话费之间的关系，打电话时间是自变量、电话费是因变量． 【小问2详解】 解：由题意可知：． 【小问3详解】 解：当时，（元）． 即如果打电话超出25分钟，需付（元）的电话费． 【小问4详解】 解：当时，（分钟）． 答：小明的爸爸打电话超出150分钟． 【点睛】本题主要考查了列函数解析式、求函数值、函数的相关定义等知识点．理解题意、列出函数解析式是解答本题的关键． 18. 吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点向点行驶，已知点处为一所学校，点与直线上两点，的距离分别为和，，吊车周围以内为受噪声影响区域． （1）求的度数； （2）学校会受噪声影响吗？为什么？ （3）若吊车的行驶速度为每分钟，则噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 【答案】（1） （2）会受噪声影响，理由见解析 （3）2.4分钟 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）依据勾股定理判定是直角三角形，然后得到度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出吊车噪声影响该学校持续的时间． 【小问1详解】 解：， ， 是直角三角形，且； 【小问2详解】 解：学校会受噪声影响．理由如下： 如图，过点作 于点． ， ． 吊车周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响； 【小问3详解】 解：如图，在上取一点，使，连接， ， 当吊车在线段上时产生的噪声会影响学校． ， 在Rt中，， （分钟）． 答：吊车产生的噪声影响该学校持续的时间为2.4分钟． 19. 如图，已知在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．（8′） （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，再有EA=EC，公共边OE，即可根据“SSS”证得△AEO≌△CEO，从而可得∠AOE=∠COE= ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证得结论； （2）根据∠DAC=∠EAD+∠AED，又∠ADO=∠EAD+∠AED，可得∠DAC=∠ADO，根据等角对等边可得OA=OD，从而可得AC=BD，根据对角线相等的菱形是正方形即可证得结论． 【详解】（1）在□ABCD中，OA=OC， 在△AEO和△CEO中， ∵， ∴△AEO≌△CEO(SSS)， ∴∠AOE=∠COE= ， ∴AC⊥BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵∠DAC=∠EAD+∠AED，∠ADO=∠EAD+∠AED， ∴∠DAC=∠ADO， ∴OA=OD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是正方形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，综合运用这些知识是解题的关键． 20. 如图，在中，，，，D为的中点，过点D作 交于点E，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．先连接，根据线段垂直平分线的性质，可得，然后设，由勾股定理可得方程，继而求得答案． 【详解】解：连接， ∵D为的中点， ， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴ ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 21. 如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F． （1）求证：EO＝DC； （2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA＝60°，求：菱形ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD ∴四边形AEBO是平行四边形 又∵菱形ABCD对角线交于点O ∴AC⊥BD 即∠AOB＝90° ∴四边形AEBO是矩形 ∴EO＝AB ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝DC ∴EO＝DC． （2）50 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形AEBO是平行四边形，再证明是矩形可得EO=AB，又因为AB=CD，所以EO=DC，问题得证；（2）根据菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积=2×△ABD的面积计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知四边形AEBO是矩形 ∴∠EBO＝90° ∵∠EBA＝60° ∴∠ABO＝30° 在Rt△ABO中，AB＝10，∠ABO＝30° ∴AO＝5，BO＝5 ∴BD＝10 ∴菱形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积 ＝2×△ABD的面积 ＝2××10×5 ＝50． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，得到菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积=2×△ABD的面积是解题的关键． 22. 如图，和都是等腰直角三角形，， ，的顶点在的斜边上，连接． （1）试判断 与是否全等，请说明理由； （2）求 的度数； （3）求证：． 【答案】（1） ，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（）由，得到，进而利用定理即可求证； （）由等腰直角三角形的性质得，再根据全等三角形的性质即可求解； （）由等腰直角三角形的性质得到 ，由（）可得，进而由勾股定理得，又由全等三角形的性质得，等量代换即可求证； 本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解： ，理由如下： ∵， ∴， 在 和中 ， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ， ， ∴， ∵ ， ∴； 【小问3详解】 证明：∵是等腰直角三角形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 23. 综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转 得到点，射线，交于点F． 特例研究： 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为正方形． 探究发现： （1）博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明； （2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度． 【答案】 （1）证明：四边形是正方形， ， ， ∵点E绕点C逆时针旋转 得到点， ∴, ∵， ， ， ， ∴, ∴四边形的形状都是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． （2），理由如下： 连接， ∵四边形是正方形，是的中点， ∴是的中点，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是的中点， ∴，，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】1）先证明，再利用正方形的判定定理证明即可； （2）利用正方形的性质，勾股定理，直角三角形的特征量，等腰直角三角形的特点，推理证明即可． （3）取的中点M，取的中点N，连接，，，，利用三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点M，取的中点N， 连接，，，， ∴, ∵， ∴， 根据（2）得，， ∴，，， ∴，，， ∵四边形是正方形，是的中点，， ∴，，， ∴， ∴， 过点M作于点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，直角三角形的特征量，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握正方形性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，三线合一性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $