专题02 三角函数与三角恒等变换综合问题的9种模型（高效培优期中专项训练）数学沪教版高一必修第二册

专题02 三角函数与三角恒等变换综合问题的9种模型 考点1　同角三角函数的关系 考点2　三角恒等变换 考点3　三角恒等变换的综合应用 考点4　三角函数的定义域和值域 考点5 三角函数的单调性 考点6 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 考点7　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换 考点8　求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 考点9　三角函数图象与性质的综合应用 考点1　同角三角函数的关系 解｜题｜策｜略 1.利用同角基本关系式“知一求二”的方法 2.利用“齐次化切”求齐次式值的方法 （1）若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cos α的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求解； （2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解. 1.已知 是第四象限角， 则 ． 2.已知，则 . 3.已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 4.若，则（   ） A． B． C． D． 5.若，则（   ） A． B． C． D． 6.若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 考点2　三角恒等变换 解｜题｜策｜略 1.三角函数公式的应用策略 （1）使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”； （2）使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用. 2.二倍角公式的应用策略 （1）使用倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律. （2）使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用. （3）逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式 7.函数在上的最大值是 ． 8. .（用数字作答）. 9.若，则 . 10.已知（），则（    ） A． B． C． D． 11.已知，，则（   ） A． B． C． D． 12．已知都是锐角，满足，求的值（    ） A． B．或 C． D． 考点3　三角恒等变换的综合应用 解｜题｜策｜略 进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系，注意公式的逆用和变形使用. 13.若函数对恒成立，则的取值范围是 . 14．（2025·河南南阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 15.已知，，则（   ） A． B． C． D． 16.已知，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 17.已知. （1）求的值； （2）求的值. 18.已知． (1)求的值； (2)已知，，，求的值． 考点4　三角函数的定义域和值域 解｜题｜策｜略 1.三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数的图象（三角函数线）来求解. 2.求三角函数值域（最值）的常见类型 （1）形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋c的形式，再求值域（最值）； （2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）； （3）形如y＝asin xcos x＋b（sin x±cos x）＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域（最值）. 19．函数的定义域为________． 20．函数的最小值是___________． 21．函数定义域为______. 22．函数的最大值为_______． 23.已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 24.函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 考点5 三角函数的单调性 解｜题｜策｜略 1.已知三角函数解析式求单调区间的方法 （1）代换法：将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角，利用复合函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的图象，结合图象求函数的单调区间. 2.已知单调区间求参数的二种方法 （1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是该区间的子集，列不等式（组）求解； （2）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式（组）求解. 25．函数在区间上单调递增，则的取值范围是____________. 26．函数的单调增区间为_______． 27．函数的单调递减区间为____________ 28.函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 29.已知函数的图象经过点和，则函数的图象的对称轴方程可以是 A． B． C． D． 30.已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 考点6 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 解｜题｜策｜略 有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式. (2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为求解. (3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心. 31.已知函数是定义在R上的奇函数，则的值为 . 32.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 33.已知函数是偶函数，则______. 34.函数，且为偶函数，则 ，图象的对称中心为 ， 35.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于坐标原点对称 36.记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 考点7　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换 解｜题｜策｜略 函数y＝Asin（ωx＋φ）图象变换的两个注意点 （1）由y＝sin ωx的图象到y＝sin（ωx＋φ）的图象的变换：向左平移（ω＞0，φ＞0）个单位长度而非φ个单位长度； （2）如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，另外ω为负时应先变成正值. 37．已知函数的图象向右平移后得到函数的图象，则的值为________． 38．将函数的图象横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）后，所得图象对应的函数为______． 39．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则______. 40.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 41.把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D．. 42.已知函数的最小正周期为，若将的图象向右平移个单位长度后所得的图象与曲线关于对称，则（    ） A． B． C． D． 考点8　求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 解｜题｜策｜略 已知f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象求其解析式时，关键是求ω和φ，常用以下两种方法： （1）由T可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（或ωx0＋φ＝π），即可求出φ； （2）代入图象中已知点的坐标，利用已知点的坐标或零点、最高点、最低点，再结合图象解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的取值范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 43.已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为 . 44.已知函数在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则函数 ． 45.则已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    46．函数的部分图象如图所示，现将此图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为______.    47．如图所示，将函数的图象向右平移得到的图象，其中和分别是图象上相邻的最高点和最低点，点分别是图象的一个对称中心，若，则的解析式为_____．    48.函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 考点9　三角函数图象与性质的综合应用 解｜题｜策｜略 解决三角函数图象与性质的综合问题的关键 首先正确地将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后根据数形结合思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）. 49.已知函数，且关于x的方程在区间[0，]上有唯—解，则t的取值范围是 . 50.设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51.函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 52.已知函数，且的最小正周期为． (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求当时，函数的最大值． 53.已知函数，且的最小正周期为． (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求当时，函数的最大值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角函数与三角恒等变换综合问题的9种模型 考点1　同角三角函数的关系 考点2　三角恒等变换 考点3　三角恒等变换的综合应用 考点4　三角函数的定义域和值域 考点5 三角函数的单调性 考点6 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 考点7　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换 考点8　求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 考点9　三角函数图象与性质的综合应用 考点1　同角三角函数的关系 解｜题｜策｜略 1.利用同角基本关系式“知一求二”的方法 2.利用“齐次化切”求齐次式值的方法 （1）若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cos α的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求解； （2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解. 1.已知 是第四象限角， 则 ． 【答案】 【解析】因为 是第四象限角， 所以，则. 2.已知，则 . 【答案】 【解析】因为. 3.已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为第四象限角，且， 所以，且. 所以.故选：D 4.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，解得，故选：B 5.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以 ．故选：C． 6.若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值是，故选：A. 考点2　三角恒等变换 解｜题｜策｜略 1.三角函数公式的应用策略 （1）使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”； （2）使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用. 2.二倍角公式的应用策略 （1）使用倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律. （2）使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用. （3）逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式 7.函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【解析】，当时，， 当时，即时，. 8. .（用数字作答）. 【答案】1 【解析】. 9.若，则 . 【答案】 【解析】由，得 10.已知（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又，所以，解得（舍去）或， 所以，则， 则，故选：A 11.已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，则，则， 则，故选D. 12．已知都是锐角，满足，求的值（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】都是锐角， ，则， . 都是锐角，，所以，故选：C 考点3　三角恒等变换的综合应用 解｜题｜策｜略 进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系，注意公式的逆用和变形使用. 13.若函数对恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为在上恒成立. 设，，则在恒成立. 则. 14．（2025·河南南阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原方程可化为，故，故选D 15.已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，化简得. 因为，所以.所以. 所以. 故选：D. 16.已知，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由由得：， 再两边平方得: , 又因为，所以， 则，故选B. 17.已知. （1）求的值； （2）求的值. 【解】（1），，， 故，. . （2）. 18.已知． (1)求的值； (2)已知，，，求的值． 【解】（1）因为，易知， 所以， 所以 . （2）因为， 所以，解得或， 因为，所以， 又因为，，所以，故， 因为，所以. 考点4　三角函数的定义域和值域 解｜题｜策｜略 1.三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数的图象（三角函数线）来求解. 2.求三角函数值域（最值）的常见类型 （1）形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋c的形式，再求值域（最值）； （2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）； （3）形如y＝asin xcos x＋b（sin x±cos x）＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域（最值）. 19．函数的定义域为________． 【答案】 【详解】由，得. 所以函数的定义域为 20．函数的最小值是___________． 【答案】/ 【解析】， 当时，函数有最小值. 21．函数定义域为______. 【答案】， 【解析】由题得，则，所以， 所以，函数的定义域为：，. 22．函数的最大值为_______． 【答案】 【解析】 ， 其中，故的最大值为． 23.已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时，，故选D 24.函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 令，由，得，变为． 该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减． 当时，时，，所以值域为. 故选：C. 考点5 三角函数的单调性 解｜题｜策｜略 1.已知三角函数解析式求单调区间的方法 （1）代换法：将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角，利用复合函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的图象，结合图象求函数的单调区间. 2.已知单调区间求参数的二种方法 （1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是该区间的子集，列不等式（组）求解； （2）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式（组）求解. 25．函数在区间上单调递增，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】当时，， 由于余弦函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在区间上单调递增，需满足， 即，即的取值范围是， 26．函数的单调增区间为_______． 【答案】 【解析】令，解得， 所以的增区间为， 又，所以在上的单调增区间为. 27．函数的单调递减区间为____________ 【答案】， 【详解】因为， 要求函数的单调递减区间，即求函数的单调递增区间. 由可得， 即函数的单调递减区间为，. 28.函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，函数的递增区间，即为函数的递减区间， 由，解得， 所以的单调递增区间为，故选：A. 29.已知函数的图象经过点和，则函数的图象的对称轴方程可以是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由结论1，，得，故. 因为，， 30.已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】将代入，得， 所以，得． 因为函数在上为增函数，此时， 所以，解得，所以当时，，故选A. 考点6 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 解｜题｜策｜略 有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式. (2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为求解. (3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心. 31.已知函数是定义在R上的奇函数，则的值为 . 【答案】 【解析】， 由结论2可得，解得：， 又，，，. 32.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 33.已知函数是偶函数，则______. 【答案】 【解析】因为是偶函数， 所以， 解得，经检验符合题意. 34.函数，且为偶函数，则 ，图象的对称中心为 ， 【答案】 【解析】因为为偶函数， 则，得到， 又，所以， 得到， 由，得， 所以图象的对称中心为， 35.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于坐标原点对称 【答案】C 【解析】的最小正周期，故A错误； 的最大值为，故B错误； 因为，所以的图象关于直线对称，故C正确； 因为，所以的图象不关于坐标原点对称，故D错误，故选C. 36.记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，， 所以.故选A 考点7　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换 解｜题｜策｜略 函数y＝Asin（ωx＋φ）图象变换的两个注意点 （1）由y＝sin ωx的图象到y＝sin（ωx＋φ）的图象的变换：向左平移（ω＞0，φ＞0）个单位长度而非φ个单位长度； （2）如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，另外ω为负时应先变成正值. 37．已知函数的图象向右平移后得到函数的图象，则的值为________． 【答案】1 【解析】函数的图象向右平移后得到函数的图象， 则，所以. 38．将函数的图象横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）后，所得图象对应的函数为______． 【答案】 【详解】函数的图象横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）后， 所得图象对应的函数为. 39．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则______. 【答案】 【解析】因为， 所以. 40.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象，故选D. 41.把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D．. 【答案】B 【解析】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数为， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为，故选B. 42.已知函数的最小正周期为，若将的图象向右平移个单位长度后所得的图象与曲线关于对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，得，则. 由，即， 得，解得.故选：D. 考点8　求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 解｜题｜策｜略 已知f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象求其解析式时，关键是求ω和φ，常用以下两种方法： （1）由T可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（或ωx0＋φ＝π），即可求出φ； （2）代入图象中已知点的坐标，利用已知点的坐标或零点、最高点、最低点，再结合图象解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的取值范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 43.已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为 . 【答案】 【解析】由图象可知的周期为，代入可得，又，故， 左移个单位长度得， 故. 44.已知函数在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则函数 ． 【答案】 【解析】由图可得，函数的最小正周期， 则， 将点代入得，即， 由，可得，所以， 45.则已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【答案】 【解析】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 46．函数的部分图象如图所示，现将此图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为______.    【答案】 【解析】观察图象，得，则，即，而， 解得，又，则，解得， 函数的最小正周期为，则且，即， 因此，解得，则，， 所以. 故答案为： 47．如图所示，将函数的图象向右平移得到的图象，其中和分别是图象上相邻的最高点和最低点，点分别是图象的一个对称中心，若，则的解析式为_____．    【答案】 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度得的图象， 由于分别是图象的一个对称中心，结合图象可知． ，故， 由于，所以， 进而可得，故， 解得，故． 故答案为：. 48.函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意有，得， 又，所以，且，得， 又，得，所以， 所以．故选：A． 考点9　三角函数图象与性质的综合应用 解｜题｜策｜略 解决三角函数图象与性质的综合问题的关键 首先正确地将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后根据数形结合思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）. 49.已知函数，且关于x的方程在区间[0，]上有唯—解，则t的取值范围是 . 【答案】或 【解析】因为，所以， 所以，且当，.所以其函数图象如下所示： 所以与只有一个交点，即关于x的方程在区间[0，]上有唯—解， 结合函数图象可知或. 50.设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：      则，解得，即，故选C． 51.函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为向左平移个单位所得函数为 所以，而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为，故选C. 52.已知函数，且的最小正周期为． (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求当时，函数的最大值． 【解】（1）， ，，所以，. ,解得，，所以函数的单调递减区间为. （2）由向右平移个单位长度后得，因为，则，则，则函数的最大值为. 53.已知函数，且的最小正周期为． (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求当时，函数的最大值． 【解】（1）， ，，所以，. ,解得，，所以函数的单调递减区间为. （2）由向右平移个单位长度后得，因为， 则，则，则函数的最大值为. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $