专题03 解三角形综合问题的6种题型（高效培优期中专项训练）数学沪教版高一必修第二册

专题03 解三角形综合问题的6种题型 考点1 利用正、余弦定理解三角形 考点2 判断三角形的形状 考点3 与三角形面积有关的问题 考点4 平面图形中的计算问题 考点5 三角形中的三线问题 考点6 三角形中的最值范围问题 考点1 利用正、余弦定理解三角形 解｜题｜策｜略 利用正弦、余弦定理解题的技巧 （1）求边：利用正弦定理变形公式等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A等求解； （2）求角：利用正弦定理变形公式或余弦定理推论公式等求解. 1.在中，分别为的对边，若， 则 . 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若cos B＝，且△ABC的周长和面积分别是10和2，则b＝________. 3.已知的内角的对边分别为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 4.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A． B． C． D． 5.在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； 6.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 考点2 判断三角形的形状 解｜题｜策｜略 判定三角形形状的两种常用途径 7.在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形 8．在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 9．在 中， 分别是角 的对边， ，则（    ） A．为锐角三角形 B．为直角三角形 C．为钝角三角形 D．以上三个选项都有可能 10.在△ABC中，＝sin2 （a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　A　） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 12.在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 考点3 与三角形面积有关的问题 解｜题｜策｜略 三角形面积公式的应用原则 （1）对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式； （2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 13．在中，角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则________． 14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的面积为________． 15．设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，且，则的面积为________． 16.的内角的对边分别为的面积为，且，则边（    ） A．7 B．3 C． D． 17.在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 18.在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 19.记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 考点4 平面图形中的计算问题 解｜题｜策｜略 利用正、余弦定理解决平面多边形问题的策略 （1）将所给平面多边形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理建立边角关系进行求解； （2）注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关系，交叉使用公共条件进行求解； （3）注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用； （4）注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解. 20．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 22．在中，已知，点在线段上，且满足，则的长度为__________. 23．在圆内接四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2，则四边形ABCD的面积为______． 24．如图，在中，已知点在边上，，，则的长为_______. 25.记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 26.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)如图所示，为外一点，，，，求． 考点5 三角形中的三线问题 解｜题｜策｜略 1.三角形的中线问题的解题策略：①可根据两角互补或面积相等用正、余弦定理建立方程求解；②采用向量法使问题简化：在△ABC中，若D为边BC上的中点，则＝（＋），两边平方即可得到三角形边长之间的关系. 2.角平分线是平面几何的一个重要特征，解题方法主要有两种，一是利用角平分线定理，找边之间的关系；二是角平分线把三角形分成两个三角形，利用等面积法求解. 3.求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度. 27.在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 28.在中，，M是的中点，，则 ， . 29.在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； . 30.（2025·湖南长沙·二模）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 31．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）在中，内角所对的边分别为、、，满足 (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为2，求的面积； 32.记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且边上的高为，求的周长． 考点6 三角形中的最值范围问题 解｜题｜策｜略 三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量:根据题意画出图形,找出三角形中的边、角,利用正弦、余弦定理求出相关的边、角,并选择边、角作为基本量,确定基本量的范围. （2）构建函数:根据正弦、余弦定理或三角恒等变换,将所求范围的变量表示成函数形式. （3）求最值:利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值. 33．在中，分别是内角的对边，已知，且，则的面积的最大值为______． 34.在中，内角的对边分别是，且，则的最大值是___________． 35．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若；且，则周长的最大值为___________． 36．在中，分别为角所对的边，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37.在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求内角的大小； (2)若，求面积的最大值. 38.如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解三角形综合问题的6种题型 考点1 利用正、余弦定理解三角形 考点2 判断三角形的形状 考点3 与三角形面积有关的问题 考点4 平面图形中的计算问题 考点5 三角形中的三线问题 考点6 三角形中的最值范围问题 考点1 利用正、余弦定理解三角形 解｜题｜策｜略 利用正弦、余弦定理解题的技巧 （1）求边：利用正弦定理变形公式等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A等求解； （2）求角：利用正弦定理变形公式或余弦定理推论公式等求解. 1.在中，分别为的对边，若， 则 . 【答案】 【解析】由，则， 即，由正弦定理可知，， 即，又，所以. 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若cos B＝，且△ABC的周长和面积分别是10和2，则b＝________. 【答案】3 【解析】因为cos B＝，所以sin B＝， 所以acsin B＝ac＝2， 所以ac＝16. 因为a＋b＋c＝10，所以a＋c＝10－b， 所以a2＋c2＋2ac＝100－20b＋b2， 所以a2＋c2－b2＝68－20b. 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B， 即b2＝a2＋c2－8， 所以a2＋c2－b2＝8， 则68－20b＝8，解得b＝3. 3.已知的内角的对边分别为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，由正弦定理得，所以.故选：D 4.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，.故选：C． 5.在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； 【解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由，故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去），故； 6.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 【解】（1）因为， 由正弦定理，得， 即． 因为，，所以，． 由，得， 因为，所以． （2）由正弦定理，可得． 又， 由正弦定理，可得． 考点2 判断三角形的形状 解｜题｜策｜略 判定三角形形状的两种常用途径 7.在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】由题知，，所以， 所以，得，所以，得， 所以的形状为直角三角形，故选：A 8．在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】中，，则， 又，则， 由，可得，代入， 则有，则，则， 又，则的形状是等边三角形. 9．在 中， 分别是角 的对边， ，则（    ） A．为锐角三角形 B．为直角三角形 C．为钝角三角形 D．以上三个选项都有可能 【答案】C 【解析】由余弦定理，，则， 整理可得，则， 结合是三角形的内角，则， 即是钝角三角形. 10.在△ABC中，＝sin2 （a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　A　） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】A 【解析】（1）由sin2 ＝，得＝，即cos B＝. 法一 由余弦定理得＝，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等. 法二 由正弦定理得cos B＝，又sin A＝sin（B＋C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C，所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，即sin Bcos C＝0，又sin B≠0，所以cos C＝0，又C为三角形的内角，所以C＝，所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等. 11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】，化简得. 根据正弦定理得，. 因为在中，进而，故. 因为，所以，进而，解得. 所以为直角三角形. 12.在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以，故选：B. 考点3 与三角形面积有关的问题 解｜题｜策｜略 三角形面积公式的应用原则 （1）对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式； （2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 13．在中，角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则________． 【答案】 【解析】因为，即，所以， 由余弦定理，， 解得． 14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的面积为________． 【答案】/ 【解析】由余弦定理得，所以， 解得（舍去），所以， 故. 15．设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，且，则的面积为________． 【答案】 【解析】， 由正弦定理得， 即， 即，， ，又，， 由余弦定理得， 即，解得， ． 16.的内角的对边分别为的面积为，且，则边（    ） A．7 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】由得， 由余弦定理得，所以，故选C. 17.在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】（常规方法）在中，因为，，， 由余弦定理可得， 所以，， 因此，的面积为，故选A. 18.在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【解】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 19.记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到，所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 考点4 平面图形中的计算问题 解｜题｜策｜略 利用正、余弦定理解决平面多边形问题的策略 （1）将所给平面多边形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理建立边角关系进行求解； （2）注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关系，交叉使用公共条件进行求解； （3）注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用； （4）注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解. 20．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 【答案】15 【解析】在中，由余弦定理得， 即，解得，， 而，则，又，因此， 所以的面积是. 22．在中，已知，点在线段上，且满足，则的长度为__________. 【答案】 【解析】如图所示： 由余弦定理可得 , 所以，又因为， 所以，在中，, 在中，由余弦定理可得：, 所以. 23．在圆内接四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2，则四边形ABCD的面积为______． 【答案】 【解析】如图连接，因为四边形为圆的内接四边形，所以， 在中，，，有， 在中，，，有 , 所以，又，解得， 所以， 则， 即. 24．如图，在中，已知点在边上，，，则的长为_______. 【答案】 【解析】中，已知点在边上，，， 则， 又因为， 所以， 在中，， 即，在直角三角形中， 得. 25.记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【解】（1）在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. （2）在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得， 而，于是，所以. 26.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)如图所示，为外一点，，，，求． 【解】（1）， 在中，由正弦定理得，， 由， ， 即， ，，， 即，             又， ，即. （2）因为，令，， 在中，由正弦定理得， ，， 在中，由正弦定理得，， 因为，， ，            ， 解得，即． 考点5 三角形中的三线问题 解｜题｜策｜略 1.三角形的中线问题的解题策略：①可根据两角互补或面积相等用正、余弦定理建立方程求解；②采用向量法使问题简化：在△ABC中，若D为边BC上的中点，则＝（＋），两边平方即可得到三角形边长之间的关系. 2.角平分线是平面几何的一个重要特征，解题方法主要有两种，一是利用角平分线定理，找边之间的关系；二是角平分线把三角形分成两个三角形，利用等面积法求解. 3.求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度. 27.在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 【答案】 【解析】如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：，由可得， ， 解得：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 28.在中，，M是的中点，，则 ， . 【答案】 【解析】由题意作出图形，如图， 在中，由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 所以， 在中，由余弦定理得，所以； 在中，由余弦定理得. 29.在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； . 【答案】 2 【解析】如图所示，在根据正弦定理可得， 即，解得， 因为为锐角三角形，所以，可知， 已知是的角平分线，所以,根据三角形外角性质得, 所以是等腰三角形，. 30.（2025·湖南长沙·二模）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的面积为，，， 所以，解得.    在中，由余弦定理得 ，解得. 因为平分，所以，故选A. 31．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）在中，内角所对的边分别为、、，满足 (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为2，求的面积； 【解】（1）由及正弦定理得： ， 因为，所以，则，故. （2）解法一：因为，为中点，则， 由余弦定理得，得， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以，，解得：， 故的面积为； 解法二：因为为的中点，则， 所以，， 即， 由余弦定理可得，即， 所以，故的面积为. 32.记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且边上的高为，求的周长． 【解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 又因为，可得，所以， 即， 因为，可得，所以， 又因为，所以. （2）解：由边上的高为，可得， 又由且，可得的面积为， 所以，解得，即， 在中，由余弦定理得， 可得，整理得， 解得或（舍去），此时， 所以的周长为. 考点6 三角形中的最值范围问题 解｜题｜策｜略 三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量:根据题意画出图形,找出三角形中的边、角,利用正弦、余弦定理求出相关的边、角,并选择边、角作为基本量,确定基本量的范围. （2）构建函数:根据正弦、余弦定理或三角恒等变换,将所求范围的变量表示成函数形式. （3）求最值:利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值. 33．在中，分别是内角的对边，已知，且，则的面积的最大值为______． 【答案】 【解析】由任意三角形的射影定理可知， 又因为，所以． 又因为，，所以，且， 所以，所以， 再由基本不等式可知，因为，所以，即， 当且仅当时，的面积取得最大值． 34.在中，内角的对边分别是，且，则的最大值是___________． 【答案】/ 【解析】原式，由正弦定理得，即，则有， 因为，则，即， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，当且仅当时等号成立， 可得，所以，且，则， 故的最大值是. 35．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若；且，则周长的最大值为___________． 【答案】3 【解析】由，即， 又，则，解得， 又，即，则，且， 又由正弦定理有， 则，， 所以周长为 ， 又，即， 则，即， 所以，即周长的最大值为． 36．在中，分别为角所对的边，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，根据正弦定理​， 边化角得： ， 因为，所以， 代入上式： ， 整理得， 因为，，所以，得， 由正弦定理， ​， 因此： ， 又，， 代入得： 因为，所以， 则， 因此： 37.在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求内角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【解】（1）由正弦定理有， 因为，所以， 故，即，即， 因为，所以， 所以，即. （2）法一：因为，即， 因为， 所以，即（当且仅当时取等）， 故（当且仅当时取等）， 所以当时，△ABC面积S有最大值，最大值为. 法二：由正弦定理有， 即，， 因为，所以， 当，即时，有最大值，最大值为1， . 38.如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. 【解】（1）解：因为， 可得， 可得， 所以，可得， 又因为，可得， 所以，因为，所以. （2）解：因为，可得且， 由正弦定理得，可得， 则， 在锐角三角形中，可得 ，可得，可得， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $