专题01 三角函数中求参数范围的5种题型（高效培优期中专项训练）数学沪教版高一必修第二册

专题01 三角函数中求参数范围的6种题型 考点1 由三角函数的最值求参数 考点2 由三角函数的图象求参数 考点3 由三角函数的奇偶性求参数 考点4 由三角函数的对称性求参数 考点5 由三角函数的单调性求参数 考点6 由三角函数的零点求参数 考点1 由三角函数的最值求参数 解｜题｜策｜略 三角函数的极值点、最值点和其图象的对称轴说法是等价的，最值问题可转化为不等式恒成立问题来解决. 1．已知函数在区间上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】，则，因为在区间上恰有3个最小值点， 所以结合余弦函数的性质可得，，得， 则实数的取值范围为. 2．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上有最大值无最小值，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象， 所以，当时，因为，所以， 因为函数在上有最大值无最小值，所以，解得， 即实数的取值范围是. 3．函数在上恰好取得5次最大值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】令，得，，解得 ，， 所以，解不等式得 ， 由已知，满足条件的有个，所以的取值可能为0,1,2,3,4， 所以 ，解得 ，即. 4．已知函数，若在上既有最大值，也有最小值，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 由函数在上既有最大值，也有最小值，得， 因此，解得，所以实数a的取值范围是. 5.已知函数在上的最大值为，最小值为，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】因为，所以. 由题意可得函数在上的最大值为，最小值为. 令，则在上的最大值为，最小值为. 当时，. 当时，. 当时，. 以此类推， 当时，，. 当时，，. 当时，，. 综上，的取值范围为. 6．设函数，若点为函数图象的一个对称中心，且在上的最大值为2，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【解析】， 点是的对称中心，因此，代入得 ， 即，整理得； 当时，， 而根据解析式可知最大值为， 说明区间必须包含，因此 ， 解得； 结合且， 时，，不满足； 时，，满足条件. 因此的最小值为. 考点2 由三角函数的图象求参数 解｜题｜策｜略 由三角函数的图象求参数一般涉及A、ω、φ： （1）A可由图象中的最高点、最低点及对称中心的坐标确定； （2）ω可由相邻两对称轴或相邻两对称中心确定； （3）φ可由某关键点、线确定. 7.如图，已知是函数的一个零点，曲线与直线交于，两点，若，且，，则______ . 【答案】 【解析】令， 结合，两点处的单调性可得，，，， 因为，所以，， 则， 且在单调递增区间内， 所以，， 因为，则. 8.函数的图象如图所示，已知，若恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】由，可得，解得，所以， 则， 由图象，可得，即，所以，即， 又由，可得，解得， 所以，所以， 因为恒成立， 若，则有，即，可得， 解得或，所以或，即； 若，则有，显然成立； 若，则有，即，即， 所以，所以. 综上可得，实数的取值范围. 9.已知函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________． 【答案】 【解析】如图： ①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，由图可得，又面积为，所以.设函数的最小正周期为T，则. 由题意得，解得， 即，又，解得. 10．已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_______. 【答案】 【解析】由可得或， 两个相邻交点的横坐标的差为：， 因为，所以，即. 函数为，由图象过点，且该点在递增区间， 所以，解得，故. . 11．如图所示的是函数的部分图象，，则函数的单调递增区间是___________，其图象的对称轴方程为___________． 【答案】 【解析】由题图可知，，则，， 又因为过点，则， 则，又，则，所以， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是． 令，得， 故函数的图象的对称轴方程为． 故答案为：； 12．已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知， 令，即，即， 所以，或， 解得，或， 则非负根从小到大依次为，，，，⋯， 又因为在区间上有三个零点，所以， 解得. 考点3 由三角函数的奇偶性求参数 解｜题｜策｜略 由三角函数的奇偶性求参数φ的思路 （1）要使y＝Asin（ωx＋φ）（Aω≠0）为奇函数，需φ＝kπ（k∈Z）； （2）要使y＝Asin（ωx＋φ）（Aω≠0）为偶函数，需φ＝kπ＋（k∈Z）； （3）要使y＝Acos（ωx＋φ）（Aω≠0）为奇函数，需φ＝kπ＋（k∈Z）； （4）要使y＝Acos（ωx＋φ）（Aω≠0）为偶函数，需φ＝kπ（k∈Z）. 13.已知函数是奇函数，则____. 【答案】/ 【解析】， 因为函数是奇函数， 所以，解得， 因为，所以， 14.将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则的最小值是__________. 【答案】/ 【解析】将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 可得到函数的图象， 再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象， 因为函数为偶函数，则，可得， 故当时，取最小值. 15．已知函数的一段图象如图所示，若将图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则___________． 【答案】 【解析】由图可得，，则，故， ，解得， 由，故，则， 由将图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数， 则，解得. 16．设函数，将函数的图像向左平移φ（）个单位长度，得到函数的图像，若为偶函数，则φ的最小值是___________ 【答案】 【解析】向左平移φ（）个单位长度， 得到函数 因为为偶函数，所以，， 所以，， 因为，所以时，取最小值. 17．已知向右平移个单位长度后为奇函数，则的最小值为________. 【答案】/ 【解析】将函数向右平移个单位长度， 可得，定义域为R， 因为为奇函数，可得，即， 因为，可得， 则或或，解得或或， 又当时，，为奇函数， 故的最小值为 18．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为________ 【答案】 【解析】的图象向右平移个单位长度， 可得， 因为函数的对称中心为， 若平移后的图象关于原点对称， 则，得， 因为，故当时，取得最小值. 考点4 由三角函数的对称性求参数 解｜题｜策｜略 由三角函数的对称性求参数φ的思路 （1）对于函数y＝sin（ωx＋φ），y＝cos（ωx＋φ），应将ωx＋φ看成一个整体，利用整体思想，令ωx＋φ等于kπ或kπ＋（k∈Z），求出φ的值； （2）对于函数y＝tan（ωx＋φ），令ωx＋φ＝（k∈Z），求出φ的值. 19.已知函数的图象关于点对称，则的值为______． 【答案】/ 【解析】因为函数的图象关于点对称， 所以， 所以，，所以，． 又因为，所以． 20．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若曲线关于直线对称，则的最小正周期的最大值为__________ 【答案】 【解析】函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 因为函数的图象关于直线对称， 所以，得， 所以当时，取最小值是4，则的最小正周期的最大值为. 21.已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】当时，， 当时，， 因为的图象在上有且仅有两条对称轴， 所以， 解得，所以的取值范围是． 22.设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，则的一个取值为____． 【答案】1 【解析】令，解得 有对称轴在区间内，即 ，整理得：. 因为在区间内有且只有一条对称轴，即满足不等式的整数只有1个， 所以大于的最小整数是，即满足条件， 故，解得：. 答案不唯一，满足即可. 23.函数（其中）的图象关于直线对称，若在上有且只有两个零点，则的范围为___________． 【答案】 【解析】由函数的图象关于直线对称， 可得， 又因为，所以，则， 当时，， 在上有且只有两个零点， 所以，解得. 24.已知函数，写出满足“曲线关于点对称”的的一个值___________． 【答案】（答案不唯一，形如皆可） 【解析】若曲线关于点对称， 则， 则恒成立， 即或， 当时，，不符； 当时，； 故，则可为等，只需满足即可. 25.若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对函数，令，解得， 所以函数的对称中心为. 因为函数与的相邻对称中心的距离都是半个最小正周期， 且与图象的对称中心完全一致， 所以函数与的最小正周期相等， 又的最小正周期，所以，得，故， 令，则，即的对称中心为， 所以，得， 又，所以. 考点5 由三角函数的单调性求参数 解｜题｜策｜略 对于已知函数单调区间的某一部分确定参数ω的范围问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系列方程（不等式组）求解. 26．已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】显然，可得，所以. 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以 ， 于是，所以， 因为且，所以， 所以，解得， 所以由可知当时，有最小为． 27.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】(0,1] 【解析】由，，得， 而函数在上单调递增，则， 因此，解得， 所以的取值范围为. 28.若函数在上单调，则的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】由题意函数的最小正周期为，因为函数在区间上单调，可得，则. 因为，所以. 因为，所以. 因为在上单调，所以或， 解得，或， 因为，所以或． 29.已知函数在上存在最值，且在上单调递增，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】因为， 当时，因为，则， 因为函数在上存在最值，则，解得， 当时，， 因为函数在上单调递增，则， 所以，其中，解得， 所以，解得，又，所以， 因为，当时，；当时，， 又因为，因此，实数的取值范围是. 30．已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（   ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】， 因为，且在区间上单调递减， 所以的图象关于点对称，所以， 又点在减区间内，所以，得， 由题知，周期，所以， 又，所以时，. 31．已知函数的图象向左平移后得到的图象关于对称，在上具有单调性，则的最大值为__________ 【答案】16 【解析】把函数的图象向左平移后得到， 因为的图象关于对称，所以，即， 因为在上具有单调性，， 所以该区间的长度不能超过从对称中心到最近最值点所构成的单调区间的长度，即， 所以，且，解得， 结合可知的最大值为， 考点6 由三角函数的零点求参数 解｜题｜策｜略 利用零点求参数ω的两个思路：①直接求出函数的零点，利用零点与所给区间的关系求解；②利用函数的周期与所给区间的关系求解. 32．已知是函数的两个相邻零点，，则______． 【答案】或/或 【详解】令，则， 或， 解得：或； 是的两个相邻零点， 或， 解得：或. 33.已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 34.已知，若在区间上存在两个不相等的实数a，b，满足，则的取值范围 ．（填一个值即可） 【答案】 【解析】因为，所以， 又在区间上存在两个不相等的实数a，b，满足， 所以，解得. 35．设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 结合余弦函数的图象，可得，解得. 36．已知函数满足，且在内至少有3个零点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】由题意知π是的最小正周期的整数倍，则，得. 由，得， 而在内至少有3个零点，则，得， 又由，得，则的最小值为2，得的最小值为4. 37．（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件可知，，所以， ，当时，， 若函数在区间上恰有2个零点，则， 解得. 故选：D 38．已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知， 令，即，即， 所以，或， 解得，或， 则非负根从小到大依次为，，，，⋯， 又因为在区间上有三个零点，所以， 解得. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数中求参数范围的6种题型 考点1 由三角函数的最值求参数 考点2 由三角函数的图象求参数 考点3 由三角函数的奇偶性求参数 考点4 由三角函数的对称性求参数 考点5 由三角函数的单调性求参数 考点6 由三角函数的零点求参数 考点1 由三角函数的最值求参数 解｜题｜策｜略 三角函数的极值点、最值点和其图象的对称轴说法是等价的，最值问题可转化为不等式恒成立问题来解决. 1．已知函数在区间上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为________． 2．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上有最大值无最小值，则的取值范围是______． 3．函数在上恰好取得5次最大值，则实数的取值范围是______． 4．已知函数，若在上既有最大值，也有最小值，则实数a的取值范围是______． 5.已知函数在上的最大值为，最小值为，则的取值范围为__________. 6．设函数，若点为函数图象的一个对称中心，且在上的最大值为2，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．7 D．10 考点2 由三角函数的图象求参数 解｜题｜策｜略 由三角函数的图象求参数一般涉及A、ω、φ： （1）A可由图象中的最高点、最低点及对称中心的坐标确定； （2）ω可由相邻两对称轴或相邻两对称中心确定； （3）φ可由某关键点、线确定. 7.如图，已知是函数的一个零点，曲线与直线交于，两点，若，且，，则______ . 8.函数的图象如图所示，已知，若恒成立，则的取值范围是__________. 9.已知函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________． 10．已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_______. 11．如图所示的是函数的部分图象，，则函数的单调递增区间是___________，其图象的对称轴方程为___________． 12．已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点3 由三角函数的奇偶性求参数 解｜题｜策｜略 由三角函数的奇偶性求参数φ的思路 （1）要使y＝Asin（ωx＋φ）（Aω≠0）为奇函数，需φ＝kπ（k∈Z）； （2）要使y＝Asin（ωx＋φ）（Aω≠0）为偶函数，需φ＝kπ＋（k∈Z）； （3）要使y＝Acos（ωx＋φ）（Aω≠0）为奇函数，需φ＝kπ＋（k∈Z）； （4）要使y＝Acos（ωx＋φ）（Aω≠0）为偶函数，需φ＝kπ（k∈Z）. 13.已知函数是奇函数，则____. 14.将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则的最小值是__________. 15．已知函数的一段图象如图所示，若将图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则___________． 16．设函数，将函数的图像向左平移φ（）个单位长度，得到函数的图像，若为偶函数，则φ的最小值是___________ 17．已知向右平移个单位长度后为奇函数，则的最小值为________. 18．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为________ 考点4 由三角函数的对称性求参数 解｜题｜策｜略 由三角函数的对称性求参数φ的思路 （1）对于函数y＝sin（ωx＋φ），y＝cos（ωx＋φ），应将ωx＋φ看成一个整体，利用整体思想，令ωx＋φ等于kπ或kπ＋（k∈Z），求出φ的值； （2）对于函数y＝tan（ωx＋φ），令ωx＋φ＝（k∈Z），求出φ的值. 19.已知函数的图象关于点对称，则的值为______． 20．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若曲线关于直线对称，则的最小正周期的最大值为__________ 21.已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是______． 22.设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，则的一个取值为____． 23.函数（其中）的图象关于直线对称，若在上有且只有两个零点，则的范围为___________． 24.已知函数，写出满足“曲线关于点对称”的的一个值___________． 25.若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 考点5 由三角函数的单调性求参数 解｜题｜策｜略 对于已知函数单调区间的某一部分确定参数ω的范围问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系列方程（不等式组）求解. 26．已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最小值为__________． 27.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 28.若函数在上单调，则的取值范围是__________． 29.已知函数在上存在最值，且在上单调递增，则的取值范围是__________ 30．已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（   ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 31．已知函数的图象向左平移后得到的图象关于对称，在上具有单调性，则的最大值为__________ 考点6 由三角函数的零点求参数 解｜题｜策｜略 利用零点求参数ω的两个思路：①直接求出函数的零点，利用零点与所给区间的关系求解；②利用函数的周期与所给区间的关系求解. 32．已知是函数的两个相邻零点，，则______． 33.已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 34.已知，若在区间上存在两个不相等的实数a，b，满足，则的取值范围 ．（填一个值即可） 35．设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．已知函数满足，且在内至少有3个零点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 37．（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $