高一数学下学期期中模拟卷（沪教版必修第二册第六章～第七章，高效培优）

2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第二册第六章~第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共,54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的最小正周期是______． 【答案】 【解析】函数的最小正周期是. 2．已知扇形的弧长为，面积为，则扇形的圆心角为________． 【答案】 【解析】设扇形的半径为，圆心角为， 则，解得，所以扇形的圆心角为. 3．已知为锐角，若，则________. 【答案】 【解析】已知为锐角，，则，. 所以. 4．函数是偶函数，则的最小正值为______． 【答案】/ 【解析】由于是偶函数，所以，， 故，，所以当时，取最小正值，最小正值为． 5．记的内角、、的对边分别为、、，若，则__________. 【答案】/0.8 【解析】由正弦定理可得： 6．已知，且，则_______． 【答案】 【解析】由， 得，即， 得，解得或（舍去）， 因为，所以. 7．已知的角对应边长分别为，则__________. 【答案】 【解析】根据余弦定理得， 把代入可得， 因为，所以. 8．已知，，则x等于__________.（用反三角函数表示） 【答案】 【解析】因为，所以，而，从而， 所以，解得. 9．已知，满足，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】，，; ，即， 又， ，当时，取到最大值. 的最大值为. 10．已知关于的方程在上有两个不同的实数根，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】由方程，可得， 因为方程在上有两个不同的实数根， 即在上有两个不同的实数根， 设且，可得， 则在上有两个不同的实数根， 即和的图象在上有两个不同的交点， 如图所示：由图象可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 11．如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得米，米，米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为________米．（结果精确到1米） 【答案】 【解析】在中，，，； 由正弦定理可得，整理可得. 在中，， 由正弦定理， 整理可得. 所以 . 12．已知函数，且直线是的一条对称轴．若两个不相等的实数满足且，则___________． 【答案】/ 【解析】因为，其中， 则的最大值为， 因为，且，所以，得， 则 因为直线是的一条对称轴，所以， 故. 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．设角的始边为轴的非负半轴，则“角的终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】已知角的始边为轴非负半轴， 若角的终边在第二象限，则； 若，则角的终边在第二、三象限或者在轴负半轴上， 故“角的终边在第二象限”是“”的充分不必要条件， 故选：． 14．美国数学史家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉・邓纳姆在1994年出版的The Mathematical Universe一书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的‘无言的证明’，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释．很难比它更优雅了．”如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的错误选项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A：在中，，， 又因为，则，， 在中，可得， 所以，故A正确； 对于选项B：在中，，，故B错误； 对于选项C：在中，，，则，故C正确； 对于选项D：因为，， 所以，故D正确； 故选：B. 15．智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为时，通过降噪系统产生声波曲线将噪音中和，达到降噪目的．如图，这是某噪音的声波曲线的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知，，噪音的声波曲线的最小正周期，则． 因为噪音的声波曲线过点，所以， 则．又，所以， 即噪音的声波曲线为， 则可以用来智能降噪的声波曲线为， 又，A正确，B错误； ，C，D错误，. 故选：A. 16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，整理得， 则，解得. 因为，所以，取等条件为， 则的面积. 故选：A 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，角的终边分别与单位圆交于两点，其中. (1)求； (2)如图，若两点分别从同时出发，沿圆作匀速圆周运动，其中按逆时针方向，按顺时针方向，且角速度均为.求与第2次相遇时的纵坐标. 【解】（1）由题意，， ……………………2分 所以. ……………………5分 （2）由（1）可得, 由及点的坐标，可知， 所以， ……………………8分 设经过时间，与第2次相遇，则， 解得， …………………9分 所以第二次相遇时，所在位置的坐标为，……………………10分 由 ， ……………………13分 即与第2次相遇时的纵坐标为. ……………………14分 18．（本小题满分14分）已知函数，. (1)记，求证：函数为偶函数； (2)在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，求的面积. 【解】（1）根据题意， ， ……………………3分 则， 所以函数为偶函数； ……………………6分 （2）由辅助角公式得， 则， ……………………8分 所以，可得， ……………………9分 由余弦定理可得，由于，， 则，解得（舍去负根）， ……………………11分 由已知得，则， ……………………12分 所以. ……………………14分 19．（本小题满分14分）如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形.    (1)若，求. (2)若线段（不含端点）上存在动点，满足，记，求关于的函数. 【解】（1）由，，可知， ……………………2分 因此， 所以， ……………………5分 由正弦定理可得， ……………………7分 由可得. ……………………8分 （2）如下图：    由题可知，又， 在中，由余弦定理可知……………11分 因此可得，又在线段（不含端点）上，所以， 所以. ……………………14分 20．（本小题满分18分）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)设，是否存在实数，满足对任意的，都存在，使得成立？ 【解】（1）由 ， ……………………6分 其最小正周期为. ……………………8分 （2）由可得， …………………9分 则，即得． ……………………11分 由可得，则． 又，所以． ……………………13分 假设存在满足对任意的，都存在，使得成立， 则的值域为值域的子集，即， …………………15分 即，而此不等式组无解． ……………………17分 故满足题意的实数不存在． ……………………18分 21．（本小题满分18分）已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 【解】（1）由题设，而， …………………1分 当，则，即，故， ……………………3分 所以点是平衡点； ……………………4分 （2）由题设，若是平衡点，则，即， 此时恒成立，则； ……………………8分 （3）由题意，对于，都有，…………………9分 当，即时，在上单调递增，则， 所以，易知，显然不满足前提； ……………………11分 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； ……………………13分 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； ……………………15分 当，即时，在上单调递减，则， 所以，易知，显然不满足前提； ……………………17分 综上，时，；时，.……………………18分 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 参考答案 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共,54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13 14 15 16 A B A A 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分） 【解】（1）由题意，， ……………………2分 所以. ……………………5分 （2）由（1）可得, 由及点的坐标，可知， 所以， ……………………8分 设经过时间，与第2次相遇，则， 解得， …………………9分 所以第二次相遇时，所在位置的坐标为，……………………10分 由 ， ……………………13分 即与第2次相遇时的纵坐标为. ……………………14分 18．（本小题满分14分） 【解】（1）根据题意， ， ……………………3分 则， 所以函数为偶函数； ……………………6分 （2）由辅助角公式得， 则， ……………………8分 所以，可得， ……………………9分 由余弦定理可得，由于，， 则，解得（舍去负根）， ……………………11分 由已知得，则， ……………………12分 所以. ……………………14分 19．（本小题满分14分） 【解】（1）由，，可知， ……………………2分 因此， 所以， ……………………5分 由正弦定理可得， ……………………7分 由可得. ……………………8分 （2）如下图：    由题可知，又， 在中，由余弦定理可知……………11分 因此可得，又在线段（不含端点）上，所以， 所以. ……………………14分 20．（本小题满分18分） 【解】（1）由 ， ……………………6分 其最小正周期为. ……………………8分 （2）由可得， …………………9分 则，即得． ……………………11分 由可得，则． 又，所以． ……………………13分 假设存在满足对任意的，都存在，使得成立， 则的值域为值域的子集，即， …………………15分 即，而此不等式组无解． ……………………17分 故满足题意的实数不存在． ……………………18分 21．（本小题满分18分） 【解】（1）由题设，而， …………………1分 当，则，即，故， ……………………3分 所以点是平衡点； ……………………4分 （2）由题设，若是平衡点，则，即， 此时恒成立，则； ……………………8分 （3）由题意，对于，都有，…………………9分 当，即时，在上单调递增，则， 所以，易知，显然不满足前提； ……………………11分 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； ……………………13分 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； ……………………15分 当，即时，在上单调递减，则， 所以，易知，显然不满足前提； ……………………17分 综上，时，；时，.……………………18分 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第二册第六章~第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共,54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的最小正周期是______． 2．已知扇形的弧长为，面积为，则扇形的圆心角为________． 3．已知为锐角，若，则________. 4．函数是偶函数，则的最小正值为______． 5．记的内角、、的对边分别为、、，若，则__________. 6．已知，且，则_______． 7．已知的角对应边长分别为，则__________. 8．已知，，则x等于__________.（用反三角函数表示） 9．已知，满足，则的最大值为__________. 10．已知关于的方程在上有两个不同的实数根，则的取值范围是___________. 11．如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得米，米，米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为________米．（结果精确到1米） 12．已知函数，且直线是的一条对称轴．若两个不相等的实数满足且，则___________． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．设角的始边为轴的非负半轴，则“角的终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．美国数学史家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉・邓纳姆在1994年出版的The Mathematical Universe一书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的‘无言的证明’，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释．很难比它更优雅了．”如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的错误选项为（    ） A． B． C． D． 15．智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为时，通过降噪系统产生声波曲线将噪音中和，达到降噪目的．如图，这是某噪音的声波曲线的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线解析式为（   ） A． B． C． D． 16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，角的终边分别与单位圆交于两点，其中. (1)求； (2)如图，若两点分别从同时出发，沿圆作匀速圆周运动，其中按逆时针方向，按顺时针方向，且角速度均为.求与第2次相遇时的纵坐标. 18．（本小题满分14分）已知函数，. (1)记，求证：函数为偶函数； (2)在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，求的面积. 19．（本小题满分14分）如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形.    (1)若，求. (2)若线段（不含端点）上存在动点，满足，记，求关于的函数. 20．（本小题满分18分）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)设，是否存在实数，满足对任意的，都存在，使得成立？ 21．（本小题满分18分）已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $