精品解析：河南省郑州中学2025-2026学年高一下学期4月模拟测试数学试题卷

郑州中学2026年高一年级下学期数学模拟测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题 1. 若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）． A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 在梯形中，且为上靠近点处的三等分点，则向量（ ） A. B. C. D. 3. 若，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 充要条件 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知在中，为的中点，与相交于点.若，则（ ） A. B. C. D. 6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积为，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 8. 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，则符合条件的有两个 10. 下列命题正确的是（ ） A. 在中，，则的形状一定是直角三角形 B. 平行四边形中，若，则四边形是矩形 C. 若，，，四点在同一条直线上，且，则 D. 在中，若，则点的轨迹经过的内心 11. 窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 的最大值为 D. 若函数，则函数的最小值为 三、填空题 12. 已知向量，若，则______． 13. 如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 14. 已知平面向量满足，则的取值范围为______． 四、解答题 15. 已知向量，其中． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 16. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 17. 如图，在中，，，，P为内一点，且. （1）若，求的长； （2）若，求. 18. 在中，角的对边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若，求周长的最小值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19. 在中，，，对应的边分别，，， （1）求； （2）柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用. ①用向量证明二维柯西不等式： ②已知三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，求的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州中学2026年高一年级下学期数学模拟测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题 1. 若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）． A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的基底的概念：平面内不共线的两个向量可以作为平面的一组基底，结合共线向量的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线向量， 对于A中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于B中，设，可得，解得， 所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底； 对于C中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于D中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底. 共线：B. 2. 在梯形中，且为上靠近点处的三等分点，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算即可 【详解】由题意， 故选：A 3. 若，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线用表示出，应用向量数量积的运算律得，结合充分、必要性的定义判断推出关系，即可得. 【详解】由，为非零向量且知，存在实数，使， 则，， 当时，，故充分性不成立， 由，则， 故，所以， 即，故， 所以同向共线，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，，， 则向量在向量上的投影向量为. 5. 如图，已知在中，为的中点，与相交于点.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的线性运算得，，再由平面向量基本定理，可得，即可求解. 【详解】， 则， 又三点共线，， 又为的中点，，又，所以， 又三点共线，， 由平面向量基本定理知，，解得，所以， 即，所以， 故选：D. 6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积为，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题设利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，再结合的面积为可得，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 则， 在中，，则，即， 又，则， 又，则， 所以，当且仅当时等号成立， 则的最小值为6. 8. 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义奔驰定理结合三角形的面积公式求解. 【详解】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 二、多选题 9. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，则符合条件的有两个 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，利用正弦函数的单调性，可判定A正确；由，求得或，可判定B错误；由正弦定理，可判定C正确；由正弦定理求得，得到角有两个值，可判定D正确. 【详解】对于A中，由为锐角三角形，可得，即， 且，因为函数在上为单调递增函数， 所以，所以A正确； 对于B中，由，可得或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，所以B错误； 对于C中，由，可得，由正弦定理，可得，所以C正确； 对于D中，因为，由正弦定理， 可得，所以角有两个值，此时有两解，所以D正确. 故选：ACD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 在中，，则的形状一定是直角三角形 B. 平行四边形中，若，则四边形是矩形 C. 若，，，四点在同一条直线上，且，则 D. 在中，若，则点的轨迹经过的内心 【答案】ABD 【解析】 【分析】对AB，根据向量数量积的运算律即可判断；对C，举出反例即可判断；对D，根据向量加法的几何意义即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 所以，所以，所以， 所以，所以是直角三角形，故A正确； 对于B，由可得， 所以，所以， 所以，所以四边形是矩形，故选项B正确； 对于C，依题意如图， 但，故C错误； 对于D，根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，故点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：ABD. 11. 窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 的最大值为 D. 若函数，则函数的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由向量的线性运算可得；对于B，由在方向上的投影向量为代入坐标运算即可；对于C，由，根据几何意义求的最大值即可；对于D，设设，则，即当时，取得最小值，根据图形求最小值即可. 【详解】根据题意，每个小三角形为全等的等腰三角形，顶角为， ，以为原点，分别为轴，设， 则，解得， ， 对于A，因为 ，，所以，故A正确； 对于B，， 在方向上的投影向量为，故B错误； 对于C，设中点为， ，所以取最大即取最大， 由题知，当 在点或点处时，取最大， 此时，， ， 所以，故C正确； 对于D，设 ，， 所以当时，取的最小值， 根据题意，，所以在延长线上， 又，则， 所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知向量，若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以有. 13. 如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】以为基底表示，结合向量的数量积运算求得正确答案. 【详解】在正方形中，因为为AD中点，所以，且， 则， 则 . 14. 已知平面向量满足，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】解法一：根据向量模公式得，再结合，解对应不等式即可得答案； 解法二：作，，，进而得在以点为圆心，5为半径的圆上，再结合矩形的性质得点D在以点C为圆心，7为半径的圆上，最后根据即可得答案. 【详解】解法一： ，其中为与的夹角． 因为,所以， 所以． 又因为， 所以，解得． 所以的取值范围为 解法二：如图，作，，， 因为，所以在以点为圆心，5为半径的圆上， 以为邻边作矩形． 由矩形的性质可知，，又， 所以，即点D在以点C为圆心，7为半径的圆上， 因此， 所以的取值范围为. 四、解答题 15. 已知向量，其中． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，，然后再根据垂直关系即可求出； （2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， ，解得． 【小问2详解】 由与的夹角为钝角，得且与方向不相反， 所以且，解得且. 所以实数的取值范围为． 16. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可. （2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以， 即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 故. 17. 如图，在中，，，，P为内一点，且. （1）若，求的长； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，先求出，再在中，利用余弦定理求解即可； （2）设，则，，在中，利用正弦定理求出，再在中，求出，进而可得出答案. 【小问1详解】 在中，，， 则，， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 【小问2详解】 设，则，， 在中，因为， 所以， 在中，， 所以，即， 所以即. 18. 在中，角的对边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若，求周长的最小值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算即可求解； （2）由题意可得，根据基本不等式计算即可求解； （3）由正弦定理将化为关于角的函数，根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解. 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当时，周长有最小值为； 【小问3详解】 由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 19. 在中，，，对应的边分别，，， （1）求； （2）柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用. ①用向量证明二维柯西不等式： ②已知三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，求的最小值 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据条件，边化角得到，再利用余弦定理，即可求出结果； （2）①利用数量积的定义，得到，再利用数量积和模的坐标表示，即可证明结果；②根据条件及三角形面积公式，利用，得到，结合余弦定理，令，得到，再求出的范围，即可求出结果. 【小问1详解】 由正弦定理得即 由余弦定理有， 若，等式不成立，则，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 ①设，，由，得， 从而，即 ②. 又，，，， . 由三维分式型柯西不等式有. 当且仅当即时等号成立. 由余弦定理得，所以即， 则，令，则. 因为，得，当且仅当时等号成立， 所以，则， 令；则在上递减， 当即时，有最大值，此时有最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $