精品解析：江西省乐平中学等校2026届高三下学期3月数学学科素养训练

高三年级3月数学学科素养训练 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合的子集个数为4，则A的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由子集的个数得出集合的元素个数，再根据补集的定义确定． 【详解】由题意得的元素个数为2，所以A的元素个数为. 2. 已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直径端点的坐标可得圆心和半径，进而可求圆的方程. 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为. 3. 为响应国家“绿水青山就是金山银山”的号召，某乡村在春季开展植树造林活动.计划在第一年植树100亩，且从第二年开始，每年比上一年多植树20亩.若该活动连续开展10年，则这10年累计的植树总面积为（ ） A. 1700亩 B. 1800亩 C. 1900亩 D. 2000亩 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式可得答案. 【详解】设每年植树面积的亩数构成等差数列，则，公差，所以这10年累计的植树总面积亩. 4. 已知函数在上单调，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先换元，分析内层函数的单调性，再利用余弦函数的单调区间列不等式，最后解不等式求α的最大值即可. 【详解】将函数 转化为余弦函数的单调性问题： 令 ，则原函数为 ， 当 时，内层函数 是单调递增的（一次项系数 ），因此： 时，； 时，， 即 的取值范围为 ； 因为余弦函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 因为 位于 的单调递减区间 （取 ）内， 所以，，即. 故的最大值为. 5. 年春晚节目中机器人的科技感与武术完美融合，让大家赏心悦目.市场上现有甲、乙两家公司生产机器人，检测机构要评估市场上这两家公司机器人的某项重要技术参数（得分采用百分制）.若甲公司产品市场占比为，该项重要技术参数的平均分为，方差为，乙公司产品市场占比为，该项重要技术参数的平均分为，方差为，则市场上这两家公司的该项重要技术参数的总的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为总的平均数为， 所以总的方差为. 6. 若三对夫妻坐成一排照相，则同性别的人均不相邻的排法数为（ ） A. 288 B. 144 C. 72 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】可以先分男女男女男女和女男女男女男两种情况，再根据排列数公式求解. 【详解】若男女间隔排列，则有两种情况，男女男女男女 或女男女男女男， 若男女男女男女的情况，先排男生有种方法，再排女生也有种方法，所以共有, 第二种女男女男女男的情况也有种方法， 综上可知，共有种方法. 7. 直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成（ ） A. 7个部分 B. 14个部分 C. 6个部分 D. 12个部分 【答案】B 【解析】 【分析】首先由三角形三条边所在直线将平面所分成的部分，再想象空间的部分. 【详解】如图，将一个三角形各边延伸可将平面分为7个部分，则直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成个部分. 8. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，直线与M的一个交点为，且为锐角三角形，则M的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直线与椭圆联立，得到坐标，根据为锐角三角形，写出向量关系，即可求解. 【详解】不妨假设在第一象限，设，由得 ，，， 易知恒为锐角， 则 得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先求复数z的标准形式，再求共轭复数z，最后逐项验证选项即可. 【详解】因为， 所以， 所以共轭复数， 选项A：，正确； 选项B：，错误； 选项C：，正确； 选项D：，错误; 10. 若的内角的对边分别为，且，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合均值不等式和三角函数的最值，先确定和角的值，再利用三角形的内角和、面积公式和正弦定理判断即可. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以，， 而，得，故A错误，B正确； 又因为的面积为，故C正确； 由得，，故D正确. 11. 已知定义在上的非常数函数可导，，且，下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 若是的导函数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A直接赋值可得；对B直接赋值可得；对C先赋值，再计算可得；对D先赋值得，再通过赋值得，进而可得，再分别对两个式子求导可得. 【详解】对于A，令，由得， 所以，又为非常数函数，所以，故A正确； 对于B，令，由得， 又由A知,所以,整理得，则为偶函数，故B错误； 对于C，令，由得，即， 所以，故C正确； 对于D，令，由且， 得，即， 以代替，得，即， 以代替，得，即. 所以6是函数的一个周期，所以， 即，两边求导得，即，——① 又因为，两边求导得，即，——② ①②相加得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，且，则_____. 【答案】 【解析】 【详解】因为，且， 所以，得. 13. 已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 【答案】 【解析】 【详解】，， ，， 设是C的右焦点，则， 因为是的中点，O为的中点，且， 所以由中位线性质得， 如图，当P在C的左支上时， ，，不符合题意. 如图，当P在C的右支上时， ，， 此时符合题意，故. 14. 在三棱锥中，，，，，异面直线与所成的角为，则三棱锥外接球的表面积可以为_____. 【答案】20π或 【解析】 【分析】根据题意，把补成长方体，再分、两种情况进行求解． 【详解】第一种情况：如图1，将三棱锥补成长方体. 此时，， 所以该长方体外接球的半径为， 即三棱锥外接球的半径为. 故三棱锥外接球的表面积为. 第二种情况：如图2，在三棱锥的基础上作出长方体. 此时，设P在底面上的投影为， 易得在直线上，且，. 以为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则. 易得三棱锥外接球的球心O在线段中点的正上方，设， 由，得，得， 所以三棱锥外接球的半径为. 故三棱锥外接球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的极小值点为1，极小值为. （1）求a，b； （2）若图象上的动点P在第一象限，Q是直线：上的一动点，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据极小值的定义列出方程组求得，再检验确定结论； （2）当的图象在P处的切线与平行时，P到的距离最小，由此结合点到直线距离公式计算． 【小问1详解】 由已知， 则 得 经检验，当，时，的极小值点为1. 【小问2详解】 由（1）得.当时，，单调递减；当时，，单调递增. 的部分图象与如图所示，当的图象在P处的切线与平行时，P到的距离最小，即最小. 由，得（负根舍去），得， 此时P的坐标为. 故P到的距离的最小值为，即的最小值为. 16. 如图，在四棱台中，平面，正方形的边长为，且，分别为线段的中点，点在线段上，且. （1）证明：平面平面. （2）求点到平面的距离. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证平面，再证平面，再由面面平行的判定定理可得； （2）直接根据等体积法计算点到面的距离可得； （3）直接用空间向量计算平面与平面的夹角可得. 【小问1详解】 取的中点，连接，易证且，则四边形为平行四边形，所以， 又因为，即为的中点，为的中点，所以， 所以，且平面，平面，所以平面. 因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，同理可证， 所以，平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面，平面，平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，而平面，所以. 因为，， 又在直角梯形中，，设为的中点，如图： 显然四边形为正方形，为等腰直角三角形，且， 所以，， 在三角形中，满足，所以， 所以，. 设点D到平面的距离为， 由，所以，得，解得. 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 易知，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，得. 因为平面与坐标平面重合，所以为平面的一个法向量， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知是抛物线的焦点，的准线上存在两点，使得为边长是的正三角形. （1）求的标准方程. （2）已知过点的直线与交于两点. （i）若，求的方程； （ii）若是的准线上一点，直线，，的斜率分别为，，，比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）（i）根据条件设出直线，，，联立直线与抛物线方程，利用根与系数间的关系，得，再结合条件，由焦点弦公式，即可求解；（ii）利用，得到，即可求解. 【小问1详解】 到的准线的距离为p，则， 所以的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）得.设，. 易得的斜率存在，设，由，得， 得， 因为，解得， 故的方程为或. （ii）. 理由如下：设，易得，，，，，. 由，， 得，，， 则 ， 将两边同时乘以，得. 18. 已知数列的前项和为，且长为，宽为的矩形的周长为. （1）求、； （2）求的通项公式； （3）已知数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得出，分别令、，可求得、的值； （2）当时，由可得，两式作差可得出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （3）当时，推导出，且（当且仅当时，等号成立），于是得出，再利用不等式的基本性质结合累加法可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意得. 当时，，得. 当时，，得. 【小问2详解】 当时，由可得， 两式作差得， 得，得， 又，所以是首项为，公比为的等比数列. 故，得. 【小问3详解】 ，所以. 令函数，得，所以在上是增函数. 当时，，得. 因为，所以， 所以. 令函数，得. 当时，，在上单调递增. 当时，，在上单调递减. 故，得，当且仅当时，等号成立， 令，得，得， 则 . 故. 19. 医学研究团队研究某细菌在动物表面的扩散过程，其扩散过程可视为在平面直角坐标系上的运动：细菌初始时位于原点，每次移动一个单位长度，且向上、下、左、右四个方向移动的概率均为. （1）若细菌移动次后所在位置的横坐标为，求的分布列. （2）医学研究团队提出一种治疗方法：分别在细菌第、、、、次移动后，在原点处实施一次药物注射.第次药物注射后，若细菌位于原点，则细菌活性降低的概率为（为常数，且）.细菌位于原点且细菌活性降低的情况为一次有效治疗.在次药物注射后，每次有效治疗的概率之和为，治疗疗效比. （i）若经过次移动后，细菌回到原点的概率为，求； （ii）若医学研究团队想要达到只实施第一次药物注射，治疗疗效比最大的临床效果，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）【解析】 【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值为、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列； （2）（i）对为奇数和偶数进行分类讨论，分析细菌移动到原点时向左、右、上、下移动的次数，结合独立重复试验的概率公式可得出的表达式； （ii）求出的表达式，设函数，分析函数的单调性，可得出，然后分、两种情况讨论，分析函数的单调性，结合，可得出的取值范围. 【小问1详解】 随机变量的可能取值为、、， ，，， 所以的分布列为 【小问2详解】（i）细菌在奇数次移动后不可能回到原点，所以. 若，且细菌在次移动后要到达原点， 则分别向左、右移动次，分别向上、下移动次. 因为 ， （对于的证明如下：现有一个装有个白球和个黑球的盒子里， 从这个盒子里抽取个球，所有的情况有：个黑球、个白球个黑球、 个白球个黑球、、个白球，所以.） 所以. 综上，. （ii）由题意得. 因为，所以， 所以. 设函数. 由 ， ， 即， 得， 则， 所以是减函数，. 当，即时，，得，不符合题意. 当，即时，，， 得，即，故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级3月数学学科素养训练 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合的子集个数为4，则A的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 为响应国家“绿水青山就是金山银山”的号召，某乡村在春季开展植树造林活动.计划在第一年植树100亩，且从第二年开始，每年比上一年多植树20亩.若该活动连续开展10年，则这10年累计的植树总面积为（ ） A. 1700亩 B. 1800亩 C. 1900亩 D. 2000亩 4. 已知函数在上单调，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 年春晚节目中机器人的科技感与武术完美融合，让大家赏心悦目.市场上现有甲、乙两家公司生产机器人，检测机构要评估市场上这两家公司机器人的某项重要技术参数（得分采用百分制）.若甲公司产品市场占比为，该项重要技术参数的平均分为，方差为，乙公司产品市场占比为，该项重要技术参数的平均分为，方差为，则市场上这两家公司的该项重要技术参数的总的方差为（ ） A. B. C. D. 6. 若三对夫妻坐成一排照相，则同性别的人均不相邻的排法数为（ ） A. 288 B. 144 C. 72 D. 36 7. 直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成（ ） A. 7个部分 B. 14个部分 C. 6个部分 D. 12个部分 8. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，直线与M的一个交点为，且为锐角三角形，则M的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 若的内角的对边分别为，且，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 11. 已知定义在上的非常数函数可导，，且，下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 若是的导函数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，且，则_____. 13. 已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 14. 在三棱锥中，，，，，异面直线与所成的角为，则三棱锥外接球的表面积可以为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的极小值点为1，极小值为. （1）求a，b； （2）若图象上的动点P在第一象限，Q是直线：上的一动点，求的最小值. 16. 如图，在四棱台中，平面，正方形的边长为，且，分别为线段的中点，点在线段上，且. （1）证明：平面平面. （2）求点到平面的距离. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知是抛物线的焦点，的准线上存在两点，使得为边长是的正三角形. （1）求的标准方程. （2）已知过点的直线与交于两点. （i）若，求的方程； （ii）若是的准线上一点，直线，，的斜率分别为，，，比较与的大小，并说明理由. 18. 已知数列的前项和为，且长为，宽为的矩形的周长为. （1）求、； （2）求的通项公式； （3）已知数列的前项和为，证明：. 19. 医学研究团队研究某细菌在动物表面的扩散过程，其扩散过程可视为在平面直角坐标系上的运动：细菌初始时位于原点，每次移动一个单位长度，且向上、下、左、右四个方向移动的概率均为. （1）若细菌移动次后所在位置的横坐标为，求的分布列. （2）医学研究团队提出一种治疗方法：分别在细菌第、、、、次移动后，在原点处实施一次药物注射.第次药物注射后，若细菌位于原点，则细菌活性降低的概率为（为常数，且）.细菌位于原点且细菌活性降低的情况为一次有效治疗.在次药物注射后，每次有效治疗的概率之和为，治疗疗效比. （i）若经过次移动后，细菌回到原点的概率为，求； （ii）若医学研究团队想要达到只实施第一次药物注射，治疗疗效比最大的临床效果，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $