精品解析：山东省泰安第一中学青年路校区2025-2026学年高一下学期4月诊断测试数学试题

泰安一中青年路校区高一下学期4月份诊断性测试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点则与同方向的单位向量为 A. B. C. D. 2. 若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 6. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若的面积，且，则的周长为（ ） A. B. 15 C. D. 7. 如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（ ） A. 在 中，若 ，则 B. 若 ，，，则有唯一解 C. 若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 若 ，则角 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 若为复数，则为实数 10. 下列结论正确的是（ ） A. 已知是非零向量，，若，则 B. 非零向量和，满足，则与的夹角为 C. 点在所在的平面内，满足，则点是的外心 D. 以为顶点的四边形是一个矩形 11. 已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（ ）． A. 的取值范围是 B. 若是锐角三角形，则的取值范围是 C. 若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且，则的最小值为9 D. 若，且外接圆半径为2，圆心为O，P为上的一动点，则的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题，92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是__________. 13. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________． 14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）求； （2）设的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求的值. 16. 已知复数（R），为实数. （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的值； （2）若D为AC的中点，且，，求的面积. 18. 在锐角中，已知，，且． （1）求角B的大小； （2）若，求面积的最大值． 19. 已知某商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，（为长度单位）.现准备过点修建一条长椅（点分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息. （1）求点到点的距离； （2）为优化商场的经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰安一中青年路校区高一下学期4月份诊断性测试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点则与同方向的单位向量为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A. 考点：向量运算及相关概念. 2. 若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因复数为纯虚数， 则有且，解得， 所以. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 4. 已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，，， 则向量在向量方向上的投影向量为. 5. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】将，代入， 得：， 在中，点B、C、D三点共线， 根据三点共线的向量性质得：，即：， 所以， 当且仅当，即：，时等号成立，此时最小值为2. 6. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若的面积，且，则的周长为（ ） A. B. 15 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知等式可得，利用余弦定理可求，可求解的值,利用三角形的面积公式可求，由余弦定理可求，即可求周长． 【详解】已知,由正弦定理得：， 整理可得，所以， 由于，所以； 的面积，所以， 又，所以由余弦定理， 可得， 解得或（舍去）， 所以的周长． 故选：B 7. 如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形的几何特征，利用正弦定理、余弦定理求解出结果即可. 【详解】，， ，，， ， 在中，米. 在中，由正弦定理得米. 在中，由余弦定理得： ， 米. 故选：D. 8. 已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（ ） A. 在 中，若 ，则 B. 若 ，，，则有唯一解 C. 若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 若 ，则角 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理边化角即可得结果；对于B：利用正弦定理可得，结合即可得结果；对于C：由倍角公式可得，即可得结果；对于D：利用余弦定理边化角即可得结果. 【详解】对于A，在中，由正弦定理知，， 结合大边对大角可得，故命题正确，A不符合题意； 对于B，因为，，， 由正弦定理，得， 由知，只有一解，所以有一个解，故命题正确，B不符合题意； 对于C，因为，由正弦定理得：，则， 因为，可知或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故命题正确，C不符合题意； 对于D，因为， 由余弦定理得：，即， 因为，所以或，故命题错误，D符合题意. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 若为复数，则为实数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的乘方、虚部的概念、纯虚数的概念与复数的几何意义、共轭复数的概念与运算依次判断选项即可. 【详解】A：，故A正确； B：对于复数的虚部为，故B错误； C：由复数z为纯虚数，设()，则，所以，故C错误； D：设复数()，则，所以，故D正确. 故选：AD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 已知是非零向量，，若，则 B. 非零向量和，满足，则与的夹角为 C. 点在所在的平面内，满足，则点是的外心 D. 以为顶点的四边形是一个矩形 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由向量垂直的的运算法则可判断正确； 对B，可结合线性运算作图快速判断正确； 对C，结合重心性质可判断当时，应为三角形中心，判断错误； 对D，可设，可证，可判断四边形为平行四边形，再证即可判断四边形为矩形 【详解】对A，是非零向量，，若，即，， 即，故A正确； 对B，由非零向量和，满足，如图所示： 当向量方向如图所示，夹角为120°时，刚好满足题设条件， 则为菱形的斜对角线所示方向， 与的夹角为刚好为菱形锐角夹角的一半，故为，故B正确； 对C，当时，点为的重心，故C错误； 对D，可设，则， ，则四边形为平行四边形，又， 故，根据有一个角为90°的平行四边形为矩形可判断四边形为矩形， 故D正确. 故答案为：ABD. 【点睛】本题考查平线向量的综合应用，向量垂直的判断，向量在几何关系中的应用问题，属于中档题 11. 已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（ ）． A. 的取值范围是 B. 若是锐角三角形，则的取值范围是 C. 若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且，则的最小值为9 D. 若，且外接圆半径为2，圆心为O，P为上的一动点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助面积公式与余弦定理由题意可得，对A借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性求范围判断即可，对B借助正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可判断，对C借助等面积法及基本不等式计算即可判断，对D根据正弦定理及条件可判断三角形为正三角形，再由向量数量积的运算及圆的几何性质求解即可判断. 【详解】由题意，，整理可得， 由余弦定理可知，，， 对A， ，，，，，故A正确； 对B，，因为是锐角三角形，，，，故B错误； 对于C，由，可得， 即，可得，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对D，由正弦定理，则，则，由余弦定理可得，所以， 又，所以，则三角形为等边三角形，取中点，如图所示： 则 ，由，可得，则，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角为锐角，得到不等式，求出答案. 【详解】因为与的夹角为锐角，故与数量积为正，且两向量不同向共线， 所以，而，解得. 13. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________． 【答案】. 【解析】 【分析】根据题中所给的公式代值解出． 【详解】因为，所以． 故答案为：. 14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解即可. 【详解】由题可得，， ， 所以 ， ， ， 所以， 故答案为: . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）求； （2）设的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算即得. （2）利用向量夹角的坐标表示计算即得. （3）利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式计算即得. 【小问1详解】 由，得， 所以. 【小问2详解】 设的夹角为，则. 【小问3详解】 由，得， 由向量与互相垂直得，， 所以， 化简得，解得. 16. 已知复数（R），为实数. （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数求出，代入化简后求复数模即可； （2）由复数是实系数方程的根代入求出，再结合所在象限舍去不合适的值. 【小问1详解】 由，为实数，则为实数， 所以，即，， 所以. 【小问2详解】 由在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 又为实系数方程的根， 则， 所以，， 又，所以. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的值； （2）若D为AC的中点，且，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后结合三角恒等变换的公式求解即可； （2）利用得到，结合余弦定理解出，再利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 则由得：， 在中，， ，则， ，， ， ，； 【小问2详解】 ∵D为AC的中点，，，① 由余弦定理得，，② 联立①②，解得， ， 的面积. 18. 在锐角中，已知，，且． （1）求角B的大小； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行列方程，结合三角恒等变换的知识求得. （2）先求得三角形面积的表达式，然后根据三角函数最值的求法求得正确答案. 【小问1详解】 由于，所以， 即，即， 由于是锐角，所以，所以. 【小问2详解】 依题意，，由正弦定理得， ，所以 ， 由于，所以， 所以， 所以当时，取得最大值为. 19. 已知某商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，（为长度单位）.现准备过点修建一条长椅（点分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息. （1）求点到点的距离； （2）为优化商场的经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值. 【答案】（1） （2）当时，三角形面积最小，最小值为 【解析】 【分析】（1）连接，在中利用余弦定理计算可得； （2）由可得，利用基本不等式求出的最小值，即可求出面积的最小值. 【小问1详解】 连接，在中， 因为， 所以，又、， 由余弦定理得， 所以，即点到点的距离为. 【小问2详解】 由， ， ， 化简得或（舍去），当且仅当， 即、时取等号， ， 故当时，三角形面积最小，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $