山东省泰安第一中学青年路校区2025-2026学年高一下学期4月诊断测试数学试题

泰安一中青年路校区高一下学期4月份诊断性测试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点 则与同方向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 3．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 4. 已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 6. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若的面积，且，则的周长为（    ） A． B．15 C． D． 7. 如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（   ） A．在中，若 ，则 B．若 ，则有唯一解 C．若，则是等腰三角形或直角三角形 D．若 ，则角 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数纯虚数，则 D. 若为复数，则为实数 10. 下列结论正确的是（    ） A．已知是非零向量，，若，则 B．非零向量和，满足，则与的夹角为 C．点在所在的平面内，满足，则点是的外心 D．以为顶点的四边形是一个矩形 11.已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（ ）． A. 的取值范围是 B. 若是锐角三角形，则的取值范围是 C. 若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且，则的最小值为9 D. 若，且外接圆半径为2，圆心为O，P为上的一动点，则的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题，92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是__________. 13我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ． 14. 如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）求； （2）设的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求的值. 16.已知复数（R），为实数. （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的值； （2）若D为AC的中点，且，，求的面积. 18．在锐角中，已知，，且． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 19.某商场准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界的距离分别为.设计者准备过点R修建一条长椅（点M，N分别落在上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息. (1)求点S到点T的距离； (2)为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值. 2025-2026学年高一第二学期4月阶段性检测数学参考答案 一选择题1-5 C A D A C 6-8 B D D 9. AD. 10.ABD 11.ACD 11.解由题意，，整理可得， 由余弦定理可知，，， 对A， ，，，，，故A正确； 对B， ，因为是锐角三角形，，，，故B错误； 对于C， 由，可得， 即，可得，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对D，由正弦定理，则，则，由余弦定理可得，所以， 又，所以，则三角形为等边三角形，取中点，如图所示：则 ，由，可得，则，故D正确.故选：ACD 二、填空题答案 ： 12. 13. 14. 14. ∵M，N分别是BC，AC的中点，. 与的夹角等于. ， ， ，． 三、解答题 15. 【解析】（1）由，得， 所以. （2）设的夹角为，则. （3）由，得， 由向量与互相垂直得，， 所以，化简得，解得. 16.（1）解由，为实数， 则为实数， ................（4分） 所以，即，， 所以.............................................（8分） （2）由在复平面内对应的点在第四象限， 所以， ...................................................（12分） 又为实系数方程的根，则， 所以，， 又，所以. ......................................（15分） 17.解：由正弦定理得，，则由 得：，................（2分） 在中，，， 则， ，，.......................................................（5分） ，，；..........................（7分） (2) ∵D为AC的中点，， ，① ...............................（10分） 由余弦定理得，，②....................................（13分） 解得，，的面积.........................（17分） 18解：1．(1) (2) 【详解】（1）由于，所以， 即，即， 由于是锐角，所以，所以. （2）依题意，，由正弦定理得， ，所以 ， 由于，所以，所以，所以当时，取得最大值为. 19解：（1）连接，在四边形中，因为，，，所以. 在中，由余弦定理可得，所以（m） （2）因为， 所以，所以，当且仅当时等号成立，因此，. 所以当时，三角形区域面积最小，最小值为 3 学科网（北京）股份有限公司 $