第10章 整式的乘法与除法 单元检测 2025—2026学年青岛版数学七年级下册

第10章 整式的乘法与除法 单元检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1. 下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 2.新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，但它在病毒家族里却算是大个子，某新型冠状病毒的直径是0.00075m，将数字0.00075m用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 3.已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴ ， 4.计算的结果为（   ） A． B． C．1.5 D． 【答案】D 【详解】解： ， 5.已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴； 6.如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：图中剩余部分的面积等于两个正方形的面积之差，即， 剩余部分通过割补拼成的长方形的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 7.若的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为（   ） A．3 B．5 C．8 D．15 【答案】D 【详解】解：∵， 又∵展开式中不含x的一次项， ∴， ∴， ∴实数m的值为15． 8.边长分别为和的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：阴影部分的面积是： ， ， ， 9.如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：长为，宽为的大长方形， ∴大长方形的面积为， ∵类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为， ∴需要类卡片张数为， 10.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律， 即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（   ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】B 【详解】解：展开式的各项系数为1，展开式的系数和是1 展开式的各项系数分别为1，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，2，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，3，3，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1；展开式的系数和是； …… ∴展开式的系数和是． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.计算：=______． 【答案】 【详解】解：， 12.已知，则 ． 【答案】200 【详解】解：∵， ∴ ， 13.计算：__________． 【答案】 【详解】解： ， 14.若，，则 (填“”“”或“”)． 【答案】 【详解】 解：， ， ∴， 15.已知，，则的值为 ． 【答案】16 【详解】解：，， ， 16.有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和35，则图乙的面积为 ． 【答案】75 【详解】解：设正方形和的边长分别为和， 所以图甲阴影部分面积为：，即， 图乙阴影部分面积为：，即， 所以， 所以图乙的面积为：． 三、解答题：本题共7小题，其中17题每题8分，18-21每题10分，22-23题12分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2） 18.先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【详解】解： ， 当，时，原式． 19.若（x2+px）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项， （1）求p、q的值； （2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值． 【答案】（1）p＝3，q，（2）35 【解答】解：（1）（x2+px）（x2﹣3x+q）＝+（p﹣3）x3+（q﹣3p）x2+（qp+1）xq， ∵积中不含x项与x3项， ∴p﹣3＝0，qp+1＝0 ∴p＝3，q， （2）（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014 ＝[﹣2×32×（）]2（）2 ＝36 ＝35． 20.（1）如图1，阴影部分的面积是 ．（写成平方差的形式） （2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是 ．（写成多项式相乘的积形式） （3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式： 　 ． （4）应用公式计算：（1）（1）（1）（1）…（1）（1）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图（1）所示，阴影部分的面积是a2﹣b2， 故答案为：a2﹣b2； （2）根据题意知该长方形的长为a+b、宽为a﹣b， 则其面积为（a+b）（a﹣b）， 故答案为：（a+b）（a﹣b）； （3）由阴影部分面积相等知（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2， 故答案为：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2； （4）（1）（1）（1）（1）…（1）（1） ＝（1）（1）（1）（1）…（1）（1） ． 21.【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②： 图1对应公式_________；图2对应公式_________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ 已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【答案】（1）②，①；（2）；（3） 【详解】（1）解：图1对应公式是；图2对应公式是， 故答案为：②；①； （2）， ， ， ． （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则根据题意，得， ， ， ． 22.配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 【答案】（1）①；②，理由见解析； （2）当时，有最小值，最小值为1． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 23 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 【答案】(1)8 (2)22 (3)13 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：． （2）解：根据题意可得： 图中阴影部分的面积． 根据题意，得， 即， ∵， ， 即． ∴图中阴影部分的面积． （3）解：令， 则， ∵， ∴， 则， 故答案为：13． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 整式的乘法与除法 单元检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1. 下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 2.新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，但它在病毒家族里却算是大个子，某新型冠状病毒的直径是0.00075m，将数字0.00075m用科学记数法表示为（　　） 3.已知，则的值为（   ） 4.计算的结果为（   ） A． B． C．1.5 D． 5.已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6.如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 7.若的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为（   ） A．3 B．5 C．8 D．15 8.边长分别为和的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 9.如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 10.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律， 即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（   ） A．32 B．64 C．128 D．256 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.计算：=______． 12.已知，则 ． 13.计算：__________． 14.若，，则 (填“”“”或“”)． 15.已知，，则的值为 ． 16.有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和35，则图乙的面积为 ． 三、解答题：本题共7小题，其中17题每题8分，18-21每题10分，22-23题12分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.化简(1)； (2)． 18.先化简，再求值：，其中，． 19.若（x2+px）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项， （1）求p、q的值； （2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值． 20.（1）如图1，阴影部分的面积是 ．（写成平方差的形式） （2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是 ．（写成多项式相乘的积形式） （3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式： 　 ． （4）应用公式计算：（1）（1）（1）（1）…（1）（1）． 21.【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②： 图1对应公式_________；图2对应公式_________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ 已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 22.配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 23 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $