专题03勾股定理实际应用专项训练(12大题型+题型突破) 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题03勾股定理实际应用专项训练 题型01.求旗杆高度(高频) 题型02.解决航海问题(高频) 题型03.求河宽问题(高频) 题型04.解决水杯中筷子问题(高频) 题型05.小鸟飞行距离问题(高频) 题型06.梯子滑落高度计算(高频) 题型07.求大树折断前的高度问题(低频) 题型08 求台阶地毯长度问题(低频) 题型09.汽车超速判断问题(低频) 题型10.求最短路径问题(高频) 题型11.台风影响判断(选练) 题型12.等距选址计算(选练) 应用分类 具体场景 核心等量关系（公式） 长度 距离 类 梯子滑落高度 梯子长（c）² =墙高(a)² +梯底距墙距离(b)²（梯子为斜边） 小鸟飞行距离 飞行距离（c）²= 水平距离（a）² +垂直距离（b）² 河宽 河宽（a）²=对岸连线长（c）² -河岸横向距离（b）² 台阶地毯长度 地毯长（c）²= 台阶水平总长（a）² +台阶垂直总高（b）² 立体最短路径（展开） 最短路径（c）²=展开后水平边长（a）²+展开后竖直边长（b）² 高度 类 旗杆高度 旗杆高（a）² = 绳子长（c）² - 绳端距旗杆底距离（b）² 大树折断前高度 1.折断部分长（c）² =树桩高（a）² +折端距树根距离（b）² 2.总高 = 树桩高 + 折断部分长 实际 生活 类 水杯中筷子长度 杯内筷子最长（c）² = 水杯底面直径（a）² + 水杯高度（b）² 航海距离（航向垂直） 两船距离(c)²=船 1 航行距离（a）² + 船 2 航行距离（b）² 汽车超速判断 1.行驶距离（c）² = 水平路段长（a）² + 垂直路段长（b）² 2.速度 = 距离 ÷ 时间（与限速比较） 台风影响判断 观测点到台风路径的垂直距离（a） ≤ 台风影响半径（c）→ 受影响；反之不受影响 题型01.求旗杆高度(高频) 1．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（    ） A．13m B．12m C．10m D．8m 2．如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有二尺（绳索比木柱长2尺），牵着绳索退行，在距木柱底部6尺（）处时绳索用尽，则木柱长为__________尺． 3．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为______m． 4．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 5．八年级“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米；②某队员手抓绳子的一端，将绳子拉直时，测得绳子端点到地面 的距离为1米(即米)，到旗杆的距离为9米(如图)， 于点．根据以上信息，求旗杆的高度． 题型02.解决航海问题(高频) 6．如图，一轮船以6海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距________海里． 7．海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（   ） A．16海里小时 B．20海里小时 C．32海里小时 D．34海里小时 8．在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度． 9．某海域有一小岛，在以为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在处测得小岛位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达处，此时观测小岛位于处北偏东方向上． (1)若过点作于点，则___________； (2)求的距离； (3)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． 题型03.求河宽问题(高频) 10．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是________． 11．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 12．某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 13．勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 题型04.解决水杯中筷子问题(高频) 14．《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为______． 15．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，铅笔的长度是，笔筒的内部底面直径是，内壁高，这只铅笔露在笔筒外部的长度为，则h的最小值是（    ） A． B． C． D． 16．我国古代数学著作《九章算术》中记载着名为“池葭（jiā）出水”的一道趣题：有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺．将芦苇拽至池边中点处，它的末端刚好与水面相齐，那么水有多深？芦苇有多长？求解此题．（注：“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用．1丈尺，1米尺） 17．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为多少尺？ 题型05.小鸟飞行距离问题(高频) 18．如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞________． 19．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 20．如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 21．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 题型06.梯子滑落高度计算(高频) 22．如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 23．如图，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙角的距离为7米．如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑动后停在的位置上（云梯长度不变），测得长为8米，那么云梯的顶部下滑到，则___________． 24．如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为米，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 25．如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行，墙面与地面垂直），木杆、木杆按图中位置摆放，若点A到地面的距离为，木杆比凳宽长，求木杆的长度． 题型07.求大树折断前的高度问题(低频) 26．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部尺远．问：原处还有多高的竹子？（丈尺）设竹子折断处离地面尺．可列方程______． 27．如图，山坡上的①号树从点A处被折断，其树顶端恰好落在②号树的根部C处．已知地面，②号树也与地面垂直，若，这两棵树之间的水平距离为，则①号树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 28．如图，一棵高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点的D处竖起一架梯子，请问这架梯子有多长？ 29．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 题型08 求台阶地毯长度问题(低频) 30．如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 31．如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（    ） A． B．3 C． D． 32．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      33．如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 题型09.汽车超速判断问题(低频) 34．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 35．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 36．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    37．行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 题型10.求最短路径问题(低频) 38．如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是______． 39．如图，有一个圆柱，它的高为12，底面周长为18，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，需要爬行的最短路程是（    ） A．10 B．14 C．15 D．16 40．如图，底面周长为12，高为8的圆柱体，在圆柱下底面A有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的食物B，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是____________ 41．某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是多少？（取3） 42．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． (1)则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； (2)当点C在上运动时，求的最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； (4)仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 题型11.台风影响判断(选练) 43．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 44．如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为_____s． 45．如图，市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动，距台风中心千米范围内是受台风影响的区域． (1)市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； (2)如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 46．如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是． (1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？ (2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？ 题型12.等距选址计算(选练) 47．如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 48．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A____________千米． 49．如图，公路上A，B 两站相距8千米，C，D为两村庄， 垂足分别为点A，B．已知长3 千米， 长5千米，现要在公路 上建一个日用品大卖场E，使得C，D两村到大卖场E 的距离相等，那么大卖场E应建在距A站多远处? 50．如图，攀枝花市某地一条公路旁有两个居民点C、D，它们各自到公路的垂直距离、分别为、，公路上的A、B两地相距，现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等． (1)试在图上用尺规作图确定医院E的建造位置（提示：不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔圆规直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘） (2)求出该医院离A地的距离．（提示：若第（1）问未完成，可画简图完成此问） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03勾股定理实际应用专项训练 题型01.求旗杆高度(高频) 题型02.解决航海问题(高频) 题型03.求河宽问题(高频) 题型04.解决水杯中筷子问题(高频) 题型05.小鸟飞行距离问题(高频) 题型06.梯子滑落高度计算(高频) 题型07.求大树折断前的高度问题(低频) 题型08 求台阶地毯长度问题(低频) 题型09.汽车超速判断问题(低频) 题型10.求最短路径问题(高频) 题型11.台风影响判断(选练) 题型12.等距选址计算(选练) 应用分类 具体场景 核心等量关系（公式） 长度 距离 类 梯子滑落高度 梯子长（c）² =墙高(a)² +梯底距墙距离(b)²（梯子为斜边） 小鸟飞行距离 飞行距离（c）²= 水平距离（a）² +垂直距离（b）² 河宽 河宽（a）²=对岸连线长（c）² -河岸横向距离（b）² 台阶地毯长度 地毯长（c）²= 台阶水平总长（a）² +台阶垂直总高（b）² 立体最短路径（展开） 最短路径（c）²=展开后水平边长（a）²+展开后竖直边长（b）² 高度 类 旗杆高度 旗杆高（a）² = 绳子长（c）² - 绳端距旗杆底距离（b）² 大树折断前高度 1.折断部分长（c）² =树桩高（a）² +折端距树根距离（b）² 2.总高 = 树桩高 + 折断部分长 实际 生活 类 水杯中筷子长度 杯内筷子最长（c）² = 水杯底面直径（a）² + 水杯高度（b）² 航海距离（航向垂直） 两船距离(c)²=船 1 航行距离（a）² + 船 2 航行距离（b）² 汽车超速判断 1.行驶距离（c）² = 水平路段长（a）² + 垂直路段长（b）² 2.速度 = 距离 ÷ 时间（与限速比较） 台风影响判断 观测点到台风路径的垂直距离（a） ≤ 台风影响半径（c）→ 受影响；反之不受影响 题型01.求旗杆高度(高频) 1．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（    ） A．13m B．12m C．10m D．8m 【答案】B 【分析】根据题意，设旗杆的高为x m ，则绳子AC的长为m ，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出图形，m，如下图： 设旗杆的高为：x m ，则绳子的长为m ， 在 中，由勾股定理得： ， 即 解得： ， 即旗杆的高为m． 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，能够正确根据题意画出图形，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键． 2．如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有二尺（绳索比木柱长2尺），牵着绳索退行，在距木柱底部6尺（）处时绳索用尽，则木柱长为__________尺． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设木柱长为x尺，根据题意得： ， 则， 解得：， 答：木柱长为尺． 故答案为：． 3．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为______m． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由①得，绳子的长度比旗杆的高度多，设旗杆的高度为，则绳子的长度为，在中，由勾股定理得，列出方程，并解方程即可得到答案． 【详解】解：由①得，绳子的长度比旗杆的高度多， 设旗杆的高度为，则绳子的长度为， 在中，，， 由勾股定理得：，则， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为， 故答案为：． 4．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)8米 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 5．八年级“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米；②某队员手抓绳子的一端，将绳子拉直时，测得绳子端点到地面 的距离为1米(即米)，到旗杆的距离为9米(如图)， 于点．根据以上信息，求旗杆的高度． 【答案】13米 【分析】设米，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设米，根据题意得： 在中，， 即， 解得：， 答：旗杆的高度为13米． 题型02.解决航海问题(高频) 6．如图，一轮船以6海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距________海里． 【答案】20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方位角，由题意得出海里，海里，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，设一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行到，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行到， 由题意得：(海里)，(海里)，， (海里)， 离开港口2小时后，则两船相距海里. 7．海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（   ） A．16海里小时 B．20海里小时 C．32海里小时 D．34海里小时 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线的性质，正确理解题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意知，，， ， ， ， 根据题意，（海里），（海里）， （海里）， 我军巡逻舰队的航行速度为（海里小时）． 故选：D． 8．在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度． 【答案】该船的航行速度为海里时 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得海里，海里，然后根据勾股定理可得海里，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得，海里，海里， 在中，海里， 航行了小时， 船航行的速度海里时． 答：该船的航行速度为海里时． 9．某海域有一小岛，在以为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在处测得小岛位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达处，此时观测小岛位于处北偏东方向上． (1)若过点作于点，则___________； (2)求的距离； (3)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． 【答案】(1) (2)80海里 (3)海监船由B处继续向东航行有触礁危险． 【分析】（1）设，则，，据此求解即可； （2）设海里，根据等腰直角三角形的性质用x表示出，再用x表示出，根据题意列出方程，解方程求出x，进而求出； （3）比较与半径的大小，得到答案． 【详解】（1）解：如图，在中，， 设，则，， ∴； （2）解：在中，， 设海里，则海里，海里， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴海里， ∵海里， ∴， 解得， ∴海里， ∴的距离为80海里； （3）解：海监船由B处继续向东航行有触礁危险， 理由如下：∵， ∵， ∴海监船由B处继续向东航行有触礁危险． 题型03.求河宽问题(高频) 10．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是________． 【答案】480 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据勾股定理求出即可． 【详解】解：， 即该河处的宽度是； 故答案为：480． 11．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 12．某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 【答案】(1)见解析 (2)60米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：由题意知，，，， 在中，由勾股定理得 答：该河流的宽度为60米． 13．勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)可以安全通过，见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键． （1）根据面积公式计算，可证出勾股定理； （2）过点作交桥洞于点，连接，结合勾股定理求出的长度，计算其与水面的高度，进行比较即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴, ∴， ∴． （2）解：取中点，由题知：， 过点作交桥洞于点，连接，如下图所示： ∴， ∴在中，， ∴， ∴可以安全通过． 题型04.解决水杯中筷子问题(高频) 14．《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．先表示出门高和门宽，再根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：根据题意可知，门高为尺，门宽为尺， 由勾股定理，得． 故答案为：． 15．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，铅笔的长度是，笔筒的内部底面直径是，内壁高，这只铅笔露在笔筒外部的长度为，则h的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当铅笔在笔筒内最大程度倾斜时，h取最小值，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，当铅笔在笔筒内最大程度倾斜时，h取最小值， 由题意知，， ， 即h的最小值是． 16．我国古代数学著作《九章算术》中记载着名为“池葭（jiā）出水”的一道趣题：有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺．将芦苇拽至池边中点处，它的末端刚好与水面相齐，那么水有多深？芦苇有多长？求解此题．（注：“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用．1丈尺，1米尺） 【答案】水池深12尺，芦苇长13尺 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；找到题中的直角三角形，设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理可得，进而求解即可． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，由题意得： ， 解得：， ∴芦苇的长度为（尺）， 答：水池深12尺，芦苇长13尺． 17．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为多少尺？ 【答案】这根芦苇长为尺． 【分析】设芦苇的长度为尺，则水深为尺，根据题意，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于的方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，设芦苇的长度为尺，则水深为尺， 芦苇长在水池中央， 尺， 根据勾股定理，得：， ，解得：， 答：这根芦苇长为尺． 题型05.小鸟飞行距离问题(高频) 18．如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞________． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴． 即喜鹊至少要飞． 故答案为：13 19．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示：    由题意可知，， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， 它要飞回巢中所需的时间至少是（）， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键． 20．如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于，连接，由题意得：，，，求出，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，连接， 由题意得：，，， ， ． 即：无人机飞行的最短距离为． 21．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)米 (2)小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 题型06.梯子滑落高度计算(高频) 22．如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可． 【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为： ， 梯子的顶端下滑后，顶端距离墙角的距离： ， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为： ， 梯子的底端滑动的距离为： ． 故选：C． 23．如图，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙角的距离为7米．如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑动后停在的位置上（云梯长度不变），测得长为8米，那么云梯的顶部下滑到，则___________． 【答案】4米/ 【分析】由题意可得米，米，，米，利用勾股定理可求得，，根据求解． 【详解】解：由题意得，米，米，，米， ∴（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）． 24．如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为米，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】米 【分析】在中根据勾股定理求出的长度，从而得出的长度，然后根据和勾股定理求出的长度，从而得出答案． 【详解】解：∵是直角三角形，，米，米， ∴（米）， ∵米， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 故梯子的底端在水平方向滑动了0.8米． 25．如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行，墙面与地面垂直），木杆、木杆按图中位置摆放，若点A到地面的距离为，木杆比凳宽长，求木杆的长度． 【答案】 【分析】延长交于点，设，则，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：延长交于点， 根据题意，得，， 设，则， 由勾股定理得，则， 解得， ∴，． 答：木杆的长度为． 题型07.求大树折断前的高度问题(低频) 26．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部尺远．问：原处还有多高的竹子？（丈尺）设竹子折断处离地面尺．可列方程______． 【答案】 【分析】设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． 27．如图，山坡上的①号树从点A处被折断，其树顶端恰好落在②号树的根部C处．已知地面，②号树也与地面垂直，若，这两棵树之间的水平距离为，则①号树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长，过点C作延长线于点D，利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】如图所示，过点C作交延长线于点D，则， 由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 则①号树折断前的高度是． 28．如图，一棵高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点的D处竖起一架梯子，请问这架梯子有多长？ 【答案】这架梯子的长为 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设的长为，则，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：设的长为，则． 根据题意，得， 即， 解得． ∴的长为． 在中，， 由勾股定理，得． 答：这架梯子的长为． 29．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1) (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设长为，则长，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （2）由题意可得，则．利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴； 答：旗杆距地面处折断． （2）解：如图， 由题意可得， ∴． 在中，， ∵， ∴， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 题型08 求台阶地毯长度问题(低频) 30．如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 【答案】5 【分析】根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是，再利用勾股定理求解即可； 【详解】解：如图所示，地毯的总长度为， 根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是， 故， 故， . 根据勾股定理，得； 31．如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， 因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2， 所以AC2=DC2+AD2=20， 所以AC=， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键． 32．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出每一级石阶的斜边长，再乘以200即可求出护栏的长度． 【详解】解：根据勾股定理，每一级石阶的斜边长为， ． 答：护栏的长度为． 33．如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 【答案】米 【分析】考查了勾股定理的应用，根据图形可得，地毯的长度等于，利用勾股定理求出的长，即可求解，理解地毯的长度等于是解题的关键． 【详解】解：如图，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， 答：地毯的长度至少需要米． 题型09.汽车超速判断问题(低频) 34．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 【答案】/8米 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 35．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 【答案】 80 12 【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可． 【详解】解：作于， ，m， m， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m． 如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，m， m， 重型运输卡车的速度为36千米时米秒， 重型运输卡车经过的时间（秒， 故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． 故答案为：80，12． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 36．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 37．行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【答案】未超速，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，，则，可求出，继而求出．可得此车的速度为，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ． 此车的速度为． ，， 此车未超速． 题型10.求最短路径问题(低频) 38．如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是______． 【答案】 【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短． 【详解】解：将台阶展开成平面图形： 在中，，， ， 其爬行的最短长度， 故答案为：． 39．如图，有一个圆柱，它的高为12，底面周长为18，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，需要爬行的最短路程是（    ） A．10 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】画出圆柱侧面展开图，根据“两点之间，线段最短”，线段长度即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程，求出的长，根据勾股定理即可求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，长方形为圆柱的侧面展开图，B为边中点，根据“两点之间，线段最短”可知，线段的长度即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程． 由题意得， 在中，根据勾股定理得， ∴需要爬行的最短路程是15． 40．如图，底面周长为12，高为8的圆柱体，在圆柱下底面A有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的食物B，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是____________ 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解圆柱体侧面展开图是矩形，空间问题平面化是解题的关键． 将圆柱体沿着直线剪开，得到矩形，则的长度为所求的最短距离，由题意根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图，将圆柱体沿着直线剪开，得到矩形， 则的长度为所求的最短距离， 根据题意圆柱的高为8，底面周长为12， ∴，， 根据勾股定理得：， ∴蚂蚁要吃到食物，沿圆柱侧面爬行的最短距离是10． 故答案为：10． 41．某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是多少？（取3） 【答案】20米 【分析】根据圆柱展开图，两点之间线段最短，勾股定理求解即可； 【详解】解：将“圆柱形储罐”展开为如图所示，由题意可知， ∵圆柱底面半径为米，取3， ∴底面圆的周长的一半米． ∵圆柱的高为12米， 米． 在中，由勾股定理得，米． 故答案为：20米． 42．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． (1)则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； (2)当点C在上运动时，求的最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； (4)仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确运用数形结合的思想． （1）对运用勾股定理求解； （2）当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，过点作交的延长线于点，然后对运用勾股定理求解; （3）可作，过点作，过点作，使，，当点共线时，则的长即为代数式的最小值，然后构造，根据勾股定理即可求得的值； （4）构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， 则，，过点作于点，则同上可得，则，那么由勾股定理得，，，，由，得当点共线时，的长即为代数式的最大值，即可求解． 【详解】（1）解：，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：；； （2）解：当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，如图： 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，作线段，C为线段上一动点，过点作，过点作，使，， 设，则， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴当点共线时，取得最小值即，即为的长， 过点作交的延长线于点， 则同上可得，，， ， 即的最小值为13． （4）解：如图，构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， ∴，， 过点作于点，则同上可得， ∴， ∴由勾股定理得，，，， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∴ ∴当点共线时，的长即为代数式的最大值， ∴的最大值为． 题型11.台风影响判断(选练) 43．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【答案】70 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 44．如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为_____s． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的应用及等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，画出示意图，另外要求掌握时间路程速度．设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束，在中求出，继而得出，再由卡车的速度可得出所需时间． 【详解】解：设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束了噪声的影响． 则有， 在中，， ， 则该校受影响的时间为：． 该学校受影响的时间为24秒． 故答案为：24 45．如图，市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动，距台风中心千米范围内是受台风影响的区域． (1)市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； (2)如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)市会受到台风的影响 (2)小时 【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题关键是掌握勾股定理，含角的直角三角形的性质． （1）是否会受到影响，需要求得点A到台风所走路线的最短距离，根据垂线段最短，即作于C，再根据直角三角形的性质进行计算比较； （2）需要计算出受影响的总路程，再根据时间=路程÷速度进行计算． 【详解】（1）解：过A作于C， ∵台风向北偏西的方向移动， ∴， ∵市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处， ∴， ∴市会受到台风的影响； （2）过A作，交于点D，E， ， ∵，A市气象站测得台风中心在A市正东方向千米的B处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动， ∴受台风影响的路程为， ∴该市受台风影响的时间为：（小时）， ∴如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间为小时． 46．如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是． (1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？ (2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？ 【答案】(1)如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区 (2) 【分析】本题考查行程问题，方向角； （1）求出当台风中心移动到距时，轮船是否通过点即可判断； （2）分别确定轮船停止和重新开始移动时台风中心的位置，根据台风中心移动的时间就是停止时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 方法一： 设小时后，当台风中心在点时，轮船在点，此时，则，， ∵， ∴， 整理得， 解得， 当时，，此时轮船还没有经过， ∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区； 方法二：当台风中心移动到距时，移动时间小时， 此时轮船航行距离，即还没有通过点，如果不改变航向，后续必定会进入台风影响区， ∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区； （2）解：如图，取点、，使， 当轮船运动到警戒线的点时，此时台风中心移动到点处，运动时间，此时； 轮船从点运动到点用时（小时）， 设台风中心小时从移动到，则， ∴当轮船重新开始移动到点时，此时台风中心距离刚好，此后都不再受台风影响， ∴在轮船停止航行时间段，台风从移动到点，， ∴轮船停止航行时间为（小时）， ∴设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，它至少需要停止航行小时． 题型12.等距选址计算(选练) 47．如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 【答案】B 【分析】设，则，再根据勾股定理分别可得，然后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，设，则， ， ， 、两社区到站的距离相等， ， ，即， 解得， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 48．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A____________千米． 【答案】10 【分析】根据使得B，C两村到P站的距离相等，需要证明，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设千米，则千米， ∵B、C两村到P站的距离相等， ∴． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为10． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理解答是解决问题的关键． 49．如图，公路上A，B 两站相距8千米，C，D为两村庄， 垂足分别为点A，B．已知长3 千米， 长5千米，现要在公路 上建一个日用品大卖场E，使得C，D两村到大卖场E 的距离相等，那么大卖场E应建在距A站多远处? 【答案】大卖场E应建在离A站千米处 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是关键．设千米，则千米，在和中，利用勾股定理可用x表示出和；接下来根据列方程求出x的值即可． 【详解】解：设千米，则千米， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 因为，所以，解得， 所以大卖场E应建在离A站千米处． 50．如图，攀枝花市某地一条公路旁有两个居民点C、D，它们各自到公路的垂直距离、分别为、，公路上的A、B两地相距，现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等． (1)试在图上用尺规作图确定医院E的建造位置（提示：不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔圆规直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘） (2)求出该医院离A地的距离．（提示：若第（1）问未完成，可画简图完成此问） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了应用设计与作图，勾股定理的应用，利用列出方程是解题的关键． （1）作的垂直平分线与交于点，则点即为所作； （2）连接，设，用勾股定理表示出，利用列出方程求值即可． 【详解】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，交于E，则点E就是医院的建造位置，如图所示： （2）解：连接，设，则. ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 解得， 答：该医院离A地的距离 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $