专题01 三角形的证明及应用相关折叠最值综合动点问题（4种类型32道）（高效培优期中专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01三角形的证明及应用相关折叠最值综合动点问题 考点归纳 考点01折叠问题 考点02最值问题 考点3综合问题 考点04动点问题 考点专练 考点01折叠问题 1.如图，将三角形纸片ABC沿DE所在直线折叠（点D在AC上，点E在AB上），点A落在ABC外的 点处，且A'D∥BC,若∠A=34°，∠B=62°，则∠ADE的度数为() A.42° B.34° C.62° D.31° 2.如图，在ABC中，AB=AC,LBAC=120°，BC=9,E是BC上的一点，连接AE,将△ACE沿AE 折叠使得C点的对应点D落在BC边的下方，得到ADE,当AD⊥BC时，EC=() A.6 B.2 C.4 D.3 3.如图，ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB=AC,EC=12,现将ABC折叠，使点B与点A重 合，折痕为DE,则DE的长为() --- 22----- A.2 B.4 C.6 D.3 1/9 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.如图，在ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，将△BDC沿CD折叠，使点B落在边AC上的点B 处，若∠A=32°，则∠CBD的度数是() B B A.64° B.58° C.459 D.32° 5.如图，把ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若∠A=40°，则∠1+∠2等于() A D B A A.40° B.60° C.80° D.90° 6.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得∠1=70°，∠2=132 ,则∠A为() A.20° B.22° C.30° D.52° 7.如图，长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内的点C处，BC'与AD交于点E. AD=8,AB=4,则DE=() E B C A.3 B.4 C.4.5 D.5 8.如图，在ABC中，∠A=80°，∠B=40°，F为线段BC的中点，点E在AB边上，连接EF,沿EF将 △BEF折叠，使点B的对应点D落在AC上，则LCDE的度数是() 2/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B2-- A.100° B.110° C.120° D.150° 考点02最值问题 9.如图，己知在等边ABC中，AD1BC,AD=83,若点P在线段AD上运动，当AP+BP有最小 2 值时，最小值为（) A.4V5 B.8V3 C.10 D.12 10.如图，在等边△ABC中，BC边上的高AD=6,E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运 动的过程中，EB+EF存在最小值，则这个最小值是() E B D A.5 B.6 C.7 D.8 11.如图，在△ABC中，AB=6,AC=I0,EF垂直平分BC,P为直线EF上任意一点，则AP+BP的最 小值是() A.6 B.10 C.8 D.7 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12.如图，1是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，E是1上任意一点，且AC=5,BC=8,AB=6, 则△AEC的周长的最小值为() B A.6 B.8 C.11 D.13 13.如图，ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,AB=5.点P,Q分别为AB,AC上的两个动点， 则PQ+BQ的最小值是() B A.5 B.4 C.4.8 D.3.6 14.如图，在等边三角形ABC中，CD是中线，点M,N分别在AC,AB上，且AN=DN=CM=3,动点 E在CD上，则NE+ME的最小值为() M B A.9 B.9.5 C.35 D.6 15.如图，在ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,E是AB上一动点，若BC=5,△BCD的面积为5， 则DE的最小值为() E B A.1 B.2 C.2.5 D.3 16.如图，ABC是等边三角形，D、M分别是AB、BC中点，连接AM且AM=6,在AM上找一点P, 则PB+PD的最小值为(). 4/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B M A.3 B.4 C.5 D.6 考点03综合问题 17.如图，已知AF=AB,∠FAB=60°，AE=AC,∠EAC=60°，CF和BE交于O点，下列结论：① CF=BE;②LC0B=120°；③OA平分∠BAC;④0F=OA+0B.其中正确的有()个. C A.1 B.2 C.3 D.4 18.如图，ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E,连接CD, 分别交AE、AB于点F、G,过点A作AH⊥CD交BD于点H,则下列结论：①∠ADC=I5°；②aAFG是等 腰三角形；③△ADF≌△BAH;④∠CGB=75°.其中正确的有() D A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 19.已知：如图，BD为ABC的角平分线，且BD=BC,E为BD延长线上的一点，BE=BA,过E作 EF⊥AB,F为垂足，下列结论：①AABD≌△EBC;②LBCE+∠BCD=I80°；③AD=EF=EC; ④BA+BC=2BF,其中正确的结论有()个 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.3 C.2 D.1 20.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以BC为腰向Rt△ABC外部作等腰△BCD,BC=DC, ∠BCD=∠BCA，,DE⊥BC于F,交AB于点E,连接CE.下列四个结论：①AB=FD;②DE平分∠BEC ;③LACE=∠BDE;④若AC∥BD,则△BCD为等边三角形.其中正确的个数有() D E B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 21.如图，在Rt△ABD和Rt△CBD中，LBAD=LBCD=90°，AB=AD,E,F分别是BC,CD上的点， AE,AF分别交BD于点G,H,∠EAF=45°.下列结论：①BG+DH2=GH2;②EF=BE+DF;③ AE平分∠BEF;④AC平分∠BCD.其中正确的结论有() H A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 22.如图，等边ABC中，D,E分别为AC、BC边上的点，AD=CE,连接AE、BD交于点F,LCBD 、∠AEC的平分线交于AC边上的点G,BG与AE交于点H,连接FG.下列说法：①△BAD≌△ACE; ②LBFG=120°；③AB=FG+AG;④LABG=∠BGF;⑤SAAGE:SABGC=DG:GC其中正确的说法有(). 6/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 23.如图，在ABC,∠ABC=45°，AD,BE分别为BC,AC边上的高，连接DE,过点D作DF⊥DE交 BE于点F,过点F作FG∥AC交BC于点G·下列结论：①AE=BF;②ED平分∠BEC;③ EF=FG+EC;④G为BD的中点.其中结论正确的个数是() B G A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 24.如图，在ABC中，AB=AC=8,∠BAC=90°，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，连接DE ,过点D作DF⊥DE交AC于点F,连接EF,下列结论：①aADE兰△CDF;②△DEF是等腰直角三角形： ③BE+CF=EF;④DE的最小值是4：⑤四边形AEDF的面积是定值.其中正确的个数有() M B D A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 考点04动点问题 25.如图1所示，在边长为6cm的等边ABC中，动点P以1cms的速度从点A出发，沿线段AB向点B运 动.设点P的运动时间为(s),t>0.当t=时，△PAC是直角三角形；如图2，若另一动点Q从点C 出发，沿线段CA向点A运动，且动点P,Q均以1cm/s的速度同时出发.那么当t=时，△PAQ是直角 三角形。 7/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图1 图2 26.如图，在ABC中，LA=90°，∠BCA=60°，AC=6cm,动点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运 动；动点E同时从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连 接DE,设运动时间为t秒(0<1<6).当aDEC为等边三角形时，t为秒. E 净D 27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,AB=10,动点D从点A出发，沿线段AB以每秒1个 单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F,连接AF,CD.设点D运动时间为t秒. 当△ABF是等腰三角形时，则t=秒. D 28.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC=8,动点D从点A出发，沿射线AC方向以每秒2 个单位长度的速度运动，连接BD,则当△ABD是等腰三角形时，运动时间为 S. B A CD 29.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,AB=10,动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个 单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F,连接AF,CD,设点D运动时间为t 8/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 秒.当△ABF是等腰三角形时，则t=秒 F 30.如图，在三角形ABC中，AB=BC=AC=8,点M从点A出发，沿折线A→B→C→A以每秒4个单 位长度的速度向终点A运动.点N从点B出发，沿折线B→C→A以每秒2个单位长度的速度运动， M,N两点同时出发，点M停止时，点N也随之停止.设点M运动的时间为t秒.当∠BMN=90°时，则t 的值为 M B→N 31.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60,BC=3Gm,CD=8C,若动点E以cm/s的速度 从A点出发，沿着A→B→A的方向运动的过程中，设E点的运动时间t秒(0<t<10),连接DE,当 BDE是直角三角形时，t的值为· E B D 32.如图，点E在等边ABC的边BC上，BE=4,射线CD⊥BC,垂足为点C,点P是射线CD上一动点， 点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=8,则AB的长为 D 9/9 专题01 三角形的证明及应用相关折叠最值综合动点问题 考点01 折叠问题 考点02最值问题 考点03综合问题 考点04动点问题 考点01 折叠问题 1．如图，将三角形纸片沿所在直线折叠（点D在上，点E在上），点A落在外的点处，且，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质、三角形内角和定理．根据三角形内角和定理，求出，根据平行线的性质证得，根据折叠的性质证得． 【详解】解：，， ， ， ， 将三角形纸片沿折叠，点A落在外的点处， ， 故选：A 2．如图，在中，，，，是上的一点，连接，将沿折叠使得点的对应点落在边的下方，得到，当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，根据等腰三角形的性质可知，，由勾股定理可得，由折叠的性质可知，，根据含角的直角三角形的性质，由勾股定理即可求出，再根据线段之间的关系即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示， 在中，，， ， ， ，， ，， 在中，， ， ， 由折叠可知，， ， 在中，， ， ， ． 故选：D． 3．如图，是一张顶角为的三角形纸片，，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和含有角的直角三角形的特征，可求得，，，，据此即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴． 根据图形折叠的性质可知，， ∴． ∴． ∴． 故选：D 4．如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B落在边上的点B′处，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，结合将沿折叠，使点B落在边上的点处，故得． 【详解】解：在中，， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在边上的点处， ∴． 故选：B． 5．如图，把沿折叠，使点落在点处，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据三角形的内角和定理，折叠的性质，推出的度数，再根据平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； 故选C 6．如图，将三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，测量得，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出的度数．利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理可得结果． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 7．如图，长方形沿直线折叠，使点C落在同一平面内的点C′处，与交于点E．，则（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的判定和性质，根据折叠得到，，平行线的性质，等角对等边，推出，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故选D． 8．如图，在中，，，为线段的中点，点在边上，连接，沿将折叠，使点的对应点落在上，则的度数是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质等知识，先用三角形的内角和求出，根据折叠的性质得到，，则由等边对等角求出，从而得解． 【详解】解：在中，∵，， ∴． ∵为的中点， ∴． 由折叠的性质可知，，， ∴，即为等腰三角形． 在中，∵， ∴． ∴． 故选：A． 考点02 最值问题 9．如图，已知在等边中，， ，若点P在线段上运动，当有最小值时，最小值为（   ） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、点到直线的距离垂线段最短等知识点，过作，根据等边三角形的性质得，有，那么，结合点到直线的距离垂线段最短，过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为，再次利用等边三角形的性质得到即可． 【详解】解：过作，如图， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点到直线的距离垂线段最短， ∴过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为的长， ∵是等边三角形，，，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：B． 10．如图，在等边中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，最短路径的计算方法，根据题意，点关于的对称点在的中点处，当点三点共线时，值最小，由此即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，点是的中点， ∴点关于的对称点在的中点处，如图所示，连接， ∴， ∴当点三点共线时，值最小， ∵等边中，边上的高， ∴， ∴，即，存在最小值为， 故选： B． 11．如图，在中，，，垂直平分，为直线上任意一点，则的最小值是(　　) A．6 B．10 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，连接，根据垂直平分线的性质，得出，当点，，在一条直线上时，有最小值，求出最小值即可． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ． 当点，，在一条直线上时，有最小值，且最小值． 故选：B． 12．如图，l是的边的垂直平分线，D为垂足，E是l上任意一点，且，则的周长的最小值为（    ） A．6 B．8 C．11 D．13 【答案】D 【分析】先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据三角形的周长公式求解． 【详解】解：如图，连接， 是的边的垂直平分线，为垂足， ， 的周长为：． 13．如图，中，，，，．点，分别为，上的两个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最短路径问题，垂线段最短，与三角形的高相关的计算． 延长至点，使得，连接，由线段垂直平分线的性质，可得，作于点，由垂线段最短，可得，连接，由的面积，可得，即可得的最小值． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴， 作于点，则， ∴当点P，Q，M三点共线时，且时，即点H和点P重合时，取得最小值，即的长度， 连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故选：C． 14．如图，在等边三角形中，是中线，点，分别在上，且，动点在上，则的最小值为（   ） A．9 B．9.5 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质与轴对称最短路径问题，利用轴对称将折线转化为直线段，结合等边三角形的性质求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，则． ∵ ∴． ∵在等边中，是中线， ∴， ∴，则， ∴，． ∵， ∴为等边三角形，． 根据轴对称性质，，则，当且仅当、、共线时取等号． 故的最小值为； 故选：A． 15．如图，在中，平分交于点D，E是上一动点，若，的面积为5，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据垂线段最短，得的最小值即为到的距离，再结合角平分线上的点到角的两边距离相等，得到的距离到的距离，又因为，的面积为5，故到的距离，即可作答． 【详解】解：∵E是上一动点， ∴的最小值即为到的距离， ∵平分交于点D， ∴到的距离到的距离， ∵，的面积为5， ∴到的距离 ∴到的距离， 即的最小值为2， 故选：B． 16．如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则的最小值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质、轴对称的最短路径问题，利用等边三角形的对称性构造对称点，将“折线和”转化为“直线段”是解题关键． 根据点、关于对称，可将转化为，结合“两点之间线段最短”求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ， 是的中点， ，， 点、关于对称， 如图，连接，交于点， 可知此时的值最小，最小值为的长度， 点是的中点， ， ． 故选：D． 考点03 综合问题 17．如图，已知，，，，和交于O点，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型――“手拉手”模型，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识点． 证即可判断；在上截取，证即可判断D；根据可推出平分，无法推出平分，即可判断C． 【详解】解：∵， ∴ 即： ∵，， ∴ ∴，故①正确，符合题意； 设和交于点， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确，符合题意； 在上截取，如图所示： ∵， ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∵，， ∴是等边三角形 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，故④正确，符合题意； ∵， ∴， ∴点到边的距离相等， ∴平分 没理由能证明平分，故③错误，不符合题意； ∴正确的有3个， 故选：C． 18．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接，分别交于点F、G，过点A作交于点H，则下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点的应用．①由等边三角形与等腰直角三角形知是等腰三角形且顶角，据此可判断；②求出和的度数，从而得出度数，据此可判断；③根据证明即可判断；④由即可判断． 【详解】解：∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴是等腰三角形，且顶角， ∴，故①正确； ∵，即， ∴， ∴，， ∴， ∴三个内角都不相等， ∴不是等腰三角形，故②错误； 由且知， 则， 在和中， ，，， ∴， ∴，故③正确； ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：B． 19．已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作为垂足，下列结论：①；②；③；，其中正确的结论有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据即可证明，据此可判断①；由等边对等角得到，由全等三角形的性质得到，由平角的定义可判断②；证明，得到，即可判断③；过作于点，由角平分线的性质得到，证明，得到，再证明，得到，据此可判断④． 【详解】解：①为的角平分线， ， 在和中， ， ，故①正确； ②， ， ， ， ，故②正确； ③为的角平分线， ， ∵，， ，， 又∵， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，故③错误； ④过作于点，    ∵为的角平分线，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故④正确． ∴正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键． 20．如图，在中，，以为腰向外部作等腰，，，于F，交AB于点E，连接CE．下列四个结论：①；②DE平分；③；④若，则为等边三角形．其中正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定，关键是通过全等三角形的对应角、对应边相等，结合角的关系推导结论，证明，可判断①；当平分时，证明，得到，则可证明，而为等边三角形，不一定成立，据此可判断②；证明，即可判断③；证明，即可判断④． 【详解】解：在和中， ，，， ， ，故①正确； 若平分，则， 在和中，， ， ， 又∵， ∴， ∴为等边三角形，不一定成立，故不一定平分．故②错误； ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴. ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形，故④正确． 综上可知，正确的结论为①③④，共有3个， 故选：B． 21．如图，在和中，，，，分别是，上的点，，分别交于点，，．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①将绕点逆时针旋转得对应三角形为，结合等腰三角形的性质及旋转的性质，由判定，由全等三角形的性质，即可判断；②将绕点顺时针旋转得对应三角形为，结合等腰三角形的性质及旋转的性质，由判定，由全等三角形的性质，即可判断； ③由全等三角形的性质得，即可判断；④过点作交于，作交于，结合等腰三角形的性质，由判定，由全等三角形的性质及角平分线的判定定理，即可判断． 【详解】解：①，， 将绕点逆时针旋转得对应三角形为， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， ， 故①正确； ②，， 将绕点顺时针旋转得对应三角形为， 由①同理可证：，（）， ， ， ， 故②正确； ③：由②得， ， 平分， 故③正确； ④过点作交于，作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， 平分， 故④正确； ①②③④都正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，角平分线的判定定理；能利用旋转的性质构建全等三角形是解题的关键． 22．如图，等边中，分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点与交于点，连接．下列说法：①；②；③；④；⑤其中正确的说法有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质，得到； 过点作于，于，于，根据角平分线的性质，得到是的角平分线，继而证明； 通过证明，得到，继而得到； 根据外角定理和等量代换，得到； 根据，得到，根据，得到． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴，故①正确， 如图，过点作于，于，于， ∵和是、的平分线， ∴，, ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∵，，， ∴，故④正确， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵在和中，边和边上是同一条从到的高， ∴， ∵， ∴，故⑤正确， 故选：． 23．如图，在，，分别为边上的高，连接，过点作交于点，过点作交于点．下列结论：①；②平分；③；④为的中点．其中结论正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．证明，即可证得，由此判断①；证明是等腰直角三角形，求得，由此判断②；延长交于点N，证明，由此判断③；无法判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴平分，故②正确； 延长交于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 无法证明G为的中点，故④不正确； 故选：B． 24．如图，在中，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①由题意得是等腰直角三角形，由三线合一可得，平分，从而可证，，结合，利用同角的余角相等可证，通过可证； ②根据全等三角形的性质得，结合可证是等腰直角三角形； ③根据全等三角形的性质得，结合可证，则，利用三角形三边关系即可判断； ④是等腰直角三角形，直角边长取最小值时，取最小值，则当时，的值最小，此时，也是等腰直角三角形，则； ⑤根据全等三角形的性质得，则四边形的面积可转化为的面积，可证四边形的面积是定值． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵点是的中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形； 故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴； 故③错误； 如图，当时，的值最小， 由①是等腰直角三角形， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴； 故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴四边形的面积是16，为定值； 故⑤正确，即正确的有4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，三角形的面积和三边关系等，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明是解题的关键． 考点04 动点问题 25．如图1所示，在边长为的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动．设点P的运动时间为，．当___ 时，是直角三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．那么当___时，是直角三角形． 【答案】 或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，过点C作于点D，根据等边三角形性质得，，，由此得当点P与点D重合时，是直角三角形，此时点P运动的路程为，由此可得点P的运动时间t；依题意得，，则，根据得当是直角三角形时，有以下两种情况：①当时，在中，根据得，则，由此解得；②当时，在中，根据得，则，由此解得，综上所述即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：过点C作于点D，如图1所示： ∵是等边三角形，且边长为， ∴，， ∵点P在边上运动， ∴ ∴当是直角三角形时，只能是； ∵于点D， ∴，， ∴当点P与点D重合时，是直角三角形， 此时点P运动的路程为：， 又∵点P运动的速度为， ∴此时点P运动的时间； ∵动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动， ∴， 又∵动点Q从点C出发，以的速度沿线段向点A运动， ∴， ∴， ∵， ∴当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图2所示： 在中，， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图3所示： 在中，， ∵， ∴， 解得：， 综上所述：当或时，是直角三角形． 故答案为：；或． 26．如图，在中，，，，动点从点出发以的速度向点运动；动点同时从点出发以的速度向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接，设运动时间为秒（）．当为等边三角形时，为________秒． 【答案】2 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质．根据等边三角形的性质列出方程求出的值． 【详解】解：根据题意可得，，， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：2． 27．如图，在△中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度向运动，过点作交所在的直线于点，连接，．设点运动时间为秒．当△是等腰三角形时，则______秒． 【答案】5或或4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 由勾股定理求出，再分三种情况讨论如下：①当时，根据得，由此得点运动时间为秒；②时，根据得，则，由三角形的面积公式得，进而在△中，由勾股定理得，由此得点运动时间为秒；③当时，则，在△中，由勾股定理得，再由三角形面积公式得，进而在△中，由勾股定理得，由此得点运动时间为秒，综上所述即可得出答案． 【详解】解：在△中，，，， 由勾股定理得：， 当△是等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图， 交所在的直线于点， ， 此时点运动时间为（秒； ②时，如图， ， ， ， ， 由三角形的面积公式得：， ， 在△中，由勾股定理得：， 此时点运动时间为（秒； ③当时，如图， ， ， 在△中，由勾股定理得：， 交所在的直线于点，， 由三角形面积公式得：， ， 在△中，由勾股定理得：， 此时点运动时间为（秒， 综上所述：当△是等腰三角形时，点运动时间为为5秒或秒或4秒． 故答案为：5或或4． 28．如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿射线AC方向以每秒2个单位长度的速度运动，连接BD，则当是等腰三角形时，运动时间为________s． 【答案】5，6或 【分析】本题需要先利用勾股定理求出的长度，然后分三种情况讨论为等腰三角形时的运动时间，分别是． 【详解】在中，， 根据勾股定理， 设运动时间为秒，则， ①当时：， 解得； ②当时： ， ， 则，即， 解得； ③当时：， 在中，根据勾股定理， 即， 展开得， 移项化简得， 解得． 综上所述：则当是等腰三角形时，运动时间为，或s． 故答案为：，或． 【点睛】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，掌握分情况讨论，结合勾股定理求解运动时间是解题的关键． 29．如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿线段以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作交所在的直线于点F，连接，．设点D运动时间为t秒．当是等腰三角形时，则_______秒． 【答案】或或2 【分析】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：． 当时，， ∴， ∴； 当时，， 则， ∴，即， 解得：， 由勾股定理得：， ∴； 当时， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，是等腰三角形时，t的值为或或2． 故答案为：或或2． 30．如图，在三角形中，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动．点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．两点同时出发，点停止时，点也随之停止．设点运动的时间为秒．当时，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，分点在边上，点在边 上，和点都在边上， 两种情况解答即可求解，应用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当点在边上，点在边 上时，，如图， ∵， ∴为等边三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点都在边上时， ，如图， 同理可得， ∴， ∴， 解得； ∴或， 故答案为：或． 31．如图，中，，，，，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动的过程中，设点的运动时间秒（），连接，当是直角三角形时，的值为_____． 【答案】2或5或7 【分析】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求得、，再分、两种情况，分别根据直角的不同，求出的值． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点以的速度从点出发，沿着的方向运动， ∴点从点运动到点所需的时间为秒， 则分以下两种情况： ①当时，， ∴， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：，符合题设； 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，符合题设； ②当时，， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，不符合题设，舍去； 当时，如图， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，符合题设， 综上所述，的值为2或5或7， 故答案为：2或5或7． 32．如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，作E点关于的对称点，连接，则当三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，解得，可求，即可求解． 【详解】解：作E点关于的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小，此时重合， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $