专题04 平移与旋转综合题（4种类型32道）（高效培优期中专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题04 平移与旋转综合题 考点01 平移与几何变换 考点02 线段相关旋转综合题 考点03 面积相关旋转综合题 考点04 角度相关旋转综合题 考点01 平移与几何变换 1．如图1，已知平面直角坐标系中，点，，a、b满足． (1)求的面积； (2)将线段经过水平、竖直方向平移后得到线段，直线交x轴于点C，． ①求点C的坐标； ②如图2，线段上一点，求：之间的数量关系． 2．在平面直角坐标系中，已知点，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合． (1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______； (2)如图，若点P为直线上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时， ①求t的值． ②若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒. (1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______； (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由. 4．在平面直角坐标系中，点满足． (1)直接写出点A的坐标； (2)如图1，将线段沿y轴向下平移a个单位后得到线段(点O与点B对应)，过点C作轴于点D．若，求a的值； (3)如图2，点在y轴上，连接，将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段(点O与点F对应)，交于点P．y轴上是否存在点Q，使？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，对于点与图形W，若点Q为图形W上任意一点，点关于第一、三象限角平分线的对称点为，且线段中点为，则称点是图形W关于点的“关联点”． (1)如图1，若点是点关于原点的关联点，则点的坐标为 ； (2)如图2，在中，，，． ①将线段向右平移（）个单位长度，若平移后的线段上存在两个关于点的关联点，则d的取值范围是 ． ②已知点和点，若线段上存在关于点的关联点，求n的取值范围． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且，直线过点， (1)求直线解析式； (2)连接，将线段沿x轴正方向平移到线段 ①若，求满足条件的点C的坐标； ②在平移过程中，是否存在点C使得为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点P平移的距离，若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点坐标为，连接． (1)求点的坐标及线段的长度； (2)将线段沿轴向下平移个单位至，连接． 当为直角三角形时，求的值； 当周长最小时，的值是 ；此时，最小周长等于 ． 考点02 线段相关旋转综合题 9．（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 10．在中，，D是平面内一点，连接．将绕点A逆时针旋转一定角度α（），得到，且满足，连接． (1)如图1，，D是边上一点，求的度数； (2)如图2，D是平面内一点，F是的中点，连接．猜想与存在怎样的数量关系？写出你的结论，并证明； (3)在（2）的条件下，若，在直线上存在一点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形是锐角为的菱形，请直接写出的值． 11．如图，为的中线，以为直角边在其右侧作，，与交于点F，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若将绕点C逆时针旋转得，连接，，探究，的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，，直线上有一点M，连接，将沿着翻折至所在的平面内得到，取的中点P，连接，当最小时，请直接写出的面积． 12．已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．    (1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明． 13．如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为N，M． (1)如图1，当点N落在的延长线上时，且，，求的长； (2)如图2，绕点A顺时针旋转得到，延长交于点D，使得，连接，猜想线段，CD之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，点R为的中点，连接．若，，在旋转过程中，求出的最小值；若不存在，请说明理由 14．已知等腰直角三角形中，，点D在射线上移动（不与B、C重合），连接，线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．    (1)如图1，当点E落在线段上时， ①直接写出的度数（可用表示）； ②请用等式表示的数量关系，并说明理由； (2)当点E落在线段的延长线上时，请在图2中画出符合条件的图形，则（1）中，的数量关系仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出正确的数量关系． 15．在中，，，点是边上的一动点．是边上的动点．连接并延长至点，交于，连接．且，．    (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若点是的中点，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转，旋转中的三角形记作△，取的中点为，连接．当最大时，直接写出的值． 16．如图①在正方形中，连接，点E是边上的一点，交于点F，点P是的中点，连接．    (1)如图①，探究与有何关系，并说明理由； (2)若将绕点B顺时针旋转90°，得到图②，连接，取的中点P，连接，请问在该条件下，①中的结论是否成立，并说明理由； (3)如果把绕点B顺时针旋转180°，得到图③，同样连接，取的中点P，连接，请你直接写出与的关系． 考点03 面积相关旋转综合题 17．如图，为等边内一点；将绕点顺时针旋转至的位置，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长与的面积． 18．已知和都是等腰三角形，．    (1)如图①，当点D在外部，点E在内部时，求证：． (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，点C，D，E在同一直线上，为中边上的高．求的度数；判断线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，和都是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，连结．当时，在旋转过程中，与的面积和是否存在最大值？若存在，写出计算过程；若不存在，请说明理由． 19．【探究发现】 （1）如图1，在中，．，垂足为，点在上，连接，．则有下列命题：①；②，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程． 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：． 【拓展提升】 （3）如图3．在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值．    20．如图，与均为等腰直角三角形，，F，G，H分别是，，的中点，连接，，． (1)当E在延长线上时，如图①，的形状是_____； (2)将绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由； (3)若，，绕点C逆时针旋转一周，直接写出面积的最大值和最小值． 21．如图 1，在中，，，，点、分别为边、的中点，连接，将绕点 C 逆时针旋转 α（）． (1)如图1，当时，易知 和 的位置关系为；线段 和 的数量关系为 ； (2)将 绕点 C 逆时针旋转至图 2 所示位置时，（1）中和的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)当绕点 C 逆时针旋转过程中． ①面积的最大值为 ； ②当三点共线时，线段的长为 ． 22．如图，P是等边内的一点，且，将绕点B逆时针旋转，得到． (1)旋转角为_____度； (2)求点P与点Q之间的距离； (3)求的度数； (4)求的面积． 23．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF． (1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系； (2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转， ①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围． 24．问题提出 (1)如图1，在中，，，则面积的最大值是______； (2)问题探究 如图2，在中，，，．点P是边BC上一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，过点E作交BC于点H，求PH的长． (3)问题解决 如图3，在中，，，P为边AC上一动点（C点除外）．将线段BP绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接CE，则的面积是否存在最大值？若存在请求出面积的最大值，若不存在请说明理由． 考点04 角度相关旋转综合题 25．问题提出 （）如图所示，将含有 和角的一副直角三角板与 在直线，的顶点和角的顶点重合于点，点在直线上，为平分线，则 ． 问题探究 （）如图，若将三角板绕点逆时针旋转，平分，请你探究 度数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由； 问题解决 （）如图，从图位置开始，将三角板绕点以每秒 速度逆时针旋转，同时三角板以每秒的速度顺时针旋转，当首次与重合或当 与首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两三角板的旋转时间为，在整个旋转过程中，当满足，求的值．    26．数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：    (1)【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接． ①写出图1中一个等于的角 ； ②图1中与的数量关系是 ． (2)【迁移探究】如图2，将（1）中的等边绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变．探究与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】如图3，在，，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 27．（1）如图1，在正方形网格纸中，的三个顶点都在格点上，把绕着点A顺时针旋转，点B的对应点是，点C的对应点为，连接，则______． （2）如图2，在等边内有一点P，且，，，若把绕着点B逆时针旋转得到，求的度数和的长． （3）如图3，把（2）中的“在等边内有一点P”改为：“在等腰直角三角形内有一点P”，且，，，，求的度数．    28．在等腰直角中，，，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为，连接CP，PB．          (1)如图1，当时，求BP的长； (2)如图2，若，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由； (3)在旋转过程中，当时，求旋转角的度数． 29．如图，两个形状、大小完全相同的含有、的直角三角板如图①放置，、与直线重合，且三角板、三角板均可绕点逆时针旋转．    (1)如图①，则 °． (2)如图②，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转旋转一定角度，平分，平分，求； (3)如图③，在图①基础上，若三角板开始绕点逆时针旋转，转速为，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为，（当转到与重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间． 30．如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转． (1)如图2，当边落在内． ①与之间存在怎样的数量关系？试说明理由； ②过点A作射线，，若，，求的度数； (2)设的旋转速度为秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），请直接写出所有符合条件的t的值． 31．如图，平面内点O为直线AB上一点，一直角三角板的直角顶点与O重合，平分，设．（本题中所有角均小于等于）． (1)如图，请直接写出_______（用含α的式子表示）； (2)若图中，三角板从图中的位置出发，绕O点以每秒的速度顺时针旋转，同时从出发，以每秒的速度逆时针旋转．设运动时间为t秒． ①当t为何值时，？ ②是否存在一负数k，使得取值与t无关．若存在，求此时k的值；若不存在，说明理由． 32．如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转． (1)直接写出的度数； (2)若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定角度（如图②），若平分，平分，求的度数； (3)在图①基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点顺时针旋转，转速为秒，（当三角板旋转一周后，两块三角板停止运动），在旋转过程中，当，求旋转的时间是多少． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平移与旋转综合题 考点01 平移与几何变换 考点02 线段相关旋转综合题 考点03 面积相关旋转综合题 考点04 角度相关旋转综合题 考点01 平移与几何变换 1．如图1，已知平面直角坐标系中，点，，a、b满足． (1)求的面积； (2)将线段经过水平、竖直方向平移后得到线段，直线交x轴于点C，． ①求点C的坐标； ②如图2，线段上一点，求：之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形面积公式求解即可；； （2）①连接，，过点作轴于点D，表示出，然后根据得到，求出； ②如图，连接、、，过点P作轴于点Q，由平移性质可知，，得到，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， 即， ∴， ∴； （2）①连接，，过点作轴于点D 设 由平移性质可知，， ∴点到的距离点到的距离 ∴ ∵且 ∴，解得 ∴； ②如图，连接、、，过点P作轴于点Q， 由平移性质可知， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得． 【点睛】本题考查了平移的性质，三角形面积公式，算术平方根的非负性，掌握平移的性质、三角形面积公式是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，已知点，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合． (1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______； (2)如图，若点P为直线上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时， ①求t的值． ②若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据平方的非负性与二次根式的非负性求出，的值，进而得到，的坐标，根据，的坐标平移变换规则，将进行相同的变换，即可得到的坐标， （2）①设直线与x轴的交点为E，则，证明三角形的面积三角形的面积，再利用面积公式建立方程求解即可； ②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，，设,而，，再利用中点坐标公式求解即可；当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则，再利用中点坐标公式求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∵将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合，， ∴点为点向右平移4个单位，向下平移4个单位， 将点向右平移4个单位，向下平移4个单位，得到，即：， （2）解：①设直线与x轴的交点为E，则，连接，， ， 三角形的面积三角形的面积， , , 三角形的面积， ， ， 即； ②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，， ∴， 设,而，， ∴，， ∴点， ∴点； 当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴，即； 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是平移的性质，坐标与图形面积，中点坐标公式的应用，非负数的性质；清晰的分类讨论是解本题的关键. 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒. (1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______； (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； ； (2)点在上运动时，，点P在上运动时， (3)存在，或. 【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据题意，，进而求出点的坐标；由题意得，，，点在上，且，进而表示出点的坐标； （2）当点在上运动时，当点在上运动时，分别表示出点的坐标即可作答； （3）先求出四边形的面积,点在上运动时列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标是，点的坐标为， 由平移的性质得， 点的坐标， ； 由题意得，，， 点的运动速度为每秒2个单位长度， 出发5秒时，运动的距离为10个单位长度， 此时点在上，且， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：当点在上运动时， ， 点的坐标为； 当点在上运动时， ， 点的坐标为， 点的坐标为； （3）解：四边形的面积为， ， 当点在上运动时，边上的高为4， 即， 解得， 点的坐标为或， 4．在平面直角坐标系中，点满足． (1)直接写出点A的坐标； (2)如图1，将线段沿y轴向下平移a个单位后得到线段(点O与点B对应)，过点C作轴于点D．若，求a的值； (3)如图2，点在y轴上，连接，将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段(点O与点F对应)，交于点P．y轴上是否存在点Q，使？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，点Q坐标为或． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了二次根式和绝对值的非负性，平移变换，四边形的面积等知识，掌握面积切割法，分类讨论，利用参数构建方程是解决的关键． （1）根据二次根式和绝对值的非负性即可求得的值； （2）根据平移的性质，得到，，，结合，用坐标表示距离，分情况讨论即可求解； （3）连接，过点P作x轴的平行线，交于点M，交y轴于点N，由三角形的面积得出方程求解即可． 【详解】（1） 点满足， ，， ，， ． （2）将线段向下平移a个单位后得到线段，， 点O与点B对应，点与点对应，轴于点D， ，，， ，， ， ①当点D位于x轴上方时，即， ， ，解得； ②当点D位于x轴下方时，即 ， ，解得； 综上所述或； （3）连接，过点P作x轴的平行线，交于M，交y轴于N， 依题意得，， 将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段, 四边形为平行四边形， ， 又 ， ，， ， ，解得， 设，则， 即， 解得，即， 解得或， 综上所述，点Q坐标为或． 5．在平面直角坐标系中，对于点与图形W，若点Q为图形W上任意一点，点关于第一、三象限角平分线的对称点为，且线段中点为，则称点是图形W关于点的“关联点”． (1)如图1，若点是点关于原点的关联点，则点的坐标为 ； (2)如图2，在中，，，． ①将线段向右平移（）个单位长度，若平移后的线段上存在两个关于点的关联点，则d的取值范围是 ． ②已知点和点，若线段上存在关于点的关联点，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或． 【分析】本题考查了轴对称的性质，中心对称的性质，不等式组的求解，求一次函数的解析式等，解题的关键是用转化的思想借助参数构建不等式组． （1）根据“关联点”的定义可知点，Q关于原点对称，由此即可解决问题． （2）①作出关于对称的，由题意可得当线段向右平移时，与的边有两个交点时满足条件，利用图象法解决问题即可． ②分别求出直线与州的交点和点关于点的对称点的坐标，根据题意即可列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵点关于第一、三象限角平分线的对称点为， ∴， ∵点是点关于原点的关联点， 即点，点关于原点对称， ∴， 故答案为：． （2）解：①如图中，作关于对称的， 当线段向右平移时，与的边有两个交点，即满足条件， 观察图象可知当线段向右平移时，经过点，此时平移的距离为， 当线段向右平移时，经过点，此时平移的距离为， ∴当时，平移后的线段上存在两个关于点的“关联点”， 故答案为：． ②设直线所在的函数解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线所在的函数解析式为， 当时，， 解得：， 即直线与轴的交点为； 则点关于点的对称点坐标为， 点关于点的对称点坐标为， ∵线段上存在关于点的关联点， 即点在线段上或点在线段上， 可得或， 解得：或． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】(1)，3；， (2)秒 (3)见解析 【分析】 （1）利用平移变换的性质求解； （2）设秒后轴，构建方程求解； （3）分三种情形：①如图1中，当点在直线的左侧时，②如图2中，当点在直线的左侧或直线上且在直线的右侧时，③如图3中，当点在直线的右侧时，分别求解即可． 【详解】（1） 解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得：，， 故答案为：，3；，； （2） 设秒后轴，则有， 解得，时，轴； （3） ①如图1中，当点在直线的左侧或上时，， ． ②如图2中，当点在直线的右侧且在直线的右侧时，， ③如图3中，当点在直线的右侧时，， ． 综上所述，与的关系为：或或． 【点睛】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且，直线过点， (1)求直线解析式； (2)连接，将线段沿x轴正方向平移到线段 ①若，求满足条件的点C的坐标； ②在平移过程中，是否存在点C使得为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点P平移的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②图见详解，点平移的距离为：2或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，解一元二次方程，等知识，其中第（2）步分类讨论是解题的关键． （1）设直线解析式为，点坐标为，∴点A坐标为， 结合在直线上可得，即可求出直线解析式为； （2）①先求出，再求出，根据平移性质得到C的纵坐标为3，，设，列方程，求出或，从而得到或， 即可求出或； ②设点P平移的距离为，则，根据两点间距离公式即可得到，，，再分，，三种情况讨论，列方程，解方程，舍去不合题意解，问题得解． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 则点坐标为， ∵， ∴点A坐标为， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：∵直线解析式为， ∴点A坐标为，坐标为， ∴， ∴， ①∵， ∴将线段沿x轴正方向平移到，， ∴C的纵坐标为3，， 设， 则， 解得或， ∴或， ∵，， ∴或； ②设点P平移的距离为， ∴， ∵点A坐标为，坐标为， ∴， ， ， 如图，当时， ， 解得； 如图，当时， ， 解得或（舍去）； 当时， ， 解得或（舍去）； 综上所述，点P平移的距离为2或或． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点坐标为，连接． (1)求点的坐标及线段的长度； (2)将线段沿轴向下平移个单位至，连接． 当为直角三角形时，求的值； 当周长最小时，的值是 ；此时，最小周长等于 ． 【答案】(1)， (2)1或；， 【分析】（1）求出点坐标，再由勾股定理求的长即可； （2）先求平移后的点，分别可求，分三种情况讨论：当时，当时，当时，利用勾股定理建立方程，求出的值即可； 作点关于直线的对称点，连接，当三点共线时，的值最小，此时周长最小，由对称性求出，用待定系数法求出直线的解析式将点代入解析式即可求，从而确定，，再用两点间距离公式求出，则周长最小值为． 【详解】（1）解：令，则， ， 点坐标为， ； （2）解：令，则， ， 线段沿轴向下平移个单位至， ， ， 当时，， 解得， 当时，， 此时不存在实数根， 当时，， 解得， 综上所述：的值为1或； 作点关于直线的对称点，连接， ， ， 当三点共线时，的值最小，此时周长最小， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 将点代入，， ， ， 周长最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直角三角形的性质，轴对称求最短距离的方法，线段平移的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 考点02 线段相关旋转综合题 9．（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1），见解析；（2）①，见解析；② 【分析】（1）连接，根据题意得到，，，进而得到'为等边三角形，，根据勾股定理逆定理证明是直角三角形， 且，即可求出； （2）①证明，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接，得到，，，，进而得到，根据勾股定理得到 ，证明，得到，即可得到； ②将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，，即可得到，，，，从而得到为等边三角形，，根据两点之间线段最短得到 ，即可得到当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为 【详解】解： （1）连接， ∵将绕顶点 A 逆时针旋转60°到， ∴，， ∴'为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 且， ∴， ∴； （2）①． 证明： ∵,， ∴， 如图，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接， 则：，，，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； ②的最小值为 如图，将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，， 则：，，，， ∴为等边三角形，， ∴ ∴ ， ∴当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长， ∵， ∴， ∴的最小值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 10．在中，，D是平面内一点，连接．将绕点A逆时针旋转一定角度α（），得到，且满足，连接． (1)如图1，，D是边上一点，求的度数； (2)如图2，D是平面内一点，F是的中点，连接．猜想与存在怎样的数量关系？写出你的结论，并证明； (3)在（2）的条件下，若，在直线上存在一点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形是锐角为的菱形，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，由，，得到，进而推出，结合，证明，得到，由即可得出结果； （2）延长到M，使得，连接，推出，证明，得到，即可得出结论； （3）证明为等边三角形，再证明，得到，由，当为菱形的边时，推出点M与点C重合，进而得到，即，根据，推出，点是的中点，根据，同理，当为菱形对角线时，根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：旋转的性质得到，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：延长到M，使得，连接， A是的中点， F是的中点， 是的中位线， ， ，， ，即， ， ，， ， ， ， ； （3）解：如图， ， ， ， 为等边三角形， ， 当为菱形的边时， 四边形是锐角为的菱形， ，，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 点M与点C重合， ， ， ， ， ， ， ； 当为菱形的对角线时，点M在点处， 四边形是锐角为的菱形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 综上，． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质定理，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，求正切值，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 11．如图，为的中线，以为直角边在其右侧作，，与交于点F，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若将绕点C逆时针旋转得，连接，，探究，的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，，直线上有一点M，连接，将沿着翻折至所在的平面内得到，取的中点P，连接，当最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，根据求出，再求出求解即可； （2）结论：．延长到，使得，连接，，，，．想办法证明是等边三角形，可得结论； （3）首先判断出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆．当点落在上时，的长最小，如图中，过点作于点，过点作于点．求出，可得结论． 【详解】（1）解：如图所示， ， ， ， ， ； （2）结论：． 理由：延长到，使得，连接，，，，． ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （3）连接． ，，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， 由翻折变换的性质可知，， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆． 当点落在上时，的长最小，如图中，过点作于点，过点作于点． ，，， ， ， ， ， ， ， 的面积． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 12．已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．    (1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）依题意即可补全图形， 连接，由题意得，即，，推出，由旋转的性质得到，进而得到，易得，根据F为的中点，得到，易证，，推出，即可求解； （2）延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．证明，，即可证明结论． 【详解】（1）解：补全图1，如图，连接， ， ，即， ， ， ， ， ， ， F为的中点， ， ，， ， 同理， ， ， ， ； （2）， 证明：延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．   是的中点， ． ，， ． ． ． ． 在中， ． ，， ． ． ． ， ． ． ． ． 【点睛】本题是一道几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 13．如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为N，M． (1)如图1，当点N落在的延长线上时，且，，求的长； (2)如图2，绕点A顺时针旋转得到，延长交于点D，使得，连接，猜想线段，CD之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，点R为的中点，连接．若，，在旋转过程中，求出的最小值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)16 (2)，证明见解答过程 (3)在旋转过程中，存在最小值2 【分析】（1）根据旋转的性质得到，利用勾股定理求得，故的长为16； （2）在上取点Q，使，连接，由旋转的性质得到：，得是等边三角形，证明，可得，即可得，由，可得，从而可证，得，故； （3）过B作交MC延长线于P，连接，由旋转的性质得到，证得，得，从而，即可证，可知G是中点，，要使GR最小，只需最小，此时N、C、A共线，的最小值为，故最小为． 【详解】（1）解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： 在上取点Q，使，连接，如图： 由绕点A顺时针旋转得到得：， 是等边三角形， ， ， 在中，， 由旋转性质知， ， ， ， ， ，即， 由旋转性质知， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：在旋转过程中，存在最小值2，理由如下： 过B作交MC延长线于P，连接，如图： 绕点A顺时针旋转得到， ， ， 而，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即G是中点， ∵点R为的中点， ∴是的中位线， ， 要使最小，只需最小， 而， ∴N、C、A共线，的最小值为， ∴最小为． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，勾股定理及应用，三角形中位线定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 14．已知等腰直角三角形中，，点D在射线上移动（不与B、C重合），连接，线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．    (1)如图1，当点E落在线段上时， ①直接写出的度数（可用表示）； ②请用等式表示的数量关系，并说明理由； (2)当点E落在线段的延长线上时，请在图2中画出符合条件的图形，则（1）中，的数量关系仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出正确的数量关系． 【答案】(1)①，② (2)不成立，，详见解析 【分析】（1）①由旋转的性质得出，由等腰直角三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，则可得出答案；②过点E作于F，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出结论； （2）过点E作，交的延长线于F，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）①∵线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②过点E作于F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，   ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 故答案为： （2）如图，    不成立，，理由如下： 过点E作，交的延长线于F， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，   ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 15．在中，，，点是边上的一动点．是边上的动点．连接并延长至点，交于，连接．且，．    (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若点是的中点，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转，旋转中的三角形记作△，取的中点为，连接．当最大时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）解等腰三角形求得，解斜三角形，求得，证明，进而求得结果； （2）作于，作于，连接，作交的延长线于，由得出，证明可得，解斜三角形可得，进而得出和的关系，进一步求得结论； （3）可得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，当点运动到的延长线交的处时，最大，然后解直角三角形和斜三角形，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1，    作于，作交的延长线于， ， ，， ， 在四边形中，，， ， ， 在中，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图2，    作于，作于，连接，作交的延长线于， 由（1）知：， ，，， 点是的中点， ， ， ， ，， 点、、、共圆， ，， ， ，， 在中， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，        由（2）得：， 点是的中点， ， ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当点运动到的延长线交的处时，最大， 设， ， ， ，， ， ， 在中，，， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转综合题，涉及了全等三角形的判定与性质、勾股定理了、三角函数等．第三问的难度较大，确定动点的运动轨迹是解题关键． 16．如图①在正方形中，连接，点E是边上的一点，交于点F，点P是的中点，连接．    (1)如图①，探究与有何关系，并说明理由； (2)若将绕点B顺时针旋转90°，得到图②，连接，取的中点P，连接，请问在该条件下，①中的结论是否成立，并说明理由； (3)如果把绕点B顺时针旋转180°，得到图③，同样连接，取的中点P，连接，请你直接写出与的关系． 【答案】(1)，且；理由见详解 (2)，且；理由见详解 (3)，且；理由见详解 【分析】（1）过点作，通过条件证明，就可以得出结论，； （2）作于，根据平行线等分线段定理就可以得出，再根据中垂线的性质就可以得出， （3）延长交延长线于，连，最后通过证明三角形全等就可以得出结论． 【详解】（1），且． 证明：过于点，延长交于点，作于点．      则四边形是正方形，四边形是矩形， ，， ， ， ，是的中点， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ； （2）成立．    证明：图2中，作， 则， 又是的中点， ， 则是的中垂线， ， ， ， 是的中点，， 则， ， 是等腰直角三角形， ，且； （3）图3中，延长交延长线于，连．   ，，， 四边形是矩形． ，， 由图（2）可知， 平分，， ， 又， 为等腰直角三角形 ，． ． ， ． ，， ． ， ， 即， 又， ， ． 在和中， ， ． ，． ，，， ， ， ， 即， ． 【点睛】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大． 考点03 面积相关旋转综合题 17．如图，为等边内一点；将绕点顺时针旋转至的位置，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长与的面积． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)，的面积为 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质． （1）根据旋转的性质得到，可知，即可证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，可知，，，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下： 由旋转可知：． ， 是等边三角形． （2）解：是等边三角形， ， ． ． 如图2，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接． ； 同理可得：． ． 18．已知和都是等腰三角形，．    (1)如图①，当点D在外部，点E在内部时，求证：． (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，点C，D，E在同一直线上，为中边上的高．求的度数；判断线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，和都是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，连结．当时，在旋转过程中，与的面积和是否存在最大值？若存在，写出计算过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)存在，7 【分析】（1）证明 ，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质得 ，则 ，同 （1） 得 ，则 ， 然后由等腰直角三角形的性质得 ，即可解决问题； （3）根据旋转的过程中 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中， 的边 始终保持不变，即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵， 即 ， 在 和 中， （2），理由如下： ∵ 是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同 （1）得： (SAS)， ∴， ∴， ∵ 是等腰直角三角形， 为 中 边上的高， ∴， ∵， ∴； （3） 与 的面积和存在最大值为7，理由如下： 如图（4）    由旋转可知，在旋转的过程中 的面积始终保持不变 ， ∵ 与 面积的和达到最大， ∴ 面积最大， ∵在旋转的过程中， 始终保持不变， ， ∴ 面积最大时， 点 到 的距离最大， ∴， ∴ 与 面积的和达到的最大值为： 【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性 质以及三角形面积等知识，本题综合性强， 熟练掌握等腰三角形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型 19．【探究发现】 （1）如图1，在中，．，垂足为，点在上，连接，．则有下列命题：①；②，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程． 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：． 【拓展提升】 （3）如图3．在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值．    【答案】（1）选择①或②，见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）选择①，先利用等腰三角形“三线合一”性质得到，即可由证明；选择②，先利用等腰三角形“三线合一”性质得到，即可由证明． （2）过点作于，先证明，，三点共线，都在的垂直平分线上，从而得出，，继而得出，则，即可得出结论． （3）延长交于E，由旋转得：，，，从而可得出，，由勾股定理，得，所以，所以当时，此时，再过点A作于D，作线段，交于O，使，从而求出， ，，由勾股定理，得，即可求解． 【详解】（1）选择① 证明：，， ， 又， 选择② 证明：，， ， 又， ．    （2）过点作于，   ，， ，，三点共线，都在的垂直平分线上，， ， ， ， ，即， ， ， ， ． （3）延长交于E，如图，    由旋转得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理，得， ∴， ∵在中，，， ∴当时，此时， 过点A作于D， ∴，， 作线段，交于O，使， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， 由勾股定理，得， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的面积．本题属三角形探究题目，综合性较，属中考压轴题．灵活运用等腰三角形“三线合一”性质是解题的关键． 20．如图，与均为等腰直角三角形，，F，G，H分别是，，的中点，连接，，． (1)当E在延长线上时，如图①，的形状是_____； (2)将绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由； (3)若，，绕点C逆时针旋转一周，直接写出面积的最大值和最小值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)成立，理由见解析 (3)最大值：，最小值： 【分析】（1）根据F、G分别是、的中点和、是等腰直角三角形即可得出结论． （2）分别取和的中点M、N，连接、、、，根据中位线的性质可求得，再结合是等腰直角三角形，可证，从而得出结论． （3）绕点C逆时针旋转一周，则相当于H在点C为圆心，为半径的圆上移动，当点H运动到N点时，有最小值，运动到M点时，有最大值． 【详解】（1）是等腰直角三角形， 解：∵F、G分别为、的中点，且， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∴是等腰直角三角形． （2） 成立，理由如下， 解：取的中点M，的中点N，连接、、、，交于点P， ∵F、G分别 、的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， 同理， ∴， 又∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 同理， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）解：若绕点C逆时针旋转一周，则相当于H在以C为圆心，为半径的圆上移动， ∵，且是等腰直角三角形， ∴， 由（2）知是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，l为H到的距离， ∴当H在与交点N处时，有最小值，在交点M处时有最大值， ∵与相交与点P， ∴， ∴，， ∴面积最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查了三角形旋转的综合问题，涉及到了等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定以及垂线段最短，正确做出辅助线是解题的关键． 21．如图 1，在中，，，，点、分别为边、的中点，连接，将绕点 C 逆时针旋转 α（）． (1)如图1，当时，易知 和 的位置关系为；线段 和 的数量关系为 ； (2)将 绕点 C 逆时针旋转至图 2 所示位置时，（1）中和的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)当绕点 C 逆时针旋转过程中． ①面积的最大值为 ； ②当三点共线时，线段的长为 ． 【答案】(1) (2)（1）中和的关系仍然成立，见详解． (3)①②． 【分析】（1）先求出，再求出，进而求出，即可得出结论； （2）通过证明，结论仍然成立． （3）①过点C作，并延长，当点转到延长线上时，的面积最大． ②当三点共线时，证明，根据勾股定理即可解得． 【详解】（1）∵，点分别为边的中点， ∴， ∵， ∴ ， ∴． （2）∵， ， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴（1）中和的关系仍然成立． （3）①过点C作，并延长， 当点转到延长线上时，的面积最大， ， ， ∴， ②当三点共线时， ∵， ∴， ∴， ∴ 设，， 根据勾股定理得 ，（舍去）， ∴ 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题． 22．如图，P是等边内的一点，且，将绕点B逆时针旋转，得到． (1)旋转角为_____度； (2)求点P与点Q之间的距离； (3)求的度数； (4)求的面积． 【答案】(1)60 (2)4 (3)150° (4)9． 【分析】（1）根据△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到，可知∠ABC为旋转角即可得出答案， （2）连接PQ，根据等边三角形得性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判断△PBQ是等边三角形，所以PQ＝PB＝4； （3）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上∠BPQ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可． （4）由直角三角形的性质可求CH，PH的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的， ∴旋转角为60° 故答案为：60； （2）连接PQ，如图1， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，BA＝BC， ∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的， ∴△QCB≌△PAB， ∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5， ∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°， ∴△PBQ是等边三角形， ∴PQ＝PB＝4； （3）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4， 而32+42＝52， ∴PC2+PQ2＝CQ2， ∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°， ∵△PBQ是等边三角形， ∴∠BPQ＝60°， ∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°； （4）如图2，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H， ∵∠BPC＝150°， ∴∠CPH＝30°， ∴CHPC，PHHC， ∴BH＝4， ∴BC2＝BH2+CH2， ∵S△ABCBC2， ∴S△ABC）9． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键． 23．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF． (1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系； (2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转， ①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围． 【答案】(1)∠ADF=45°，AD=DF； (2)①成立，理由见解析；②1≤S△ADF≤4. 【分析】（1）延长DF交AB于H，连接AF，先证明△DEF≌△HBF，得BH=CD，再证明△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论； （2）①过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，先证明△DEF≌△HBF，延长ED交BC于M，再证明∠ACD=∠ABH，得△ACD≌△ABH，得AD=AH，等量代换可得∠DAH=90°，即△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论； ②先确定D点的轨迹，求出AD的最大值和最小值，代入S△ADF=求解即可． 【详解】（1）解：∠ADF=45°，AD=DF，理由如下： 延长DF交AB于H，连接AF， ∵∠EDC=∠BAC=90°， ∴DE∥AB， ∴∠ABF=∠FED， ∵F是BE中点， ∴BF=EF， 又∠BFH=∠DFE， ∴△DEF≌△HBF， ∴BH=DE，HF=FD， ∵DE=CD，AB=AC， ∴BH=CD，AH=AD， ∴△ADH为等腰直角三角形， ∴∠ADF=45°， 又HF=FD， ∴AF⊥DH， ∴∠FAD=∠ADF=45°， 即△ADF为等腰直角三角形， ∴AD=DF; （2）解：①结论仍然成立，∠ADF=45°，AD=DF，理由如下： 过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，如图所示， 则∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD， ∵F是BE中点， ∴BF=EF， ∴△DEF≌△HBF， ∴BH=DE，HF=FD， ∵DE=CD， ∴BH=CD， 延长ED交BC于M， ∵BH∥EM，∠EDC=90°， ∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°， 又∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°， ∴∠HBA+∠DCB=45°， ∵∠ACD+∠DCB=45°， ∴∠HBA=∠ACD， ∴△ACD≌△ABH， ∴AD=AH，∠BAH=∠CAD， ∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°， 即∠HAD=90°， ∴∠ADH=45°， ∵HF=DF， ∴AF⊥DF，即△ADF为等腰直角三角形， ∴AD=DF． ②由①知，S△ADF=DF2=AD2， 由旋转知，当A、C、D共线时，且D在A、C之间时，AD取最小值为3－1=2， 当A、C、D共线时，且C在A、D之间时，AD取最大值为3+1=4， ∴1≤S△ADF≤4． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质及判定、全等三角形判定及性质、勾股定理等知识点．构造全等三角形及将面积的最值转化为线段的最值是解题关键．遇到题干中有“中点”时，采用平行线构造出对顶三角形全等是常用辅助线． 24．问题提出 (1)如图1，在中，，，则面积的最大值是______； (2)问题探究 如图2，在中，，，．点P是边BC上一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，过点E作交BC于点H，求PH的长． (3)问题解决 如图3，在中，，，P为边AC上一动点（C点除外）．将线段BP绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接CE，则的面积是否存在最大值？若存在请求出面积的最大值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最大值为8 【分析】（1）设AC=x，则AB=6-x，表示出△ABC的面积，然后利用二次函数的性质求最大值； （2）作AG⊥BC于G，利用AAS证明△APG≌△PEH，得PH=AG，再利用含30°角的直角三角形的性质求出AG的长即可； （3）结合（1）（2）的方法，过点E作EG⊥CA，交CA延长线于G，BH⊥CA，交CA延长线于H，作AD⊥BC于D，首先利用等积法求出BH的长，设CP=x，则AP=6-x，表示出面积，利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：设，则， ， 当时，最大为， 故答案为：； （2）作于， 将线段绕点顺时针旋转90度，得线段， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）的面积存在最大值，理由如下： 过点作，交延长线于，，交延长线于，作于， 由（2）同理知，， ， ，， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 在中，， 设，则， ， 的面积为， 当时，的面积最大值为8． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键． 考点04 角度相关旋转综合题 25．问题提出 （）如图所示，将含有 和角的一副直角三角板与 在直线，的顶点和角的顶点重合于点，点在直线上，为平分线，则 ． 问题探究 （）如图，若将三角板绕点逆时针旋转，平分，请你探究 度数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由； 问题解决 （）如图，从图位置开始，将三角板绕点以每秒 速度逆时针旋转，同时三角板以每秒的速度顺时针旋转，当首次与重合或当 与首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两三角板的旋转时间为，在整个旋转过程中，当满足，求的值．    【答案】（）；（）度数不会发生变化，为；（）或． 【分析】（）利用角的和差关系及角平分线的定义即可求解； （）利用角的和差关系及角平分线的定义即可求解； （）由，可判断出与重合前（含重合）和与重合后这两个阶段不存在满足条件的值，由此得到满足条件的值在与重合后到与重合时这个阶段，根据角的和差关系列出方程即可求解； 本题考查了角的旋转，角的计算及角平分线的定义，能通过图形找到所求角的和差关系是解题的关键． 【详解】解：（）∵点在直线上，，， ∴， ∵为平分线， ∴， 故答案为：； （）∵将三角板绕点逆时针旋转， ∴，， ∵平分，为平分线， ∴， ， ∴， ∴度数不会发生变化，为； （）由图可知，当与重合前（含重合）和与重合后，， ∴在这两个阶段不存在满足条件的值， 当与重合后到与重合时， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或， ∴当时，的值为或． 26．数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：    (1)【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接． ①写出图1中一个等于的角 ； ②图1中与的数量关系是 ． (2)【迁移探究】如图2，将（1）中的等边绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变．探究与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】如图3，在，，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 【答案】(1)①或或或(写出一个即可)；② (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）①根据为等边三角形，将绕点A旋转，得到，可得，又F为中点，故，，可知； ②由是的中位线，可得； （2）由等边绕点A逆时针旋转，得到，可得，，，即得，而F为中点，，有，故是等腰直角三角形，，从而； （3）分两种情况：当在下方时，求出，，可得，故；当在上方时，，，有． 【详解】（1）解：①∵为等边三角形，将绕点A旋转，得到， ∴， ∵F为中点， ∴，是的中位线，也是的中位线， ∴， ∴； 故答案为：或或或(写出一个即可)； ②由①知，是的中位线， ∴； 故答案为：； （2），理由如下： 如图：    ∵等边绕点A逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， ∵F为中点，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）当在下方时，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，F为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当BE在BC上方时，如图：    ∵， ∴； 综上所述，的长为或1． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形性质及应用，等腰直角三角形的性质及应用等知识，解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边的关系． 27．（1）如图1，在正方形网格纸中，的三个顶点都在格点上，把绕着点A顺时针旋转，点B的对应点是，点C的对应点为，连接，则______． （2）如图2，在等边内有一点P，且，，，若把绕着点B逆时针旋转得到，求的度数和的长． （3）如图3，把（2）中的“在等边内有一点P”改为：“在等腰直角三角形内有一点P”，且，，，，求的度数．    【答案】（1）；（2），（3） 【分析】（1）只要证明是等腰直角三角形即可； （2）根据等边三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，，，，推出是等边三角形，得到，．根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，于是得到结论； （3）如图3，将绕点逆时针旋转，根据旋转的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）将绕点按顺时针方向旋转， ，， ； 故答案为：； （2）是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转得出，如图2， ，，，， 又， 是等边三角形， ，． ，， ， ， 是直角三角形，， ； （3）将绕点逆时针旋转，得到，连接， 则，， 故，， ，，， ， 是直角三角形， ，即． 【点睛】本题考查几何变换综合题、旋转的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，属于中考压轴题． 28．在等腰直角中，，，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为，连接CP，PB．          (1)如图1，当时，求BP的长； (2)如图2，若，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由； (3)在旋转过程中，当时，求旋转角的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）点P落在上，解等腰直角，，所以； （2）解：如图，延长到点F，使得，连接，可证，于是，，结合三角形内和定理，可求证，于是，得，所以； （3）解：分两种情况：①当点P在内部，如图 ，过点P作，交于点G，过点C作，垂足为E，求证，于是，所以，中 ，，于是；②当点P在外部，如图，延长，交于点I，过点A作,垂足为点H，求证，于是，进一步证得，，而，所以，即． 【详解】（1）解：时，点P落在上， 等腰直角中，， ∴ ∴ （2）解：如图，延长到点F，使得，连接 ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 中，， ∴ ∴    ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 而 ∴ （3）解：分两种情况：①当点P在内部 如图 ，过点P作，交于点G，过点C作，垂足为E，    ∵ ∴， 中， ∴ 由（2）推证知 ∴ 又， ∴ ∴ 又 ∴中 ， ∴ ②当点P在外部 如图，延长，交于点I，过点A作,垂足为点H    ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 综上，或 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，特殊直角三角形，勾股定理，注意动态问题的分类讨论，添加辅助线构造全等三角形，寻求线段之间的关系是解题的关键． 29．如图，两个形状、大小完全相同的含有、的直角三角板如图①放置，、与直线重合，且三角板、三角板均可绕点逆时针旋转．    (1)如图①，则 °． (2)如图②，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转旋转一定角度，平分，平分，求； (3)如图③，在图①基础上，若三角板开始绕点逆时针旋转，转速为，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为，（当转到与重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】（1）根据平角是计算； （2）根据角平分线的定义得到，，分别用表示出、，计算即可； （3）设旋转的时间为秒，的取值范围是，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解： ， ，， ； 故答案为：； （2）解：设三角板绕点逆时针旋转旋转， 平分，平分， ，， ，， ，， ； （3）解：设旋转的时间为秒， 当转到与重合时，两三角板都停止转动，， 故的取值范围是， 当平分时，如图所示，   ， ， ； 当平分时，如图，   ， ， 解得：； 当平分时，如图   ， ， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：旋转的时间为秒或秒． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义、旋转的性质，掌握角平分线的定义、正确理解旋转角的概念是解题的关键． 30．如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转． (1)如图2，当边落在内． ①与之间存在怎样的数量关系？试说明理由； ②过点A作射线，，若，，求的度数； (2)设的旋转速度为秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），请直接写出所有符合条件的t的值． 【答案】(1)①，理由见解析；② (2)t的值为3或9或21或27或30 【分析】（1）①由角的和差关系可得，，再把两式相减即可得到结论；②先求解，-，结合，，从而可得答案； （2）分5种情况讨论：如图，当时，如图，当时，如图，当时，如图，当时，如图，当时，再结合平行线的性质可得答案． 【详解】（1）解：①（或）； 理由如下：， ， 两式相减得：， ② ∵，     ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ； （2）如图，当时， ∴，， ∴； 如图，当时， ∴，则， 此时， ∴； 如图，当时， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴，即，，共线， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴． 综上：t的值为3或9或21或27或30． 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角的倍分关系，角的旋转定义的理解，平行线的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 31．如图，平面内点O为直线AB上一点，一直角三角板的直角顶点与O重合，平分，设．（本题中所有角均小于等于）． (1)如图，请直接写出_______（用含α的式子表示）； (2)若图中，三角板从图中的位置出发，绕O点以每秒的速度顺时针旋转，同时从出发，以每秒的速度逆时针旋转．设运动时间为t秒． ①当t为何值时，？ ②是否存在一负数k，使得取值与t无关．若存在，求此时k的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①或秒；②存在， 【分析】（1）根据平角的定义可得，再由平分，可得，，然后根据，即可求解； （2）①分三种情况讨论：当点M位于的上方时，此时；当点M位于的下方，点C位于的上方时，此时；点M位于的下方，点C位于的下方时，此时，即可求解；②分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为： （2）解：①如图，当点M位于的上方时，此时， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图，当点M位于的下方，点C位于的上方时，此时， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）； 如图，点M位于的下方，点C位于的下方时，此时， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，t可为或秒； 当时， 当，即时，与t无关， 当时 当时，解得，舍去； 当时， 当，即时，与t无关， 综上所述：此时时与t无关，且或． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，图形的旋转，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 32．如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转． (1)直接写出的度数； (2)若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定角度（如图②），若平分，平分，求的度数； (3)在图①基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点顺时针旋转，转速为秒，（当三角板旋转一周后，两块三角板停止运动），在旋转过程中，当，求旋转的时间是多少． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒或秒 【分析】（1）由题意可知和的度数， 即可 （2）设，，由角平分线定义得，从而可得，又由角平分线的定义可得，因，联立可得，即可求得 （3）设运动时间为t秒，则，分四种情况讨论，即可求得旋转的时间 【详解】（1）由题意得，，， ， ； （2）设，， 则， 由角平分线的定义得 又 ，即， ； （3）设旋转时间为t秒，则有：， ∵三角板旋转一周后，两块三角板停止运动， ∴， ①当与第一次重合时，， ∴时，如下图所示： 由得： 解得：； ②当，如下图所示： ， 由得： 解得： ③当与第二次重合时，， 当时，如下图所示： 由得： 解得：； ④当时，如下图所示： ， 由得：， 解得：（舍去） 综上①②③④所述：当，旋转的时间为秒或秒或秒 【点睛】本题考查的是旋转综合题，三角板中角度计算问题和角平分线的含义，熟练掌握三角板的特征，画出图形，分类讨论，是解决问题的关键． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $