专题4.1 因式分解概念及提公因式法分解因式（2大考点+6大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

专题4.1 因式分解概念及提公因式法分解因式 教学目标 1. 理解因式分解的定义，明确其与整式乘法的互逆关系，掌握公因式的概念，能按“定系数、定字母、定指数”的方法准确找出多项式各项的公因式 。 2. 熟练运用提公因式法对多项式进行因式分解，规范书写步骤，养成提尽公因式、不漏项、注意符号的运算习惯。 3. 经历观察、类比、归纳的探究过程，体会逆向思维与整体代换思想，提升代数变形能力，感受数学知识的逻辑性与实用性。 教学重难点 1.重点 （1）掌握公因式的确定方法，理解提公因式法的核心依据是乘法分配律的逆用，能熟练、规范地用提公因式法分解多项式。 （2）理解因式分解的本质是将多项式化为整式积的形式，明确提公因式法是因式分解最基础、最常用的方法，为后续学习公式法奠定基础。 2.难点 （1）准确识别复杂多项式中的公因式，特别是处理符号问题（如 x-y 与 y-x 的转化），避免漏提、错提公因式或分解不彻底。 （2）当公因式是多项式时，运用整体代换思想进行分解，以及提公因式后剩余因式的项数守恒，防止出现“漏1”等常见错误。 知识点01 因式分解的概念 因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【即学即练1】1．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对于A：，右边是多项式，不是整式的乘积，属于整式乘法，不是因式分解； 对于B：，左边是单项式，不是多项式，不是因式分解； 对于C：，右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解； 对于D：，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，是因式分解． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，判断变形是否将多项式转化为几个整式乘积的形式，即可得出答案． 【详解】选项A和选项C是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义， 选项D的结果是两个部分相加的形式，不是几个整式的积，不符合定义， 选项B将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义， 故选：B． 【点睛】因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系．通过将给定的因式分解形式展开，与原二次三项式比较系数，可求出 m 的值即可． 【详解】解：， ， ， 解得， 故答案为． 知识点02 提公因式法因式分解 ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； 注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完. 【即学即练2】4．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下列多项式可以提取公因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，提取公因式是指多项式中各项有公共的因子，可以因式分解提出来．据此逐一检查各选项，只有B选项有公因式x． 【详解】解：A、无公因式，不符合题意； B、有公因式x，可分解为，符合题意； C、无公因式，不符合题意； D、无公因式，不符合题意． 故选：B． 5．（25-26八年级上·重庆·月考）多项式因式分解的结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用提公因式法进行因式分解，关键是将多项式中互为相反数的因式转化为相同的形式，从而提取公因式；多项式变形后提取公因式即可． 【详解】解：对多项式因式分解， 原式=； 故选：B． 6．（2026·河南周口·二模）因式分解：______． 【答案】 【详解】解：． 题型01 判断是否是因式分解 【典例1】（24-25八年级上·云南德宏·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断即可． 【详解】解：∴A选项变形是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解， B选项是将多项式变形为几个整式乘积的形式，是因式分解， C选项左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解要求， D选项是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解． 【变式1】（25-26九年级下·安徽宿州·月考）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对选项A：， ∴ A错误； 对选项B：， ∴ B错误； 对选项C：， ∴ C错误； 对选项D：，符合完全平方公式，因式分解正确， ∴ D正确． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】③④ 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的对象是多项式，结果是几个整式的积，与整式乘法互为逆运算是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各等式变形是否符合定义． 【详解】解：等式①左边为积的形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 等式②左边为单项式，不是多项式，不符合因式分解对象要求； 等式③左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式④左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式⑤右边不是积的形式，因此不是因式分解． 故答案为：③④． 【变式3】（25-26八年级上·新疆·月考）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 题型02 已知因式分解的结果求参数 【典例2】（25-26八年级上·湖北荆门·月考）若多项式可因式分解为，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过展开因式分解后的表达式，与原多项式比较系数，即可求出的值． 【详解】解：∵多项式可因式分解为， ∴展开得：． 又∵原多项式为， ∴比较系数得：，． 因此的值为3． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·四川乐山·期末）将多项式分解因式为：，则（    ） A．2025 B．1225 C．625 D．225 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 通过比较因式分解后的系数，求出p和q的值，然后计算． 【详解】解：， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·上海青浦·期中）如果因式分解的结果为，那么_________． 【答案】2 【分析】将展开后与比较求出，，然后代入求解． 【详解】解： ∵因式分解的结果为， ∴ ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以因式分解为，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解． 通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可． 【详解】展开 ，与原式 比较系数， 得 ，解得 ． 故答案为 4 题型03 已知因式分解中错题正解问题 【典例3】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解、多项式乘以多项式，熟练掌握利用十字相乘法分解因式是解题关键．先计算，，根据甲的结果可求出的值，根据乙的结果可求出的值，再利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】解：， ， ∵甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃定西·月考）甲、乙两名同学分解因式时，甲把看错导致分解结果为，乙把n看错导致分解结果为，求多项式分解因式的正确结果． 【答案】 【分析】本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键． 根据题意可知m、n是相互独立的，在因式分解中n决定常数项，m决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出m、n的值，代入原多项式进行因式分解即可． 【详解】解：∵甲同学分解因式时，把看错导致分解结果为， ， ∴是正确的， ∵乙同学分解因式时，把n看错导致分解结果为，， ∴是正确的， ∴ ． 【变式2】在分解因式时时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错的值，分解的结果是．请你把进行正确的因式分解． 【答案】 【分析】根据“甲看错了的值，分解的结果是”可确定的值，根据“乙看错的值，分解的结果是”可确定的值，进而确定，再进行因式分解即可． 【详解】解：∵，甲看错了的值，∴； ∵，乙看错了的值，∴； 所以这个多项式为， 【点睛】本题考查多项式乘法，因式分解，解决此题关键是掌握公式法分解因式． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 【答案】错在分解不彻底，括号里还有公因数3．正确答案为 【分析】本题主要考查了分解因式，正确找到公因式是解题关键． 先观察式子中的各项，判断过程是否正确；再找出公因式为； 然后提取公因式分解因式即可． 【详解】解：错在分解不彻底，括号里还有公因数3． 正确的解题过程如下： ． 题型04 公因式 【典例4】（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用提公因式法分解因式，找出多项式各项系数的最大公因数和变量的公共部分，组合即为公因式． 【详解】解：∵多项式为中系数2和4的最大公因数为2，变量部分和的公共因子为， ∴应提取的公因式为． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 【变式2】（25-26九年级下·广东汕头·月考）多项式中各项的公因式是______． 【答案】 【分析】根据公因式的定义，分别确定公因式的系数与字母部分，即可得到结果． 【详解】解：多项式的两项分别为，， 确定公因式时，系数取各项系数的最大公约数，两项系数均为，故系数部分为， 字母取各项都含有的相同字母，且相同字母取最低次幂，两项都含有字母，的次数分别为和，最低次幂为，第二项不含字母， 因此各项的公因式为． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）多项式中各项的公因式是______； （2）多项式中各项的公因式是______； （3）多项式中各项的公因式是_______． 【答案】 【分析】公因式是指多项式的各项都含有的因式，据此求解即可． 【详解】解：（1）多项式中各项的公因式是； （2）多项式中各项的公因式是； （3）多项式中各项的公因式是． 题型05 提公因式法分解因式 【典例5】（2026·浙江舟山·一模）分解因式：__________． 【答案】 【分析】直接提取公因式进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 【变式1】因式分解． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式，即可因式分解； （2）将化为，再提公因式，即可因式分解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式直接提取公因式即可； （2）原式直接提取公因式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提取公因式法因式分解，掌握通过变形统一公因式，以及多次提取公因式的技巧是解题的关键． （1）先变形，将转化为，再提取公因式； （2）直接提取公因式，再合并剩余部分的同类项； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型06 利用提公因式法因式分解求值 【典例6】（24-25八年级上·云南德宏·期末）如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【答案】D 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式1】（2026·山东日照·一模）已知，，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】先把提公因式分解因式，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：由， ∵，， ∴原式， ∴代数式的值是． 【变式2】（25-26八年级下·四川成都·月考）已知实数m满足，则的值是_____． 【答案】 【分析】对所求多项式进行降次变形，结合已知条件计算，将所求式子提取公因式转化为含已知式子的形式，再代入求值． 【详解】， ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，求代数式的值． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解和整体代入求值的知识点，掌握先因式分解再整体代入的方法，可避免解复杂的二元一次方程组，简化计算过程． 先对代数式提取公因式进行因式分解，再将括号内的式子化简，最后利用已知条件和整体代入求值． 【详解】解：原式 ． ，， 原式． 一、单选题 1．（25-26八年级上·山西临汾·期末）多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式公因式的确定方法．确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合． 【详解】解：∵ 各项系数的最大公约数是， ∵ 多项式各项都含有的相同字母为， ∵ 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 各项的公因式是． 故答案为：． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）把多项式因式分解，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用提公因式法进行分解，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴ 结果为 ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解， 通过展开因式分解形式并与原多项式比较系数，求出a和b的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得， ∴． 故选：B． 4．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解． 5．（25-26七年级下·陕西西安·月考）若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】B 【分析】把所求式子变形为，进一步可变形为，最后变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 二、填空题 6．（2026·安徽合肥·一模）因式分解：________． 【答案】 【分析】先确定多项式各项的公因式，再利用提公因式法进行因式分解． 【详解】解： ． 7．（2026九年级下·广东深圳·专题练习）已知，则________． 【答案】4 【分析】先对所求多项式用提取公因式法因式分解，再将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：对提取公因式，得． 将，代入上式，得． 8．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则及因式分解与整式乘法的关系，利用因式分解与整式乘法的互逆关系，将分解后的整式展开，通过对应项系数相等求出n的值． 【详解】解：根据多项式乘多项式法则，将展开：， ∵， 根据多项式相等则对应项系数相等，可得， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】根据多项式的结构特征，运用提公因式法进行因式分解． 【详解】解：(1) ； (2) 10．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是_____________，属于整式乘法的是____．（填序号） 【答案】 ①③ ② 【分析】本题主要考查了因式分解的定义和多项式乘以多项式，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，整式乘法是将整式的积展开为多项式形式，根据等式左右形式判断即可． 【详解】解：①是因式分解； ②这是整式乘法，不是因式分解； ③是因式分解； 故答案为：①③；②． 三、解答题 11．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）已知 ，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算出， 再利用完全平方公式得到，进而即可得解； （2）由（1）知，再算出，将原式变形为，然后整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：由（1）知 ， ∵， ． 12．（25-26八年级上·广东广州·期末）在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查分解因式与整式乘法的关系，可以根据二者为互逆过程进行解答； 直接利用多项式乘法进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 13．（24-25八年级上·重庆长寿·月考）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意，运用提公因式法即可分解因式得解； （2）依据题意，根据提公因式法进行分解可以得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 14．（25-26八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)， 【分析】（1）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出和的值，进而就可以得到另一个因式． （2）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出、和的值，进而就可以得到另一个因式． 本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式相乘的法则是关键． 【详解】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则， ∴ 解得 ∴另一个因式为，的值为． 故答案为：另一个因式为，的值为． （2）（2）解：设另一个因式为，得 ∴， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，． 15．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，的值为3．（4）1，7，13，29． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）利用多项式乘以多项式的法则将展开，对应相等即可得出结果； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则，从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2） ， ∵， ∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴另一个因式为，的值为； （4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题4.1因式分解概念及提公因式法分解因式 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点1因式分解的概念 知识清单 知道点2提公因式法分解因式 因式分解概念及 题型1判断是否是因式分解 提公因式法分解 题型2已知因式分解的结果求参数 因式 题型3已知因式分解中错题正解问题 题型精讲 题型4公因式 题型5提公因式法分解因式 题型6利用提公因式法因式分解求值 强化训练 教学目标、救学重难点 1.理解因式分解的定义，明确其与整式乘法的互逆关系，掌握公因式的概念，能按 “定系数、定字母、定指数”的方法准确找出多项式各项的公因式。 2.熟练运用提公因式法对多项式进行因式分解，规范书写步骤，养成提尽公因式、不 教学目标 漏项、注意符号的运算习惯。 3.经历观察、类比、归纳的探究过程，体会逆向思维与整体代换思想，提升代数变形 能力，感受数学知识的逻辑性与实用性。 教学重难点 1.重点 (1)掌握公因式的确定方法，理解提公因式法的核心依据是乘法分配律的逆用，能 熟练、规范地用提公因式法分解多项式。 (2)理解因式分解的本质是将多项式化为整式积的形式，明确提公因式法是因式分 解最基础、最常用的方法，为后续学习公式法奠定基础。 2.难点 (1)准确识别复杂多项式中的公因式，特别是处理符号问题（如x-y与y-x的转 化)，避免漏提、错提公因式或分解不彻底。 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当公因式是多项式时，运用整体代换思想进行分解，以及提公因式后剩余因式 的项数守恒，防止出现“漏1”等常见错误。 知识清单 知识点01因式分解的概念 因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式 【即学即练1】1.下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是(). A.(a+3)(a-3)=a2-9 B.-18x4y3=-2x2y.9x2y2 C.b2-6b+9=bb-6)+9 D.x2-3x-4=x+1)(x-4) 2.(25-26八年级下·江苏盐城月考)下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是() A.a(x+y)=ax+ay B.x2+2xy+y2=(x+y)2 C.(x+2(x+3)=x2+5x+6 D.y2-2y+3=yy-2+3 3.(25-26八年级上·江苏泰州期末)若二次三项式x2-mx-6可分解为(x-3)(x+2),则m的值为 知识点02提公因式法因式分解 ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c): 注意：挖掘隐含公因式；有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最 好能一次性提取完。 【即学即练2】4.(25-26八年级上湖南邵阳·期末)下列多项式可以提取公因式的是() A.x2+y2 B.x2+x C.x2-y2 D.x2+2xy+y2 5.(25-26八年级上·重庆·月考)多项式1-a叫y+(a-1)因式分解的结果正确的是() A.(1-a(xy+ B.(1-a(xy-1 c.(a-1(xy- D.(a-1(xy+1 6.(2026河南周口二模)因式分解：a(x-1刂-3(x-刂= 2/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01判断是否是因式分解 【典例1】(24-25八年级上·云南德宏·期末)下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是() A.(a+3)2=a2+6a+9 B.2a'b+2ab =2ab(a+1) C.15ab=3a.5b D.(a+b)(a-b)=a2-b2 【变式1】(25-26九年级下·安徽宿州·月考)下列因式分解正确的是() A.y2-x2=(y+x)(x-y) B.x2-4x+2=(x-22 C.x2y-xy2=x(x+y)(x-y) D.x2+6y+9y2=(x+3y)2 【变式2】(25-26八年级下·全国·课后作业)下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变 形，属于因式分解的有 (填序号). ①2aa-1=2a2-2a:②25ab=(5ab5a2b）;③x2-1=(x+1(x-1;④x2-y=xx-y)；⑤ m2-6m+9=mm-6)+9. 【变式3】(25-26八年级上新疆月考)有下列变形：①x-1(x+2)=x+x-2:② x2-7x+6=(x-1(x-6)；③x2-2x-10=x(x-2)-10.其中是整式乘法的有」 ,是因式分解的有_ 题型02已知因式分解的结果求参数 【典例2】(25-26八年级上·湖北荆门月考)若多项式x2+ax+b可因式分解为x+9)(x-6,则a的值为 () A.-3 B.3 C.-54 D.54 【变式1】(25-26八年级上·四川乐山期末)将多项式x2-px+100分解因式为： x2-px+100=(x-5)(x+q,则(p-q=-() A.2025 B.1225 C.625 D.225 【变式2】(25-26七年级上·上海青浦期中)如果2x2+px+q因式分解的结果为(x+3(2x-),那么 p+q= 。 【变式3】(25-26七年级上·上海期中)已知整式x2-x+k可以因式分解为(x+m(x-5),则m的值为 题型03已知因式分解中错题正解问题 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例3】(24-25八年级上四川宜宾·期末)甲、乙两个同学分解因式x2+mx+n时，甲把m看错分解结果 为x+3(x-4),乙把n看错分解结果为x+(x+3),那么多项式x2+x+n分解的正确结果是() A.(x+2(x-6)B.(x+6)(x-2C.(x+4(x-3) D.(x-1(x+5) 【变式1】(25-26八年级上·甘肃定西·月考)甲、乙两名同学分解因式x2+x+n时，甲把m看错导致分解 结果为x+3(x-4),乙把n看错导致分解结果为x+(x+3),求多项式x+x+n分解因式的正确结果. 【变式2】在分解因式时x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是x+(x+9)；乙看错b的值，分 解的结果是(x-2(x-4).请你把x2+ax+b进行正确的因式分解. 【变式3】(24-25七年级下·全国课后作业)学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式： 3am+6a2m-12am,小刚同学是这样做的： 解：3a3m+6a2m-12am =ma.3a2+ma.6a-ma.12 =ma3a2+6a-12」 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案。 题型04公因式 【典例4】(25-26八年级上·重庆沙坪坝期末)把多项式2x2+4y分解因式，应提取的公因式是() A.x B.y C.2x D.2y 【变式1】(25-26九年级上山东烟台期末)多项式6ab+12abc-3ab中，各项的最大公因式是() A.-a2b2 B.3a'b C.3a'be D.a'b 【变式2】(25-26九年级下广东汕头·月考)多项式πr2h+πr3中各项的公因式是 【变式3】(25-26八年级下·全国·课后作业)(1)多项式2a2+4ab中各项的公因式是 (2)多项式πrh+π中各项的公因式是 (3)多项式-3x2+9xy-6x中各项的公因式是 题型05提公因式法分解因式 【典例5】(2026浙江舟山一模)分解因式：x2-4x= 【变式1】因式分解. (1)3ma3+6ma2-12ma (2)3xa-b)-6y(b-a 【变式2】(24-25八年级下·陕西西安·期中)因式分解： (1)3x2-6x+12xy; 4/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)3x2(x-y)+6x(y-x. 【变式3】(25-26七年级下·全国课后作业)把下列各式分解因式： (1)x(x-y)+y(y-x), (2)(x-y)3+4x(x-y)2 题型06利用提公因式法因式分解求值 【典例6】(24-25八年级上：云南德宏期末)如果a-b=3,ab=10,那么ab-ab2的值是() A.-30 B.-13 C.13 D.30 【变式1】(2026山东日照.一模)已知y=4,x-y=-2,则代数式xy-y的值是 【变式2】(25-26八年级下四川成都·月考)已知实数m满足m2-m=1,则m3-m2-m+18的值是 【变式3】(25-26八年级下全国课后作业)已知2x+y=6,x-3y=1,求代数式7y(x-3y)2+2(x-3y) 的值. 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上山西临汾期末)多项式2xy2+3xy-6xy中，各项的公因式是(). A.xy B.x2y C.2x2y D.3x2y 2.(25-26八年级下·全国课后作业)把多项式2a2m-6a2因式分解，结果正确的是() A.2a(am-3) B.2a2(m-3 C.m(a-32 D.m(a+3)(a-3) 3.(25-26八年级上山东期末)若多项式x2-ax+12可分解为(x+3(x-b),则a-b的值为() A.3 B.-3 C.11 D.-11 4.(25-26七年级上·上海奉贤·期末)下列从左到右的变形，属于因式分解的是（) A.(x-2)2=x2-4x+4 B.x2+3x+2=xx+3)+2 C.x2-9=(x+3(x-3) D.2x*2=2+ 5.(25-26七年级下陕西西安·月考)若x2-2x=4,则x4-2x3-8x-6的值为() A.8 B.10 C.16 D.20 二、填空题 6.(2026安徽合肥一模)因式分解：4a2+2ab= 5/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7.(2026九年级下广东深圳专题练习)己知a-b=2,ab=2,则ab-ab2= 8.(25-26八年级上湖北荆门期末)若多项式x2+x-2因式分解的结果为(x-2(x+1),则n的值为 9.(25-26八年级下·全国课后作业)因式分解： (1）(m-2)2-(m-2)=: (2)a(a-b)+ab(a-b)= 10.(2025八年级上河北邯郸·专题练习)在下列等式中：①a-b2=(a+b(a-b):② (p-2(p+5)=p2+3p-10:③x2-x-12=(x-4)(x+3).其中属于因式分解的是 属于 整式乘法的是一·（填序号） 三、解答题 11.(25-26八年级下内蒙古呼和浩特·月考)已知a=2+5,b=2-V5,求下列各式的值： (1)a2+b: (2)a2b-b2a. 12.(25-26八年级上广东广州期末)在分解因式x2+ax+b时，甲看错了b,分解结果为x+1(x-6): 乙看错了a,分解结果为x+2)(x+3),求a+b的值. 13.(24-25八年级上·重庆长寿·月考)因式分解： (1)24abc2-8ab2; (2)m+3n(4m-n-(m+3n(m-7n）. 14.(25-26八年级上全国期末)仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值 解：设另一个因式为x+n,得x2-4x+m=(x+3(x+m),则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, 、「n+3=-4,「n=-7 m=3m解得m=-21 另一个因式为x-7,m的值为-21. 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是2x-5,求另一个因式以及k的值. (2)已知多项式x3+4x2+nx+m中含有一个因式x2+x-2,试求m,n的值. 15.(25-26八年级上湖南怀化期末)阅读材料，探究问题. 我们可通过运算得到(x+2)(x+3)=x2+5x+6和x-4)(x+5=x2+x-20. 【探索归纳】 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为x+a,宽为x+b. x+a- x+6 5 甲 乙 (1)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解. (2)若x2+2x+m=(x+5)(x-3),则m= 【拓展延伸】 (3)已知关于x的整式gx-2x-5可以写成两个因式的积，其中一个因式是3x-5.求另一个因式和9的 值. (4)若5x2+x-6可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数）， 直接写出所有正整数k的值. 7/7