第四章 因式分解章节复习（3大考点+10大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4章 因式分解章节复习 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点]因式分解的概念 知道点2提公因式法因式分解 知识清单 知识点3公式法因式分解 题型1判断是否是因式分解 题型2已知因式分解的结果求参数 因式分解章节复 题型3公因式 习 题型4判断能否用公式法分解因式 题型5综合提公因式和公式法分解因式 题型精讲 题型6因式分解在有理数简算中的应用 题型7利用因式分解求值 题型8十字相乘法因式分解 题型9分组分解法因式分解 题型10因式分解的应用 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解因式分解的概念，明确其与整式乘法的互逆关系，能正确判断变形是否为因式 分解。 2.熟练掌握提公因式法和公式法（平方差、完全平方公式），能按“一提二套三检查” 教学目标 步骤，对多项式准确、彻底分解。 3.体会逆向思维、整体代换思想，能用因式分解简化运算、解决简单代数问题，培养 观察、归纳与运算能力。 1重点 (1)理解因式分解的本质定义及与整式乘法的互逆关系，掌握其“多项式→整式积” 教学重难点 的形式要求。 (2)熟练、准确运用提公因式法、平方差与完全平方公式法分解因式，掌握基本步骤 1/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 与规范。 2.难点 (1)识别复杂多项式的公因式（含多项式公因式、符号、系数、指数），避免漏提、 错提，确保分解“彻底”。 (2)灵活选用并综合运用分解方法，区分公式结构，克服整式乘法思维定势，建立逆 向变形意识。 知识清单 知识点01因式分解的概念 因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式， 知识点02提公因式法因式分解 ①提公因式法：pa+pb+pcp(a+b+c): 注意：挖掘隐含公因式，有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好 能一次性提取完 知识点03运用公式法因式分解 运用公式法：a2-b2-(a+b)(a-b): 运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2。 题型精讲 题型01判断是否是因式分解 【典例1】(25-26八年级下·陕西西安·月考)下列因式分解正确的是() A.2x2-4x=2xx-4) B.x2+x-6=xx+1-6 Q+2=可到 D.x2-16=x+4)x-4 【变式1】(25-26八年级下江苏泰州·月考)下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是() A B.x2-1=xx-1 C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.2am+bm=m(2a+b) 【变式2】(25-26八年级上·广东湛江·期末)下列各式从左到右的变形为因式分解的是() A.x2-4=(x-2)+4x B.x2-6x+9=(x-3)2 2/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.a+1(a-1=a2-1 D.a2-1+2a=a+1)(a-1+2a 【变式3】(25-26八年级上·北京西城月考)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 (填 序号) ①-训=r-3:②r-5+6=-到6：@+江+2=+：国+=r+） 题型02已知因式分解的结果求参数 【典例2】(2026河北沧州模拟预测)若49m2-△因式分解的结果为(7m+4n)(7m-4n),则“△”是() A.-4n2 B.4 C.-16n2 D.162 【变式1】(25-26八年级上山东泰安期末)若多项式x2-ax-1可分解为x-2)(x-b),则a-b的值为() A.2 B.1 C.-2 D.-1 【变式2】(25-26八年级下·四川绵阳·开学考试)若x2+mx-12=(x-3)(x+4),则m= 【变式3】(25-26八年级上江西南昌·期末)若多项式x2+x-b因式分解的结果是x-2)(x+5,则 a+b= 题型03公因式 【典例3】(25-26八年级上·湖南郴州期末)用提公因式法分解因式，多项式3x2-9x中能提出的公因式是 () A.3 B.x C.3x D.x2 【变式1】(25-26八年级下，全国课后作业)下列多项式中，各项的公因式为5ab的是() A.30ab2-10a2b B.15a2b+20a2b C.10a2b-20ab* D.15a'b+5ab 【变式2】(25-26八年级上江苏泰州期末)把多项式4x2y-2y分解因式时，应提取的公因式是 【变式3】(25-26八年级上山东烟台·期末)多项式9x2y+3xy2-6xyz中，各项的公因式是 题型04判断能否用公式法分解因式 【典例4】(25-26八年级上山东泰安：期末)下列各式中不能进行因式分解的是（) A.a2-9b2 B.p2-2pq+q C.a2+a+1 D.pi-q2 【变式1】(25-26八年级上·重庆綦江·期末)下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是() A.y2+2 B.y2-9 C.y3-27 D.y2+6y+1 【变式2】(25-26七年级上·上海·课后作业)下列多项式能用公式法分解因式的有() ①x2-2x-1 ② 4-x+1 ③-a2-b2 ④-a2+b2 ⑤x2-4xy+4y2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(24-25八年级上山东泰安期末)在多项式x2+y2，-y2+x，-x-y，r+x+4,-+2x- ,4x2+1-4x中，能用公式法分解因式的有个. 题型05综合提公因式和公式法分解因式 【典例5】(25-26八年级上·江西南昌·月考)下列因式分解正确的是() A.2a2+4a=a2a+4 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.-a2+2ab-b2=(a-b)2 D.ax2-a=a(x2-1) 【变式1】(2025·吉林四平.模拟预测)分解因式：ab-4ab+4b= 【变式2】(25-26八年级下江苏苏州月考)因式分解：a2(m-2)+b2(2-m). 【变式3】(25-26八年级下·江苏泰州月考)分解因式： (1)-16a2+4b2: (2)3a2-12ab+12b2; (3)x2(y-2)-4y-2) 题型O6因式分解在有理数简算中的应用 【典例6】(25-26八年级上·江西南昌·月考)利用因式分解计算533×534-5332等于() A.1 B.-533 C.533 D.534 【变式1】(25-26八年级上·山东威海期末)利用因式分解计算：22028-2202”= 【变式2】(25-26八年级下全国课后作业)利用因式分解计算：3032-606×297+2972=一· 【变式3】(25-26八年级下·江苏无锡月考)利用因式分解计算： 0号-是5. 17 (2)1012-101×190+952. 题型07利用因式分解求值 【典例8】(25-26八年级上广西贵港期末)如果a+b=2,ab=1,那么ab+2a2b2+ab3的值为（) A.1 B.3 C.4 D.8 【变式1】(25-26八年级下·河南信阳·月考)若Va-1+b2-4b+4=0,则a+b的值等于() A.-1 B.0 C.2 D.3 【变式2】(25-26八年级下·江苏无锡月考)若x+y+z=2,x2-(y+z=6,则x-y-2= 【变式3】(25-26八年级下·安徽合肥月考)若m=√6+√3，n=√6-√3，求m2-mn+n2的值. 题型08十字相乘法因式分解 【典例9】(25-26八年级上湖北孝感期末)分解因式x2-5x+6,结果正确的是() A.（x-6x+1 B.(x-6x-1 C.（x+2)(x+3 D.（x-2)x-3 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(25-26八年级下.全国月考)若x2-ax+6=(x-6)(x+b),则a+b2026=() A.-8 B.8 C.-6 D.6 【变式2】(25-26八年级上·山东淄博期末)因式分解：x2-2x-35= 【变式3】(25-26八年级上山西阳泉·期末)阅读与理解 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现八年级上册教材133页有一种因式分解的方法叫十字相乘法， 即(x+p)x+q)=x2+(p+q)x+pq,则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式x2+5x6因式分解 成(x+2)(x+3),松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项6 分成两个整数的积，且这两个整数的和等于5才可以，即pg=6,p+q=5,则口算就可以得到p=2, 9=3或p=3,9=2,然后再将p与q的值代入式子x+p)(x+q中即可得到(x+2)(x+3).” (1)按照以上方法，若x2-5x+6=(x-2)(x-3),那么二次三项式x2+7x+10应如何分解呢？ x2+7x+10= (2)请你帮松松完成这个因式分解的题目吧：2x2-4x-16: (3)在松松，南南的共同努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，为了锻炼大家的思维，老师准备了一 道拓展思考题：若x2+mx-18可分解为两个一次因式，且m为整数，求m的所有可能值.请你帮他们一起 完成这个题吧， 题型09分组分解法因式分解 【典例10】(24-25七年级下·全国课后作业)下列式子中，属于2x3-x2+2x-1的因式的是() A.x2 B.2x C.2x-1 D.2x+1 【变式1】(24-25八年级上山东淄博·期中)已知a-b=3,b-c=-4,则整式a2-ac-b(a-c)的值为() A.-12 B.-4 C.-3 D.3 【变式2】(25-26八年级上·陕西商洛·期末)分解因式：m2-1-2mn+n2= 【变式3】(24-25八年级下山东青岛·月考)阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法.但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如 x2-4y2-2x+4y,细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分 分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了.过程如下： x2-4y2-2x+4y=(x-2y)(x+2y）-2(x-2y)=(x-2yj(x+2y-2). 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：x2-a2+x+a (2)己知ABC的三边长a、b、c满足条件：a4-b4+b2c2-a2c2=0,判断ABC的形状，并说明理由. 题型10因式分解的应用 【典例7】(2026·湖北十堰一模)已知a+b=3,ab=2,则ab+ab2=() A.5 B.6 C.8 D.9 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(22-23八年级下，河南周口·期中)已知a,b,c是ABC的三边，且满足 (a2+b2)(a-b)-c2(a-b)=0,则ABC的形状是() A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【变式2】（25-26八年级下·贵州遵义·开学考试)已知某广场上一个圆形喷水池的面积为 πx2+14元xy+49πy2(x>0,y>0),则该圆形喷水池的半径为 【变式3】(25-26八年级上山东日照·期末)【知识生成】 (1)图形是一种重要的数学语言，它直观形象、简洁概括、有时我们可以借助几何图形来研究代数恒等式， 观察图1，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，我们可以得到a2+2ab+b2= a b 6 5 图1 图2 图3 【知识应用】 (2)基于上面的解答，根据图2，写出一个代数恒等式： (3)利用（2)中得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=8,a2+b2+c2=26,求ab+bc+ac的值. 【知识迁移】 (4)类似，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式.图3表示的是一个棱长为 x的正方体截去一个小长方体后重新拼成一个新长方体.请你根据图3中两个图形的变化关系，写出一个代 数恒等式： 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上河北邢台期末)淇淇的因式分解为：3x2-3=3■，被覆盖处应为(). A.（x+1 B.(x2-1) C.(x-12 D.（x+1)(x-1 2.(24-25七年级下·全国·课后作业)对4x2-16因式分解，嘉嘉的解答为：4(x+2)(x-2)；琪琪的解答为： (2x+2(2x-2),下列判断正确的是() A.只有嘉嘉的结果对 B.只有琪琪的结果对 C.两人的结果都对 D.两人的结果都不对 3.(25-26八年级上山东淄博·期末)若a+b=√5，ab=1,则a3b+2a2b2+ab3的值为() A.1 B.3 C.6 D.9 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(2026九年级下·重庆·专题练习)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是() A.x2-5x+6=xx-5+6 B.x2-4=-4-x2 C.（x-2)(x-3=x2-5x+6 D.x2+3x=x(x+3 5.(25-26八年级上江苏南通·期末)若实数a、b满足a+b-ab=1,则(a+2)2+(b+2)2的最小值为() A.0 B.8 C.9 D.10 二、填空题 6.(25-26八年级上江西南昌·期末)多项式3a3b2-6a2c的公因式是 7.(2026广东广州一模)分解因式：2mx2-18m= 8.(25-26八年级下江苏盐城月考)已知a+b=4,ab=3,则ab+ab2的值为 9.(25-26八年级上山东临沂期末)2026+2026,2026 2026 …+ 2 2×33×4 2025×2026 10.(25-26八年级下江苏常州月考)已知实数a,b满足a2=3a+b,b2=a+3b,且a≠b,则代数式 Va2+b2+1的值是 三、解答题 11.(25-26八年级下江苏无锡·月考)在实数范围内因式分解： (1)m2-3; (2)3a2-12ab+12b2; (3)x2(y-2)-4y-2). 12.(河北省唐山市2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷)已知整式A=ax2-4x+c(a ,c为常数). (I)若a=1,且A为完全平方式，直接写出c的值并将整式A因式分解： (2)若x=2,则A=-9;若x=-1,则A=6,求a和c的值 13.(24-25七年级下·甘肃陇南月考)现有甲、乙、丙三种卡片，如图1所示.某同学从中取出若干张卡片， 拼成如图2和图3的图形，如图所示 乙 乙 丙 b丙 甲 甲 乙 甲 甲 甲 图1 图2 图3 (1)若图2的面积为S,图3的面积为S,求S和S2;(用代数式表示) (2)已知卡片乙的周长为10，若S2-S=15,求a-b的值 14.(25-26八年级下·四川成都月考)阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等.但有的 多项式只用上述方法就无法分解，如x2-4y2+2x-4y,细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式， 7/8 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 后两项可提取公因式，分解过程为： x2-4y2+2x-4y=x2-4y2+(2x-4y).分组 =（x-2y)x+2y+2x-2y).组内分解因式 =(x-2y)(x+2y+2).整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：9x2-y2-9x+3y; (2)己知a,b,c分别是ABC的边长，若a2+2ab+b2=c2+45,a+b-c=3,求ABC的周长. 15.(24-25八年级下·陕西西安·期中)仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为x+n,得 x2-4x+m=x+3)(x+n则x2-4x+m=x2+n+3x+3n n+3=-4 m=3n n=-7 解得： m=-21' 另一个因式为x-7),m的值为-21. 问题： (I)已知二次三项式x2+6x+a有一个因式是(x+5),求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式2x2-bx-15有一个因式是(x+3),请仿照例题将2x2-bx-15因式分解. 8/8 第4章 因式分解章节复习 教学目标 1. 理解因式分解的概念，明确其与整式乘法的互逆关系，能正确判断变形是否为因式分解。 2. 熟练掌握提公因式法和公式法（平方差、完全平方公式），能按“一提二套三检查”步骤，对多项式准确、彻底分解。 3. 体会逆向思维、整体代换思想，能用因式分解简化运算、解决简单代数问题，培养观察、归纳与运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）理解因式分解的本质定义及与整式乘法的互逆关系，掌握其“多项式→整式积”的形式要求。 （2）熟练、准确运用提公因式法、平方差与完全平方公式法分解因式，掌握基本步骤与规范。 2.难点 （1）识别复杂多项式的公因式（含多项式公因式、符号、系数、指数），避免漏提、错提，确保分解“彻底”。 （2） 灵活选用并综合运用分解方法，区分公式结构，克服整式乘法思维定势，建立逆向变形意识。 知识点01 因式分解的概念 因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 知识点02 提公因式法因式分解 ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； 注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完. 知识点03 运用公式法因式分解 运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)； 运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 题型01 判断是否是因式分解 【典例1】（25-26八年级下·陕西西安·月考）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，即把多项式化为几个整式乘积的形式，结合提公因式法，平方差公式对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、因式分解的结果需为几个整式的乘积，选项结果是和差形式，且正确分解结果为，选项错误； C、因式分解要求每个因式都必须是整式，选项结果中是分式，不是整式，选项错误； D、，选项正确． 【变式1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式，根据定义逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A、 是分式，不是多项式，而因式分解的对象必须是多项式，故该变形不属于因式分解，不符合题意； B、等式右边不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、该变形是整式乘法，是将乘积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； D、符合因式分解的定义，将多项式化为两个整式的积的形式，属于因式分解，符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形为从左到右，根据定义即可判断各选项． 【详解】解：∵因式分解要求从左到右变形后，结果为几个整式的积的形式， ∴A 选项中右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B 选项中，左边是多项式，右边，是两个整式的积的形式，变形正确，是因式分解； C 选项中，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解； D 选项中，右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解． 【变式3】（25-26八年级上·北京西城·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 题型02 已知因式分解的结果求参数 【典例2】（2026·河北沧州·模拟预测）若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算，对比原式即可求出的值． 【详解】解：， ∵， ∴， 等式两边同时消去，得， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】解：由题意得， ∴， 比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）若，则_____． 【答案】1 【分析】根据因式分解与整式乘法的关系，将化简展开，比较系数即可． 【详解】解：， ． 【变式3】（25-26八年级上·江西南昌·期末）若多项式因式分解的结果是，则___________． 【答案】13 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求参数，代数式求值，将因式分解的结果展开，与原多项式比较系数，求出a和b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：， 根据题意得， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：13． 题型03 公因式 【典例3】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键． 先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】∵多项式中，系数3和9的最大公因数是3，字母部分和的最低次幂是x． ∴该多项式的公因式为． 故选：C 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；据此即可求得答案． 【详解】解：A、、的公因式为，不符合题意； B、、的公因式为，符合题意； C、、的公因式为，不符合题意； D、、的公因式为，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【分析】公因式：多项式的每一项都含有的因式． 【详解】解：的公因式是． 【变式3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的公因式是___________． 【答案】3xy/ 【分析】本题考查了公因式，解题关键是能利用公因式的概念确定公因式．本题可以找出多项式各项系数的最大公约数和字母部分的最低次幂，取它们的积即可求解． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为9、3、，其最大公约数为3； 各项均含有和，且的最低指数为1，的最低指数为1， 因此公因式为， 故答案为： 题型04 判断能否用公式法分解因式 【典例4】（25-26八年级上·山东泰安·期末）下列各式中不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，通过因式分解的常用方法（如平方差公式、完全平方公式）或判别式判断各选项是否能分解． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项 C：，不能进行因式分解，符合题意； 选项 D：，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·重庆綦江·期末）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式． 【详解】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解； ② ，符合完全平方公式，故能分解； ③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解； ④ ，符合平方差公式，故能分解； ⑤ ，符合完全平方公式，故能分解． ∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 【变式3】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 题型05 综合提公因式和公式法分解因式 【典例5】（25-26八年级上·江西南昌·月考）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，而选项A中的还能提取公因式，未分解彻底，故A错误； ，选项B分解正确且彻底，故B正确； ，选项C中符号错误，故C错误； ，因式还可以继续分解为，选项D中未分解彻底，故D错误． 故选：B． 【变式1】（2025·吉林四平·模拟预测）分解因式：_________． 【答案】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）因式分解：． 【答案】 【分析】先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解； （3）先提取公因式，再用平方差公式分解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ， ； （3）解：， ， ． 题型06 因式分解在有理数简算中的应用 【典例6】（25-26八年级上·江西南昌·月考）利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【答案】C 【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用． 通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算． 【详解】解： ． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；通过提取公因式进行因式分解后计算． 【详解】解： ． 故答案为 ． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解计算：_____． 【答案】36 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算，正确计算是解题的关键． 观察表达式，发现其符合完全平方公式的形式，通过完全平方公式进行因式分解简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型07 利用因式分解求值 【典例8】（25-26八年级上·广西贵港·期末）如果，，那么的值为（  ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是将所求代数式通过提取公因式和完全平方公式进行变形，转化为用已知条件和表示的形式，再代入计算即可． 【详解】解： ， ， 将，代入得：原式； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级下·河南信阳·月考）若，则的值等于（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用非负数的性质求解，算术平方根和完全平方都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此求出a，b的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， 解得 ，， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）若，，则__________． 【答案】3 【分析】根据可推出，结合已知条件可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若，，求的值． 【答案】15 【分析】先利用完全平方公式将所求代数式变形，再计算得到和的值，再代入变形后式子计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， ， 则 ． 题型08 十字相乘法因式分解 【典例9】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次三项式的因式分解，利用十字相乘法分解二次三项式，需找到两个数，使其和为一次项系数、积为常数项，再完成因式分解即可． 【详解】解：∵要分解，需找两个数满足和为，积为， ∴这两个数是和， ∴． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·月考）若，则（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【分析】先求出的值，再代入求值即可． 【详解】 , 常数项相等：, . 项系数相等：, 代入, . 故选：B. 【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是掌握因式分解的方法.. 【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·期末）因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，通过十字相乘法将二次三项式分解为两个一次因式的乘积． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山西阳泉·期末）阅读与理解 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现八年级上册教材133页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项6分成两个整数的积，且这两个整数的和等于5才可以，即，，则口算就可以得到，或，，然后再将p与q的值代入式子中即可得到．” (1)按照以上方法，若，那么二次三项式应如何分解呢？ ________； (2)请你帮松松完成这个因式分解的题目吧：； (3)在松松，南南的共同努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，为了锻炼大家的思维，老师准备了一道拓展思考题：若可分解为两个一次因式，且m为整数，求m的所有可能值．请你帮他们一起完成这个题吧． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（）根据题意中十字相乘的方法即可求解； （）先提“” ，再用十字相乘的方法即可求解； （）根据十字相乘的方法把分成两个整数的积，再求这两个整数的和即可； 此题考查了利用十字相乘法因式分解，解题的关键是正确理解和掌握十字相乘法因式分解的应用． 【详解】（1）解：二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后将与的值代入式子中即可得到， 故答案为： （2）解： ， ； （3）解：∵， ，，，，，， ∴可能为：，，． 题型09 分组分解法因式分解 【典例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列式子中，属于的因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式的因式分解及因式的概念，解题的关键是判断每个选项能否整除给定的多项式． 通过对多项式进行分组分解因式，再判断各选项是否为其因式． 【详解】 由此可知是的因式，而都不是它的因式． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·陕西商洛·期末）分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的分组分解法与公式法，解题的关键是先将前三项分组为完全平方式，再与后一项结合用平方差公式分解． 先对多项式进行分组，将组合成完全平方式；再将得到的式子与结合，利用平方差公式继续分解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·山东青岛·月考）阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形或直角三角形，理由见解析． 【分析】（1）利用分组分解法进行求解即可； （2）利用分组分解法将等式左边的多项式进行因式分解后，进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：为等腰三角形或直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ∵、、是的三边长， ∴， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 题型10 因式分解的应用 【典例7】（2026·湖北十堰·一模）已知，，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解. 再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：对所求式子因式分解得：， ∵ ，， ∴ 原式． 【变式1】（22-23八年级下·河南周口·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由，可得，然后通过等腰三角形定义及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴的形状是等腰三角形或直角三角形． 【变式2】（25-26八年级下·贵州遵义·开学考试）已知某广场上一个圆形喷水池的面积为，则该圆形喷水池的半径为___________． 【答案】 【分析】对已知的面积表达式因式分解，结合圆的面积公式对比得到半径的平方，结合得到半径． 【详解】解：设该圆形喷水池的半径为r， ， ∵某广场上一个圆形喷水池的面积为， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴该圆形喷水池的半径为． 【变式3】（25-26八年级上·山东日照·期末）【知识生成】 （1）图形是一种重要的数学语言，它直观形象、简洁概括、有时我们可以借助几何图形来研究代数恒等式，观察图，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，我们可以得到________． 【知识应用】 （2）基于上面的解答，根据图，写出一个代数恒等式：_______________． （3）利用（）中得到的结论，解决下面的问题：已知，求的值． 【知识迁移】 （4）类似，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式．图表示的是一个棱长为的正方体截去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：_________________． 【答案】（）；（）；（）；（）． 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，完全平方公式在几何图形中的应用，因式分解的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）依据正方形的面积，正方形的面积，可得等式； （）依据正方形的面积，正方形的面积，可得等式； （）依据进行计算即可； （）根据原几何体的体积等于新几何体的体积，列式可得结论． 【详解】（）解：观察图，正方形的面积，正方形的面积， ∴， 故答案为：；   （）解：∵正方形的面积，正方形的面积， ∴， 故答案为：； （）解：， ∴， ∴的值为； （）解：∵原几何体的体积，新几何体的体积， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）淇淇的因式分解为：，被覆盖处应为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的实际运用．熟悉运用提取公因式，利用公式法进行因式分解，是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解：因式分解， 提取公因式，得：， 根据平方差公式因式分解，得：． 故选：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）对因式分解，嘉嘉的解答为：；琪琪的解答为：，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的结果对 B．只有琪琪的结果对 C．两人的结果都对 D．两人的结果都不对 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的正确步骤，需先提取公因式，再利用平方差公式分解，同时要保证因式分解结果与原式等价且分解彻底． 【详解】解：∵原式为 ∴先提取公因式4，得 又∵符合平方差公式（其中，） ∴ ∴最终因式分解结果为，即嘉嘉的结果正确 ∵琪琪的结果展开后为，与原式不相等 ∴琪琪的结果错误， ∴只有嘉嘉的结果对． 故选：A． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期末）若，，则的值为（　　） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知的和的值整体代入计算即可得到结果，用到提取公因式法和完全平方公式． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴原式． 4．（2026九年级下·重庆·专题练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．该选项右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； B．该选项右边没有化为几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； C．该选项左边是整式积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； D．该选项将多项式化为两个整式的积，且变形正确，符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意． 5．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若实数a、b满足，则的最小值为（    ） A．0 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】先对已知等式移项凑因式分解形式，得到变量的约束条件，再分别代入目标式，结合平方的非负性找到最小值，确定最终答案． 【详解】解：∵， ∴，因式分解得， ∴或． 情况1：当时，， ∵， ∴ 表达式的最小值为； 情况2：当时，， ∵， ∴， 表达式的最小值为． 二、填空题 6．（25-26八年级上·江西南昌·期末）多项式的公因式是___________． 【答案】 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题关键．确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；由此即可得． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为：． 7．（2026·广东广州·一模）分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解即可． 【详解】解：． 8．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）已知，，则的值为______． 【答案】12 【分析】把所求式子因式分解为，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 9．（25-26八年级上·山东临沂·期末）______． 【答案】2025 【分析】先提取公因式2026，再利用裂项相消法拆分括号内的分数，抵消中间项后通过有理数运算求解． 【详解】解： ． 10．（25-26八年级下·江苏常州·月考）已知实数a，b满足，，且，则代数式的值是________ 【答案】3 【分析】根据题意可得，，进一步可得，根据推出，则，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 11．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）在实数范围内因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．（河北省唐山市2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷）已知整式（a，c为常数）． (1)若，且A为完全平方式，直接写出c的值并将整式A因式分解； (2)若，则；若，则，求a和c的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据完全平方式可得，进而问题可求解； （2）由题意可代值进行求解即可． 【详解】（1）解：由可得， ∵A为完全平方式，且， ∴， ∴； （2）解：当，时，则有，① 当，时，则有，② 由①②可得：． 13．（24-25七年级下·甘肃陇南·月考）现有甲、乙、丙三种卡片，如图所示．某同学从中取出若干张卡片，拼成如图和图的图形，如图所示． (1)若图的面积为，图的面积为，求和；（用代数式表示） (2)已知卡片乙的周长为，若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据长方形的面积公式，用含，的代数式分别表示出和即可； （2）根据卡片乙的周长为得出，再根据，进行整式的加减运算，再因式分解，结合整体思想进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ； （2）解：卡片乙的周长为， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ． 14．（25-26八年级下·四川成都·月考）阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分组，再用公式分解． （2）先利用完全平方公式得到，推出，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的周长． 15．（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $