知识点总结：数与代数篇-2026年小升初数学复习讲练测

2026年小升初数学复习讲练测 知识点总结：数与代数篇 第一章：数的认识 知识点01 整数的认识 2 知识点02 小数的认识 3 知识点03 因数与倍数 5 知识点04 分数的认识 7 知识点05 百分数的认识 8 知识点06 正、负数的认识 8 第二章：数的运算 知识点01 整数的四则运算 9 知识点02 小数的四则运算 10 知识点03 分数的四则运算 11 知识点04 百分数的四则运算 11 知识点05 四则混合运算与简便计算 11 知识点06 和、差、积、商的变化规律 12 第三章：式与方程 知识点01 用字母表示数 13 知识点02 含有字母式子的化简与求值 14 知识点03 等式与方程 14 知识点04 方程的解和解方程 15 第四章：比和比例 知识点01 比的意义 15 知识点02 比的基本性质 16 知识点03 化简比和求比值 16 知识点04 比例的意义 17 知识点05 比例的基本性质 17 知识点06 解比例 18 知识点07 正比例 18 知识点08 反比例 18 知识点09 比例尺 19 知识点10 比例的应用 19 第五章：测量与常见的量 知识点01 长度单位 20 知识点02 面积单位 20 知识点03 体积和容积单位 20 知识点04 质量单位 20 知识点05 时间单位 20 知识点06 人民币单位 22 知识点07 名数的改写 22 知识点01：整数的认识 1.整数的意义：像-3、-2、-1、0、1、2、3……这样的数统称为整数。 2.整数的分类：整数包括正整数、0和负整数。 3.自然数：正整数和0统称自然数。 4.整数的组成 （1）整数由数位、计数单位、数级三部分组成，遵循十进制计数法。相邻两个计数单位之间的进率是10。 （2）计数单位：表示数的大小的单位，如个（一）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿… （3）数位：计数单位所占的位置，如个位、十位、百位、千位… （4）位数：一个整数有几个数位，就是几位数。 5.整数的读法和写法 （1）读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个零。 （2）写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 6.整数的大小比较：先看位数，位数多的数大；位数相同，从最高位看起，相同数位上的数大的那个数就大。 7.数的改写 （1）整万数改写：去掉末尾4个0，在后面加“万”字； （2）整亿数改写：去掉末尾8个0，在后面加“亿”字。 改写前后数的大小不变，中间要用“＝”连接。 8.求近似数 （1）省略万位后面的尾数，看千位；省略亿位后面的尾数，看千万位。 （2）用“四舍五入法”判断：尾数最高位上的数＜5，直接舍去尾数，添上“万”/“亿”字；尾数最高位上的数≥5，向前一位进1，再舍去尾数，添上“万”/“亿”字。 【易错点拨】 （1）最小的正整数是1。 （2）最小的自然数是0。 （3）数的改写只改变书写形式，不改变数的大小；求近似数改变数的大小，只保留近似值。 知识点02：小数的认识 1.小数的意义：把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。 2.小数的组成 （1）小数的计数单位：小数的计数单位是十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……，相邻两个计数单位间的进率是10（十进制）。 （2）小数的数位顺序：小数点右边第一位是十分位，计数单位是0.1；第二位是百分位，计数单位是0.01；第三位是千分位，计数单位是0.001…… 3.小数的分类 根据小数部分，可以将小数划分为： ①有限小数：小数部分的位数是有限的小数。 ②无限小数：小数部分的位数是无限的小数。 ③循环小数：如果从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这个小数就是循环小数。依次不断重复出现的一个或几个数字，就是这个循环小数的循环节。 4.小数的读法和写法 （1）读法：整数部分按照整数的读法来读，小数点读作 “点”，小数部分依次读出每一位上的数字。 （2）写法：整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分依次写出每一位上的数字。 5.小数的大小比较：先比较整数部分，整数部分大的数大；整数部分相同，再比较十分位，十分位上的数大的那个数就大；十分位相同，再比较百分位，依次类推。 6.小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。 7.小数点的移动引起小数大小变化规律： （1）小数点向左移动一位、两位、三位……小数就缩小为原来的、…… （2）小数点向右移动一位、两位、三位……小数就扩大为原来的10倍、100倍、1000倍…… 8.小数的近似数和改写 （1）四舍五入法：看“要保留的数位的下一位”，判断舍或进。 （2）具体步骤： ①确定“保留的数位”； ②找到“保留数位的下一位”（保留一位小数，看百分位；保留两位小数，看千分位）； ③判断：下一位数字＜5，直接舍去末尾的数；下一位数字≥5，向前一位进1，再舍去末尾的数。 【易错点拨】 （1）改写和化简都不改变小数的大小，仅改变小数的书写形式。 （2）小数点移动时，若位数不够，用0占位。 （3）保留的小数位数中，末尾的0表示精确程度，不能随意去掉。 知识点03：因数与倍数 1.因数和倍数的概念：如果a×b=c（a、b、c都是非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 2.因数和倍数的特征 （1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 （2）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 3.找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 （2）列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 4.找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5.2、3、5的倍数特征 （1）2的倍数的特征：自然数中个位上是0，2，4，6，8的数。 （2）5的倍数的特征：个位上是0或5的数。 （3）3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数。 （4）同时是2和3的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8，且各个数位上的数字之和是3的倍数； （5）同时是3和5的倍数的特征：个位上是0或5的数，各个数位上的数字之和是3的倍数； （6）同时是2和5的倍数的特征：个位上是0的数； （7）同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 6.奇数和偶数 自然数按是否是2的倍数，可以分为奇数和偶数两大类。 （1）偶数：是2的倍数的数叫偶数。 （2）奇数：不是2的倍数的数叫奇数。 （3）奇偶性运算规律 奇数＋奇数＝偶数；奇数＋偶数＝奇数；偶数＋偶数＝偶数； 奇数×奇数＝奇数；奇数×偶数＝偶数；偶数×偶数＝偶数。 7.质数与合数 （1）质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。 （2）合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 （3）100以内的质数表（共25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 8.最大公因数和最小公倍数 （1）公因数和最大公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 （2）公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 （3）求最大公因数和最小公倍数的核心方法：短除法 【易错点拨】 （1）因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，不能说谁是因数，也不能说谁是倍数，应该说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。 （2）0是最小的偶数；1是最小的奇数。 （3）最小的质数是2；最小的合数是4；1既不是质数，也不是合数。 知识点04：分数的认识 1.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数是这个分数的分数单位。 2.分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。 3.分数的读法和写法 （1）读法：先读分母，再读分数线，最后读分子。带分数先读整数部分，再读分数部分。 （2）写法：先写分数线，再写分母，最后写分子。带分数先写整数部分，再写分数部分。 4.分数与除法的关系： 两个数相除，它们的商可以用分数表示，即。 5.分数的分类 （1）真分数：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。 （2）假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于或等于1。 （3）带分数：由整数部分和真分数部分组成的分数叫做带分数。 6.分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 7.约分和通分 （1）约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 约分时，把分数的分子、分母同时除以它们的公因数。 （2）通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 通分时，一般用几个分母的最小公倍数作公分母。 （3）最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数。 8.倒数 （1）定义：乘积是1的两个数互为倒数。 （2）求倒数的方法 ①分数的倒数：直接把分子和分母互换位置；带分数先化成假分数，再求倒数。 ②整数的倒数（0除外）：把整数看作分母是1的分数，再互换分子分母。 【易错点拨】 （1）分母（除数）不能为0，因为0不能作除数，分数中分母为0无意义。 （2）1的倒数是它本身。 （3）0没有倒数。 知识点05：百分数的认识 1.百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数形式，而用“%”来表示。 2.百分数的读法：百分数先读分母，再读分子。百分号％读作“百分之”，不能读作“一百分之”。 3.百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而是在原来分子的后面加上“％”来表示。 4.分数、小数、百分数的互化 （1）分数化成百分数：先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数），再把小数化成百分数。 （2）小数化成百分数：把小数点向右移动两位，在后面添上百分号。 （3）百分数化成小数：把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 （4）百分数化成分数：先把百分数改写成小数，再把小数化成分数，能约分的要约成最简分数。 【易错点拨】百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，无单位名称。 知识点06：正、负数的认识 1.负数的意义：为了表示相反意义的量，如收入与支出、上升与下降等，引入了负数。负数是小于0的数，通常在数字前面加上“−”号表示。 2.正数与负数的定义 （1）大于0的数叫正数。正数有无数个，包括正整数，正分数和正小数。 （2）小于0的数叫负数。负数有无数个，包括负整数，负分数和负小数。 3.正负数的读、写方法 （1）读法：“＋”读作正，“－”读作负。读正数和负数时，按照从左到右的顺序，先读“正”或“负”，再读后面的数。如果正数前面的“＋”省略没写，那么读数时也不读出“正”字。 （2）写法：写正数和负数时，按照从左到右的顺序，先写“＋”或“－”，再写后面的数。通常情况下，“＋”可以省略不写，但“－”不能省略。 2.正、负数在直线上的位置规律 （1）正数：在0的右侧，距离原点几个单位长度，就表示正几； （2）负数：在0的左侧，距离原点几个单位长度，就表示负几； （3）所有数都能在直线上找到唯一对应的点（一一对应关系）。 （4）用有正数和负数的直线可以表示距离和相反的方向。 3.正、负数的大小比较 （1）负数＜0＜正数。 （2）两个负数比较大小，数字大的反而小。 【易错点拨】0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点。 知识点01：整数的四则运算 1.四则运算的意义：加、减、乘、除四种运算统称四则运算。 （1）加法：把两个或多个整数合并成一个数的运算。 （2）减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，是加法的逆运算。 （3）乘法：求几个相同加数的和的简便运算。 （4）除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，是乘法的逆运算。 2.四则运算的计算法则 （1）加法：相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进1。 （2）减法：相同数位对齐，从个位减起，哪一位上的数不够减，就从前一位退1当10，和本位上的数合起来再减。 （3）乘法：从个位起，用一个因数的每一位依次去乘另一个因数的每一位，用哪一位去乘，积的末位就和那一位对齐，最后把所有积相加（多位数乘法）。 （4）除法：从被除数的高位除起，除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；每次除后余下的数必须比除数小；除到被除数末尾有余数，可添0继续除。 （5）有余数除法：被除数÷除数=商……余数（余数＜除数）。 3.四则运算各部分之间的关系 （1）加法各部分间的关系：①和=加数＋加数；②加数=和－另一个加数 （2）减法各部分间的关系：①差=被减数-减数；②减数=被减数-差；③被减数=减数+差 （3）乘法各部分间的关系：①积=因数×因数；②因数=积÷另一个因数 （4）除法各部分间的关系：①商=被除数÷除数；②除数=被除数×商；③被除数=商×除数 （5）有余数的除法：①被除数＝除数×商＋余数；②除数＝（被除数－余数）÷商。 4.估算 （1）估算时，一般是将其中的大数看作整十、整百、整千……的数，使原式通过口算便可求出得数。由于得数是近似值，所以计算时要用“≈”连接。 （2）估算的方法 （1）去尾法：把每个数的尾数去掉，取整十或整百数进行计算；适用于“求最多能做多少”（如做衣服、扎花）。 （2）进一法：在每个数的最高位上加1，取整十整百数进行计算；适用于“求至少需要多少”（如装油、租车）。 （3）四舍五入法：当尾数小于或等于4的舍去，当尾数等于或大于5的便进1，取整十或整百数进行计算。 【易错点拨】 （1）0不能做除数。 （2）整数除法中，余数必须小于除数 知识点02：小数的四则运算 1.小数加法和减法：先把小数点对齐，也就是相同数位对齐，然后按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点。 2.小数乘法：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 3.小数除法：除数是整数时，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”再继续除。除数是小数时，先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 【易错点拨】 （1）小数加减法未对齐小数点，误按末位对齐。 （2）小数乘法的积的小数位数不够时未补“0”，直接点小数点。 （3）除数是小数时，被除数小数点移动位数与除数不一致 知识点03：分数的四则运算 1.分数加法和减法：同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减；异分母分数相加减，先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算。 2.分数乘法：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 3.分数除法：甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘乙数的倒数。 【易错点拨】 （1）分数加减法异分母异分母分数不通分，直接分子、分母分别加减；计算结果不约分成最简分数。 （2）分数除法忘乘倒数，直接分子分母相除。 （3）带分数未化成假分数就直接运算。 知识点04：百分数的四则运算 1.百分数的加减法：先把百分数化成小数或分数，再进行计算。 2.百分数的乘法和除法：通常也先把百分数化成小数或分数，然后按照小数或分数的乘除法法则进行计算。 【易错点拨】 （1）直接用百分数参与加减乘除（百分数需先转化为小数/分数）。 （2）给百分数带单位（百分数无单位）。 知识点05：四则混合运算与简便计算 1.四则混合运算的顺序 （1）在没有括号的算式里，先算二级运算，再算一级运算；同级运算，从左往右依次计算。 （2）在有括号的算式里，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2.简便运算 （1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a＋b＝b＋a。 （2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。 （3）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b＝b×a。 （4）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即（a×b）×c＝a×（b×c）。 （5）乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即（a＋b）×c＝a×c＋b×c。 （6）减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c＝a-（b＋c）。 （7）除法的性质：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以两个除数的“积”。用字母表示：a÷b÷c＝a÷（b×c）。 3.简便运算中常用方法 （1）凑整法：运用补充数或分解数的方法楼成整十、整百、整千的数，在计算中凑成整数； （2）拆数法：把接近整十、整百的数拆成“整十/百±几”或相乘的形式，使其中的数与其他数可以“凑整”； （3）逆用运算律：出现相同因数时，逆用乘法分配律提取公因数。 （4）扩缩法：当两个因数间存在倍数关系时，可以利用积不变（或商不变）原则，将因数通过扩大或缩小一定的倍数进行简便计算。 （5）去括号/添括号规则： ①括号前是“+”，去/添括号后，括号内符号不变。 ②括号前是“−”，添括号后括号内符号要变号。 ③括号前是“÷”，添括号后括号内符号要变号。 【易错点拨】 （1）同级运算必须“从左到右”，不能跳步；不同级运算不能先算加减。 （2）括号的作用是改变运算顺序，必须成对出现；括号内有同级运算时，仍按“从左到右”计算。 知识点06：和、差、积、商的变化规律 1.和的变化规律 （1）如果一个加数加上（或减去）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也加上（或减去）这个数。 （2）如果一个加数加上（或减去）一个数，另一个加数反而减去（或加上）这个数，那么它们的和不变。 2.差的变化规律 （1）如果被减数加上（或减去）一个数，减数不变，那么它们的差也加上（或减去）这个数。 （2）如果被减数不变，减数加上（或减去）一个数，那么它们的差反而减去（或加上）这个数。 （3）如果被减数和减数同时加上（或减去）同一个数，那么它们的差不变。 3.积的变化规律 （1）如果一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数不变，那么它们的积也乘（或除以）这个数。 （2）如果一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数反而除以（或乘）这个数，那么它们的积不变。 4.商的变化规律 （1）没有余数的除法： ①如果被除数乘（或除以）一个数（0除外），除数不变，那么它们的商也乘（或除以）这个数； ②如果被除数不变，除数乘（或除以）一个数（0除外），那么它们的商反而除以（或乘）这个数； ③如果被除数和除数同时乘（或除以）同一个数（0除外），那么它们的商不变。 （2）有余数的除法：在有余数的除法中，如果被除数和除数同时乘（或除以）同一个数（0除外），那么它们的商不变，余数也同时乘（或除以）这个数。 【易错点拨】积和商的变化规律应用中，忽略“0除外”的前提。 知识点01：用字母表示数 1.用字母表示数量关系：字母可以表示数量关系，也可以表示运算结果。 （1）路程、速度和时间分别用字母s、v、t表示三者之间的关系：。 （2）工作总量、工作效率和工作时间分别用字母c、a、t 表示；三者之间的关系：c＝at，，。 （3）收入、支出和结余分别用字母a、b、c表示三者之间关系：c＝a－b，a＝b＋c，b＝a－c。 2.用字母表示运算律和性质 （1）加法运算律 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） （2）乘法运算律 交换律：a×b＝b×a；结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）；分配律：（a±b）×c＝a×c±6×c （3）运算性质 减法性质：a－b－c＝a－（b＋c）；除法性质：a÷b÷c＝a÷（b×c） 3.用字母表示计算公式：几何图形的周长、面积、表面积、体积的计算公式也常用字母表示。 【易错点拨】 （1）数字和字母、字母和字母中间的乘号可以记作“・”或省略不写，但要记住在省略乘号时数字应当写在字母的前面，例如：a×b=ab； （2）“1”与任何字母相乘时，“1”都省略不写，例如：1×a=a； （3）当两个相同字母相乘时，可以写成这个字母的平方，例如：a×a=a2； （4）在同一个数量关系中，一个字母只能表示一种数量。 知识点02：含有字母式子的化简与求值 1.化简方法：只把系数相加减，字母和指数不变： 2.求值步骤 （1）写出条件：当a=…时； （2）代入原式； （3）算出结果. 知识点03：等式与方程 1.等式的意义：表示两个相等关系的式子叫作等式。 2.等式的性质 （1）等式两边同时加上（或减去）同一个数，所得的结果仍是等式； （2）等式两边同时乘（或除以）相同的数（0除外），所得的结果仍是等式。 3.方程的意义：含有未知数的等式叫作方程。 4.方程与等式的关系 （1）方程都是等式，但等式不一定是方程。 （2）方程具备两个条件：①含有未知数；②是等式。 【易错点拨】方程一定是等式，但等式不一定是方程。 知识点04：方程的解和解方程 1.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 2.解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 3.解方程原理：天平平衡。 4.简易方程的解法 （1）消元法：根据等式的基本性质求方程的解。 （2）公式法：①“－x”：减数＝被减数－差；②“÷x”：除数＝被除数÷商。 5.方程的检验：把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值，如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解；否则就不是。 【易错点拨】 （1）解方程时，必须在算式最左边写“解：”，后续步骤紧跟“解：”书写，不能遗漏“解”字，这是解方程的格式要求。 （2）当未知数系数为1，直接利用性质1求解；系数为-1，需两边同时乘-1，不能忽略负号。 知识点01：比的意义 1.比的意义：两个数的比表示两个数相除。 2.比的读、写法及各部分名称 （1）比的写法：∶b或（b≠0）。 （2）比的读法：“∶”读作“比”，从前往后读成“几比几”。 （3）比号前面的数叫做比的前项，后面的数叫做比的后项，前项除以后项得的商叫做比值。 （4）比值可以用分数表示，也可以用小数表示，还可以用整数表示。 （5）比值＝比的前项÷比的后项 3.比和比值的区别 （1）比表示的是两个数的关系，是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式，读作几比几。 （2）比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。 4.比与分数、除法的关系： 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） —（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系； 不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 知识点02：比的基本性质 1.比的基本性质：比的前项和后项同时乘或同时除以相同的数（0除外），比值不变。 a∶b＝na∶nb（b≠0，n≠0），或者a∶b＝∶ （b≠0，n≠0）。 2.最简整数比：比的前项和后项是互质数的比，叫做最简单的整数比。 【易错点拨】判断是否为最简比，关键看前项和后项是否互质。 知识点03：化简比和求比值 1.求比值：求比值就是求比的前项除以后项所得的商。比值可以用小数、分数或整数表示。 2.化简比：化简比则是把两个数的比化成最简单的整数比。化简比时，通常需要根据比的基本性质，将比的前项和后项同时乘或除以某个数，使它们成为互质数。 3.化简比的方法 （1）整数比的化简：直接找出比的前项和后项的最大公因数，然后同时除以这个最大公因数。 （2）小数比的化简：将比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，变成整数比后再进行化简。 （3）分数比的化简： ①方法一：将比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简。 ②方法二：用求比值的方法进行化简，但最后结果要写成比的形式。 （4）求带单位的比的比值或化简： ①单位统一的比，求比值或化简比，直接化简求值即可； ②单位不统一的，要先将单位进行统一，然后再求比值。化简比的方法也一样。 【易错点拨】 （1）化简比用“比的基本性质”（乘除相同数，0除外），求比值用“除法运算”（前项÷后项）。 （2）化简比结果是“a∶b”（最简整数比），求比值结果是整数、小数或分数（不能是比的形式）。 知识点04：比例的意义 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）两端的两项叫做比例的外项。 （3）中间的两项叫做比例的内项。 3.比和比例的联系与区别 知识点05：比例的基本性质 1.比例的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 2.用字母表示：如果a∶b＝c∶d（b、d均不为0），那么ad＝bc。 3.判断两个比能否组成比例的方法 （1）求出比值，看它们的比值是否相等； （2）根据比例的基本性质求“积”，看两个外项的积是否等于两个内项的积。 知识点06：解比例 1.解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。 2.解比例的依据：比例的基本性质。 3.解比例的方法：可以根据比例的基本性质将原式转化成学过的方程，再解方程；也可以先将原式进行整理计算，再转化成学过的方程来解。 知识点07：正比例 1.相关联的量：两种量中，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量叫做相关联的量。 2.正比例 （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 （2）字母表达式：如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为。 （3）关键特征：比值一定，变化方向相同（一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小）。 （4）正比例的图象：如果把成正比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，形成一条射线；反之，该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 知识点08：反比例 1.定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2.字母表达式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy＝k。 3.关键特征：乘积一定，变化方向相反（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）。 4.反比例的图象：反比例关系也可以用图象来表示，如果把成反比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，会形成一条光滑的曲线；反之，该曲线上的每一个点对应的就是反比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 知识点09：比例尺 1.比例尺：一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 用公式表示为“图上距离∶实际距离＝比例尺”，或“＝比例尺”。 2.比例尺的分类 （1）按照表现形式分，比例尺有数值比例尺和线段比例尺两种，两种比例尺可以互相转化。 把线段比例尺改写成数值比例尺时，一定要统一单位。 （2）按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。 3.应用比例尺画图 （1）根据实际距离与纸张的大小确定平面图的比例尺； （2）根据比例尺求出图上距离； （3）根据图上距离画出相应的平面图； （4）标明平面图的名称和比例尺。 【易错点拨】 （1）比例尺是一个比，它表示图上距离和实际距离的关系，因此不能带计量单位。 （2）计算时单位必须统一。 （3）线段比例尺需先转化为数值比例尺，再进行计算。 知识点10：比例的应用 1.图形的放大与缩小 （1）图形按一定的比放大或缩小后，只是图形的大小发生了变化，图形原有的形状没变化。 （2）把图形按比放大或缩小，就是把图形的每一条边都按比放大或缩小。 2.用正、反比例知识解决问题的解题步骤 （1）根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例关系。 （2）找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例方程。 （3）解比例。 （4）检验并写出答语。 知识点01：长度单位 1.量、计量和计量单位的意义 （1）事物的多少、长短、大小、轻重、快慢等，这些可以测定的客观事物的性质叫作量。 （2）把一个要测定的量作为同一个标准的量相比较叫作计量。 （3）用来作为计量标准的量叫作计量单位。 2.长度单位 （1）常用的长度单位：千米（km）；米（m）；分米（dm）；厘米（cm）；毫米（mm） （2）长度单位的进率：相邻两个长度单位间的进率是10 1千米＝1000米；1米＝10分米；1分米＝10厘米；1米＝100厘米；1厘米＝10毫米 知识点02：面积单位 1.常用的面积单位：平方千米（km2）；公顷（hm2）；平方米（m2）；平方分米（dm2）；平方厘米（cm2）；平方毫米（mm2） 2.面积单位的进率：相邻两个面积单位间的进率是100。 1平方千米＝100公顷；1公顷＝10000平方米；1平方米＝100平方分米； 1平方分米＝100平方厘米；1平方厘米＝100平方毫米 知识点03：体积和容积单位 1.常用的体积单位：立方米（m3）；立方分米（dm3）；立方厘米（cm3）；立方毫米（mm3） 2.常用的容积单位：一般用体积单位，液体用升（L）或毫升（mL）作单位。 3.体积单位的进率：相邻两个体积单位间的进率是1000。 1立方米＝1000立方分米；1立方分米＝1000立方厘米 1立方分米＝1升；1立方厘米＝1毫升；1立方米＝1000升 知识点04：质量单位 1.常用的质量单位：吨（t）；千克（kg）；克（g） 2.质量单位的进率：1吨＝1000千克；1千克＝1000克 知识点05：时间单位 1.世纪、年、月、日 （1）进率：1世纪＝100年；1年＝12个月 （2）大月：有31天，分别为1、3、5、7、8、10、12月； （3）小月：有30天，分别为4、6、9、11月； （4）平年和闰年 ①平年2月28天，闰年2月29天。 ②平年全年365天，闰年全年366天。 2.时、分、秒 进率：1日＝24时；1时＝60分；1分＝60秒；1时＝3600秒 3.24时记时法 （1）24时记时法的意义：24时记时法是指采用从0时到24时的记时法。 （2）普通记时法与24时记时法的转换 ①半夜12时，也叫0时，是一天的开始。 ②从0时到下午1时以前，两种计时法对时间的表示是相同的。 ③从下午1时起，24时计时法在表示时间时比普通计时法多12小时，普通计时法加12小时就是24时计时法，24时计时法减去12小时就是普通计时法。 4.计算经过的时间：如果是同一天，可以先化成24时记时法，再用结束时间减去开始时间；如果涉及两天或两天以上，可以以晚上12时为界，分段计算，再把每段时间加起来。 5.经过时间的计算：时、分、秒 （1）计算方法： 经过时间＝结束时刻－开始时刻； 结束时刻＝开始时刻＋经过时间； 开始时刻＝结束时刻－经过时间。 （2）当分钟数不够减时，要从小时数借1当60分再减。 6.经过时间的计算：年、月、日 （1）平年闰年判断：能被4整除的年份一般是闰年，但整百年份须能被400整除才是闰年。 （2）大月小月区分：大月有1、3、5、7、8、10、12月，每月31天；小月有4、6、9、11月，每月30天；2月平年28天，闰年29天。 （3）计算方法： ①计算有效天数（不跨月）的方法：结束日期＝开始日期＋1。 ②计算有效天数（跨月）的方法： 先将日期分成两段，开始日期到当月结束日期为第一段，剩余的天数为第二段； 有效天数＝当月结束日期－开始日期＋1＋剩余天数。 ③计算跨年的经过时间，先算整年的时间，再加上剩余月份的时间。 7.经过时间的计算：推理星期几 （1）方法：先算出两个日期的差，再看此天数包含几个星期（即包含几个7天），如果两个日期的差正好是7的倍数，那么这两个日期的星期数就相同；如果有余数，余数是几，就从首日期星期数的后一天开始往后数几天。 （2）注意 ①当两个日期是不同月份的时候，需分析第一个日期所在的月份是大月还是小月还是二月。 ②如果开始的那天也算一天，那么在计算余数对应的星期数时要从当天开始数。 【易错点拨】 （1）公历年份是4的倍数的一般都是闰年；但公历年份是整百数的必须是400的倍数才是闰年。 （2）使用普通计时法表示时间时，前面要加上“下午”或“晚上”等限制词。 （3）推理星期几，当两个日期是不同月份的时候，需分析第一个日期所在的月份是大月还是小月还是二月；如果开始的那天也算一天，那么在计算余数对应的星期数时要从当天开始数。 知识点06：人民币单位 1.常用的单位：元、角、分 2.人民币单位的进率：1元＝10角；1角＝10分；1元＝100分 知识点07：名数的改写 1.名数的意义 （1）计量的结果要用数来表示，并且还要带上单位名称，通常把它们合起来叫作名数。 （2）只带一个单位名称的，叫作单名数；带两个或两个以上单位名称的，叫作复名数。 2.名数的改写 （1）单名数化成单名数：高级单位的数换算成低级单位的数乘以进率，低级单位的数换算成高级单位的数除以进率 （2）复名数化成低级单位的名数：先把复名数中高级单位的数乘进率化成低级单位的数，再加上复名数中低级单位的数。 （3）复名数化成高级单位的名数：先把复名数中低级单位的数除以进率化成高级单位的数，再加上复名数中高级单位的数。 （4）单名数化成复名数： ①把单名数化成复名数时，用单名数除以进率，商是高级单位的数，余数是低级单位的数。 ②如果单名数是小数，整数部分就是复名数中高级单位的数，小数部分乘进率得到低级单位的数。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $