专题17：线和角（讲义）-2026年小升初数学复习讲练测

第六章：平面图形 专题17：线和角 （7大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：线段、直线、射线的认识和特征 考点02：平行与垂直的特征及性质 考点03：画垂线、平行线 考点04：角的认识和分类 考点05：角的度量 考点06：画角 考点07：角度的计算 知识点01：线段、直线、射线的认识和特征 1.线段 （1）定义：直线上两个端点之间的有限部分，有明确的长度。 （2）特征：有两个端点、可以测量长度、形状是直的。 （3）性质：两点之间，线段最短。 2.直线 （1）定义：把线段的两端无限延伸，得到的没有端点、无限长的线。 （2）特征：没有端点、不能测量长度、无限延伸、形状是直的。 3.射线 （1）定义：把线段的一端无限延伸，得到的只有一个端点、无限长的线。 （2）特征：有一个端点、不能测量长度、向一端无限延伸、形状是直的。 【易错点拨】 （1）直线、射线不能比较长短。 （2）实际场景识别：生活中没有真正的直线和射线，需结合特征抽象（如手电筒发出的光抽象为射线）。 知识点02：平行与垂直 1.垂直 （1）定义：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 （2）过直线外一点只能画一条已知直线的垂线。 2.平行 （1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的距离处处相等。 （2）平行线之间的距离处处相等。 （3）点到直线的所有连线中，垂线段最短。 【易错点拨】画垂线、直角要记得标符号。 知识点03：角 1.角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 2.角的分类： 锐角 直角 钝角 平角 周角 0°＜锐角＜90° 直角=90° 90°＜钝角＜180° 平角=180° 周角=360° （1）锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角； （2）1平角＝2直角，1周角＝2平角＝4直角。 3.角的度量 （1）角的度量方法：核心是“两对齐，一读数”，步骤如下： ①点对齐：将量角器的中心点与角的顶点完全对齐； ②线对齐：将量角器的0°刻度线与角的一条边完全对齐（这条边作为“基准边”）； ③读刻度：看角的另一条边所对应的量角器刻度，这个刻度值就是角的度数（注意区分内圈和外圈刻度）。 （2）刻度的选择技巧：若基准边对齐的是“内圈0°”，则读内圈刻度；若对齐的是“外圈0°”，则读外圈刻度。 4.角的大小比较 比较角的大小可以用叠合法，将两个角的顶点及一条边重合，另一条边在重合边的同侧，根据另一条边的位置来比较角的大小；也可以用量角器测量出角的度数，再比较度数的大小。 5.角的画法 先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合；在量角器上找到要画的角的度数的刻度线，并点上一个点；以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，就得到了要画的角。 【易错点拨】 （1）角的边的本质：角的两条边是射线（可无限延伸），不是线段，不能说“角的边长2厘米”。 （2）角的大小判断：与边的张开程度有关，张开越大角越大，张开越小角越小，与边的长短无关。 考点01：线段、直线、射线的认识和特征 【典型例题】如图中小三角形的边长都相等，那么小蚂蚁从A点沿三角形的边爬到B点的最短路线有（     ）条。 【变式训练】小鸭擅长游泳，走路却很吃力。现在它要先从点A走到岸边，再游到对岸，最后走到点B。请你为它设计最快的路线，并画出来。 考点02：平行与垂直的特征及性质 【典型例题】沙包投掷比赛中，沙包落地点到起掷线的距离为投掷成绩。下图是四名同学投掷沙包的情况，（     ）号同学的投掷成绩最好。 A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练】墨斗是中国传统木工行业中常用的工具，也是建筑中画线的工具，其中所蕴含的数学原理是（     ）。 墨斗使用方法 将濡墨后的墨线一端固定，拉出墨线牵直拉紧到需要的位置，再提起中段弹下。 A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．直线可以无限延长 D．点到直线的连线中垂线段最短 考点03：画垂线、平行线 【典型例题】下图是某学校平面示意图的一部分，其中地下有一根水管经过点A，并与图中的下水道平行。 （1）请在图中画一条直线用来表示这根水管。 （2）图中点A处有一个水龙头，现要从此处挖一条排水沟连接到下水道，应怎样挖才能使其长度最短？（请在图中画一条线段表示排水沟） 【变式训练】操作。 （1）画出小明从点A安全过马路的最短路线。 （2）在马路对面左边有一棵桂花树，已知桂花树与点A的连线正好与马路边成60°夹角，请在图中表示出桂花树的位置。 （3）求出马路的实际宽度。 考点04：角的认识和分类 【典型例题】颜真卿在《劝学》中提到“三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。”三更指的是晚上11时至凌晨1时，五更指的是早晨3时至5时。下面说法中，（     ）是错误的。 A．晚上11时，时针和分针所形成的较小角是锐角 B．凌晨1时，时针和分针所形成的较小角是锐角 C．早晨3时，时针和分针所形成的较小角是直角 D．早晨5时，时针和分针所形成的较小角是平角 【变式训练1】如图是拉筋斜踏板，要使坡度变大，就需要让∠1变大，下面说法正确的是（     ）。 A．增加OC的长度 B．增加OB的长度 C．将点D移到点E，∠1变大 D．将点D移到点G，∠1变大 【变式训练2】淘气制作了一个活动的角，他先让角的两边重合，将角的一边固定不动，再将另外一边朝一个方向旋转，每次旋转30°，旋转三次后形成的最小夹角是（ ）角，旋转六次后形成的夹角是（ ）角，旋转（ ）次后形成的夹角是周角。 考点05：角的度量 【典型例题】如图，阴影部分是个等腰三角形，一个底角是（ ）°。 【变式训练1】下图中，能量出角度的方法有（     ）。    A．②④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式训练2】太阳周年运行的轨道是一个圆形，中国古人称之为“黄道”，并把黄道分为24等份，每是一个节气，统称“二十四节气”。今年的6月21日至7月6日是“夏至”，这个节气处于黄道（ ）与（ ）之间。 考点06：画角 【典型例题】光线在空气中传播时，如果照到镜面上，则会发生反射现象，并且入射角与反射角的度数相等（如图1所示）。根据这个结论，如果一缕光线照到镜面上（如图2所示），反射光线会照到玩具小熊的身上吗？请你先测量∠1的度数，再画出反射光线并标出反射角的度数，验证你的结论。 经过测量，∠1＝（     ）°，反射光线（     ）（填“会”或“不会”）照到玩具小熊身上。 【变式训练】用一副三角板上的两个角，不可能拼成的角是（     ） A．105° B．75° C．150° D．100° 考点07：角度的计算 【典型例题】如图中的三角形ABC绕点C顺时针旋转150°后，点B正好落在长方形CDEF的DE边上，那么∠1＝（     ）。 A．30° B．45° C．60° D．120° 【变式训练1】如图，取一张长方形纸片，按下列方法折纸，∠2＝（ ）°。 【变式训练2】沿一条直线将一副三角尺按图所示方式摆放。∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 一、选择题 1．为了能尽快穿越斑马线，小希觉得应当沿垂直马路的方向走过斑马线。这一想法体现的数学依据是（     ）。 A．两点确定一直线 B．两点之间线段最短 C．过直线外一点到这条直线的垂直线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．利用一副三角尺的两个角拼叠一次，能画出不同度数的角，下面不符合的是（     ）。 A．15° B．65° C．105° D．150° 3．经过1小时，钟面上分针转过的角度与时针转过的角度相差（     ）。 A．330° B．300° C．150° D．120° 4．如图，AB＝AC，∠1和∠2分别是（     ）。 A．30°和60° B．60°和30° C．60°和60° D．30°和30° 5．如图，长方形折起一个角，已知∠1＝100°，则∠2＝（     ）。 A．40° B．50° C．60° D．30° 6．如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，“乙”尺是含45°角的直角三角尺，则如图中α与β一定相等的是（     ）。 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 二、填空题 7．如图，∠C＝60°，AB＝BC，∠1＝（ ）°，三角形ABC按角分是（ ）三角形，按边分是（ ）三角形。 8．钟面上指示3：30时，时针与分针的夹角是（ ）度。 9．现在是北京时间上午9点，再过（ ）分时，时针和分针首次在“6”的两侧离“6”字的夹角相等。 10．如图是一副三角板拼出的图形，∠1的度数为（ ）度。 11．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使得OC⊥OD，如果∠AOC＝40°，那么∠BOD的度数为（ ）。 12．一个直角三角形，两个锐角的度数的比是2∶3，这两个锐角分别是（ ）度和（ ）度。 13．如图，是一个直角三角形，已知，那么（ ）。 14．把一个平角按分成两个角，这两个角的度数分别是（ ）和（ ）。 15．如图所示，两个完全一样的长方形纸片拼在一起，已知图中的∠1＝35°，那么∠2＝（ ）°。 16．如图，把三角形ABC的边AC延长到点D，那么∠1＋∠2（ ）∠4。（填“＞”“＜”或“＝”） 17．如图，长方形里面有一个等边三角形，∠1＝（ ）°。 18．如图，一个五边形的内角和是540°，试一试，推导出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（ ）°。 19．下图是一张长方形的纸折起来以后的图形，已知∠1＝30°，则∠2＝（ ）°。 20．如图，一条公路（粗线）两侧有7个工厂（O1、O2、O3、O4、O5、O6、O7），通过小路（细线）分别与公路相连于A、B、C、D、E、F点。现要设置一个车站，使各工厂（沿小路、公路）到车站走的距离总和越小越好，这个车站应该设在（ ）点。 三、判断题 21．射线只能向一端延长，而直线可以向两端延长，所以射线可以测量长度而直线不能测量。（ ） 22．两条直线相交成4个角，只要有一个角是直角，这两条直线就互相垂直。（ ） 23．用一个10倍的放大镜来看一个15°的角，所看到的角是150°。（ ） 24．钟面上的时刻是9：30，这时分针和时针的夹角是钝角。（ ） 25．同一平面内有三条直线a、b、c，已知a⊥b，b∥c，那么a∥c。（ ） 四、作图题 26．如图是小伟跳远时留下的脚印。如果你是裁判员，该怎样测量他的成绩？请在图中画出待测量的线段。 五、解答题 27．如图，把三角形ABC的边AC延长到点D。请你说明∠2＋∠3＝∠4。 28．探索图形。 情景描述：小亮探究三角形，他先在作业本上画了一个三角形ABC，接着把边BC延长到点D。通过推理，他发现一个正确结论：∠3＋∠4＝180°。接着他又发现并提出一个非常有价值的问题：“∠1＋∠2＝∠4吗？”可他不会推理。假如小亮向你请教，你觉得∠1＋∠2＝∠4吗？请写出推理过程。 29．如图，在三角形中，已知∠1＝75°。 （1）∠4＝ °。 （2）∠4＋∠1＝180°，并且∠4和∠1相邻，此时我们称∠1和∠4互为邻补角，图中还有两组互为邻补角：一组是 和∠6，一组是∠2和 。 （3）我们把∠1，∠2和∠3叫作三角形的内角，∠4，∠5和∠6叫作三角形的外角，你能得出这个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系吗？如果不能，请说明理由。如果能，请写出推导过程。（可用文字叙述，也可以用式子表示） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章：平面图形 专题17：线和角 （7大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：线段、直线、射线的认识和特征 考点02：平行与垂直的特征及性质 考点03：画垂线、平行线 考点04：角的认识和分类 考点05：角的度量 考点06：画角 考点07：角度的计算 知识点01：线段、直线、射线的认识和特征 1.线段 （1）定义：直线上两个端点之间的有限部分，有明确的长度。 （2）特征：有两个端点、可以测量长度、形状是直的。 （3）性质：两点之间，线段最短。 2.直线 （1）定义：把线段的两端无限延伸，得到的没有端点、无限长的线。 （2）特征：没有端点、不能测量长度、无限延伸、形状是直的。 3.射线 （1）定义：把线段的一端无限延伸，得到的只有一个端点、无限长的线。 （2）特征：有一个端点、不能测量长度、向一端无限延伸、形状是直的。 【易错点拨】 （1）直线、射线不能比较长短。 （2）实际场景识别：生活中没有真正的直线和射线，需结合特征抽象（如手电筒发出的光抽象为射线）。 知识点02：平行与垂直 1.垂直 （1）定义：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 （2）过直线外一点只能画一条已知直线的垂线。 2.平行 （1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的距离处处相等。 （2）平行线之间的距离处处相等。 （3）点到直线的所有连线中，垂线段最短。 【易错点拨】画垂线、直角要记得标符号。 知识点03：角 1.角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 2.角的分类： 锐角 直角 钝角 平角 周角 0°＜锐角＜90° 直角=90° 90°＜钝角＜180° 平角=180° 周角=360° （1）锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角； （2）1平角＝2直角，1周角＝2平角＝4直角。 3.角的度量 （1）角的度量方法：核心是“两对齐，一读数”，步骤如下： ①点对齐：将量角器的中心点与角的顶点完全对齐； ②线对齐：将量角器的0°刻度线与角的一条边完全对齐（这条边作为“基准边”）； ③读刻度：看角的另一条边所对应的量角器刻度，这个刻度值就是角的度数（注意区分内圈和外圈刻度）。 （2）刻度的选择技巧：若基准边对齐的是“内圈0°”，则读内圈刻度；若对齐的是“外圈0°”，则读外圈刻度。 4.角的大小比较 比较角的大小可以用叠合法，将两个角的顶点及一条边重合，另一条边在重合边的同侧，根据另一条边的位置来比较角的大小；也可以用量角器测量出角的度数，再比较度数的大小。 5.角的画法 先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合；在量角器上找到要画的角的度数的刻度线，并点上一个点；以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，就得到了要画的角。 【易错点拨】 （1）角的边的本质：角的两条边是射线（可无限延伸），不是线段，不能说“角的边长2厘米”。 （2）角的大小判断：与边的张开程度有关，张开越大角越大，张开越小角越小，与边的长短无关。 考点01：线段、直线、射线的认识和特征 【典型例题】如图中小三角形的边长都相等，那么小蚂蚁从A点沿三角形的边爬到B点的最短路线有（     ）条。 【答案】5 【分析】小蚂蚁从A点到B点，最短路线，只能是从左向右，或从左上斜向右上爬，不能从右向左，也不能从右下向左上爬，根据标数法解答即可。 【详解】标数如下所示： 小蚂蚁从A点沿三角形的边爬到B点的最短路线有5条。 【变式训练】小鸭擅长游泳，走路却很吃力。现在它要先从点A走到岸边，再游到对岸，最后走到点B。请你为它设计最快的路线，并画出来。 【答案】见详解 【分析】根据点到直线的距离垂直线段最短和两点之间线段最短，设计小鸭从A点到B点的最快路线。据此解答。 【详解】因为小鸭子走路很吃力，所以小鸭子到岸边必须是垂直线段，所以先画出A点到岸边的垂直线段和B点到岸边的垂直线段；小鸭子擅长游泳，再连接两个垂足之间的线段，这样才是快的路线。 如图： 考点02：平行与垂直的特征及性质 【典型例题】沙包投掷比赛中，沙包落地点到起掷线的距离为投掷成绩。下图是四名同学投掷沙包的情况，（     ）号同学的投掷成绩最好。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】考查点到直线的距离概念，需要根据投掷成绩的定义，比较四名同学的成绩大小，找出成绩最好的同学。投掷成绩的定义是：沙包落地点到起掷线的距离，距离越大，投掷成绩越好。 【详解】A．起掷线在下方水平线上，①的沙包落地点距离起掷线的垂直距离是2格虚线间隔； B．②的沙包落地点距离起掷线的垂直距离是3格虚线间隔； C．③的沙包落地点距离起掷线的垂直距离是1格多虚线间隔，不到2格； D．④的沙包落地点距离起掷线的垂直距离是4格虚线间隔，是四个同学中距离最大的。 根据投掷成绩规则，落地点到起掷线的距离越大成绩越好，因此④号同学的投掷成绩最好。 故答案为：D 【变式训练】墨斗是中国传统木工行业中常用的工具，也是建筑中画线的工具，其中所蕴含的数学原理是（     ）。 墨斗使用方法 将濡墨后的墨线一端固定，拉出墨线牵直拉紧到需要的位置，再提起中段弹下。 A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．直线可以无限延长 D．点到直线的连线中垂线段最短 【答案】B 【分析】墨斗的使用如图：。固定的两端是2个点，2个点的位置确定了，就能确定墨线提起弹下后的磨痕所在的直线。 【详解】A．两点之间的连线中②最短。此图可以表示两点之间线段最短。 B．如图： 、 、   ，两点可以确定一条直线。 C．这是一条直线 ，可以将这条直线无限延长。 D． 点到直线的连线中②最短。此图可以表示点到直线的连线中垂线段最短。 墨斗是中国传统木工行业中常用的工具，也是建筑中画线的工具，其中所蕴含的数学原理是：两点确定一条直线。 故答案为：B 考点03：画垂线、平行线 【典型例题】下图是某学校平面示意图的一部分，其中地下有一根水管经过点A，并与图中的下水道平行。 （1）请在图中画一条直线用来表示这根水管。 （2）图中点A处有一个水龙头，现要从此处挖一条排水沟连接到下水道，应怎样挖才能使其长度最短？（请在图中画一条线段表示排水沟） 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边紧靠直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线，过A点作下水道的平行线即为这根水管； （2）从直线外一点到这条直线所画的所有线段中垂直线段最短，据此过点A作下水道的垂直线段，即为排水沟最短的长度。 【详解】（1） （2） 【变式训练】操作。 （1）画出小明从点A安全过马路的最短路线。 （2）在马路对面左边有一棵桂花树，已知桂花树与点A的连线正好与马路边成60°夹角，请在图中表示出桂花树的位置。 （3）求出马路的实际宽度。 【答案】（1）（2）见详解 （3）30米 【分析】（1）点到直线的距离垂直线段最短，因此从点A往对边做垂直线段，沿垂直线段走是安全过马路的最短路线。 （2）以点A为顶点，点A往左的射线为角的一边，画一个60°的角，角的另一边与马路对边的交点位置是桂花树，据此作图。 （3）测量出垂直线段的长度是图上距离，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，进行换算即可。 【详解】（1）（2） （3）测量可得马路的图上宽度是3厘米。 3÷＝3×1000＝3000（厘米） 3000厘米＝30米 答：马路的实际宽度是30米。 考点04：角的认识和分类 【典型例题】颜真卿在《劝学》中提到“三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。”三更指的是晚上11时至凌晨1时，五更指的是早晨3时至5时。下面说法中，（     ）是错误的。 A．晚上11时，时针和分针所形成的较小角是锐角 B．凌晨1时，时针和分针所形成的较小角是锐角 C．早晨3时，时针和分针所形成的较小角是直角 D．早晨5时，时针和分针所形成的较小角是平角 【答案】D 【分析】小于90°的角叫做锐角，等于90°的角叫做直角，大于90°小于180°的角叫做钝角，180°的角叫做平角。时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。据此解答即可。 【详解】A． 晚上11时，时针和分针所形成的较小角之间有1个大格，夹角是30°，是锐角。 B． 凌晨1时，时针和分针所形成的较小角之间有1个大格，夹角是30°，是锐角。 C． 早晨3时，时针和分针所形成的较小角之间有3个大格，夹角是3×30°＝90°，是直角。 D． 早晨5时，时针和分针所形成的较小角之间有5个大格，夹角是5×30°＝150°，是钝角。 则早晨5时，时针和分针所形成的较小角是平角说法是错误的。 故答案为：D 【变式训练1】如图是拉筋斜踏板，要使坡度变大，就需要让∠1变大，下面说法正确的是（     ）。 A．增加OC的长度 B．增加OB的长度 C．将点D移到点E，∠1变大 D．将点D移到点G，∠1变大 【答案】C 【分析】角的大小与角叉开的大小有关，与边的长短无关，据此解答。 【详解】A．增加OC的长度，是延长边，不会让∠1变大，不符合题意； B．增加OB的长度，是延长边，不会让∠1变大，不符合题意； C．将点D移到点E，AD长度一定，所以OC和OB开口变大，∠1变大，符合题意； D．将点D移到点G，AD长度一定，所以OC和OB开口变小，∠1变小，不符合题意． 故答案为：C 【变式训练2】淘气制作了一个活动的角，他先让角的两边重合，将角的一边固定不动，再将另外一边朝一个方向旋转，每次旋转30°，旋转三次后形成的最小夹角是（ ）角，旋转六次后形成的夹角是（ ）角，旋转（ ）次后形成的夹角是周角。 【答案】 直 平 12 【分析】角的概念：由一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。这里每次旋转30°，旋转几次就是几个30°相加得到夹角的度数，再根据角的度数判断角的类型。直角是90°，平角是180°，周角是360°，据此解答。 【详解】30°×3＝90° 30°×6＝180° 360°÷ 30°＝12（次） 所以淘气制作了一个活动的角，他先让角的两边重合，将角的一边固定不动，再将另外一边朝一个方向旋转，每次旋转30°，旋转三次后形成的最小夹角是直角，旋转六次后形成的夹角是平角，旋转12次后形成的夹角是周角。 考点05：角的度量 【典型例题】如图，阴影部分是个等腰三角形，一个底角是（ ）°。 【答案】25 【分析】由图可知，等腰三角形的顶角是180°－50°。等腰三角形的两个底角相等，用180°减去顶角的度数，再除以2就是一个底角的度数。 【详解】180°－50°＝130° （180°－130°）÷2 ＝50°÷2 ＝25° 所以，一个底角是25°。 【变式训练1】下图中，能量出角度的方法有（     ）。    A．②④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】使用量角器量角时，角的顶点必须与量角器中心重合；角的两边落在量角器同一圈的度数之差就是这个角的度数。据此解答即可。 【详解】由分析可知： ①中可以通过角的两边落在量角器同一圈的度数之差可以得到这个角的度数； ②④可以通过读度数的方法正常读出角的度数； ③中角的顶点没有与量角器中心重合，所以不能读出度数。 故答案为：B 【变式训练2】太阳周年运行的轨道是一个圆形，中国古人称之为“黄道”，并把黄道分为24等份，每是一个节气，统称“二十四节气”。今年的6月21日至7月6日是“夏至”，这个节气处于黄道（ ）与（ ）之间。 【答案】 90 【分析】用360°÷24，求出一个节气的度数；根据题意可知，夏至处于黄道90°，至90°＋一个节气的度数，据此解答。 【详解】360°÷24＝15° 90°＋15°＝105° 太阳周年运行的轨道是一个圆形，中国古人称之为“黄道”，并把黄道分为24等份，每是一个节气，统称“二十四节气”。今年的6月21日至7月6日是“夏至”，这个节气处于黄道90与105之间。 考点06：画角 【典型例题】光线在空气中传播时，如果照到镜面上，则会发生反射现象，并且入射角与反射角的度数相等（如图1所示）。根据这个结论，如果一缕光线照到镜面上（如图2所示），反射光线会照到玩具小熊的身上吗？请你先测量∠1的度数，再画出反射光线并标出反射角的度数，验证你的结论。 经过测量，∠1＝（     ）°，反射光线（     ）（填“会”或“不会”）照到玩具小熊身上。 【答案】65；会；图见详解 【分析】角的度量方法：量角要注意两对齐：量角器的中心点和角的顶点对齐；量角器的0刻度线和角的一条边对齐；做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线是几，这个角就是几度；看刻度要分清内外圈，据此测量∠1的度数。再把量角器的零刻度线与图中的虚线重合，量角器的中心点与角的顶点重合，找到65°的位置，注意内外圈的刻度，画出反射光线，再据此解答。 【详解】 经过测量，∠1＝（65）°，反射光线（会）（填“会”或“不会”）照到玩具小熊身上。 【变式训练】用一副三角板上的两个角，不可能拼成的角是（     ） A．105° B．75° C．150° D．100° 【答案】D 【分析】先明确一副三角尺的各个角度，只要其中的两个角相加或者相减后能得出的角都可以用一副三角尺拼出。 【详解】一副三角尺包含两个三角尺，角度分别为：45°、45°、90°；30°、60°、90°； 可使用的角度为：30°、45°、60°、90°。 A．105°的角可由45°和60°的角拼成； B．75°的角可由45°和30°的角拼成； C．150°的角可由90°和60°的角拼成； D．100°的角不能由三角板中的两个角拼成。 考点07：角度的计算 【典型例题】如图中的三角形ABC绕点C顺时针旋转150°后，点B正好落在长方形CDEF的DE边上，那么∠1＝（     ）。 A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】C 【分析】解题关键是利用旋转角的旋转角度，通过角的和差计算∠1。已知条件点B正好落在长方形CDEF的DE边上，三角形ABC的AC边与长方形CDEF的CF边重合了，可得旋转角∠ACF＝150°，用∠ACF减去长方形的直角得到∠1 。 【详解】∠1＝∠ACF－90°＝150°－90°＝60° 故答案为：C 【变式训练1】如图，取一张长方形纸片，按下列方法折纸，∠2＝（ ）°。 【答案】90 【分析】根据折叠的过程可知：∠1＋∠3＝∠2，再根据∠1＋∠2＋∠3是平角，平角＝180°，再进一步计算即可。 【详解】∠1＋∠3＝∠2 ∠1＋∠2＋∠3＝180° ∠2＋∠2＝180° 180°÷2＝90° 则∠2＝90° 【变式训练2】沿一条直线将一副三角尺按图所示方式摆放。∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】 105 45 【分析】一副三角板的内角度数如图，平角180°，∠1＝平角度数－45°－30°；∠2和∠1和30°组成一个平角，据此计算。 【详解】180°－45°－30°＝105° ∠2＝180°－105°－30° ＝75°－30° ＝45° 沿一条直线将一副三角尺按图所示方式摆放。∠1＝105°，∠2＝45°。 一、选择题 1．为了能尽快穿越斑马线，小希觉得应当沿垂直马路的方向走过斑马线。这一想法体现的数学依据是（     ）。 A．两点确定一直线 B．两点之间线段最短 C．过直线外一点到这条直线的垂直线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】小希为尽快穿越斑马线，选择沿垂直马路的方向走，这里把马路边缘看作直线，行人位置是直线外一点，垂直马路走的路径就是“垂直线段”，对应数学中 “点到直线的垂直路径”，进而具体分析。 【详解】A．“两点确定一条直线”，强调的是通过两点可以确定一条唯一的直线，而在穿越斑马线的情境中，重点不是确定直线，而是怎样走距离最短，所以该选项不符合； B．“两点之间线段最短”，是指在平面上，连接两点的所有线中，线段的长度是最短的，但此情境中，是从直线（马路边缘可看作直线 ）外一点（行人所在位置 ）到直线（马路对面对应点 ）的最短路径问题，并非单纯的两点之间，所以该选项不符合； C．把马路的一边看作一条直线，行人所在位置是直线外一点，沿垂直马路的方向走过斑马线，对应的线段就是过直线外一点到这条直线的垂直线段。根据 “过直线外一点到这条直线的垂直线段最短”，这样走的距离最短，能尽快穿越斑马线，该选项符合； D．“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，强调的是垂直直线的唯一性，比如过平面内一点作已知直线的垂线，只能作一条，而在穿越斑马线情境中，需要的是最短距离的依据，不是垂直直线的唯一性，所以该选项不符合。 故答案为：C 2．利用一副三角尺的两个角拼叠一次，能画出不同度数的角，下面不符合的是（     ）。 A．15° B．65° C．105° D．150° 【答案】B 【分析】根据一副三角尺包含一个30°、60°、90°三角板和一个45°、45°、90°三角板，可用角度为30°、60°、90°与45°、90°进行拼接重叠。拼叠一次指将两个角的度数相加或相减得到新角度。通过计算，选项A的15°可由45°减30°得到；选项B的65°无法由这些角度的和或差组合得出，因此不符合。选项C的105°可由60°加45°得到；选项D的150°可由60°加90°得到。 【详解】一副三角尺拼叠一次可得到以下角度（列举部分）： 加法：30°＋45°＝75°，30°＋60°＝90°，30°＋90°＝120°，45°＋60°＝105°，45°＋90°＝135°，60°＋90°＝150°。 减法：45°－30°＝15°，60°－45°＝15°（结果为正且有效）。 A．15°可由45°－30°得到，符合； B．65°无法由30°、45°、60°、90°中任意两个角度的和或差得到（例如：65°－30°＝35°不在可用角度中，65°－45°＝20°不在可用角度中），因此不符合。 C．105°可由60°＋45°得到，符合； D．150°可由60°＋90°得到，符合； 故答案为：B 3．经过1小时，钟面上分针转过的角度与时针转过的角度相差（     ）。 A．330° B．300° C．150° D．120° 【答案】A 【分析】钟面上12个数把钟面平均分成12大格，每大格所对应的圆心角是360°÷12＝30°，每两个相邻数间的夹角是30°。经过1小时，时针转过了30°，分针转过了一圈，即360°，据此即可计算出经过1小时，钟面上分针转过的角度与时针转过的角度相差多少度。 【详解】360°－30°＝330° 所以经过1小时，钟面上分针转过的角度与时针转过的角度相差330°。 故答案为：A 4．如图，AB＝AC，∠1和∠2分别是（     ）。 A．30°和60° B．60°和30° C．60°和60° D．30°和30° 【答案】A 【分析】观察图形可知，∠ACB和120°的角组成一个平角，则∠ACB＝180°－120°＝60°，三角形的内角和是180°，则∠1＝180°－90°－60°＝30°；AB＝AC，说明三角形是一个等腰三角形，等腰三角形的底角相等，即∠ABC＝∠ACB＝60°，那么∠2＝180°－60°×2＝60°。 【详解】∠1＝180°－90°－（180°－120°） ＝90°－60° ＝30° ∠2＝180°－（180°－120°）×2 ＝180°－120° ＝60° 故答案为：A 5．如图，长方形折起一个角，已知∠1＝100°，则∠2＝（     ）。 A．40° B．50° C．60° D．30° 【答案】B 【分析】如下图所示，长方形折起一个角，则∠3＝∠4。已知∠1＝100°，因为∠1＋∠3＋∠4＝180°，则∠3＝（180°－100°）÷2＝40°。折起来的部分是一个直角三角形，则∠2＝180°－90°－∠3，据此解答。 【详解】180°－100°＝80° 80°÷2＝40° 180°－40°－90°＝50° 则∠2＝50° 故答案为：B 6．如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，“乙”尺是含45°角的直角三角尺，则如图中α与β一定相等的是（     ）。 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】对每一个选项逐条分析，且掌握平角是180°和三角尺各个角的度数选择即可。 【详解】①α与β的和是90°，α与β不一定相等； ②α与β都是90°减同一个角的度数，α与β一定相等； ③α与β都是180°－45°＝135°，α与β一定相等； ④α＝90°－45°＝45°，β＝90°－30°＝60°，α与β一定不相等。 所以图中α与β一定相等的是②和③。 故答案为：B 二、填空题 7．如图，∠C＝60°，AB＝BC，∠1＝（ ）°，三角形ABC按角分是（ ）三角形，按边分是（ ）三角形。 【答案】 45 锐角 等边 【分析】根据题意，明确三角形的内角和是180°，已知∠C＝60°，AB＝BC，等腰三角形的两个底角相等，所以∠C＝∠A＝60°，三角形的另一个角就是180°减去60°，再减去60°等于60°；三个角均小于90°的三角形是锐角三角形；用180°减去75°和60°得到∠1的度数，等边三角形的三条边相等，三个角也相等。 【详解】180°－60°－60° ＝120°－60° ＝60° ∠1＝180°－60°－75° ＝120°－75° ＝45° ∠1＝45°，三角形ABC按角分是锐角三角形，按边分是等边三角形。 8．钟面上指示3：30时，时针与分针的夹角是（ ）度。 【答案】75 【分析】时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。3：30如图所示：，此时时针在3和4中间，分针指向6，一共是两大格和一个大格的一半，据此用30°×＋30°×2即可解题。 【详解】30°×＋30°×2 ＝15°＋60° ＝75° 钟面上指示3：30时，时针与分针的夹角是75度。 9．现在是北京时间上午9点，再过（ ）分时，时针和分针首次在“6”的两侧离“6”字的夹角相等。 【答案】 【分析】时针12小时走了360度，则平均每小时走30度，即60分钟走了30度，即每分钟走30÷60＝0.5（度），分针走一圈也就是60分钟走360度，即每分钟走360÷60＝6（度）。 设再过x分时时针和分针在6的两侧离6字的夹角相等，分针这时候走了6x度，则与“6”的夹角是（180－6x）度。当上午9点时，时针和“6”的夹角是90度，则时针x分钟后与“6”的夹角是（90＋0.5x）度。根据两个夹角相等得出方程，解方程即可。 【详解】解：设再过x分时时针和分针在6的两侧离6字的夹角相等。 180－6x＝90＋0.5x 6x＋0.5x＝180－90 6.5x＝90 x＝90÷6.5 x＝ 现在是北京时间上午9点，再过分时，时针和分针首次在“6”的两侧离“6”字的夹角相等。 10．如图是一副三角板拼出的图形，∠1的度数为（ ）度。 【答案】15 【分析】根据题意可知，一副是两个锐角分别是30°、60°的直角三角形，一副是锐角是45°的等腰直角三角形，所以∠1＝60°－45°，此题得解。 【详解】根据三角板的特征有： ∠1＝60°－45°＝15° ∠1的度数为15度。 11．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使得OC⊥OD，如果∠AOC＝40°，那么∠BOD的度数为（ ）。 【答案】50°或130° 【分析】 由图可知，∠BOD＝180°－∠COD－∠COA或者∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－（90°－∠COA）即可求值。 【详解】180°－90°－40° ＝90°－40° ＝50° 或者180°－（90°－40°） ＝180－50° ＝130° 即∠BOD的度数50°或130°。 12．一个直角三角形，两个锐角的度数的比是2∶3，这两个锐角分别是（ ）度和（ ）度。 【答案】 36 54 【分析】因为该三角形是直角三角形，所以有一个角是90度。又因为三角形内角和为180度，所以两个锐角的和为180－90＝90度。已知两个锐角的度数比是2∶3，那么总共的份数为2＋3＝5份，则每份的度数为90÷5＝18（度），第一个锐角占2份，度数为18×2＝36度。第二个锐角占3份，度数为18×3＝54度。 【详解】直角三角形有一个角是90度，三角形内角和为180度。 180－90＝90（度） 2＋3＝5（份） 90÷5＝18（度） 18×2＝36（度） 18×3＝54（度） 这两个锐角分别是36度和54度。 13．如图，是一个直角三角形，已知，那么（ ）。 【答案】60°/60度 【分析】根据图可知，∠1＋∠3＝180°，用180°－∠3＝∠1；三角形内角和是180°，用180°－∠B－∠1，即可求出∠2。 【详解】180°－150°＝30° 180°－90°－30° ＝90°－30° ＝60° △ABC是一个直角三角形，已知∠3＝150°，那么∠2＝60°。 14．把一个平角按分成两个角，这两个角的度数分别是（ ）和（ ）。 【答案】 80° 100° 【分析】平角的度数是180°。已知两个角的比例为4∶5，则总份数为4＋5＝9份。那么每份的度数为180÷9＝20°。占4份的角的度数是：20×4＝80°。占5份的角的度数是：20×5＝100°。 【详解】平角的度数是180°。 4＋5＝9（份） 180÷9＝20° 20×4＝80° 20×5＝100° 这两个角的度数分别是80°和100°。 15．如图所示，两个完全一样的长方形纸片拼在一起，已知图中的∠1＝35°，那么∠2＝（ ）°。 【答案】35 【分析】长方形的4个内角都是直角，如图，∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°，因此∠1＝∠2，据此分析。 【详解】已知图中的∠1＝35°，根据分析，∠1＝∠2，那么∠2＝35°。 16．如图，把三角形ABC的边AC延长到点D，那么∠1＋∠2（ ）∠4。（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＝ 【分析】分析题目，根据“三角形的内角和是180°”可知：∠1＋∠2＋∠3＝180°，再根据“平角是180°”可知：∠3＋∠4＝180°，据此进一步解答即可。 【详解】根据∠1＋∠2＋∠3＝180°可得：∠1＋∠2＝180°－∠3； 根据∠3＋∠4＝180°可得：∠4＝180°－∠3； 所以∠1＋∠2＝∠4＝180°－∠3。 把三角形ABC的边AC延长到点D，那么∠1＋∠2＝∠4。 17．如图，长方形里面有一个等边三角形，∠1＝（ ）°。 【答案】45 【分析】如下图所示，长方形的最左边是一个直角三角形，三角形的内角和是180°，用180°减去90°和15°，即可求出∠2的度数。长方形里面有一个等边三角形，等边三角形的每个角都是60°，∠1、∠2和60°组成一个平角，平角是180°，那么用180°减去60°和∠2的度数，即可求出∠1的度数。 【详解】180°－90°－15°＝75° 180°－75°－60°＝45°，则∠1＝45°。 18．如图，一个五边形的内角和是540°，试一试，推导出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（ ）°。 【答案】360 【分析】从图中可知，∠1和∠6、∠2和∠7、∠3和∠8、∠4和∠9、∠5和∠10都组成平角180°，且五边形的内角和是540°，即∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10＝540°，据此求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数之和。 【详解】因为∠1＋∠6＝180°，∠2＋∠7＝180°，∠3＋∠8＝180°，∠4＋∠9＝180°，∠5＋∠10＝180°，则： ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＝（180°－∠6）＋（180°－∠7）＋（180°－∠8）＋（180°－∠9）＋（180°－∠10） ＝180°＋180°＋180°＋180°＋180°－∠6－∠7－∠8－∠9－∠10 ＝180°×5－（∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10） ＝900°－540° ＝360° 所以，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°。 19．下图是一张长方形的纸折起来以后的图形，已知∠1＝30°，则∠2＝（ ）°。 【答案】75 【分析】在图中增加∠3，虚线部分折叠上来形成∠2，所以∠2＝∠3，∠1、∠2、∠3组成一个平角。用平角减去∠1后再除以2就是∠2的度数。 【详解】 从图中可以看出，∠2＝∠3，∠1＋∠2＋∠3＝180°； 所以∠2＝（180°－∠1）÷2 ＝（180°－30°）÷2 ＝150°÷2 ＝75° 即∠2＝（75）°。 20．如图，一条公路（粗线）两侧有7个工厂（O1、O2、O3、O4、O5、O6、O7），通过小路（细线）分别与公路相连于A、B、C、D、E、F点。现要设置一个车站，使各工厂（沿小路、公路）到车站走的距离总和越小越好，这个车站应该设在（ ）点。 【答案】D 【分析】先让各工厂的工人沿小路走到公路上，这样我们只考虑A、B、C、D、E、F处的工人们怎样走才能使他们到车站走的距离总和最小，“两头往中间走”，这样距离最小，所以车站考虑设在C或D点，由此解答本题。 【详解】由分析可知：车站若设在C点，则工人们走到车站的路径为AB＋2BC＋EF＋2ED＋4CD； 若车站设在D点，则工人们走到车站的路径为：AB＋2BC＋3CD＋EF＋2ED， 对比“AB＋2BC＋EF＋2ED＋4CD”和“AB＋2BC＋3CD＋EF＋2ED”，知第一条路径比第二条路径多CD段，所以车站设在D点，距离总和最小。 现要设置一个车站，使各工厂（沿小路、公路）到车站走的距离总和越小越好，这个车站应该设在D点。 三、判断题 21．射线只能向一端延长，而直线可以向两端延长，所以射线可以测量长度而直线不能测量。（ ） 【答案】× 【分析】直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的几何图形；射线只有一个端点，只能向一个方向无限延长的、不可测量长度的几何图形。 【详解】根据直线和射线的含义可知：直线能向两个方向无限延长，而射线只能向一个方向无限延长，但直线和射线都无限长，所以无法测量，所以原题说法错误。 故答案为：× 22．两条直线相交成4个角，只要有一个角是直角，这两条直线就互相垂直。（ ） 【答案】√ 【分析】根据垂直的性质可得：当两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一个条直线的垂线。 【详解】根据垂直的性质可得：当两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，一个周角的度数是360°，其中一个角是90°，则其他三个角也是90°。根据定义可得这两条直线互相垂直，题干表述正确。 故答案为：√ 23．用一个10倍的放大镜来看一个15°的角，所看到的角是150°。（ ） 【答案】× 【分析】用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变。 【详解】用一个10倍的放大镜来看一个15°的角，放大10倍的是角的边，因为角的大小与边长无关，所以角的度数不会改变，仍是15°，原题说法错误。 故答案为：× 24．钟面上的时刻是9：30，这时分针和时针的夹角是钝角。（ ） 【答案】√ 【分析】钟面被12个时刻分成了12个大格，每格是30°，9时整，分针在12的位置，时针在9的位置，它们的夹角是90°，是直角；9：30，分针在6的位置，时针在过了9的位置，它们的夹角是钝角；据此解答即可。 【详解】钟面上的时刻是9：30，这时分针和时针的夹角是钝角。说法正确； 故答案为：√ 25．同一平面内有三条直线a、b、c，已知a⊥b，b∥c，那么a∥c。（ ） 【答案】× 【分析】平行线的性质：在同一平面内，如果两条直线都与另一条直线互相垂直，那么这两条直线互相平行。据此解答。 【详解】同一平面内有三条直线a、b、c，已知a⊥b，b∥c，那么a⊥c。 故答案为：× 四、作图题 26．如图是小伟跳远时留下的脚印。如果你是裁判员，该怎样测量他的成绩？请在图中画出待测量的线段。 【答案】见详解 【分析】测量跳远成绩的依据是垂线段最短，即测量后脚印与起跳线间的垂直距离即为跳远成绩。 【详解】 五、解答题 27．如图，把三角形ABC的边AC延长到点D。请你说明∠2＋∠3＝∠4。 【答案】∠1＋∠4＝180° ∠1＋∠2＋∠3＝180° ∠1=∠1 ∠4＝∠2＋∠3 【分析】根据平角的含义，等于180°的角是平角，所以∠1和∠4拼成的是平角。三角形的三个内角的和是180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝180°，又因为∠1和∠4组成一个平角，所以∠1＋∠4＝180°，∠1没变，所以∠4＝∠2＋∠3，据此解答即可。 【详解】∠1＋∠4＝180° ∠1＋∠2＋∠3＝180° ∠1=∠1 所以推理出∠4＝∠2＋∠3 28．探索图形。 情景描述：小亮探究三角形，他先在作业本上画了一个三角形ABC，接着把边BC延长到点D。通过推理，他发现一个正确结论：∠3＋∠4＝180°。接着他又发现并提出一个非常有价值的问题：“∠1＋∠2＝∠4吗？”可他不会推理。假如小亮向你请教，你觉得∠1＋∠2＝∠4吗？请写出推理过程。 【答案】因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3＋∠4＝180°，所以∠1＋∠2＝∠4。 【分析】根据题意得：三角形得内角和是180°，即∠1＋∠2＋∠3＝180°，根据等量代换可推导出等式成立。据此可得出答案。 【详解】三角形内角和是180°，即图中∠1＋∠2＋∠3＝180°；又根据∠3＋∠4＝180°，两个式子都等于180°，则这两个式子相等。即： ∠1＋∠2＋∠3＝∠3＋∠4 ∠1＋∠2＋∠3-∠3＝∠3＋∠4-∠3 ∠1＋∠2＝∠4 故由此可推理出∠1＋∠2＝∠4。 29．如图，在三角形中，已知∠1＝75°。 （1）∠4＝ °。 （2）∠4＋∠1＝180°，并且∠4和∠1相邻，此时我们称∠1和∠4互为邻补角，图中还有两组互为邻补角：一组是 和∠6，一组是∠2和 。 （3）我们把∠1，∠2和∠3叫作三角形的内角，∠4，∠5和∠6叫作三角形的外角，你能得出这个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系吗？如果不能，请说明理由。如果能，请写出推导过程。（可用文字叙述，也可以用式子表示） 【答案】（1）105 （2）∠3；∠5 （3）能；见详解 【分析】（1）∠1和∠4合起来是一个平角，即为180度，利用180度减去∠1的度数即可求出∠4的度数； （2）相邻的两个角可以组成180度，就说这两个角为邻补角，据此找出； （3）根据三角形的内角和定理和平角的原理推理解答。 【详解】（1）∠4＝180°－75°＝105°； （2）因为∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠4＝180°，∠3＋∠6＝180°，所以∠1和∠4互为邻补角，图中还有两组互为邻补角：一组是∠3和∠6，一组是∠2和∠5。 （3）关系：三角形的一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的度数和。 因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，又因为∠6＋∠3＝180°，所以∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－∠6，整理得∠1＋∠2＝∠6。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $