8.1成对数据的统计相关性 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学导学案聚焦“成对数据的统计相关性”，核心涵盖变量相关关系的判断、正负相关性辨析及样本相关系数的运算与应用。通过对比函数关系与相关关系导入，结合散点图直观分析，逐步过渡到相关系数公式，构建从概念到运算的递进式学习支架。 这份导学案以“重难点突破”为特色，分类型设计辨析题、图像分析题及实际应用题，帮助学生通过具体案例抽象数学本质，培养数学眼光。结合纪念品定价、食品销售等现实情境，引导学生用数学思维推理相关性强弱，用数据语言表达现实关系，提升数据分析与应用能力。

8.1成对数据的统计相关性 一、知识引入 1变量的相关关系与正负相关性的判断。 2样本相关系数的运算与相关性强弱关系。 二、知识生成 1．变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系。 (2)正负相关性判断：从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关。 2．两个变量的相关系数 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。 (2)相关系数：当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关． r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性。 (3)相关系数r的公式 (4)多维向量夹角运算与相关系数r的关系（p98-p99） 三、重难点突破 类型一 函数关系与相关关系 1．常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种 关系. 2．一般地，样本容量越大，用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果越好．( ) 3．下列两个变量具有相关关系且不是函数关系的是(     ) A．圆的半径与面积 B．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 C．庄稼的产量与施肥量 D．人的身高与视力 类型二 相关关系与散点图 4.对四组成对样本数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是 (　　) A.r2<r4<0<r3<r1 B.r4<r2<0<r1<r3 C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r3 类型三 相关系数与相关性强弱 5．（多选）下列关于相关系数的说法正确的是（   ） A．相关系数越大两个变量间相关性越强 B．相关系数的取值范围为 C．相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关 D．相关系数时，样本点在同一直线上 6．（多选）通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率是负数 B．变量与变量正相关 C．相关系数 D．若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大 类型四 相关系数的运算 7．为考察两个变量x，y的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度（　　） x 5 10 15 20 25 y 103 105 110 111 114 （参考数据：，，，≈15.8，≈9.01） A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 8．某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； (2)计算与的相关系数； 参考数据：. 四、课堂检测： 某食品加工厂新研制出一种袋装食品（规格：500g/袋），下面是近六个月每袋的出厂价格（单位：元）与销售量（单位：万袋）的对应关系表： 月份序号 1 2 3 4 5 6 每袋的出厂价格（元） 10.5 10.9 11 11.5 12 12.5 月销售量（万袋） 2.2 2 1.9 1.8 1.5 1.4 (1)计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品平均每袋的出厂价格、平均月销售量和平均月销售收入； (2)求每袋的出厂价格与月销售量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)若，则认为相关性很强，试判断该食品加工厂研制的袋装食品每袋的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性. 成对数据统计相关性 学案一 答案 1.不确定 2.√ 3．C 解A、由圆的半径与面积的公式知，为函数关系，故A不对； B、匀速行驶车辆的行驶路程与时间为 其中为匀速速度为函数关系，故B不对； C、施肥量会影响庄稼产量，但不是唯一因素，故庄稼的产量与施肥量两个变量具有相关关系且不是函数关系，故C对；D、人的身高与视力无任何关系，故D不对．故选：C． 4．B 由散点图知，相关系数对应的散点图呈负相关，且线性相关性比较强.故选：B. 5．BCD 对于相关系数，有以下结论：①当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关．②的绝对值越接近于，表明两个变量的线性相关性越强；的绝对值越接近于，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．对于A，当时此结论不成立，所以A不正确． 对于B，由相关系数的性质可得，所以B正确．对于C，由相关系数的性质可得正确． 对于D，由相关系数的性质可得正确．故选：BCD． 6．AC 对于A、B、C：由图可知直线的斜率是负数，所以变量与变量负相关，相关系数，故A、C正确，B错误；对于D：若去掉图中点后，剩余的数据会更集中，相关程度会更高，相关系数的绝对值变大，又，所以相关系数变小，故D错误.故选：AC. 7．A 解析：由题可知样本量 ，所以：＝15， ＝108.6，又因为：，，，，≈15.8，所以： ＝， 因为相关系数很接近于1，故两个变量的线性相关程度很强.答案：A. 8．(1)， (2) （1）由题可知， ； （2）计算得，故； 当堂检测： (1)11.4（元），（万元）． (2)-0.98 (3)该食品加工厂研制的袋装食品每袋的出厂价格与月销售量有较强的相关性． （1）由题表得，该食品加工厂这六个月内这种袋装食品平均每袋的出厂价格为（元）． 平均月销售量为（万袋）， 平均月销售收入为（万元）． （2）由题表及（1）得， 所以样本相关系数 ． （3）因为，所以该食品加工厂研制的袋装食品每袋的出厂价格与月销售量有较强的相关性 学科网（北京）股份有限公司 $