第43期 8.1 成对数据的统计相关性 8.2 一元线性回归模型及其应用-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册同步学案（人教A版2019）

书 答案详解 　　２０２４～２０２５学年　高中数学人教Ａ版选择性必修第三册　第４１～４４期（２０２５年５月）　　 第４１期３，４版 随机变量及其分布核心素养综合测评 一、单项选择题 １～４　ＢＣＤＣ　５～８　ＢＢＢＡ 提示： １．依题意可得 Ｐ（Ｘ＝１）＋Ｐ（Ｘ＝０）＝１， Ｐ（Ｘ＝１）－Ｐ（Ｘ＝０）＝０．３２， 所以Ｐ（Ｘ＝０）＝１－０．３２２ ＝０．３４． ２．由随机变量 Ｘ服从正态分布 Ｎ（２，９），且 Ｐ（Ｘ＞ｃ）＝ Ｐ（Ｘ＜ｃ－２），得ｃ＋ｃ－２＝４，解得ｃ＝３． ３．甲至少胜两局， 所以Ｃ２３ (× )５９ ２ ×４９＋Ｃ ３ ３ (× )５９ ３ ＝４２５７２９． ４．设语文课本有ｎ（ｎ≥２）本，则数学课本有（７－ｎ）本， 则２本都是语文课本的概率是 Ｃ２ｎＣ ０ ７－ｎ Ｃ２７ ＝ ２７． 所以ｎ２－ｎ－１２＝０，解得ｎ＝４或ｎ＝－３（舍去）， 所以语文课本有４本． ５．易知ａ＋１３＋ｂ＝１，解得ａ＋ｂ＝ ２ ３①， 若Ｅ（Ｘ）＝ １３，此时Ｅ（Ｘ）＝－２ａ＋ｂ＝ １ ３②， 联立①②，解得ａ＝ １９，ｂ＝ ５ ９， 则Ｄ（Ｘ）＝１９ (× －２－ )１３ ２ ＋１３ (× ０－ )１３ ２ ＋５９ (× １－ )１３ ２ ＝ ８９． ６．设“取出的球来自甲袋”为事件Ａ１， “取出的球来自乙袋”为事件Ａ２， “取出的球来自丙袋”为事件Ａ３， “该球为白球”为事件Ｂ，则 Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ｂ｜Ａ１）＋Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ｂ｜Ａ２）＋Ｐ（Ａ３）Ｐ（Ｂ｜Ａ３） ＝ １３× ３ ５＋ １ ３× ２ ５＋ １ ３× ５ ９ ＝ １４ ２７． ７．由Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ） ＝ １ ５， 得Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝ １１５， 易知Ｐ（Ａ）＝１－Ｐ（Ａ）＝ ２３， 所以Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ） Ｐ（Ａ） ＝Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）２ ３ ＝ ２５， 得Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）＝ ４１５， 所以Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（ＡＢ）＋４１５＝ １ １５＋ ４ １５＝ １ ３． ８．设Ａ学生答对题的个数为ｍ，得分为５ｍ， 则 (ｍ～Ｂ １２， )１４ ，Ｄ（ｍ）＝１２×１４×３４ ＝ ９４， 所以Ｄ（Ｘ）＝２５×９４ ＝ ２２５ ４， 同理设Ｂ学生答对题的个数为ｎ，得分为５ｎ， 则 (ｎ～Ｂ １２， )１３ ，Ｄ（ｎ）＝１２×１３×２３ ＝ ８３， 所以Ｄ（Ｙ）＝２５×８３ ＝ ２００ ３， 所以Ｄ（Ｙ）－Ｄ（Ｘ）＝２００３ － ２２５ ４ ＝ １２５ １２． 二、多项选择题 ９．ＡＣＤ；　１０．ＢＣ；　１１．ＢＤ． 提示： ９．依题意可得选择各点位的概率与该点标记的序号成正比， 故Ｐ（Ｇ＝ｉ）＝ｉｋ（ｉ＝１，…，５），∑ ５ ｉ＝１ Ｐ（Ｇ＝ｉ）＝１５ｋ＝１， 解得ｋ＝ １１５，故（Ａ）正确； Ｐ（Ｇ＝５）＝５ｋ＝ ５１５＝ １ ３，故（Ｂ）错误； Ｅ（Ｇ）＝∑ ５ ｉ＝１ ｉ×Ｐ（Ｇ＝ｉ）＝１×１ｋ＋２×２ｋ＋… ＋５×５ｋ ＝５５ｋ＝５５１５＝ １１ ３，故（Ｃ）正确； Ｐ（Ｇ≤３）＝Ｐ（Ｇ＝１）＋Ｐ（Ｇ＝２）＋Ｐ（Ｇ＝３）＝６ｋ， Ｐ（Ｇ≥４）＝Ｐ（Ｇ＝４）＋Ｐ（Ｇ＋５）＝９ｋ， ９ｋ＞６ｋ，故（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）                                                        ． —１— 高中数学人教Ａ版选择性必修第三册　第４１～４４期 １０．由题意可知从乙盒子里随机取出ｎ个球， 其中红球的个数（记为Ｘ）服从超几何分布， 且Ｍ ＝３，Ｎ＝６，则Ｅ（Ｘ）＝ｎ·ＭＮ ＝ ｎ ２， 故从甲盒子里随机取一球， (相当于从含有 ｎ２＋ )１ 个红 球的（ｎ＋１）个球中随机取一球， 易知取到红球的个数Ｙ服从两点分布， 故Ｐ（Ｙ＝１）＝ ｎ ２＋１ ｎ＋１ ＝ １ ２＋ １ ２ｎ＋２， 所以Ｅ（Ｙ）＝Ｐ（Ｙ＝１）＝ １２＋ １ ２ｎ＋２， 随着ｎ的增加，Ｅ（Ｙ）减小； Ｄ（Ｙ）＝Ｐ（Ｙ＝１）×［１－Ｐ（Ｙ＝１）］ (＝ １２＋ １２ｎ＋ )２ (× １２－ １２ｎ＋ )２ ＝ １４－ １ （２ｎ＋２）２ ， 随着ｎ的增加，Ｄ（Ｙ）增加． 故选（Ｂ）（Ｃ）． １１．因为该型号汽车配件的质量指标 Ｘ服从正态分布 Ｎ（２００，２２４），所以μ＝２００，σ２ ＝２２４， 又因为槡２２４≈１４．９７，所以σ＝１４．９７． 对于（Ａ），Ｐ（１８５．０３≤Ｘ≤２００）＝１２Ｐ（｜Ｘ－μ｜≤σ）≈ １ ２×０６８２７＝０３４１３５，故（Ａ）错误； 对于（Ｂ），Ｐ（２００≤Ｘ≤２２９９４）＝１２Ｐ（｜Ｘ－μ｜≤２σ） ≈ １２×０９５４５＝０４７７２５，故（Ｂ）正确； 对于（Ｃ），Ｐ（１８５．０３≤Ｘ≤２２９．９４）＝ １２Ｐ（｜Ｘ－μ｜≤ σ）＋１２Ｐ（｜Ｘ－μ｜≤２σ）＝０．３４１３５＋０．４７７２５＝０．８１８６， 故（Ｃ）错误； 对于（Ｄ），由（Ｃ）中计算知Ｐ（１８５．０３≤Ｘ≤２２９．９４）＝ ０８１８６，１００００×０．８１８６＝８１８６，故任取１００００件该型号汽车 配件，其质量指标值位于区间［１８５．０３，２２９．９４］内的件数约为 ８１８６，故（Ｄ）正确． 故选（Ｂ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．１８；　１３． ３ ４；　１４．１５． 提示： １２．Ｐ（Ｘ＝４）＝７１０× ６ ９× ５ ８× ３ ７ ＝ １ ８． １３．事件Ａ包含Ｃ２２＋Ｃ ２ ３ ＝４（种）方法， 事件ＡＢ和事件Ｂ是同一个事件， 事件Ｂ包含Ｃ２３ ＝３（种）方法， 所以Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝ｎ（ＡＢ）ｎ（Ａ） ＝ ３ ４． １４．用Ｘ表示中奖票数， Ｐ（Ｘ≥１）＝ Ｃ１２Ｃ ｎ－１ ４８ Ｃｎ５０ ＋ Ｃ２２Ｃ ｎ－２ ４８ Ｃｎ５０ ＞０５  ２· ４８！ （ｎ－１）！（４９－ｎ）！ ５０！ ｎ！（５０－ｎ）！ ＋ ４８！ （ｎ－２）！（５０－ｎ）！ ５０！ ｎ！（５０－ｎ）！ ＞ １２， 所以 ２ｎ（５０－ｎ） ５０×４９ ＋ ｎ（ｎ－１） ５０×４９ ＞ １ ２， 解得ｎ≥１５，所以ｎ至少为１５． 四、解答题 １５．解：（１）从６人中任选３人，选法共有Ｃ３６ ＝２０（种）， 其中男生甲和女生乙都不被选中的概率为 Ｃ３４ ２０＝ １ ５． 故男生甲或女生乙被选中的概率为１－１５ ＝ ４ ５． （２）由题知Ｐ（Ａ）＝ Ｃ２５ ２０＝ １ ２． 又Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＝ １２，Ｐ（ＡＢ）＝ Ｃ１４ ２０＝ １ ５， 所以Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ｂ） ＝ ２ ５． １６．解：记“小球落入Ａ袋中”为事件Ａ， “小球落入Ｂ袋中”为事件Ｂ． （１）易知Ｐ（Ａ） (＝ )１２ ３ (＋ )１２ ３ ＝ １４． （２）由（１）知Ｐ（Ａ）＝ １４，则 Ｐ（Ｂ）＝１－Ｐ（Ａ）＝１－１４ ＝ ３ ４， 由题意知 (Ｘ～Ｂ ４， )３４ ， Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｋ(４ )３４ ( ｋ )１４ ４－ｋ ，ｋ＝０，１，２，３，４， 则Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ ４ Ｐ １２５６ ３ ６４ ２７ １２８ ２７ ６４ ８１ ２５６ Ｅ（Ｘ）＝４×３４ ＝３，Ｄ（Ｘ）＝４× ３ ４× １ ４ ＝ ３ ４． １７．解：（１）因为Ｘ～Ｎ（６５，４．８４），所以μ＝６５，σ＝２．２． 所以μ＋３σ＝７１．６，７３∈（μ＋３σ，＋∞）． 因为Ｐ（Ｘ＞７１．６）＝１－Ｐ（５８．４≤Ｘ≤７１．６）２ ＝１－０．９９７３２ ＝０．００１３５， 且０．００１３５远小于 １２０                                                                      ， —２— 高中数学人教Ａ版选择性必修第三册　第４１～４４期 所以此事件应为小概率事件，而质检员随机抽检２０袋该 种零食时，测得１袋零食的质量为７３ｇ，说明小概率事件确实发 生了，因此他立即要求停止生产，检查设备的决定有道理． （２）（ⅰ）因为μ＝６５，σ＝２．２， 所以μ－σ＝６２．８，μ＋２σ＝６９．４． 由题意可知当零食每袋的质量Ｘ满足μ－σ≤Ｘ≤μ＋２σ 时为合格品， 所以这种零食的合格率为 ０．６８２７＋０．９５４５ ２ ＝０．８１８６≈０．８１９． （ⅱ）由题意可知Ｙ～Ｂ（ｎ，０．８１９），则 Ｅ（Ｙ）＝０．８１９ｎ＞５８， 则ｎ＞ ５８０．８１９≈７０．８２，故ｎ的最小值为７１． １８．解：（１）（ⅰ）记“从盒子中先后任意飞出两只昆虫，恰 有１只蜜蜂”为事件Ａ， 设盒子中蜜蜂的只数为ｘ（ｘ∈Ｎ＋）， 则Ｐ（Ａ）＝ Ｃ１ｘＣ １ ８－ｘ Ｃ２８ ＝ ４７，解得ｘ＝４， 故蜜蜂共有４只． （ⅱ）随机变量Ｘ服从超几何分布，且Ｎ＝８，Ｍ＝４，ｎ＝３， Ｐ（Ｘ＝ｉ）＝ Ｃｉ４Ｃ ３－ｉ ４ Ｃ３８ ，ｉ＝０，１，２，３． 故Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ １１４ ３ ７ ３ ７ １ １４ Ｅ（Ｘ）＝１×３７＋２× ３ ７＋３× １ １４＝ ３ ２． （２）记“任意飞出两只昆虫，至少有１只是蝴蝶”为事件Ｂ， 则事件Ｂ为“任意飞出两只昆虫，其中没有蝴蝶”， Ｐ（Ｂ）＝１－Ｐ（Ｂ）＝１－ Ｃ２ｎ Ｃ２２ｎ ＝１－ ｎ－１２（２ｎ－１） ＝ ３４＋ １ ４（２ｎ－１）（ｎ≥４，ｎ∈Ｎ）， 当ｎ＝４时，Ｐ（Ｂ）ｍａｘ＝ ３ ４＋ １ ２８＝ １１ １４． １９．解：（１）ａ１，ａ２，ａ３的排序共有Ａ ３ ３ ＝６种， 且每种排序等可能， 此时Ｘ可取０，２，４， 又Ｘ＝０时，ａ１，ａ２，ａ３的排序为１，２，３，则Ｐ（Ｘ＝０）＝ １ ６， Ｘ＝２时，ａ１，ａ２，ａ３的排序为１，３，２或２，１，３， 则Ｐ（Ｘ＝２）＝ １３， Ｘ＝４时，ａ１，ａ２，ａ３的排序为３，２，１或２，３，１或３，１，２， 则Ｐ（Ｘ＝４）＝ １２， 所以Ｘ的分布列为： Ｘ ０ ２ ４ Ｐ １６ １ ３ １ ２ （２）（ⅰ）ａ１，ａ２，ａ３，ａ４的排序共有Ａ ４ ４ ＝２４种， 且每种排序等可能， 而∑ ｎ ｉ＝１ （ｉ－ａｉ）＝０， 故ｉ－ａｉ（ｉ＝１，２，３，４）中有偶数个奇数， 故∑ ｎ ｉ＝１ ｜ｉ－ａｉ｜必为偶数， 当Ｘ＝０时，ａ１，ａ２，ａ３，ａ４的排序与第一次排序无变化时， 此时仅有１种排序：１，２，３，４，则Ｐ（Ｘ＝０）＝ １２４， 当Ｘ＝２时，ａ１，ａ２，ａ３，ａ４的排序与第一次排序相比仅有相 邻两个位置变化时， 此时有３种排序：２，１，３，４、１，３，２，４、１，２，４，３， 则Ｐ（Ｘ＝２）＝ ３２４＝ １ ８， 所以Ｐ（Ｘ≤２）＝Ｐ（Ｘ＝０）＋Ｐ（Ｘ＝２）＝１２４＋ １ ８＝ １ ６； （ⅱ）因为各轮测试相互独立， 所以“连续三轮测试中，都有Ｘ≤２”的概率为 (Ｐ＝ )１６ ３ ＝ １２１６＜ ５ １０００， 所以 １ ２１６是一个小概率，这表明仅凭随机猜测得到“连续 三轮测试中，都有Ｘ≤２”的结果的可能性很小，所以我们认为 该品酒师有良好的鉴别能力，不是靠随机猜测． 第４２期 核心素养阶段测评（七） 一、单项选择题 １～４　ＣＡＡＡ　　５～８　ＡＣＡＡ 提示： １．（２ｘ－ｙ）５展开式的通项为Ｔｒ＋１＝Ｃ ｒ ５×（２ｘ） ５－ｒ×（－ｙ）ｒ， ０≤ｒ≤５，所以ｘ２ｙ３的系数为Ｃ３５×２ ２×（－１）３ ＝－４０． ２．因为ｘ＋ｙ－１＝０的斜率为 －１，则ｆ′（２）＝１， 又ｆ′（ｘ）＝ ａｘ＋２ｘｆ′（２）＝ ａ ２＋４＝１ａ＝－６． ３．由题意得ｎ（Ω）＝４×４＝１６，ｎ（Ａ）＝２×３＋１＝７， ｎ（ＡＢ）＝２×３＝６， 所以Ｐ（Ａ）＝ ７１６，Ｐ（ＡＢ）＝ ６ １６， 所以Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ） ＝ ６ ７． ４．由随机变量Ｘ～Ｎ（５，σ２），可知μ＝５． 因为Ｐ（Ｘ＞１０－ａ）＝０．４，所以Ｐ（Ｘ＜ａ）＝０．４                                                                      ， —３— 高中数学人教Ａ版选择性必修第三册　第４１～４４期 所以Ｐ（Ｘ＞ａ）＝０．６． ５．由题可得Ｄ（Ｘ）＝３ｐ（１－ｐ）＝ ２３， 解得ｐ＝ １３或ｐ＝ ２ ３， 又因为Ｅ（Ｘ）＝３ｐ＞１，则ｐ＞ １３，可得ｐ＝ ２ ３， 则 １５ｐ ２ ＝５．所以Ｐ（Ｙ＝３）＝ Ｃ３５Ｃ １ ３ Ｃ４８ ＝ ３７． ６．由题可得ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋２ｆ′（２）５ ｘ－９， 所以ｆ′（２）＝１２＋４５ｆ′（２）－９，解得ｆ′（２）＝１５， 所以ｆ（ｘ）＝ｘ３＋３ｘ２－９ｘ， ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋６ｘ－９＝３（ｘ＋３）（ｘ－１）， 所以当ｘ＜－３或ｘ＞１时，ｆ′（ｘ）＞０； 当 －３＜ｘ＜１时，ｆ′（ｘ）＜０， 所以ｆ（ｘ）在（－∞，－３）和（１，＋∞）上单调递增， 在（－３，１）上单调递减， 所以当ｘ＝－３时，ｆ（ｘ）取得极大值２７． ７．由题意知１０个数中，１，３，５，７，９为阳数，２，４，６，８，１０为阴数， 若任取的３个数中有０个阴数， 则概率为 Ｃ３５ Ｃ３１０ ＝ １１２； 若任取的３个数中有１个阴数， 则概率为 Ｃ２５·Ｃ １ ５ Ｃ３１０ ＝ ５１２； 故这３个数中至多有１个阴数的概率为 Ｐ＝ １１２＋ ５ １２＝ １ ２． ８．由题意知函数ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增， 因为ｆ（ｘ）＝ ａ２ｘ ２－ｘｌｎｘ，所以ｆ′（ｘ）＝ａｘ－ｌｎｘ－１， 则ｆ′（ｘ）≥０在（０，＋∞）上恒成立， 因为ｘ∈（０，＋∞）， 所以ａ≥ｌｎｘ＋１ｘ 在（０，＋∞）上恒成立， 即ａ (≥ ｌｎｘ＋１)ｘ ｍａｘ， 令ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ＋１ｘ ，则ｇ′（ｘ）＝－ ｌｎｘ ｘ２ ， 所以当ｘ∈（０，１）时，ｇ′（ｘ）＞０， 当ｘ∈（１，＋∞）时，ｇ′（ｘ）＜０， 所以ｇ（ｘ）在（０，１）上单调递增，在（１，＋∞）上单调递减， 所以ｇ（ｘ）ｍａｘ＝ｇ（１）＝１，所以ａ≥１． 二、多项选择题 ９．ＢＣＤ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＡＢ． 提示： ９．由题意得 ８２７＋ ４ ９＋ｍ＋ １ ２７＝１，解得ｍ＝ ２ ９， 可得Ｅ（Ｘ）＝０×８２７＋１× ４ ９＋２× ２ ９＋３× １ ２７＝１， Ｄ（Ｘ）＝ ８２７×１ ２＋４９×０ ２＋２９×１ ２＋１２７×２ ２ ＝ ２３， Ｐ（０≤Ｘ≤１）＝Ｐ（Ｘ＝０）＋Ｐ（Ｘ＝１）＝８２７＋ ４ ９ ＝ ２０ ２７． 故选（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）． １０．因为展开式中只有第５项的二项式系数最大， 所以可知展开式中共有９项， 即ｎ＝８，故（Ａ）正确； 若展开式中所有项的系数和为１， 令ｘ＝１，则（２ａ－１）８ ＝１（ａ＞０）， 所以ａ＝１，故（Ｂ）正确； 通项Ｔｋ＋１ ＝Ｃ ｋ ８（２ｘ） ８ (－ｋ －１ )ｘ ｋ ＝２８－ｋ·（－１）ｋ·Ｃｋ８·ｘ ８－２ｋ， 令８－２ｋ＝０，解得ｋ＝４， 所以展开式中的常数项为 Ｔ５ ＝２ ４×（－１）４×Ｃ４８ ＝１１２０，故（Ｃ）错误； 令８－２ｋ＝６，解得ｋ＝１， 所以展开式中含ｘ６的项为 Ｔ２ ＝２ ７×（－１）１×Ｃ１８×ｘ ６ ＝－１０２４ｘ６，故（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． １１．当ａ＝－１时，则ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘｘ， ｆ′（ｘ）＝－ｘｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ ｘ２ ， [在区间 π６，π ]３ 上ｆ′（ｘ）＜０， 所以ｆ（ｘ） [在区间 π６，π ]３ 上单调递减， 所以Ｍ ＝ ｃｏｓπ６ π ６ ＝ 槡３３ π ＜槡３，故（Ａ）正确； 当ａ＝２时，ｆ（ｘ）＝ｘ２·ｃｏｓｘ，ｆ′（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ（２－ｘｔａｎｘ）， [在区间 π６，π ]３ 上，ｘｔａｎｘ单调递增， 则ｘｔａｎｘ＜π槡３３ ，即ｆ′（ｘ）＞０， 所以ｆ（ｘ） [在区间 π６，π ]３ 上单调递增， 即Ｍ ＝π ２ １８＜ 槡３ ３，故（Ｂ）正确； 当ａ＝１，ｘ (∈ ０，π )２ 时，ｘ＜ｔａｎｘ恒成立， 所以ｆ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ＜ｔａｎｘｃｏｓｘ＝ｓｉｎｘ≤槡３２， 所以Ｍ ＜槡３２，故（Ｃ）错误； 当ａ＝３时，ｆ（ｘ）＝ｘ３·ｃｏｓｘ， 则ｆ′（ｘ）＝ｘ２ｃｏｓｘ（３－ｘｔａｎｘ                                                                      ）， —４— 高中数学人教Ａ版选择性必修第三册　第４１～４４期 [在区间 π６，π ]３ 上ｆ′（ｘ）＞０， 所以ｆ（ｘ） [在区间 π６，π ]３ 上单调递增， 所以Ｍ ＝ １２ (· π )３ ３ ＞ １２，故（Ｄ）错误． 故选（Ａ）（Ｂ）． 三、填空题 １２．４５；　１３ [． １２，＋ )∞ ；　１４．１８５． 提示： １２．对于英文字母来说，共有５种可能； 对于数字来说，共有９种可能， 按照分步乘法计数原理可知， 共有５×９＝４５（个）不同的编号． １３．由ｆ（ｘ）＝ｅ ２ｘ ｘ得ｆ′（ｘ）＝ ｅ２ｘ（２ｘ－１） ｘ２ ． 若ｆ′（ｘ）＝０，则ｘ＝ １２． 所以函数ｆ（ｘ） (在 １４， )１２ 上单调递减， (在 １２，＋ )∞ 上单调递增， 且 (ｆ )１２ ＝２ｅ，所以 １２ [∈ １４， ]ａ ，即ａ≥ １２， 所以实数ａ [的取值范围是 １２，＋ )∞ ． １４．由题意知Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｋ９ｐ ｋ（１－ｐ）９－ｋ（ｋ＝０，１，２，…，９）， 因为ｐ４＋ｐ５ ＝ ４５ ８ｐ６， 所以Ｃ４９ｐ ４（１－ｐ）５＋Ｃ５９ｐ ５（１－ｐ）４ ＝４５８Ｃ ６ ９ｐ ６（１－ｐ）３， 化简得１５ｐ２＋４ｐ－４＝０，解得ｐ＝２５或ｐ＝－ ２ ３（舍）， 从而Ｅ（Ｘ）＝ｎｐ＝１８５． 四、解答题 １５．解：（１）首先排甲，再将乙丙安排在甲的左右两位置中 的一个，则所有不同的排法种数有ｎ＝２Ａ２２Ａ ２ ２ ＝８． （２）（ⅰ）（１－３ｘ）８ ＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ ２＋… ＋ａ８ｘ ８， 令ｘ＝０得ａ０ ＝１； 令ｘ＝１得ａ０＋ａ１＋ａ２＋… ＋ａ８ ＝（－２） ８ ＝２５６； ① 所以ａ１＋ａ２＋… ＋ａ８ ＝２５６－１＝２５５． （ⅱ）令ｘ＝－１得 ａ０－ａ１＋ａ２－ａ３＋… ＋ａ８ ＝４ ８ ＝２１６； ② ① －② ２ 得ａ１＋ａ３＋ａ５＋ａ７ ＝ ２８－２１６ ２ ＝２７－２１５ ＝－３２６４０． １６．解：（１）第一步，先将另外四门课排好，有Ａ４４种情况； 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入５个空隙中， 有Ａ２５种情况． 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有 Ａ４４×Ａ ２ ５ ＝４８０（种）． （２）第一步，先将甲和乙的不同课程选好，有Ａ２６种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程选好，有Ｃ１４种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同， 所以丙的选法有Ｃ２３种情况． 因此，所有选课种数为Ａ２６×Ｃ １ ４×Ｃ ２ ３ ＝３６０． １７．解：（１）设事件Ａ表示在城市Ａ比赛时甲队负， 事件Ｂ表示在城市Ｂ比赛时甲队负， 则 Ｐ（Ａ）＝１－３５－ １ ５ ＝ １ ５，Ｐ（Ｂ）＝１－ １ ３－ １ ６ ＝ １ ２， 所以两场比赛甲队恰好负一场的概率为 Ｐ（ＡＢ＋ＡＢ） ＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＋Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ） ＝ １５× １ ２＋ ４ ５× １ ２ ＝ １ ２． （２）两场比赛甲队得分Ｘ的可能取值为０，１，２，３，４，６， Ｐ（Ｘ＝０）＝ １５× １ ２ ＝ １ １０， Ｐ（Ｘ＝１）＝ １５× １ ６＋ １ ５× １ ２ ＝ ２ １５， Ｐ（Ｘ＝２）＝ １５× １ ６ ＝ １ ３０， Ｐ（Ｘ＝３）＝ １５× １ ３＋ ３ ５× １ ２ ＝ １１ ３０， Ｐ（Ｘ＝４）＝ １５× １ ３＋ ３ ５× １ ６ ＝ １ ６， Ｐ（Ｘ＝６）＝ ３５× １ ３ ＝ １ ５， 所以两场比赛甲队得分Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ ４ ６ Ｐ １１０ ２ １５ １ ３０ １１ ３０ １ ６ １ ５ １８．解：（１）设３人抽奖总次数为Ｘ， 则Ｘ的可能取值为３，４，５，６． 由题意知每位打卡二十四景游客至少打卡两个景点的概 率为 ３ ４，只打卡一个景点的概率为 １ ４， 随机抽取３人，３人打卡景点情况相互独立． Ｘ＝３表示抽奖总次数为３次，即３人都只打卡一个景点． 依题意可得Ｐ（Ｘ＝３） (＝ )１４ ３ ＝ １６４， 所以Ｐ（Ｘ≥４）＝Ｐ（Ｘ＝４）＋Ｐ（Ｘ＝５）＋Ｐ（Ｘ＝６） ＝１－Ｐ（Ｘ＝３） ＝１－１６４＝ ６３ ６４                                                                      ． —５— 高中数学人教Ａ版选择性必修第三册　第４１～４４期 （２）记事件Ａ＝“每位打卡二十四景游客至少打卡两个景 点”，则Ａ＝“每位打卡二十四景游客只打卡一个景点”， 事件Ｂ＝“一位打卡二十四景游客抽中广化寺祈福香包”， 则Ｐ（Ａ）＝ ３４，Ｐ（Ａ）＝ １ ４， 因为每次抽奖可随机获得４种礼物中的１种礼物， 所以游客抽到每个香包的概率都是 １ ４． 一个游客至少打卡两个景点， 抽中广化寺祈福香包的概率为 Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝１ (－ )３４ ２ ＝ ７１６， 一个游客打卡一个景点， 抽中广化寺祈福香包的概率为Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝ １４， 由全概率公式得Ｐ（Ｂ） ＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ｜Ａ）＋Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ｜Ａ） ＝ ３４× ７ １６＋ １ ４× １ ４ ＝ ２５ ６４． １９．解：（１）由题得ｈ′（ｘ）＝ ２ｘ＋３，　ｘ＜０， １ ｘ２ ， ｘ＞０{ ， 则ｈ′（ｘ１）＝２ｘ１＋３＝１，解得ｘ１＝－１，即Ａ（－１，－２＋ａ）， ｈ′（ｘ２）＝ １ ｘ２２ ＝１，解得ｘ２ ＝１，即Ｂ（１，－１）． 所以ｋＡＢ ＝ ａ－２－（－１） －１－１ ＝１，解得ａ＝－１． （２）设Ａ（ｘ１，ｈ（ｘ１）），Ｂ（ｘ２，ｈ（ｘ２））为函数ｈ（ｘ）图象上的 两点，且ｘ１ ＜ｘ２， 当ｘ１ ＜ｘ２ ＜０或０＜ｘ１ ＜ｘ２时，ｈ′（ｘ１）≠ｈ′（ｘ２）， 所以ｘ１ ＜０＜ｘ２． 函数ｈ（ｘ）在点Ａ（ｘ１，ｈ（ｘ１））处的切线方程为： ｙ－（ｘ２１＋３ｘ１＋ａ）＝（２ｘ１＋３）（ｘ－ｘ１）， 即ｙ＝（２ｘ１＋３）ｘ＋ａ－ｘ ２ １， 函数ｈ（ｘ）在点Ｂ（ｘ２，ｈ（ｘ２））处的切线方程为： ｙ＋１ｘ２ ＝ １ ｘ２２ （ｘ－ｘ２），即ｙ＝ １ ｘ２２ ｘ－２ｘ２ ． 两切线重合的充要条件是 ２ｘ１＋３＝ １ ｘ２２ ， ａ－ｘ２１ ＝－ ２ ｘ２ { ， ① ② 由①及ｘ１ ＜０＜ｘ２得０＜ １ ｘ２ ＜槡３，令ｔ＝ １ ｘ２ ， 则０＜ｔ＜槡３． 由①得ｘ１ ＝ １ ２（ｔ ２－３）， 由②得ａ＝ｘ２１－ ２ ｘ２ ＝ｘ２１－２ｔ＝ １ ４（ｔ ４－６ｔ２＋９）－２ｔ ＝ １４ｔ ４－３２ｔ ２－２ｔ＋９４（０＜ｔ＜槡３）． 设ｐ（ｔ）＝ １４ｔ ４－３２ｔ ２－２ｔ＋９４（０＜ｔ＜槡３）， 则ｐ′（ｔ）＝ｔ３－３ｔ－２＜０， 所以函数ｐ（ｔ）＝１４ｔ ４－３２ｔ ２－２ｔ＋９４在（０，槡３）上为减函数， 且 － 槡２３＜ｐ（ｔ）＜ ９ ４，所以 － 槡２３＜ａ＜ ９ ４， 即实数ａ (的取值范围是 － 槡２３， )９４ ． 第４３期１版 专项小练一 １．ＡＣＤ；　２．Ｄ；　３．Ｂ．　４．４５；　５．１． 专项小练二 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．ＡＢＣ．　４．３．５；　５．１０． 第４３期３，４版 成对数据的统计相关性、一元线性 回归模型及其应用同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＤＡＢＣ　　５～８　ＢＣＤＤ 提示： ２．甲的决定系数Ｒ２最大，回归模型的拟合效果最好． ３．由题意得ｘ＝３，ｙ＝４．５， 则有 ａ^＝４．５－０９５×３＝１．６５． ４．当ｘ＝１６５时得 ｙ^＝０．８５×１６５－８５７＝５４．５５， 所以在样本点（１６５，５８）处的残差为５８－５４．５５＝３４５． ５．由变量Ｘ与Ｙ相对应的一组数据为（１０，１），（１１．３，２）， （１１．８，３），（１２．５，４），（１３，５），可得变量Ｙ与Ｘ之间成正相关， 因此ｒ１ ＞０； 由变量 Ｕ与 Ｖ相对应的一组数据为（１０，５），（１１．３，４）， （１１．８，３），（１２．５，２），（１３，１），可得变量Ｕ与Ｖ之间成负相关， 因此ｒ２ ＜０． 故ｒ２ ＜０＜ｒ１． ６．因为∑ １０ ｉ＝１ ｘｉ＝２２５，∑ １０ ｉ＝１ ｙｉ＝１６００， 所以ｘ＝２２．５，ｙ＝１６０． 又因为 ｙ^＝ｂ^ｘ＋ａ^中 ｂ^＝４， 回归直线一定过样本点的中心（２２．５，１６０）， 所以１６０＝４×２２．５＋ａ^，所以 ａ^＝７０， 所以 ｙ^＝４ｘ＋７０． 当ｘ＝２４时，ｙ^＝４×２４＋７０＝１６６． ７．样本点的中心为（２，ｍ），将其代入 ｙ^＝２ｘ＋５， 可得ｍ＝２×２＋５＝９， 假设甲输入的（ｘ１，ｙ１）为（７，３），（ｘ２，ｙ２）为（４，－６）， 则７＋４＋ｘ３＋ｘ４＋… ＋ｘ８ ＝２×８＝１６                                                                      ， —６— 高中数学人教Ａ版选择性必修第三册　第４１～４４期 ３－６＋ｙ３＋ｙ４＋… ＋ｙ８ ＝９×８＝７２， 得ｘ３＋ｘ４＋… ＋ｘ８ ＝５，ｙ３＋ｙ４＋… ＋ｙ８ ＝７５， 改为正确数据后得３＋４＋ｘ３＋ｘ４＋… ＋ｘ８ ＝１２， ７＋６＋ｙ３＋ｙ４＋… ＋ｙ８ ＝８８， (此时样本点的中心为 ３２， )１１ ， 将其代入 ｙ^＝１３３ｘ＋ｋ， 可得ｋ＝１１－１３３× ３ ２ ＝ ９ ２． ８．对ｙ＝ａｅｂｘ＋１（ａ＞０）两边同时取自然对数得 ｌｎｙ＝ｌｎ（ａｅｂｘ＋１）＝ｌｎａ＋ｂｘ＋１，令ｚ＝ｌｎｙ， 则ｚ＝ｂｘ＋ｌｎａ＋１， 所以 ｂ＝２， ａ＝ｌｎａ＋１{ ，解得 ｂ＝２， ａ＝１{ ， 所以 ｂ ａ ＝２． 二、多项选择题 ９．ＢＣＤ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＡＢＣ． 提示： ９．由题图１知气压随海拔的增加而减小，由题图２知沸点 随气压的升高而升高，所以沸点与气压正相关，沸点与海拔负 相关，由题图易得两个散点图中的点都落在一条直线附近，所 以沸点与海拔、沸点与气压都线性相关，故（Ｂ），（Ｃ），（Ｄ）正 确，（Ａ）错误． 故选（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）． １０．由题图可知两变量正线性相关，故ｒ１ ＞０，ｒ２ ＞０， 且ｒ１ ＜ｒ２，Ｒ ２ １ ＜Ｒ ２ ２，故（Ａ）正确，（Ｂ）错误； 经计算可得，在去除点Ｆ前，ｘ＝３．５，ｙ＝２．５， 去除点Ｆ后，ｘ＝３，ｙ＝２． 又经验回归方程ｌ１：ｙ^＝０．６８ｘ＋ａ^必经过点（３５，２．５）， 所以 ａ^＝２．５－０．６８×３．５＝０．１２，故（Ｃ）正确； 经验回归方程ｌ２：ｙ^＝ｂ^ｘ＋０．６８必经过点（３，２）， 所以２＝ｂ^×３＋０．６８，所以 ｂ^＝０．４４，故（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １１．由题意得ｘ＝ １５ ×（２０＋３０＋４０＋５０＋６０）＝４０， ｙ＝ １５×（２５＋２７．５＋２９＋３２．５＋３６）＝３０， 则 ｋ^＝ｙ－０．２５ｘ＝３０－０．２５×４０＝２０，故（Ａ）正确； 由０．２５＞０，可知变量ｘ和ｙ正相关，故（Ｂ）正确； 若ｘ的值增加１，则ｙ的值约增加０．２５，故（Ｃ）正确； 当ｘ＝５２时，ｙ^＝０．２５×５２＋２０＝３３，故（Ｄ）错误． 故选（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）． 三、填空题 １２．３７５；　１３．２ｌｎ２＋２；　１４．（６，２）． 提示： １２．由题意可得ｘ＝１５０５ ＝３０，代入经验回归方程， 可得ｙ＝０．６７×３０＋５４．９＝７５， 所以ｙ１＋ｙ２＋ｙ３＋ｙ４＋ｙ５ ＝５×７５＝３７５． １３．由ｚ＝ｌｎｙ，则ｌｎｙ＝ｌｎ２ｅ２ｘ＋１， 即ｚ＝ｌｎ２＋ｌｎｅ２ｘ＋１ ＝ｌｎ２＋２ｘ＋１， 则ｚ＝２ｘ＋ｌｎ２＋１，故ｍ＝２，ｎ＝ｌｎ２＋１， 所以ｍｎ＝２ｌｎ２＋２． １４．ｘ＝ １５×（４＋ｍ＋８＋１０＋１２）＝ ３４＋ｍ ５ ， ｙ＝ １５×（１＋２＋３＋５＋６）＝３．４， (将 ３４＋ｍ５ ，３． )４ 代入经验回归方程 ｙ^＝０６５ｘ－１．８中， 得３．４＝０６５×３４＋ｍ５ －１．８，解得ｍ＝６． 所以当ｘ＝４，ｙ^＝０６５×４－１．８＝０８，｜１－０８｜＝０２； 当ｘ＝６时，ｙ^＝０６５×６－１．８＝２．１，｜２－２．１｜＝０１； 当ｘ＝８时，ｙ^＝０６５×８－１．８＝３．４，｜３－３．４｜＝０．４． 综上，距离经验回归直线最近的点是（６，２）． 四、解答题 １５．解：作出散点图如图１， ! " # $ % & ' ! !() !(& !($ !(" !(* *+) ,(& ,($ ,(" , " ! ! ! ! ! ! ! 图１ 由条形图数据和参考数据得 ｔ＝４，∑ ７ ｉ＝１ （ｔｉ－ｔ） ２ ＝２８， ∑ ７ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ）槡 ２≈０５３， ∑ ７ ｉ＝１ （ｔｉ－ｔ）（ｙｉ－ｙ）＝∑ ７ ｉ＝１ ｔｉｙｉ－ｔ∑ ７ ｉ＝１ ｙｉ ＝３９７５－４×９．２４＝２．７９， 所以ｒ≈ ２．７９０５３×２×２６４６≈０９９． 因为ｙ与ｔ的样本相关系数近似为０．９９， 所以ｙ与ｔ的线性相关性相当强． １６．解：（１）由题可得ｘ＝３，ｙ＝７２， ∑ ５ ｉ＝１ ｘｉｙｉ＝１×５＋２×６＋３×７＋４×８＋５×１０＝１２０， ∑ ５ ｉ＝１ ｘ２ｉ ＝１ ２＋２２＋３２＋４２＋５２ ＝５５， 则 ｂ^＝１２０－５×３×７２ ５５－５×３２ ＝１２， ａ^＝ｙ－ｂ^ｘ＝７２－１２×３＝３６                                                                      ， —７— 高中数学人教Ａ版选择性必修第三册　第４１～４４期 故经验回归方程为 ｙ^＝１．２ｘ＋３．６． （２）将ｘ＝８代入经验回归方程可预测该地区２０２５年的人 民币储蓄存款 ｙ^＝１．２×８＋３．６＝１３．２（千亿元）． １７．解：（１）ＣＯ对ＰＭ２５有正相关关系， 而Ｏ３对ＰＭ２５没有相关关系． （２）∑ ３ ｉ＝１ ｘｉｙｉ＝０５＋２＋６＝８５，ｘ＝ ７ ３，ｙ＝１，３ｘｙ＝７， ∑ ３ ｉ＝１ ｘ２ｉ ＝１＋４＋１６＝２１，３ｘ ２ ＝４９３． 所以 ｂ^＝ ９２８，ａ^＝ １ ４，ｙ^＝ ９ ２８ｘ＋ １ ４， 当ＣＯ为２００时，即 ｙ^＝２时，９２８ｘ＋ １ ４ ＝２，所以ｘ＝ ４９ ９， 即ＰＭ２５的值为 ４９ ９×１００＝ ４９００ ９ ≈５４４（μｇ／ｍ ３）． １８．解：（１）画出散点图，如图２所示： ! "# "$ "% "& ! ! ! ! "" ' ( ) !"#$ # " %*&$ 图２ （２）由题表中数据易得ｘ＝１２．５，ｙ＝８．２５， ∑ ４ ｉ＝１ ｘｉｙｉ＝４３８，∑ ４ ｉ＝１ ｘ２ｉ ＝６６０， 所以 ｂ^＝ ∑ ４ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－４ｘｙ ∑ ４ ｉ＝１ ｘ２ｉ－４ｘ ２ ＝４３８－４×１２．５×８．２５ ６６０－４×１２．５２ ＝５１７０， ａ^＝ｙ－ｂ^ｘ＝８．２５－５１７０×１２５＝－ ６ ７． 故经验回归方程为 ｙ^＝５１７０ｘ－ ６ ７． （３）要使ｙ≤１０，则５１７０ｘ－ ６ ７≤１０， 即ｘ≤７６０５１≈１４．９． 故机器的转速应不超过１４．９转 ／秒． １９．解：（１）由表中数据可得ｘ＝５，ｙ＝２４， ∑ ５ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－５ｘｙ＝３７０－５×５×２４＝－２３０， ∑ ５ ｉ＝１ ｘ２ｉ－５ｘ ２ ＝６８， 所以 ｂ^＝－２３０６８ ≈－３４， 所以 ａ^＝ｙ－ｂ^ｘ＝２４＋３４×５＝４１， 所以ｙ关于ｘ的经验回归方程为 ｙ^＝４１－３４ｘ． （２）设该系大一学生每周扣分总数为ｈ（ｘ），则由题意 得ｈ（ｘ）＝ｘ（－３４ｘ＋４１）＝－３４ｘ２＋４１ｘ， 因为函数对称轴方程为ｘ＝ ４１３４×２≈６０３， 由题意，ｘ＝６时，ｈ（ｘ）有最大值， 即每次扣分为６分时，该系大一新生被扣分的总数最大． （３）设每周上课使用手机扣ｘ分， 则数学系大一学生每学期扣分为２０×（－３４ｘ＋４１）ｘ， 令２０×（－３４ｘ＋４１）ｘ≤１０００， 即３４ｘ２－４１ｘ＋５０≥０， 解得ｘ≥４１＋槡１００１２×３４ ≈１０６８ 或ｘ≤４１－槡１００１２×３４ ≈１３８， 所以每周至少扣分１１分时， 数学系才能被定为控制手机合格． 第４４期２版 专项小练 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｃ．　４．０．０１；　５．０．６００． 第４４期３，４版 列联表和独立性检验同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＢＣＣＤ　５～８　ＡＢＣＣ 提示： １．近视变量有近视与不近视两种类别，血压变量有异常、 正常两种类别，饮酒变量有饮酒与不饮酒两种类别，成绩不是 分类变量，它的取值不一定有两种． ２．由题意得 ａ＋ｂ＝５５， ｃ＋ｄ＝１２０－５５{ ， 又３ａ＝ｃ，ｂ＝２ｄ， 所以 ａ＋２ｄ＝５５， ３ａ＋ｄ＝６５{ ， 解得ａ＝１５，ｄ＝２０． 所以ｂ＝４０，ｃ＝４５，ｃ＋ｄ＝６５，ｂ＋ｄ＝６０，故选（Ｃ）． ３．由题知χ２的范围为［６６３５，１０８２８）， 因此χ２可能为６６７７． ４．因为χ２越小，两个分类变量的关系越弱， 当ａｄ－ｂｃ＝０时，χ２最小，此时χ２ ＝０， 由１０×２６＝１８ｍ，解得ｍ≈１４．４， 所以当ｍ＝１４时，Ｘ与Ｙ的关系最弱． ５．由题意知χ２ ＝４０×（２×１２－８×１８） ２ １０×３０×２０×２０ ＝４．８＞３．８４１＝ｘ００５， 由临界值表可知，认为“该药物预防流感有效果”， 则该结论出错的概率不超过００５． ６．根据两个表中的等高条形图知，药物Ａ                                                                      实验显示不服药 —８— 高中数学人教Ａ版选择性必修第三册　第４１～４４期 与服药时患病差异较药物Ｂ实验显示明显大，所以药物Ａ的预 防效果优于药物Ｂ的预防效果，故选（Ｂ）． ７．在两个分类变量的列联表中， 当｜１０×３０－ａｂ｜的值越小时， 认为两个分类变量有关的可能性越小． 令｜１０×３０－ａｂ｜＝０，得ａｂ＝３００， 又因为样本容量为７５，所以ａ＋ｂ＋４０＝７５，则ｂ＝３５－ａ， 所以ａｂ＝ａ（３５－ａ）＝３００，化简得ａ２－３５ａ＋３００＝０， 解得ａ１ ＝１５，ａ２ ＝２０，又因为ａ＜ｂ，所以ａ＝１５． ８．因为χ２ ＝ ｎ（ａｄ－ｂｃ） ２ （ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ） ＝２００［（８０－ｍ）（５０－ｍ）－（２０＋ｍ）（５０＋ｍ）］ ２ １００×１００×１３０×７０ ＝８（１５－ｍ） ２ ９１ ≥３８４１，所以（１５－ｍ） ２≥４３．７， 又５≤ｍ≤１５，ｍ∈Ｎ，所以１５－ｍ≥７，解得ｍ≤８， 故在被调查的１００名女生中喜欢观看体育比赛直播的人 数的最大值为５８． 二、多项选择题 ９．ＢＣ；　１０．ＡＣ；　１１．ＢＤ． 提示： ９．因为χ２≈９．６１６，所以７．８７９＜χ２ ＜１０．８２８， 所以根据小概率值α＝０．００１的独立性检验， 分析认为“药物无效”，故（Ａ）错误，（Ｂ）正确； 根据小概率值α＝０．００５的独立性检验， 分析认为“药物有效”，故（Ｃ）正确，（Ｄ）错误． 故选（Ｂ）（Ｃ）． １０．饭前服药的１００名患者中，药效强的有８０人， 所以频率为 ４ ５，故（Ａ）正确； 饭前服药的有２０人药效弱，饭后服药的有７０人药效弱， 所以药效弱的有９０名患者， 饭后服药的频率为 ７ ９，故（Ｂ）错误； 因为χ２ ＝２００×（８０×７０－２０×３０） ２ １００×１００×１１０×９０ ＝ ５０００ ９９ ≈５０５０５ ＞６６３５＝ｘ００１，故在犯错误的概率不超过０．０１的条件下，可 以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异，故（Ｃ）正确， （Ｄ）错误． 故选（Ａ）（Ｃ）． １１．由题知 ａ＋６＝ｅ， １５＋ｂ＝２８， ａ＋１５＝ｃ， ６＋ｂ＝ｄ， ｅ＋２８＝４６， ｃ＋ｄ＝４６        ， 解得 ａ＝１２， ｂ＝１３， ｅ＝１８， ｃ＝２７， ｄ＝１９        ， 所以 ａ ｃ ＝ １２ ２７＝ ４ ９ ＞ ６ １９＝ ６ ｄ，故（Ａ）错误； 零假设为Ｈ０：在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别 无关，则 χ２ ＝４６×（１２×１３－６×１５） ２ １８×２８×１９×２７ ≈０７７５＜２７０６＝ ｘ０１，故（Ｂ）正确； 依据小概率值α＝０１的独立性检验，没有充分证据推断 Ｈ０不成立，因此可以认为 Ｈ０成立，即在恶劣天气的飞行航程 中，是否晕机与性别无关，故（Ｄ）正确，（Ｃ）错误． 故选（Ｂ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．有；　１３．５５５６，００５；　１４．７或８． 提示： １２．从等高堆积条形图上可以明显地看出喝酒患胃病的频 率远远大于不喝酒患胃病的频率，所以由所给等高堆积条形图 可知，喝酒与患胃病有关系． １３．由表中数据得 χ２ ＝１００×（２０×３５－４０×５） ２ ６０×４０×２５×７５ ＝ ５０ ９ ≈５５５６，因为５５５６＞３８４１＝ｘ００５，所以α＝００５． １４．设男、女学生的总人数为２ｎ，则２ｎ＝２０ｋ（ｋ∈Ｎ＋），并 把２×２列联表的数据补充完整（单位：人）． 性别 是否喜欢网络课程 喜欢 不喜欢 合计 男生 ０８ｎ ０２ｎ ｎ 女生 ０６ｎ ０４ｎ ｎ 合计 １４ｎ ０６ｎ ２ｎ 所以χ２ ＝２ｎ·（０８ｎ·０４ｎ－０２ｎ·０６ｎ） ２ ｎ·ｎ·１４ｎ·０６ｎ ＝ ２ｎ ２１． 由题可得６６３５≤ ２ｎ２１＜７８７９， 即１３９．３３５≤２ｎ＜１６５．４５９．又２ｎ＝２０ｋ（ｋ∈Ｎ＋）， 所以６９６６７５≤ｋ＜８２７２９５， 所以ｋ＝７或ｋ＝８． 四、解答题 １５．解：作列联表如下． 考前心情 性格 内向 外内 合计 紧张 ３３２ ２１３ ５４５ 不紧张 ９４ ３８１ ４７５ 合计 ４２６ ５９４ １０２０ !"# $%& $%' $%( #%) #%* $"+ $", $"- $"! $ !"#$ !%&$ '() *+, -() *./, 相应的等高堆积条形图如图所示                                                                      ． —９— 高中数学人教Ａ版选择性必修第三册　第４１～４４期 图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性 格内向的比例． 从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向占的比 例比考前心情不紧张的样本中性格内向占的比例高，可以认为 考前心情紧张与性格类别有关． １６．解：（１）由题意知在Ａ组中抽取的人数为 １６×７５１２０＝１０． 在Ｂ组中抽取的人数为１６×４５１２０＝６． （２）零假设为 Ｈ０：对“绿色消费”意义的认知情况与年龄无关． 由题意得χ２ ＝２００×（７５×５５－２５×４５） ２ １２０×８０×１００×１００ ＝１８７５＞１０．８２８＝ｘ０００１， 根据小概率值α＝０．００１的独立性检验， 推断Ｈ０不成立， 即认为对“绿色消费”意义的认知情况与年龄有关， 此推断犯错误的概率不大于０００１． １７．解：（１）由等高堆积条形图知， 男生保护动物意识强的有５０×０７＝３５， 女生保护动物意识强的有５０×０４＝２０， 于是２×２列联表如下（单位：人）． 性别 保护动物意识 强 弱 合计 男 ３５ １５ ５０ 女 ２０ ３０ ５０ 合计 ５５ ４５ １００ （２）零假设为Ｈ０：该校学生保护动物意识的强弱与性别无关， 根据列联表中的数据，得 χ２ ＝１００×（３５×３０－１５×２０） ２ ５５×４５×５０×５０ ＝ １００ １１ ≈９０９１＞７８７９＝ｘ０００５， 根据小概率值α＝０００５的独立性检验，我们推断Ｈ０不成 立，即认为学生保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错 误的概率不大于０００５． １８．解：（１）设采用分层随机抽样的方法从高二年级抽取 的４５名学生中男、女生人数分别为ａ，ｂ， 则有 ５００ ５００＋４００＝ ａ ４５， ４００ ５００＋４００＝ ｂ ４５， 解得ａ＝２５，ｂ＝２０， 故ｘ＝２５－１５－５＝５，ｙ＝２０－１５－３＝２． ２×２列联表如下（单位：人）． 测评结果 性别 男生 女生 合计 优秀 １５ １５ ３０ 非优秀 １０ ５ １５ 合计 ２５ ２０ ４５ （２）零假设为Ｈ０：测评结果优秀或非优秀与性别无关． 根据（１）中列联表得 χ２ ＝４５×（１５×５－１５×１０） ２ ３０×１５×２５×２０ ＝１．１２５＜２．７０６＝ｘ０１， 根据α＝０．１的独立性检验， 没有充分证据推断Ｈ０不成立， 因此认为Ｈ０成立， 即认为测评结果优秀或非优秀与性别无关． １９．解：（１）零假设为 Ｈ０：该品牌方便面中Ｃ卡片所占比例与方便面口味无关． χ２ ＝１５０×（２０×４５－１０×７５） ２ ９５×５５×３０×１２０ ＝ ７５ ４１８ ≈０１７９＜３８４１＝ｘ００５， 根据小概率值α＝００５的独立性检验，没有充分证据推断 Ｈ０不成立，因此可以认为Ｈ０成立，即认为该品牌方便面中Ｃ卡 片所占比例与方便面口味无关． （２）①记“小明一次购买３袋该方便面，中奖”为事件Ａ， Ｐ（Ａ）＝ ２５× ２ ５× １ ５×Ａ ３ ３ ＝ ２４ １２５． ②记“小明一次购买３袋该方便面，未获得Ｃ卡”为事件Ｂ． Ｐ（ＢＡ） (＝ )４５ ３ ＝６４１２５， Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＢＡ） Ｐ（Ａ） ＝ ６４ １２５ １－２４１２５ ＝６４１０１                                                                      ． —０１— 高中数学人教Ａ版选择性必修第三册　第４１～４４期 书书书 随 月 份 ｔ 变 化 的 散 点 图 ，并 用 散 点 图 和 样 本 相 关 系 数 说 明 ｙ 与 ｔ 之 间 具 有 线 性 相 关 性 ． 参 考 公 式 ：ｒ ＝ ∑ ｎｉ＝１ （ｘ ｉ － ｘ） （ｙ ｉ － ｙ） ∑ ｎｉ＝１ （ｘ ｉ － ｘ） 槡 ２ ∑ ｎｉ＝１ （ｙ ｉ － ｙ） 槡 ２ ． 参 考 数 据 ：∑ ７ｉ＝１ ｙ ｉ ＝ ９．２４ ，∑ ７ｉ＝１ ｔｉ ｙ ｉ ＝ ３９７５ ， ∑ ７ｉ＝１ （ｙ ｉ － ｙ） 槡 ２ ≈ ０５３ ，槡 ７ ≈ ２．６４６． １６． （１５ 分 ） 随 着 我 国 经 济 的 发 展 ， 居 民 的 储 蓄 存 款 逐 年 增 长 ． 设 某 地 区 城 乡 居 民 人 民 币 储 蓄 存 款 （ 年 底 余 额 ） 如 下 表 ． 年 份 ２ ０１８ ２ ０１９ ２ ０２０ ２ ０２１ ２ ０２２ 时 间 代 号 ｘ １ ２ ３ ４ ５ 储 蓄 存 款 ｙ（ 千 亿 元 ） ５ ６ ７ ８ １０ （１ ） 求 ｙ 关 于 ｘ 的 经 验 回 归 方 程 ｙ^ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^ ； （２ ） 用 所 求 回 归 方 程 预 测 该 地 区 ２０２５ 年 的 人 民 币 储 蓄 存 款 ． １７． （１５ 分 ） 专 家 研 究 表 明 ，ＰＭ ２５ 是 霾 的 主 要 成 分 ，在 研 究 ＰＭ ２５ 形 成 原 因 时 ，某 研 究 人 员 研 究 了 ＰＭ ２５ 与 燃 烧 排 放 的 ＣＯ ２ ，Ｎ Ｏ ２ ，ＣＯ ， Ｏ ３ ，ＰＭ １０ 等 物 质 的 相 关 关 系 ．图 ６ ，图 ７ 分 别 是 ＰＭ ２５ 与 ＣＯ 和 Ｏ ３ 相 关 性 的 散 点 图 ． （１） 根 据 散 点 图 ，请 你 就 ＣＯ ，Ｏ ３ 对 ＰＭ ２５ 的 影 响 关 系 做 出 初 步 评 价 ； （ ２ ） 以 １００ μ ｇ／ｍ ３ 为 单 位 ，在 上 述 图 ６ 中 取 三 个 点 ，如 下 表 所 示 ． ＰＭ ２５ μ ｇ／ｍ ３（ｘ） １ ２ ４ ＣＯ μ ｇ／ｍ ３（ｙ） ０５ １ １５ 求 ｙ 关 于 ｘ 的 经 验 回 归 方 程 ，并 估 计 当 ＣＯ 排 放 量 是 ２００ μ ｇ／ｍ ３ 时 ，ＰＭ ２．５ 的 值 ． （ 结 果 保 留 整 数 ） １８． （１７ 分 ） 一 台 还 可 以 用 的 机 器 由 于 使 用 的 时 间 较 长 ， 按 不 同 的 转 速 生 产 出 来 的 某 机 械 零 件 有 一 些 会 有 缺 陷 ， 每 小 时 生 产 有 缺 陷 零 件 的 数 量 随 机 器 转 速 的 变 化 而 变 化 ，下 表 为 抽 样 试 验 结 果 ． 转 速 ｘ（ 转 ／ 秒 ） １６ １４ １２ ８ 每 小 时 生 产 有 缺 陷 零 件 的 数 量 ｙ （ 个 ） １１ ９ ８ ５ （１ ） 画 出 散 点 图 ； （ ２ ） 如 果 变 量 ｘ 和 ｙ 线 性 相 关 ，求 ｙ 关 于 ｘ 的 经 验 回 归 方 程 ｙ^ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^ ； （３ ） 若 实 际 生 产 中 ， 允 许 每 小 时 生 产 的 产 品 中 有 缺 陷 的 零 件 最 多 有 １０ 个 ，试 问 机 器 的 转 速 应 控 制 在 什 么 范 围 内 ？ （ 结 果 保 留 一 位 小 数 ） １９． （１７ 分 ） 某 高 校 数 学 系 为 了 控 制 大 一 学 生 上 课 使 用 手 机 ， 针 对 上 课 使 用 手 机 情 况 ， 进 行 量 化 比 ， 若 发 现 上 课 使 用 手 机 则 扣 除 其 对 应 的 积 分 ，根 据 调 查 发 现 每 次 被 扣 分 数 与 本 系 大 一 学 生 每 周 上 课 使 用 手 机 次 数 的 关 系 如 下 表 所 示 ． 每 次 被 扣 分 数 ｘ／ 分 ０ ２ ５ ８ １０ 每 周 上 课 使 用 手 机 次 数 ｙ／ 次 ５ ０ ２５ ２０ １５ １０ （１ ） 试 根 据 以 上 数 据 ，建 立 ｙ 关 于 ｘ 的 回 归 直 线 方 程 （ 结 果 保 留 一 位 小 数 ） ； （２ ） 根 据 上 述 回 归 直 线 方 程 分 析 ： 每 次 扣 分 为 多 少 时 （ 精 确 到 整 数 分 ） ，该 系 大 一 新 生 被 扣 分 的 总 数 最 大 ； （ ３ ） 若 学 校 规 定 ，大 一 新 生 每 学 期 （ 按 ２０ 周 上 课 计 算 ） 因 为 上 课 使 用 手 机 被 扣 分 总 数 不 超 过 １０００ 分 ，则 该 系 大 一 被 定 为 控 制 手 机 合 格 ， 那 么 ，每 周 上 课 使 用 手 机 至 少 扣 多 少 分 时 （ 扣 分 不 低 于 ５ 分 ， 精 确 到 整 数 ） ，数 学 系 才 能 被 定 为 控 制 手 机 合 格 ？ !"#$%&'()*+,-./0 ! 12!"#$%&'( !"3$4&'(5*+,-678 ! 92!")$%&'( : ; < = > ? @ ! " " # " " $ " " % " " & " " ! & " ! " " & " ' ( ! ) * + $ , - # . & ! ) * + $ " ! " " # " " $ " " % " " & " " / " 0 " % " # " ( $ ! ) * + $ , - # . & ! ) * + $ " ! 0 ! 1 ! ! " # $ % & ' ! # $ % & 0 1 " ! . " # ! . ! $ ! . 0 ! ! . # ! ! . $ ! ! . % $ ! . & $ ##### &%$#!" ! # $ % & 0 1 " ! . / ! . 0 ! . % ! . # ! . " " . / " . 0 " . % " . #" ! ! % ! & 书 专项小练一、成对数据的统计相关性 １．（多选）下列变量之间的关系是相关关系 的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）汽车行驶的里程和它的耗油量 （Ｂ）圆的半径和面积 （Ｃ）降雪量和交通事故的发生率 （Ｄ）家庭的收入和支出 ２．如右图所示，散点图中 需要去掉一组数据，使得剩下 的四组数据的相关系数最大， 则应去掉的数据所对应的点 为 （　　） （Ａ）Ａ （Ｂ）Ｂ （Ｃ）Ｃ （Ｄ）Ｄ ３．下列四个图各反映了两个变量的某种关 系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是 （　　） （Ａ）①③　　　　　　（Ｂ）①④ （Ｃ）②③　　 （Ｄ）①② ４．若已知∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ） ２是∑ ｎ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ） ２的４ 倍，∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ）是∑ ｎ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ） ２的１．６ 倍，则相关系数ｒ的值为 ． ５．在一次试验中，测得（ｘ，ｙ）的三组值分别 为（０，１），（３，２），（６，３），则这组样本数据的样 本相关系数为 ． 专项小练二、一元线性回归模型及其应用 １．某商场经营一批小商品，根据销售经验， 此商品的日销售量 ｙ（单位：台）关于销售单价 ｘ（单位：元）的经验回归方程是 ｙ^＝１６１－３ｘ，由 此估计，当销售单价为３０元时，此商品的日销售 量为 （　　） （Ａ）３０台　 （Ｂ）４１台 （Ｃ）５０台　 （Ｄ）７１台 ２．对具有线性相关关系的变量ｘ，ｙ，有一组 观测数据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，…，８），其经验回归 方程是 ｙ^＝１３ｘ＋ａ，且ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋… ＋ｘ８＝ ２（ｙ１＋ｙ２＋… ＋ｙ８）＝１６，则实数ａ的值是 （　　） （Ａ）１１６　　（Ｂ） １ ３ （Ｃ） １ ４　　（Ｄ） １ ２ ３．（多选）下列说法正确的是 （　　） （Ａ）回归分析中，Ｒ２的值越大，说明残差平 方和越小 （Ｂ）若一组观测（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），…，（ｘｎ， ｙｎ）满足ｙｉ＝ｂｘｉ＋ａ＋ｅｉ（ｉ＝１，２，３，…，ｎ），若 ｅｉ恒为０，则Ｒ ２ ＝１ （Ｃ）回归分析是对具有相关关系的两个变 量进行统计分析的一种常用方法 （Ｄ）画残差图时，纵坐标为残差，横坐标一 定是编号 ４．设有一个经验回归方程为 ｙ^＝２－３．５ｘ， 则变量ｘ增加一个单位时，ｙ平均减少 个单位． ５．某种产品的广告支出 ｘ（单位：万元）与 销售额ｙ（单位：万元）之间有下表关系． ｘ ２ ４ ５ ６ ８ ｙ ３０ ４０ ６０ ５０ ８０ 根据上表，利用最小二乘法得到它们的经 验回归方程为 ｙ^＝６．５ｘ＋１７．５，当广告支出５万 元时，残差为 万元． 书 经验回归研究的是一个变量与另一个变量 之间的相关关系．利用经验回归分析可以对总 体进行估计，从而作出预测或判断． 求解这类问题通常有以下三步： 第一步：判断两个变量是否线性相关及相 关程度．通常有两种方法：（１）利用散点图直观 判断；（２）将相关数据代入样本相关系数ｒ的公 式中求出ｒ，然后根据ｒ的正负和｜ｒ｜的大小进 行判断． 第二步：若具有线性相关关系，则求经验回 归方程． （１）计算：ｘ，ｙ，∑ ｎ ｉ＝１ ｘ２ｉ，∑ ｎ ｉ＝１ ｘｉｙｉ． （２）计算 ｂ^＝ ∑ ｎ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－ｎｘｙ ∑ ｎ ｉ＝１ ｘ２ｉ－ｎｘ ２ ，ａ^＝ｙ－ｂ^ｘ． （３）写出方程 ｙ^＝ｂ^ｘ＋ａ^． 第三步：利用经验回归方程进行预测，其实 质是代入关系式中求值． 例１为研究质量 ｘ（单位：克）对弹簧长度 ｙ（单位：厘米）的影响，对不同质量的６个物体 进行测量，数据如表所示． ｘ ５ １０ １５ ２０ ２５ ３０ ｙ ７．２５ ８．１２ ８．９５ ９．９ １０．９ １１．８ 作出散点图并求 经验回归方程（精确 到０．００１）． 解析：根据所给数 据，作出散点图如右图所示． 由散点图可知两变量具有线性相关关系． ｘ＝１６×（５＋１０＋１５＋２０＋２５＋３０） ＝１７．５， ｙ＝１６×（７．２５＋８．１２＋８．９５＋９．９＋１０９ ＋１１．８）≈９．４８７， ∑ ６ ｉ＝１ ｘ２ｉ ＝５ ２＋１０２＋１５２＋２０２＋２５２＋３０２ ＝２２７５， ∑ ６ ｉ＝１ ｘｉｙｉ＝５×７．２５＋１０×８．１２＋１５×８．９５ ＋２０×９．９＋２５×１０．９＋３０×１１．８＝１０７６．２， 所以 ｂ^＝ ∑ ６ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－６ｘｙ ∑ ６ ｉ＝１ ｘ２ｉ－６ｘ ２ ≈１０７６．２－６×１７．５×９．４８７ ２２７５－６×１７５２ ≈０１８３， 所以 ａ^＝ｙ－ｂ^ｘ≈９４８７－０１８３×１７．５ ≈６２８５． 故所求经验回归方程为 ｙ^＝０１８３ｘ＋ ６２８５． 例２某产品的广告费用 ｘ与销售额 ｙ的统 计数据如下表． 广告费用ｘ（万元） ４ ２ ３ ５ 销售额ｙ（万元） ４９ ２６ ３９ ５４ 根据上表可得回归方程 ｙ^＝ｂ^ｘ＋ａ^中的 ｂ^为 ９．４，据此模型预报广告费用为６万元时销售额 为 （　　） （Ａ）６３．６万元 （Ｂ）６５．５万元 （Ｃ）６７．７万元 （Ｄ）７２．０万元 分析：因为经验回归直线过样本点的中心， 求出 ａ^，将ｘ＝６代入经验回归方程求出销售额． 解析：由题意可得样本点的中心为（３．５， ４２），根据经验回归方程必过样本点的中心可得 ４２＝９．４×３．５＋ａ^ａ^＝９．１，所以经验回归方 程为 ｙ^＝９４ｘ＋９．１，所以广告费用为６万元时 销售额为９．４×６＋９．１＝６５．５．故选（Ｂ）． 例３某奶茶连锁店的日销售收入 ｙ（单位： 万元）与当天平均气温ｘ（单位：℃）之间的关系 如表所示． ｘ －２ －１ ０ １ ２ ｙ ５ ２ ２ １ 通过上面的五组数据得到了 ｘ与 ｙ之间的 经验回归方程 ｙ^＝－ｘ＋２．８，但现在丢失了一个 数据，该数据应为 （　　） （Ａ）３　　　（Ｂ）４　　　（Ｃ）５　　　（Ｃ）６ 分析：因为经验回归直线过样本点的中心， 所以求出ｘ的值，代入方程，求出ｙ的值，从而求 出 ! 失的数据． 解析：设该数据是ａ，由ｘ＝０， 得ｙ＝－ｘ＋２．８＝２．８， 所以 １ ５×（５＋ａ＋２＋２＋１）＝２．８， 解得ａ＝４． 故选（Ｂ）． !" !!"## $%&# $ #% '(&'(#) * # !" !"#$ %& 2 +,-./*01 ABCDE$FG ABCE8HIJKLMNFO 3PQRSTU9 VWXYZ[ \]^_`aU9bcX"#$%&'()()*d+e fghcX,%',-. 23456789:; <=6>?@ABCD8 "$&!3&#1!#0/ <=EF?GAHCD8 "$&!3&#1!!"# !"#$%&'"()&* +,-./012 ()*+,- ./0123#45 6/789:;<= >?3@AB<CD E+FG)*+,H IJKLM 7NO <PQ3RF ST4 56U6VM !41"W/<=> ?3@FXRHY( Z/W[GU6VH \XR]^/_`a bcdefM1ga bhijkGlm/ nop3gefq rst4uvwG xyMzo:{|H Y}S~ 7€ ‚~ƒ„:1g…† GabM‡ˆ=>?‰ GŠ‹;ŒŽ ~U6V‘’:“ ”G•–M #""%W~1&—˜ ™GU6Vš›œ .ž~Ÿ CDE +¡¢£¤¥¦M§ ¨©ª«¬~7­® ¯°±²:3g³ 3g†´M0vµ7 ¶·¸:/7¹º»¼ i*6hi~½¾ ¿À„HM F#"#"W/ CDÁ@JÂXR E+¡¢ÃÄÅÆ/ )*ÇÈÉ0:Ê ËǦÍÎFM ;ÏÐBÑH/ U6VÒ3ÓÔÕ :Ö×O+,ØÙM 7Ú¹º<+,ÛÜ O%v3ÝÞGÛ Üß FÃO1àáâ ãäå¯æçèGØ Ù~é)*+,;á B0å ;êBë~ì í:3g³3gî ïßU6VGðÛñ ò½ó/gvGôõ (Èo*6öv÷ è„Gøäß ! ij klm $ % & ' ( ) ! * ! " # $ $ " ! $ " ! $ " ! $ " ! nQopqor :;<=>?@ & !" !& #" #& $" $ ! !% !# !" / 0 % # 3 3 3 3 3 3 3 + + + + + + ù ù ù ù ù ù " 书 一、单项选择题　１～４　ＢＣＤＣ　５～８　ＢＢＢＡ 二、多项选择题　９．ＡＣＤ；　１０．ＢＣ；　１１．ＢＤ． 三、填空题　１２．１８；　１３． ３ ４；　１４．１５． 四、解答题 １５．（１）４５．　（２）Ｐ（Ａ）＝ １ ２；Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝ ２ ５． １６．解：记“小球落入Ａ袋中”为事件Ａ， “小球落入Ｂ袋中”为事件Ｂ． （１）易知Ｐ（Ａ） (＝ )１２ ３ (＋ )１２ ３ ＝ １４． （２）由（１）知Ｐ（Ａ）＝ １４，则 Ｐ（Ｂ）＝１－Ｐ（Ａ）＝１－１４ ＝ ３ ４， 由题意知 (Ｘ～Ｂ ４， )３４ ， Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｋ(４ )３４ ( ｋ )１４ ４－ｋ ，ｋ＝０，１，２，３，４， 则Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ ４ Ｐ １２５６ ３ ６４ ２７ １２８ ２７ ６４ ８１ ２５６ Ｅ（Ｘ）＝４×３４ ＝３，Ｄ（Ｘ）＝４× ３ ４× １ ４ ＝ ３ ４． １７．解：（１）因为Ｘ～Ｎ（６５，４．８４），所以μ＝６５，σ＝２．２． 所以μ＋３σ＝７１．６，７３∈（μ＋３σ，＋∞）． 因为Ｐ（Ｘ＞７１．６）＝１－Ｐ（５８．４≤Ｘ≤７１．６）２ ＝１－０．９９７３２ ＝０．００１３５， 且０．００１３５远小于 １２０， 所以此事件应为小概率事件，而质检员随机抽检２０袋 该种零食时，测得１袋零食的质量为７３ｇ，说明小概率事件 确实发生了，因此他立即要求停止生产，检查设备的决定有 道理． （２）（ⅰ）因为μ＝６５，σ＝２．２， 所以μ－σ＝６２．８，μ＋２σ＝６９．４． 由题意可知当零食每袋的质量Ｘ满足μ－σ≤Ｘ≤μ＋ ２σ时为合格品， 所以这种零食的合格率为 ０．６８２７＋０．９５４５ ２ ＝０．８１８６≈０．８１９． （ⅱ）由题意可知Ｙ～Ｂ（ｎ，０．８１９），则 Ｅ（Ｙ）＝０．８１９ｎ＞５８， 则ｎ＞ ５８０．８１９≈７０．８２，故ｎ的最小值为７１． １８．解：（１）（ⅰ）记“从盒子中先后任意飞出两只昆 虫，恰有１只蜜蜂”为事件Ａ， 设盒子中蜜蜂的只数为ｘ（ｘ∈Ｎ＋）， 则Ｐ（Ａ）＝ Ｃ１ｘＣ １ ８－ｘ Ｃ２８ ＝ ４７，解得ｘ＝４， 故蜜蜂共有４只． （ⅱ）随机变量Ｘ服从超几何分布， 且Ｎ＝８，Ｍ ＝４，ｎ＝３， Ｐ（Ｘ＝ｉ）＝ Ｃｉ４Ｃ ３－ｉ ４ Ｃ３８ ，ｉ＝０，１，２，３． 故Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ １１４ ３ ７ ３ ７ １ １４ Ｅ（Ｘ）＝１×３７＋２× ３ ７＋３× １ １４ ＝ ３２． （２）记“任意飞出两只昆虫，至少有１ 只是蝴蝶”为事件Ｂ， 则事件Ｂ为“任意飞出两只昆虫，其中没有蝴蝶”， Ｐ（Ｂ）＝１－Ｐ（Ｂ）＝１－ Ｃ２ｎ Ｃ２２ｎ ＝１－ ｎ－１２（２ｎ－１） ＝ ３４＋ １ ４（２ｎ－１）（ｎ≥４，ｎ∈Ｎ）， 当ｎ＝４时，Ｐ（Ｂ）ｍａｘ＝ ３ ４＋ １ ２８＝ １１ １４． １９．解：（１）ａ１，ａ２，ａ３的排序共有Ａ ３ ３ ＝６种， 且每种排序等可能， 此时Ｘ可取０，２，４， 又Ｘ＝０时，ａ１，ａ２，ａ３的排序为１，２，３，则Ｐ（Ｘ＝０）＝ １ ６， Ｘ＝２时，ａ１，ａ２，ａ３的排序为１，３，２或２，１，３， 则Ｐ（Ｘ＝２）＝ １３， Ｘ＝４时，ａ１，ａ２，ａ３的排序为３，２，１或２，３，１或３，１，２， 则Ｐ（Ｘ＝４）＝ １２， 所以Ｘ的分布列为： Ｘ ０ ２ ４ Ｐ １６ １ ３ １ ２ （２）（ⅰ）ａ１，ａ２，ａ３，ａ４的排序共有Ａ ４ ４ ＝２４种， 且每种排序等可能， 而∑ ｎ ｉ＝１ （ｉ－ａｉ）＝０， 故ｉ－ａｉ（ｉ＝１，２，３，４）中有偶数个奇数， 故∑ ｎ ｉ＝１ ｜ｉ－ａｉ｜必为偶数， 当Ｘ＝０时，ａ１，ａ２，ａ３，ａ４的排序与第一次排序无变化时， 此时仅有１种排序：１，２，３，４，则Ｐ（Ｘ＝０）＝ １２４， 当Ｘ＝２时，ａ１，ａ２，ａ３，ａ４的排序与第一次排序相比仅 有相邻两个位置变化时， 此时有３种排序：２，１，３，４、１，３，２，４、１，２，４，３， 则Ｐ（Ｘ＝２）＝ ３２４＝ １ ８， 所以Ｐ（Ｘ≤２）＝Ｐ（Ｘ＝０）＋Ｐ（Ｘ＝２） ＝ １２４＋ １ ８ ＝ １ ６； （ⅱ）因为各轮测试相互独立， 所以“连续三轮测试中，都有Ｘ≤２”的概率为 (Ｐ＝ )１６ ３ ＝ １２１６＜ ５ １０００， 所以 １ ２１６是一个小概率，这表明仅凭随机猜测得到“连 续三轮测试中，都有Ｘ≤２”的结果的可能性很小，所以我 们认为该品酒师有良好的鉴别能力，不是靠随机猜测． 一、单项选择题　１～４　ＣＡＡＡ　　５～８　ＡＣＡＡ 二、多项选择题　９．ＢＣＤ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＡＢ． 三、填空题　１２．４５；　１３ [． １２，＋ )∞ ；　１４．１８５． 四、解答题 １５．（１）ｎ＝８． （２）（ⅰ）ａ１＋ａ２＋… ＋ａ８ ＝２５５． （ⅱ）ａ１＋ａ３＋ａ５＋ａ７ ＝－３２６４０． １６．（１）４８０；　（２）３６０． １７．（１）１２； （２）Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ ４ ６ Ｐ １１０ ２ １５ １ ３０ １１ ３０ １ ６ １ ５ １８．解：（１）设３人抽奖总次数为Ｘ， 则Ｘ的可能取值为３，４，５，６． 由题意知每位打卡二十四景游客至少打卡两个景点的 概率为 ３ ４，只打卡一个景点的概率为 １ ４， 随机抽取３人，３人打卡景点情况相互独立． Ｘ＝３表示抽奖总次数为３次，即３人都只打卡一个景点． 依题意可得Ｐ（Ｘ＝３） (＝ )１４ ３ ＝ １６４， 所以Ｐ（Ｘ≥４）＝Ｐ（Ｘ＝４）＋Ｐ（Ｘ＝５）＋Ｐ（Ｘ＝６） ＝１－Ｐ（Ｘ＝３） ＝１－１６４＝ ６３ ６４． （２）记事件Ａ＝“每位打卡二十四景游客至少打卡两个 景点”，则Ａ＝“每位打卡二十四景游客只打卡一个景点”， 事件Ｂ＝“一位打卡二十四景游客抽中广化寺祈福香包”， 则Ｐ（Ａ）＝ ３４，Ｐ（Ａ）＝ １ ４， 因为每次抽奖可随机获得４种礼物中的１种礼物， 所以游客抽到每个香包的概率都是 １ ４． 一个游客至少打卡两个景点， 抽中广化寺祈福香包的概率为 Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝１ (－ )３４ ２ ＝ ７１６， 一个游客打卡一个景点， 抽中广化寺祈福香包的概率为Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝ １４， 由全概率公式得Ｐ（Ｂ） ＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ｜Ａ）＋Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ｜Ａ） ＝ ３４× ７ １６＋ １ ４× １ ４ ＝ ２５ ６４． １９．解：（１）由题得ｈ′（ｘ）＝ ２ｘ＋３，　ｘ＜０， １ ｘ２ ， ｘ＞０{ ， 则ｈ′（ｘ１）＝２ｘ１＋３＝１， 解得ｘ１ ＝－１，即Ａ（－１，－２＋ａ）， ｈ′（ｘ２）＝ １ ｘ２２ ＝１，解得ｘ２ ＝１，即Ｂ（１，－１）． 所以ｋＡＢ ＝ ａ－２－（－１） －１－１ ＝１，解得ａ＝－１． （２）设Ａ（ｘ１，ｈ（ｘ１）），Ｂ（ｘ２，ｈ（ｘ２））为函数 ｈ（ｘ）图象 上的两点，且ｘ１ ＜ｘ２， 当ｘ１ ＜ｘ２ ＜０或０＜ｘ１ ＜ｘ２时，ｈ′（ｘ１）≠ｈ′（ｘ２）， 所以ｘ１ ＜０＜ｘ２． 函数ｈ（ｘ）在点Ａ（ｘ１，ｈ（ｘ１））处的切线方程为： ｙ－（ｘ２１＋３ｘ１＋ａ）＝（２ｘ１＋３）（ｘ－ｘ１）， 即ｙ＝（２ｘ１＋３）ｘ＋ａ－ｘ ２ １， 函数ｈ（ｘ）在点Ｂ（ｘ２，ｈ（ｘ２））处的切线方程为： ｙ＋１ｘ２ ＝ １ ｘ２２ （ｘ－ｘ２），即ｙ＝ １ ｘ２２ ｘ－２ｘ２ ． 两切线重合的充要条件是 ２ｘ１＋３＝ １ ｘ２２ ， ａ－ｘ２１ ＝－ ２ ｘ２ { ， ①② 由①及ｘ１ ＜０＜ｘ２得０＜ １ ｘ２ ＜槡３，令ｔ＝ １ ｘ２ ， 则０＜ｔ＜槡３． 由①得ｘ１ ＝ １ ２（ｔ ２－３）， 由②得ａ＝ｘ２１－ ２ ｘ２ ＝ｘ２１－２ｔ＝ １ ４（ｔ ４－６ｔ２＋９）－２ｔ ＝ １４ｔ ４－３２ｔ ２－２ｔ＋９４（０＜ｔ＜槡３）． 设ｐ（ｔ）＝ １４ｔ ４－３２ｔ ２－２ｔ＋９４（０＜ｔ＜槡３）， 则ｐ′（ｔ）＝ｔ３－３ｔ－２＜０， 所以函数ｐ（ｔ）＝１４ｔ ４－３２ｔ ２－２ｔ＋９４在（０，槡３）上为减 函数，且 － 槡２３＜ｐ（ｔ）＜ ９ ４， 所以 － 槡２３＜ａ＜ ９ ４， 即实数ａ (的取值范围是 － 槡２３， )９４ ． !" ! !"#$% !# 书书书 成 对 数 据 的 统 计 相 关 性 、 一 元 线 性 回 归 模 型 及 其 应 用 同 步 核 心 素 养 测 评 ◎ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 参 考 公 式 ： ｂ^ ＝ ∑ｎ ｉ＝ １ （ ｘ ｉ － ｘ） （ ｙ ｉ － ｙ） ∑ｎ ｉ＝１ （ ｘ ｉ － ｘ） ２ ＝ ∑ｎ ｉ＝ １ ｘ ｉ ｙ ｉ － ｎｘ ｙ ∑ｎ ｉ＝１ ｘ２ ｉ － ｎｘ ２ ， ａ^ ＝ ｙ － ｂ^ｘ ． 第 Ⅰ 卷 选 择 题 （ 共 ５８ 分 ） 一 、 单 项 选 择 题 ： 本 题 共 ８ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 ４０ 分 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． 观 察 下 列 散 点 图 ，其 中 两 个 变 量 的 相 关 关 系 判 断 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ａ 为 正 相 关 ，ｂ 为 负 相 关 ，ｃ 为 不 相 关 （ Ｂ） ａ 为 负 相 关 ，ｂ 为 不 相 关 ，ｃ 为 正 相 关 （ Ｃ） ａ 为 负 相 关 ，ｂ 为 正 相 关 ，ｃ 为 不 相 关 （ Ｄ ） ａ 为 正 相 关 ，ｂ 为 不 相 关 ，ｃ 为 负 相 关 ２． 甲 、乙 、丙 、丁 四 位 同 学 在 建 立 变 量 ｘ， ｙ 的 回 归 模 型 时 ，分 别 选 择 了 ４ 种 不 同 模 型 ，计 算 可 得 它 们 的 决 定 系 数 Ｒ２ 分 别 为 ０ ９９ ，０ ７ ８， ０ ５， － ０ ８９ ，哪 位 同 学 建 立 的 回 归 模 型 拟 合 效 果 最 好 （ 　 　 ） （ Ａ ） 甲 （ Ｂ） 乙 （ Ｃ） 丙 （ Ｄ ） 丁 ３． 已 知 ｙ 与 ｘ 线 性 相 关 且 取 值 如 下 表 ， 若 经 验 回 归 方 程 为 ｙ^ ＝ ０． ９５ ｘ ＋ ａ^， 则 ａ^ ＝ （ 　 　 ） ｘ １ ２ ４ ５ ｙ ２ ２ ４ ３ ４ ８ ６ ７ （ Ａ ） １． ０５ （ Ｂ） １ ６５ （ Ｃ） ２ ２ （ Ｄ ） ３ ２５ ４ ． 根 据 一 组 样 本 数 据 （ ｘ １ ，ｙ １ ） ，（ ｘ ２ ，ｙ ２ ） ，… ，（ ｘ ｎ ，ｙ ｎ） 的 散 点 图 分 析 ｘ与 ｙ之 间 是 否 存 在 线 性 相 关 关 系 ，若 求 得 其 经 验 回 归 方 程 为 ｙ^ ＝ ０． ８５ ｘ － ８５ ７ ，则 在 样 本 点 （ １６ ５， ５８ ） 处 的 残 差 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） ５４ ．５ ５ （ Ｂ） ２． ４５ （ Ｃ） ３． ４５ （ Ｄ ） １１ １． ５５ ５． 变 量 Ｘ 与 Ｙ 相 对 应 的 一 组 数 据 为 （ １０ ，１ ） ，（ １１ ．３ ，２ ） ， （ １１ ．８ ， ３） ，（ １２ ．５ ，４ ） ， （ １３ ，５ ） ； 变 量 Ｕ 与 Ｖ 相 对 应 的 一 组 数 据 为 （ １０ ，５ ） ， （ １１ ．３ ，４ ） ，（ １１ ．８ ，３ ） ，（ １２ ．５ ，２ ） ，（ １３ ，１ ） ．ｒ １ 为 变 量 Ｙ 与 Ｘ 之 间 的 样 本 相 关 系 数 ，ｒ ２ 为 变 量 Ｕ 与 Ｖ 之 间 的 样 本 相 关 系 数 ，则 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｒ ２ ＜ ｒ １ ＜ ０ （ Ｂ） ｒ ２ ＜ ０ ＜ ｒ １ （ Ｃ） ０ ＜ ｒ ２ ＜ ｒ １ （ Ｄ ） ｒ ２ ＝ ｒ １ ６． 为 了 研 究 某 班 学 生 的 脚 长 ｘ（ 单 位 ： 厘 米 ） 和 身 高 ｙ（ 单 位 ： 厘 米 ） 的 关 系 ， 从 该 班 随 机 抽 取 １０ 名 学 生 ， 根 据 测 量 数 据 的 散 点 图 可 以 看 出 ｙ与 ｘ之 间 有 线 性 相 关 关 系 ，设 其 经 验 回 归 方 程 为 ｙ^ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^． 已 知 ∑１０ ｉ＝１ ｘ ｉ ＝ ２２ ５， ∑１０ ｉ＝１ ｙ ｉ ＝ １ ６０ ０， ｂ^ ＝ ４． 该 班 某 学 生 的 脚 长 为 ２４ ， 据 此 估 计 其 身 高 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） １６ ０ （ Ｂ） １６ ３ （ Ｃ） １６ ６ （ Ｄ ） １７ ０ ７． 某 学 习 小 组 用 计 算 机 软 件 对 一 组 数 据 （ ｘ ｉ ，ｙ ｉ） （ ｉ ＝ １， ２， ３， … ， ８） 进 行 回 归 分 析 ，甲 同 学 首 先 求 出 经 验 回 归 方 程 ｙ^ ＝ ２ｘ ＋ ５ ，样 本 点 的 中 心 为 （ ２， ｍ ） ．乙 同 学 对 甲 的 计 算 过 程 进 行 检 查 ， 发 现 甲 将 数 据 （ ３， ７） 误 输 成 （ ７， ３） ，数 据 （ ４， ６） 误 输 成 （ ４， － ６） ，将 这 两 个 数 据 改 正 后 得 到 经 验 回 归 方 程 ｙ^ ＝ １３ ３ ｘ ＋ ｋ， 则 实 数 ｋ ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） － ６ （ Ｂ） － ３４ ３ （ Ｃ） １ ３ （ Ｄ ） ９ ２ ８． 用 模 型 ｙ ＝ ａｅ ｂｘ ＋１ （ ａ ＞ ０） 拟 合 一 组 数 据 时 ，令 ｚ ＝ ｌｎ ｙ， 将 其 变 换 后 得 到 经 验 回 归 方 程 ｚ ＝ ２ｘ ＋ ａ， 则 ｂ ａ ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） ｅ （ Ｂ） １ ｅ （ Ｃ） １ ２ （ Ｄ ） ２ 二 、 多 项 选 择 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ６ 分 ， 共 １８ 分 ． ９． 某 中 学 的 兴 趣 小 组 在 某 座 山 测 得 了 海 拔 、 气 压 和 沸 点 的 若 干 个 数 据 ，并 绘 制 成 如 图 １ 和 图 ２ 所 示 的 散 点 图 ，则 下 列 说 法 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） 沸 点 与 海 拔 正 相 关 （ Ｂ） 沸 点 与 气 压 正 相 关 （ Ｃ） 沸 点 与 海 拔 负 相 关 （ Ｄ ） 沸 点 与 海 拔 、沸 点 与 气 压 都 线 性 相 关 １０ ． 某 同 学 将 收 集 到 的 六 组 数 据 （ ｘ ｉ ， ｙ ｉ ） （ ｉ ＝ １， ２， ３， ４， ５， ６） 制 成 如 图 ３ 所 示 的 散 点 图 ，并 通 过 计 算 得 到 其 经 验 回 归 直 线 ｌ １ 的 方 程 为 ｙ^ ＝ ０． ６８ ｘ ＋ ａ^， 其 样 本 相 关 系 数 为 ｒ １ ， 决 定 系 数 为 Ｒ２ １ ．经 过 残 差 分 析 确 定 点 Ｆ 为 “ 离 群 点 ” （ 对 应 残 差 过 大 的 点 ） ， 把 它 去 掉 后 ， 再 利 用 剩 下 的 五 组 数 据 计 算 得 到 其 经 验 回 归 直 线 ｌ ２ 的 方 程 为 ｙ^ ＝ ｂ^ｘ ＋ ０． ６８ ，其 样 本 相 关 系 数 为 ｒ ２ ，决 定 系 数 为 Ｒ２ ２ ．以 下 结 论 中 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｒ １ ＞ ０， ｒ ２ ＞ ０ （ Ｂ） Ｒ２ １ ＞ Ｒ２ ２ （ Ｃ） ａ^ ＝ ０ １２ （ Ｄ ） ０ ＜ ｂ^ ＜ ０ ６８ １１ ．蟋 蟀 鸣 叫 声 可 以 说 是 大 自 然 优 美 、 和 谐 的 音 乐 ， 殊 不 知 蟋 蟀 鸣 叫 的 频 率 ｘ（ 每 分 钟 鸣 叫 的 次 数 ） 与 气 温 ｙ（ 单 位 ： ℃ ） 存 在 着 较 强 的 线 性 相 关 关 系 ．某 地 观 测 人 员 根 据 下 表 的 观 测 数 据 ，建 立 了 ｙ 关 于 ｘ 的 经 验 回 归 方 程 ｙ^ ＝ ０． ２５ ｘ ＋ ｋ^， 则 下 列 说 法 正 确 的 是 （ 　 　 ） ｘ（ 次 ／分 ） ２０ ３０ ４０ ５０ ６０ ｙ（ ℃ ） ２５ ２７ ．５ ２９ ３２ ．５ ３６ （ Ａ ） ｋ^ 的 值 是 ２０ （ Ｂ） 变 量 ｘ 和 ｙ 正 相 关 （ Ｃ） 若 ｘ 的 值 增 加 １， 则 ｙ 的 值 约 增 加 ０． ２５ （ Ｄ ） 当 蟋 蟀 鸣 叫 的 频 率 为 ５２ 次 ／分 时 ，该 地 当 时 的 气 温 预 报 值 为 ３３ ．５ ℃ 第 Ⅱ 卷 非 选 择 题 （ 共 ９２ 分 ） 三 、 填 空 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 １５ 分 ． １２ ．为 了 规 定 工 时 定 额 ，需 要 确 定 加 工 某 种 零 件 所 需 的 时 间 ， 为 此 进 行 了 ５ 次 试 验 ， 得 到 ５ 组 数 据 ： （ ｘ １ ，ｙ １ ） ， （ ｘ ２ ，ｙ ２ ） ， （ ｘ ３ ，ｙ ３ ） ， （ ｘ ４ ， ｙ ４ ） ， （ ｘ ５ ，ｙ ５ ） ，由 最 小 二 乘 法 求 得 经 验 回 归 方 程 为 ｙ^ ＝ ０． ６７ ｘ ＋ ５４ ．９ ． 若 已 知 ｘ １ ＋ ｘ ２ ＋ ｘ ３ ＋ ｘ ４ ＋ ｘ ５ ＝ １５ ０， 则 ｙ １ ＋ ｙ ２ ＋ ｙ ３ ＋ ｙ ４ ＋ ｙ ５ ＝ ． １３ ．已 知 具 有 相 关 关 系 的 两 个 随 机 变 量 的 一 组 观 测 数 据 的 散 点 图 分 布 在 函 数 ｙ ＝ ２ｅ ２ｘ ＋１ 的 图 象 附 近 ，设 ｚ ＝ ｌｎ ｙ， 将 其 变 换 后 得 到 经 验 回 归 方 程 为 ｚ ＝ ｍ ｘ ＋ ｎ， 则 ｍ ｎ ＝ ． １４ ．在 对 具 有 线 性 相 关 关 系 的 两 个 变 量 ｘ 和 ｙ 进 行 统 计 分 析 时 ， 得 到 如 下 数 据 ． ｘ ４ ｍ ８ １０ １２ ｙ １ ２ ３ ５ ６ 由 表 中 数 据 求 得 经 验 回 归 方 程 为 ｙ^ ＝ ０． ６５ ｘ － １． ８， 则 （ ４， １） ， （ ｍ ，２ ） ， （ ８， ３） 这 三 个 样 本 点 中 ， 距 离 经 验 回 归 直 线 最 近 的 点 是 ． 四 、 解 答 题 ： 本 题 共 ５ 小 题 ， 共 ７７ 分 ． １５ ．（ １３ 分 ） 如 图 ４ 所 示 的 条 形 图 反 映 了 某 省 连 续 ７ 个 月 的 煤 改 气 、煤 改 电 的 用 户 数 量 ． 在 如 图 ５ 所 示 的 给 定 坐 标 系 中 作 出 煤 改 气 、煤 改 电 用 户 数 量 ｙ – — O ˜ ™ š › œ  ž Ÿ x   ¡ ¢ s ! * £ ! " # $ % & ' ( – — O ˜ ™ š › œ  ž Ÿ x   ¤ ¢ s ! * £ ! " ) $ % & ' ( ! " ! " # $ % ! " $ $ $ ! " $ & ! ! " ! 3 ! # ' ! ' " ! 4 # $ ( % % " ' " ! $ ) ! 2 " ' " # $ * ! # " ' " + $ + ! ) " # $ ! % 5 " # ! ! " # ' ' " # % % " # 2 2 " # & & & & & & ' ( , ) * ! ' 5 ! 5 5 + 5 ) 5 2 5 ' 5 5 5 + , , ) - 2 5 # 5 ) 5 ( 5 + 5 * 5 + , , ) - ! 5 5 ! ! 5 ! 5 ' ! 5 5 * + * ) * 2 * ' * 5 + + + ) + 2 + ' & & & & & & . / 6 " ! ! ! '