专题01 幂的运算、整式乘法、二元一次方程组90道计算题专训（高效培优期中专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

专题01 幂的运算、整式乘法、二元一次方程组90道计算题专训 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 考点1 同底数幂的乘法 考点2 幂的乘方 考点3 积的乘方 考点4 同底数幂的除法 考点5 幂的新定义运算 考点6 多项式乘法及化简求值 考点7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 考点8 多项式乘法中的规律性问题 考点9 乘法公式 考点10 通过对完全平方公式变形求值 考点11 乘法公式的新定义计算 考点12 乘法公式的配方法求最值 考点13 整式混合运算 考点14 解二元一次方程组 考点15 二元一次方程组的求参数问题 考点16 二元一次方程组的错解复原问题 考点17 二元一次方程组的相同解问题 考点18 二元一次方程组的新定义计算 考点1 同底数幂的乘法 1．（25-26七年级下·江苏南京·期中）若，则的值是（   ） A．50 B．500 C．250 D．2500 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，，求的值为________． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算： 4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 5．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 考点2 幂的乘方 6．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）计算：． 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)． 8．（24-25七年级下·江苏·期中）已知n为正整数，且． (1)求的值； (2)求的值． 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算、求值 (1)已知，求的值．（用含m，n的代数式表示） (2)已知，求的值． 10．（25-26七年级下·江苏·期中）已知，，且，求的值． 考点3 积的乘方 11．（24-25七年级下·江苏·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（25-26七年级下·江苏·期中）计算： (1)． (2)． 13．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 14．（24-25七年级下·江苏·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 15．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 考点4 同底数幂的除法 16．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）已知，，求下列各式的值． (1)______，______； (2)． 17．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)请直接写出m，n，p之间的数量关系（不用说明理由）． 18．（25-26六年级下·江苏·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（25-26七年级下·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 20．（25-26七年级上·上海闵行·期中）（1）已知，，求值； （2）已知，、为正整数，求值． 考点5 幂的新定义运算 21．（25-26七年级下·四川达州·期中）如果，则，例如：，则， (1)根据上述规定，若，则________． (2)记，求之间的数量关系 (3)已知，，求下列代数式的值： ①_____，_____； ②_____ 22．（25-26七年级下·山东青岛·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，． 我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． (1)根据上述规定，填空： ①_____________  ②_____________； (2)计算：_____________； (3)记，，．求证：． 23．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)________；若，则________； (2)已知，，，试求，，满足的数量关系． 24．（24-25七年级下·四川眉山·期末）关于任意的正整数，定义一种新运算： ，请根据这种新运算完成以下问题： (1)已知，，则__________； (2)已知，则__________，__________； (3)已知，求（其中为正整数，结果用含和的式子表示）． 25．（24-25七年级下·山东青岛·期中）阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 考点6 多项式乘法及化简求值 26．（24-25七年级下·江苏·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．（24-25七年级下·广西梧州·期中）先化简，再求值，其中． 28．（25-26七年级下·山西临汾·期中）先化简，再求值：，其中，． 29．（25-26七年级下·江苏·期中）先化简，再求值：，其中． 30．（25-26七年级下·福建泉州·期中）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 考点7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 31．（25-26七年级下·江苏·期中）若展开后不含x的一次项，且常数项为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 32．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________． 33．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 34．（25-26七年级上·江西景德镇·期中）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 35．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若的结果中不含和的项，求，的值． 考点8 多项式乘法中的规律性问题 36．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）观察：，，，……．根据以上各式的规律，若，则的值是（  ） A． B．0 C．1 D．2 37．（25-26九年级下·广东江门·期中）“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幂排列）： 依据以上规律，写出展开式中含的系数是（    ） A．4050 B． C．4052 D． 38．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）观察、归纳：；；；…请你根据以上等式的规律，完成下列问题： （1）_________． （2）计算_________． 39．（25-26七年级下·山东临沂·期末）（1）观察、归纳：请填上正确答案 __________； __________； __________； __________； …… （2）总结：根据以上等式你能发现什么规律，请写出来并证明； （3）运用：利用你发现的规律计算： 40．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 考点9 乘法公式 41．（25-26七年级下·广西崇左·期中）计算下列各式（若能用乘法公式请用乘法公式计算）： (1)； (2)． 42．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）阅读下面的解题过程． 利用乘法公式计算： ； ． 解：原式 ； 原式 ． 请根据上述解题思想，利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 43．（24-25七年级下·福建泉州·期末）（1）利用乘法公式计算：； （2）利用乘法公式计算：． 44．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）用乘法公式简便计算： (1) (2) 45．（25-26七年级下·广东惠州·期中）运用乘法公式计算 (1)； (2)． 考点10 通过对完全平方公式变形求值 46．（25-26七年级下·湖南·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 47．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）已知，，求： (1)； (2)． 48．（25-26七年级下·广东茂名·期中）已知，．求： (1)的值． (2)的值． (3)的值． 49．（24-25七年级下·四川达州·期中）已知，，求的值． 50．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 考点11 乘法公式的新定义计算 51．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）阅读理解： 对于任何实数，我们都规定符号的意义是，按照这个规定请你计算：当时，求的值． 52．（24-25七年级下·河北保定·期末）对于任意四个有理数，，，，都可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1) ； (2)计算； (3)当，时，求的值． 53．（24-25七年级下·江苏·期中）定义一种新运算，规定，例．已知，分别求A，B． 54．（24-25七年级下·江苏·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”． (1)求的“和方差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求的值． (3)若，求a，b的“和方差数”c． 55．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若， 则多项式就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)判断：多项式是不是双平方多项式． (2)若多项式是双平方多项式，求整数的值． (3)已知，，比较，的大小． 考点12 乘法公式的配方法求最值 56．（24-25七年级下·江西抚州·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题．． 例如：求代数式的最小值． 解：， 当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 57．（25-26七年级下·河南南阳·期中）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值 ； (2)已知，求的值 58．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________； (2)用配方法求代数式的最小值； (3)若实数a，b满足，求的最小值． 59．（24-25七年级下·四川成都·期中）把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：． 例如：将配方如下：． 请根据阅读材料解决下列问题： 【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方； 【类比应用】（2）求代数式的最小值； 【拓展应用】已知，求的值． 60．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值-1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； (2)将变形为的形式___________，则的最小值为___________； (3)已知，求代数式的最大值； 考点13 整式混合运算 61．（2026八年级下·重庆·期中）计算： (1)； (2)． 62．（2026·甘肃兰州·一模）计算：． 63．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）计算： (1)； (2)． 64．（24-25七年级下·广西贵港·期中）计算 (1) (2) (3) 65．计算： (1) (2) (3) 考点14 解二元一次方程组 66．（25-26七年级下·山东淄博·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 67．（24-25七年级下·吉林长春·期中）解下列方程组： (1) (2) 68．（25-26七年级下·河南南阳·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 69．（24-25七年级下·山东泰安·期中）解下列方程组 (1) (2) 70．（24-25七年级下·山东聊城·期中）解方程组： (1)； (2)． 考点15 二元一次方程组的求参数问题 71．（25-26七年级下·河南南阳·期中）已知关于，的二元一次方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 72．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，求m的值？ 73．（25-26七年级下·江苏·期中）已知关于、的二元一次方程组，其中是常数． (1)用的代数式表示该方程组的解； (2)若该方程组的解满足，求的值； (3)已知，求的最小值，并求此时的值． 74．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论数m取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解． 75．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）关于x，y的方程组（n是常数）． (1)当 时，直接写出第一个方程的所有非负整数解； (2)当时，该方程组的解也满足，求m； (3)当时，如果方程组也有整数解，求整数m． 考点16 二元一次方程组的错解复原问题 76．（25-26七年级下·河南南阳·期中）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 77．（24-25七年级下·山东聊城·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲同学看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，请计算代数式的值． 78．（24-25七年级下·四川遂宁·期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的m得到方程组的解为，乙看错了方程②中的n得到方程组的解为． (1)求m，n的值； (2)按正确的解，求的值． 79．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的m，解得，乙解题时看错了②中的n，解得，试求原方程组的解． 80．（25-26七年级下·山西太原·期末）下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2得：．③   第一步 ②+③得：   第二步 解得：    第三步 将代入①，得：    第四步 所以原方程组的解为     第五步 任务： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_________（填“加减消元法”或“代入消元法”）； (2)年年同学从第_________步开始出现错误，具体的错误是_________； (3)请写出正确的求解过程； (4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他同学提一条建议：_________． 考点17 二元一次方程组的相同解问题 81．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于，的方程组和的解相同，求的值 82．（24-25七年级下·重庆江津·期中）已知方程组和方程组解相同，求的值． 83．（25-26七年级下·江西鹰潭·期中）已知关于x，y的二元一次方程组与有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 84．（25-26七年级上·广西玉林·期中）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的解； (2)求的值． 85．（24-25七年级下·江苏·期末）已知关于x、y的方程组和有相同的解，求： (1)它们相同的解； (2)的值． 考点18 二元一次方程组的新定义计算 86．（2025七年级下·江苏·期中）对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：．例如：．若，求x，y的值． 87．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 88．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）定义：二元一次方程与互为“对称方程”，例如，二元一次方程与二元一次方程互为“对称方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称方程”； (2)若二元一次方程的解，也是它的“对称方程”的解，求，的值． 89．（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 90．（25-26七年级下·江西鹰潭·期中）定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $专题01 幂的运算、整式乘法、二元一次方程组90道计算题专训 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 考点1 同底数幂的乘法 考点2 幂的乘方 考点3 积的乘方 考点4 同底数幂的除法 考点5 幂的新定义运算 考点6 多项式乘法及化简求值 考点7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 考点8 多项式乘法中的规律性问题 考点9 乘法公式 考点10 通过对完全平方公式变形求值 考点11 乘法公式的新定义计算 考点12 乘法公式的配方法求最值 考点13 整式混合运算 考点14 解二元一次方程组 考点15 二元一次方程组的求参数问题 考点16 二元一次方程组的错解复原问题 考点17 二元一次方程组的相同解问题 考点18 二元一次方程组的新定义计算 考点1 同底数幂的乘法 1．（25-26七年级下·江苏南京·期中）若，则的值是（   ） A．50 B．500 C．250 D．2500 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，，求的值为________． 【答案】10 【分析】逆用同底数幂的乘法法则将所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算： 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项的方法解答即可． 【详解】解：原式． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) (5) (6) 【分析】此题主要考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算，并注意结果的正负即可； （3）先根据同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项即可； （4）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （5）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （6）先将代数式进行变换，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 5．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算，解一元一次方程，熟练掌握同底数幂运算的法则是关键． （1）根据题意，得到关于的方程，求解即可； （2）先根据同底数幂的运算法则，将转化为，化简并解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点2 幂的乘方 6．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算即可． 【详解】解：． 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算幂的乘方，再合并同类项即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25七年级下·江苏·期中）已知n为正整数，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则对原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算、求值 (1)已知，求的值．（用含m，n的代数式表示） (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可得答案； （2）先求出的值，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴． 10．（25-26七年级下·江苏·期中）已知，，且，求的值． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法及其逆用、积的乘方的逆用、幂的乘方运算法则，得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 考点3 积的乘方 11．（24-25七年级下·江苏·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 12．（25-26七年级下·江苏·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项，掌握幂的乘方，底数不变指数相乘，积的乘方等于各因式分别乘方再相乘，最后合并同类项是解题的关键． （1）先对两个项分别运用积的乘方和幂的乘方法则展开，再合并同类项； （2）先计算积的乘方展开所有项，再合并同类项得到最简结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 13．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可； （）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）先进行乘方运算，再进行乘法运算即可； （）进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行减法运算即可； （）先进行乘方运算，再进行加法运算即可； 本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式． 14．（24-25七年级下·江苏·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 15．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【答案】(1)x的值为1 (2)184 【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ， 解得； （2）解：， ， 原式． 考点4 同底数幂的除法 16．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）已知，，求下列各式的值． (1)______，______； (2)． 【答案】(1)8；10 (2)200 【分析】（1）逆用幂的乘方和同底数幂乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据同底数幂除法运算法则，逆用幂的乘方和同底数幂乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴． 17．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)请直接写出m，n，p之间的数量关系（不用说明理由）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即可求解； （2）根据可得可得结论. 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，，，且， ∴， ∴. 18．（25-26六年级下·江苏·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，单项式除以单项式，合并同类项等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先进行幂的乘方和同底数幂的乘法，再进行同底数幂的除法运算，最后进行合并同类项即可； （2）先进行幂的乘方和同底数幂的乘法，再进行同底数幂的除法运算，最后进行合并同类项即可； （3）先进行幂的乘方和同底数幂的乘法，再进行同底数幂的除法运算，最后进行合并同类项即可； （4）先进行幂的乘方和同底数幂的乘法，再进行同底数幂的除法运算，最后进行合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 19．（25-26七年级下·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法； （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26七年级上·上海闵行·期中）（1）已知，，求值； （2）已知，、为正整数，求值． 【答案】（1）675；（2）16 【分析】此题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方，同底数幂除法，正确将原式变形是解题关键． （1）根据同底数幂乘法的逆运算，积的乘方解答即可； （2）根据同底数幂除法，积的乘方解答即可． 【详解】解：（1）∵， ， ∴； （2）， ∵， ∴， ∴原式． 考点5 幂的新定义运算 21．（25-26七年级下·四川达州·期中）如果，则，例如：，则， (1)根据上述规定，若，则________． (2)记，求之间的数量关系 (3)已知，，求下列代数式的值： ①_____，_____； ②_____ 【答案】(1) (2) (3)①36；；② 【分析】（1）根据定义可得，据此可得答案； （2）根据定义可得，则可得到，进而得到，据此可得答案； （3）①根据可得第一空的答案，根据可得第二空的答案；②根据，求出的值，再根据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴； 又∵， ∴； ②∵， ∴， ∴． 22．（25-26七年级下·山东青岛·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，． 我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． (1)根据上述规定，填空： ①_____________  ②_____________； (2)计算：_____________； (3)记，，．求证：． 【答案】(1)① ② (2) (3)见解析 【分析】（1）根据“雅对”的定义计算即可； （2）设，，根据“雅对”的定义可得：，逆用同底数幂的乘法法则可得：，所以； （3）根据“雅对”的定义可得：，所以有． 【详解】（1）①解：， ； ， ； （2）解：设，， ， 即，， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． 23．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)________；若，则________； (2)已知，，，试求，，满足的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）、根据新定义解答即可； （2）、先根据新定义得，再根据，结合同底数幂相乘法则整理即可． 【详解】（1）解：∵，我们规定，， ∴，． （2）解：∵，我们规定，，，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 24．（24-25七年级下·四川眉山·期末）关于任意的正整数，定义一种新运算： ，请根据这种新运算完成以下问题： (1)已知，，则__________； (2)已知，则__________，__________； (3)已知，求（其中为正整数，结果用含和的式子表示）． 【答案】(1)6 (2)； (3) 【分析】本题考查了同底数幂相乘的运算法则．根据同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ； （3）解：∵， ∴（个1相加）， （个相乘） ， ∴（2025个1相加）， （2025个相乘） ， ∴． 25．（24-25七年级下·山东青岛·期中）阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【分析】根据新定义法则进行运算即可． 【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴＝a－b＝－， 即－． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则． 考点6 多项式乘法及化简求值 26．（24-25七年级下·江苏·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法运算及整式的加减运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项化简． （1）需要运用多项式乘法的分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项； （2）可以通过多项式乘法展开后合并同类项； （3）先计算多项式乘法，再去括号，最后合并同类项，注意去括号时符号的变化； （4）运用多项式乘法的分配律，将和分别与后面的三项式相乘，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 27．（24-25七年级下·广西梧州·期中）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算中的化简求值，掌握“多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的运算法则”是解本题的关键． 先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】 ， ∵ ∴原式． 28．（25-26七年级下·山西临汾·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】, 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．利用整式的乘法展开，再合并同类项即可化简，最后把与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 29．（25-26七年级下·江苏·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可根据多项式乘以多项式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式； ∵， ∴原式． 30．（25-26七年级下·福建泉州·期中）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照题例，利用整体代入法解答即可； （）先化简代数式，再整体代入计算即可求解； （）把代数式转化为，再整体代入计算即可求解； 本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 考点7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 31．（25-26七年级下·江苏·期中）若展开后不含x的一次项，且常数项为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先根据多项式乘多项式法则把展开，再根据展开后不含x的一次项，且常数项为，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b，再代入即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项，且常数项为， ∴，， 由得：， 把代入得：， ∴． 32．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据结果中不含x的一次项，即含x的一次项系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项， ∴，即． 33．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】1 【分析】根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得x的一次项系数为0，常数项为，列式求解得到a和b的值，即可求得的值． 【详解】解： ∵多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：，， ∴． 34．（25-26七年级上·江西景德镇·期中）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则，同类项的合并，多项式项的系数，幂的运算及负整数指数幂的运算．先根据多项式乘法法则求出两个多项式的乘积，再根据不含项和项这一条件求出m、n的值，最后代入计算结果． 【详解】解：， ∵关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项， ∴，， ∴， ∴． 35．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若的结果中不含和的项，求，的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 由结果中不含和的项，得到， 解得． 考点8 多项式乘法中的规律性问题 36．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）观察：，，，……．根据以上各式的规律，若，则的值是（  ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据已知等式归纳出通用规律：(为正整数)，再结合已知等式变形求解． 【详解】解：∵，，，……， ∴， ∴当时，． 又， ， ． 37．（25-26九年级下·广东江门·期中）“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幂排列）： 依据以上规律，写出展开式中含的系数是（    ） A．4050 B． C．4052 D． 【答案】D 【分析】根据展开式的规律，发现每个展开式的第二项系数是n，第一个字母的指数为，第二个字母的指数为1，依此规律解答即可． 【详解】解：由题意发现： 中，每个展开式的第二项系数是n，第一个字母的指数为，第二个字母的指数为1， 故的第二项为， 故含项的系数是． 38．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）观察、归纳：；；；…请你根据以上等式的规律，完成下列问题： （1）_________． （2）计算_________． 【答案】 【分析】（1）根据题意得到规律，即可求出的值； （2）将转化为，根据计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得， ∴； （2） ． 39．（25-26七年级下·山东临沂·期末）（1）观察、归纳：请填上正确答案 __________； __________； __________； __________； …… （2）总结：根据以上等式你能发现什么规律，请写出来并证明； （3）运用：利用你发现的规律计算： 【答案】（1）；；；；（2）发现的规律为（为正整数），证明见解析；（3） 【分析】（1）通过多项式乘法法则，计算前几个具体的多项式乘积，得到对应结果，为规律探究提供基础。 （2）根据前几步的计算结果，归纳出一般规律，再通过多项式展开的方法对规律进行证明，验证其正确性。 （3）将所求的等比数列求和式进行变形，构造出符合所发现规律的形式，代入规律公式进行简便计算。 【详解】（1）解：； ； ； ； …… 故答案为：；；； （2）解：根据以上等式发现：，理由如下： ∵左边 右边， ∴； （3）解： 40．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【答案】(1) (2)11，45； (3) (4)32 【分析】本题考查了二项式乘方的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第三项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：依题意，， ∴图中括号内的数为； （2）解：展开式有项， ，展开式有项，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为3，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为6，第三项系数为； 展开式有项，第3项系数为，第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，第三项的系数， ∴展开式共有11项，第3项系数为， 故答案为：11，45； （3）解：根据图示，， 故答案为：； （4）解：依题意， 当时，， ∴． 考点9 乘法公式 41．（25-26七年级下·广西崇左·期中）计算下列各式（若能用乘法公式请用乘法公式计算）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先利用平方差公式展开，再进行单项式乘多项式运算，最后合并同类项即可； （2）先利用完全平方公式展开，再进行多项式乘多项式运算，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 42．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）阅读下面的解题过程． 利用乘法公式计算： ； ． 解：原式 ； 原式 ． 请根据上述解题思想，利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式化为，再根据平方差公式解答即可； （2）将原式化为，再根据完全平方公式解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 43．（24-25七年级下·福建泉州·期末）（1）利用乘法公式计算：； （2）利用乘法公式计算：． 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项即可； （2）利用平方差化简分母即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： =1． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键． 44．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）用乘法公式简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用完全平方公式计算，即可作答． （2）运用平方差公式计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 45．（25-26七年级下·广东惠州·期中）运用乘法公式计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点10 通过对完全平方公式变形求值 46．（25-26七年级下·湖南·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由公式变换即可得出结果； （2）由公式变换即可得出结果； （3）由公式变换即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：． （3）解：， ∴． 47．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）已知，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式进行变形后可得，再将，，代入求解即可； （2）利用完全平方公式进行变形并结合（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：． 48．（25-26七年级下·广东茂名·期中）已知，．求： (1)的值． (2)的值． (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）； （2）； （3），直接代入求值即可． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：当，时， ， 所以； （3）解：当，时， ． 49．（24-25七年级下·四川达州·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】利用两式相加即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴ ∴． 50．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值． (1)利用完全平方公式可得：，，把等式两边分别相减即可求出的值； (2)利用完全平方公式可得：，根据，即可求出； (3)利用完全平方公式可得：，把代入即可求代数式的值． 【详解】（1）解：， ， 整理得：， ， ， 整理得：， 得：， 解得：； （2）解：， ， 整理得：， 又， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 原式. 考点11 乘法公式的新定义计算 51．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）阅读理解： 对于任何实数，我们都规定符号的意义是，按照这个规定请你计算：当时，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的运算．根据规定符号的意义可得，然后先去括号，再合并同类项，最后把整体代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 当时， 原式 ． 52．（24-25七年级下·河北保定·期末）对于任意四个有理数，，，，都可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1) ； (2)计算； (3)当，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）读懂新定义，按新定义求解即可； （2）读懂新定义，按新定义求解即可； （3）读懂新定义，按新定义进行正式混合运算，再代入求值即可． 【详解】（1）解：（2，-3）★（3，-） =-3×3-2×（-） =-9+1 =-8； 故答案为：-8； （2）解：（2，-2）★（a，3-a） =-2×a-2×（3-a） =-2a-6+2a =-6； （3）解：（x+y，2x+y）★（2x-y，4x-y+5） =（2x+y）（2x-y）-（x+y）（4x-y+5） =4x2-y2-（4x2-xy+5x+4xy-y2+5y） =4x2-y2-4x2+xy-5x-4xy+y2-5y =-5（x+y）-3xy， ∵x+y=2，xy=-3， ∴原式=-5×2-3×（-3）=-1． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是读懂新定义，按照新定义进行计算． 53．（24-25七年级下·江苏·期中）定义一种新运算，规定，例．已知，分别求A，B． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据题目中的新运算，计算即可，正确理解题目中给出的新运算是解题关键． 【详解】解： ， ，． 54．（24-25七年级下·江苏·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”． (1)求的“和方差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求的值． (3)若，求a，b的“和方差数”c． 【答案】(1)19 (2)0 (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，完全平方公式的应用．掌握“和方差数”的定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义，可得，即，再将其代入中计算即可； （3）根据题意，可知，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 55．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若， 则多项式就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)判断：多项式是不是双平方多项式． (2)若多项式是双平方多项式，求整数的值． (3)已知，，比较，的大小． 【答案】(1)是 (2)10 (3) 【分析】本题考查完全平方公式； （1）利用完全平方公式配方后判断即可； （2）利用完全平方公式配方得到，再根据双平方多项式列方程求解即可； （3）先计算，即可比较大小． 【详解】（1）解： ∴多项式能够变形为两个整式的平方和，是双平方多项式． （2）解： ， ∵多项式是双平方多项式， ∴， 解得． （3）解： ∵，， ∴，即， ∴． 考点12 乘法公式的配方法求最值 56．（24-25七年级下·江西抚州·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题．． 例如：求代数式的最小值． 解：， 当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)1 (3)1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、平方的非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特征以及利用平方非负性解题是关键． （1）观察二次三项式的形式，依据完全平方公式，判断是否符合完全平方式结构来配方． （2）把等式左边的式子通过拆项，凑成两个完全平方式的和，再利用平方的非负性求出、的值，进而计算 ． （3）将代数式通过添项凑成完全平方式，结合平方的非负性确定最小值． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解： 平方数具有非负性，两个非负数的和为，则这两个非负数都为 ， ， （3）解： 当时，代数式的最小值是 57．（25-26七年级下·河南南阳·期中）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值 ； (2)已知，求的值 【答案】(1)1； (2)． 【分析】本题考查了配方法的应用，完全平方式的应用． （1）仿照题干所给示例作答即可； （2）可化为，根据题意求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值1． 所以当时，有最小值1． 故答案为：1； （2）解： ， ∴，， ∴，， ∴． 58．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________； (2)用配方法求代数式的最小值； (3)若实数a，b满足，求的最小值． 【答案】(1)16 (2)2 (3)4 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法求最小值，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，由此即可得． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ， ， ； （2）解： ， ， ， 的最小值为2； （3）解：∵ ， ， ， ， ， 的最小值为4． 59．（24-25七年级下·四川成都·期中）把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：． 例如：将配方如下：． 请根据阅读材料解决下列问题： 【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方； 【类比应用】（2）求代数式的最小值； 【拓展应用】已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查完全平方式的逆用和非负数的性质，负整数指数幂的含义，熟练掌握完全平方公式的逆运用是解题的关键． （1）根据完全平方公式的逆运用计算即可； （2）根据完全平方公式的逆运用把原式化为，再利用非负数的性质计算即可． （3）把化为，再结合非负数的性质进一步求解即可． 【详解】解：（1）； （2） ， ∵，， ∴； ∴的最小值为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 解得：，，， ∴． 60．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值-1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； (2)将变形为的形式___________，则的最小值为___________； (3)已知，求代数式的最大值； 【答案】(1)16 (2)，1 (3)有最大值． 【分析】本题主要考查完全平方式的变换，根据式子进行变换化成完全平方式是解题的关键． （1）根据完全平方公式求解； （2）利用配方法求最小值； （3）由，得到，代入得，利用配方法求最大值即可． 【详解】（1） 解：∵， 故答案为：16； （2）解：∵ ， 其中，， ， 的最小值是1； 故答案为：，1； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． 考点13 整式混合运算 61．（2026八年级下·重庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的混合运算法则计算即可得出结果； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 62．（2026·甘肃兰州·一模）计算：． 【答案】 【分析】先根据完全平方公式、单项式乘以多项式和平方差公式去括号，再合并同类项即可得解． 【详解】解：原式 ． 63．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) ； (2) ． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 64．（24-25七年级下·广西贵港·期中）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项得到结果； （）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式展开，最后去括号并合并同类项完成计算； （）先将式子变形为的形式，再利用平方差公式计算，最后展开完全平方式得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 65．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）先算乘方，乘除法即可求解； （2）先算多项式乘多项式，多项式乘单项式，再算加减法即可求解； （3）先算完全平方公式、多项式乘多项式，再算加减法即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式； （3）解：原式． 考点14 解二元一次方程组 66．（25-26七年级下·山东淄博·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据代入消元法解二元一次方程组； （2）整理化简后，根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：， 将①变形得：， 把③代入②得：， 解得， 把代入③得， 原方程组的解是； （2）解：， 整理得：， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， 原方程组的解是． 67．（24-25七年级下·吉林长春·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程即可． 【详解】（1）解：由①得，③， 把③代入②得，， 解得，， 把代入③得，， 方程组的解为； （2）解：整理方程得，， 得，， 解得，， 把代入③得，， 解得，， 方程组的解为． 68．（25-26七年级下·河南南阳·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】由加减消元法解二元一次方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由②①得； 将代入①得； 原方程组的解为； （2）解：， 整理得， 由①②得； 将代入①得； 原方程组的解为． 69．（24-25七年级下·山东泰安·期中）解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】先将两个小题的原方程组整理为整式二元一次方程组，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得：， 解得， 把代入得：， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解： 、得：， 得：， 解得， 把代入③得：， 解得， 所以原方程组的解为． 70．（24-25七年级下·山东聊城·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 得：， 解得， 把代入得：， 解得， 故原方程组的解是：； （2）， 并整理得：， 得：， 解得， 把代入②得：， 解得， 故原方程组的解是：． 考点15 二元一次方程组的求参数问题 71．（25-26七年级下·河南南阳·期中）已知关于，的二元一次方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）先将方程变形为，再根据、为正整数的条件，确定的取值范围，进而得到对应的值． （2）可将与原方程组中的组成新的方程组，先求出、的值，再将、的值代入含的方程中，求解． 【详解】（1）将方程变形为 ， 因为、是正整数，所以，即， 因为是正整数， ∴或； 当时，； 当时，； 因此所有正整数解为： ，； （2）由题意，方程组的解满足， 联立得： ， 由得， 代入，解得，． 将，代入方程，得 ， 解得． 72．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，求m的值？ 【答案】 【分析】先解方程组，再代入，即可求解． 【详解】解：解方程组 得： 代入 解得： 73．（25-26七年级下·江苏·期中）已知关于、的二元一次方程组，其中是常数． (1)用的代数式表示该方程组的解； (2)若该方程组的解满足，求的值； (3)已知，求的最小值，并求此时的值． 【答案】(1) (2)； (3)时，的最小值为． 【分析】（1）利用加减消元法，将第一个方程两边同乘2后与第二个方程相加，消去未知数，求出关于的代数式，再将代入原方程，求出关于的代数式，从而得到方程组的解。 （2）将（1）中得到的、关于的代数式代入，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值。 （3）将、关于的代数式代入，得到关于的二次函数，再通过配方法将二次函数化为顶点式，利用平方的非负性求出的最小值及对应的的值。 【详解】（1）解：， ，得：，解得：， 将代入②，得：，解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：∵该方程组的解满足， ∴，解得：； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴时，的最小值为． 74．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论数m取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，掌握代入消元法是解题的关键． （1）根据可得，代入①求出与的解，然后将解代入②即可求出； （2）无论数取何值，该方程总有一个固定的解．这意味着解必须使含的项不影响等式，即的系数必须为0，由此求解． 【详解】（1）解：， ， 把代入得： ， 解得：， ， 把代入得： ， 解得： （2）解：， , 无论数m取何值，方程总有一个固定的解， ，解得： 固定解为：． 75．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）关于x，y的方程组（n是常数）． (1)当 时，直接写出第一个方程的所有非负整数解； (2)当时，该方程组的解也满足，求m； (3)当时，如果方程组也有整数解，求整数m． 【答案】(1)， (2) (3)或0 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． （1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解； （2）先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （3）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； （2）∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （3）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组有整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 考点16 二元一次方程组的错解复原问题 76．（25-26七年级下·河南南阳·期中）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）两个方程组有相同的解，因此该相同解同时满足两个只含x，y的方程，先求出x，y的值，再代入含m，n的方程求出m，n，即可计算得到的值； （2）甲看错a得到的解满足正确的方程②，乙看错b得到的解满足正确的方程①，分别代入求出正确的a，b，再解原方程组即可得到正确解． 【详解】（1）解：∵两个方程组有相同的解， ∴x、y满足方程组，解得， 将，代入， 得，解得， ∴． （2）解：将代入方程②，得：，解得， 将代入方程①，得：，解得， 把，代入原方程组，得到， 解得， ∴原方程组的正确解为． 77．（24-25七年级下·山东聊城·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲同学看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，请计算代数式的值． 【答案】 【分析】把甲的解代入第二个方程求出b的值，将乙的解代入第一个方程求出a的值即可． 【详解】把代入得：，即， 把代入得：，解得， ∴． 78．（24-25七年级下·四川遂宁·期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的m得到方程组的解为，乙看错了方程②中的n得到方程组的解为． (1)求m，n的值； (2)按正确的解，求的值． 【答案】(1)的值为2，n的值为1 (2) 【分析】（1）将甲得出的解代入方程②，可求出n的值，将乙得出的解代入方程①可得出m的值； （2）将m，n的值代入原方程组，解之可求出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：将甲得出的解代入方程②得：， 解得：； 将乙得出的解代入方程①得：， 解得： 的值为2，n的值为1； （2）解：将代入原方程组得：， 解得：， 79．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的m，解得，乙解题时看错了②中的n，解得，试求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的错解问题，甲乙都看错了一个方程，但是所得的解还是另一个正确方程的解，据此代入求出，，最后再利用加减法解二元一次方程组即可． 【详解】解：∵甲解题时看错了①中的m，解得， ∴把代入得，， 解得； ∵乙解题时看错了②中的n，解得， ∴把代入得， 解得， ∴原方程组为， 得，， 解得， 把代入，解得， ∴原方程组的解． 80．（25-26七年级下·山西太原·期末）下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2得：．③   第一步 ②+③得：   第二步 解得：    第三步 将代入①，得：    第四步 所以原方程组的解为     第五步 任务： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_________（填“加减消元法”或“代入消元法”）； (2)年年同学从第_________步开始出现错误，具体的错误是_________； (3)请写出正确的求解过程； (4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他同学提一条建议：_________． 【答案】(1)加减消元法 (2)一，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2 (3)见解析 (4)解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是关键． （1）根据①×2得③，再②+③可知运用了加减消元法； （2）根据等式的性质可知年年在第一步出现错误； （3）更正错误的步骤并继续完成解题步骤即可得出答案； （4）根据计算步骤中的变换适当给出建议即可． 【详解】（1）解：根据解方程的步骤，上述使用的是加减消元法． （2）解：第一步出现错误，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2． （3）解：①×2得：，③ ②+③得：， 解，得， 将代入①得：， ∴原方程组的解为． （4）解：解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可） 考点17 二元一次方程组的相同解问题 81．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于，的方程组和的解相同，求的值 【答案】1 【分析】将两个不含参的方程组成新的方程组，求解后代入由两个含参方程组成的方程组，再进行求解即可. 【详解】解：由题意方程组和与方程组和的解也相同， 解得， 把代入，得， ，得， 整理，得. 82．（24-25七年级下·重庆江津·期中）已知方程组和方程组解相同，求的值． 【答案】 【分析】联立两方程组中不含与的方程形成新的方程组，求解新方程组得到与的值，代入剩下的方程求出与的值，最后代入所求代数式求解即可． 【详解】解：方程组和方程组解相同， 方程组和方程组解相同， ， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 将代入方程组得，， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ． 83．（25-26七年级下·江西鹰潭·期中）已知关于x，y的二元一次方程组与有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组，熟练掌握是解题关键． （1）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可； （2）把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ①②，得， 解得． 把代入①，得， 解得， ∴这两个方程组的相同解为； （2）把代入得， 解得， ． 84．（25-26七年级上·广西玉林·期中）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同解方程组，二元一次方程组解法，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可； （）把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入得，再解方程组得，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解， ∴ 得，，解得：， 把代入得，，解得：， ∴二元一次方程组的解为， ∴这两个方程组的解； （2）解：∵这两个方程组的解， ∴，整理得：， 解得， ∴， ∴的值． 85．（24-25七年级下·江苏·期末）已知关于x、y的方程组和有相同的解，求： (1)它们相同的解； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了同解方程组，熟练掌握方程组同解的含义是解题关键是解题的关键． 根据两个方程组有相同的解，把两个方程组拆开重新组合方程组，只需把两个方程组中不含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组，求出未知数x、y的值，再代入另一组含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组求出a、b的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x、y的方程组和有相同的解， ∴联立， 解得． （2）解：∵也是方程的解， ∴， 解得， ∴． 考点18 二元一次方程组的新定义计算 86．（2025七年级下·江苏·期中）对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：．例如：．若，求x，y的值． 【答案】x，y的值分别为 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题中的定义列出二元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：根据题中的定义，得， ，得， ③． ，得，解得：． ，得，解得：． 故x，y的值分别为． 87．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）根据题干中的计算规则进行计算即可； （2）①根据题干中的计算规则可列方程组，解方程组即可求出、的值； ②根据，可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：； （2）①解：，， ， 整理得：， 解得：； ②解：，， ， 解得：． 88．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）定义：二元一次方程与互为“对称方程”，例如，二元一次方程与二元一次方程互为“对称方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称方程”； (2)若二元一次方程的解，也是它的“对称方程”的解，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的定义，读懂“对称方程”的定义是关键． （1）根据对称方程”的定义写出答案即可； （2）先根据对称方程”的定义写出二元一次方程的“对称方程”，联立构成方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意可得，的“对称方程”是， （2）由（1）可知，的“对称方程”是， 将这两个方程组成方程组得， 将①代入②得，解得， 将代入①得，， ， 89．（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可； （2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 故答案为： （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， ∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴，解得， ∴，． 90．（25-26七年级下·江西鹰潭·期中）定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键． （1）根据题意写出方程的“变更方程”后组成方程组，解方程组即可； （2）根据题意写出方程 “变更方程”，解得的值，再根据求得的值，将其代入中得到，，的关系，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得方程的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得 故答案为：； （2）解：根据题意可得的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得． 即 是二元一次方程的一个解， 即， $