精品解析：云南昭通市威信县2026年初中学业水平模拟考试（4月一模）九年级数学

二○二六年初中学业水平模拟考试 数学 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，练习用时120分钟） 注意事项： 1．学生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在练习、草稿纸上作答无效． 2．练习结束后，请将练习和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某公交公司全面升级智能刷卡支付系统，使乘客在不带现金的情况下也能进行付款乘车．若给公交卡充值元记作元，则使用公交卡消费元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【详解】解：若给公交卡充值元记作元，则使用公交卡消费元记作元． 2. 截至2026年2月末，我国外汇储备规模达34278亿美元．将34278亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：34278亿． 3. 如图，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两直线平行，同位角相等． 【详解】解：，， ． 4. 已知点在反比例函数（k为常数且）的图象上，则下列不在该函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的值，再根据反比例函数的性质，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，计算各选项点的横纵坐标乘积，即可判断出结果． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴把代入得， 即该反比例函数图象上的点满足， 依次验证各选项： A、 ，满足条件，点在图象上； B、，不满足条件，点不在图象上； C、，满足条件，点在图象上； D、，满足条件，点在图象上． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法运算法则和幂的乘方、积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：A、，∴ A错误； B、，∴ B错误； C、，∴ C正确； D、，∴ D错误． 6. 如图，在 中，点D、E分别在、 边上，且．若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据两边成比例且夹角相等证明相似，再根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 7. 下图是由3个相同的小立方体组成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形即可得出结果． 【详解】解：由图形可得，该几何体的俯视图有一层，且由两个正方形组成，如图： ． 8. 观察一组按规律排列的式子：a，，，，，…，则第n（n为正整数）个式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察式子的系数和指数，系数是正负交替的奇数，指数是从1开始的连续整数，据此即可得出答案． 【详解】解：第一个式子的系数为，指数为； 第二个式子的系数为，指数为； 第三个式子的系数为，指数为； 第四个式子的系数为，指数为； ．．．．．． 因此，第个式子的系数为，指数为， 故第个式子为． 9. 为了解某校1000名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了100名学生进行调查，结果如下表所示： 锻炼时间x 学生人数 20 32 38 10 以此估计该校1000名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有（ ） A. 700人 B. 520人 C. 480人 D. 100人 【答案】C 【解析】 【分析】先计算样本中锻炼时间不低于7小时的人数占比，再乘以该校总人数即可得到估计结果． 【详解】解：∵锻炼时间不低于7小时即，对应样本中人数为人， 样本总人数为人，该校总人数为人， ∴估计该校符合条件的人数为人． 10. 某圆形桌面，圆心为O，半径为，桌面上有一点P，则线段的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点P在圆形桌面上，可得点P在圆内或圆上，由此得到的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵点在圆形桌面上，圆形桌面所在圆的半径，圆心为， ∴点在 内或 上， ∴， 故观察选项，只有 符合该范围． 11. 2025年是我国新能源汽车产业发展的关键一年．随着高压平台普及和充电桩密度提升，车企纷纷让利消费者．某品牌的一款车型在2025年1月售价为22万元，3月降至17.6万元．若该车型售价的月均下降率保持不变，设下降率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据初始售价，月均下降率，推导出经过两次降价后的最终售价，据此列出正确方程． 【详解】解：∵1月售价为22万元，月均下降率为， ∴2月售价为万元， ∴3月售价在2月基础上再次下降，可得3月售价为万元， 又∵3月实际售价为17.6万元， ∴列方程得． 12. 下列汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. 日 B. 新 C. 月 D. 异 【答案】A 【解析】 【详解】解：平面内，沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形， A、选项“日”存在竖直和水平对称轴，折叠后两边完全重合，是轴对称图形； B、选项“新”不存在这样的直线，折叠后无法使两边完全重合，不是轴对称图形； C、选项“月”不存在这样的直线，折叠后无法使两边完全重合，不是轴对称图形； D、选项“异”不存在这样的直线，折叠后无法使两边完全重合，不是轴对称图形． 13. 如图，四边形 是菱形，E为边的中点，对角线 ，相交于点O，连接，若 ，，则菱形 的面积等于（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质可知对角线互相平分且垂直，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再结合勾股定理求出 ，从而求出菱形 的面积． 【详解】解：四边形 是菱形，， ，， ， 在中，E为边的中点， ， ， ， 菱形 的面积． 14. 要使有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数为非负数，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数， ∴要使有意义，需满足， 解不等式得： ． 15. 某设计师正在设计一个多边形形状的装饰图案，已知该多边形的内角和恰好等于其外角和的两倍，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】B 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，根据题目给出的数量关系列方程求解边数即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意可得 解得 ， ∴这个多边形是六边形． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 17. 在 中，，，，则 的值是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长. 再根据直角三角形中锐角正切函数的定义计算 的值即可． 【详解】解：在 中，，，， ∴ ， ∴． 18. 某班8位学生参加中考体育测试的成绩（单位：分）分别是：45，48，44，50，45，48，47，45，则这组数据的众数是_____________． 【答案】45 【解析】 【分析】解题思路是根据众数的定义，统计各数据的出现次数，找出出现次数最多的数据即可． 【详解】解：根据众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，在这组数据， ， ，，， ，，中，出现次， 出现次， 、、各出现次，出现的次数最多，因此这组数据的众数是． 19. 妈妈的生日前夕，芳芳用一张圆心角为 ，半径为 的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先计算扇形弧长，再利用圆的周长公式求解底面半径． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 根据弧长公式，可得扇形弧长为：， 由圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，因此：， 解得 ． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算零指数幂、乘方、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 21. 如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，， ，．求证： ． 【答案】 解： ， ， 即． 在 和 中， ， ． 【解析】 【分析】根据“ ”直接证明全等即可． 【详解】略 22. 年春节前，某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”．已知甲型号机器人每小时分拣数量比乙型号机器人每小时分拣数量多件，且甲型号机器人分拣 件和乙型号机器人分拣 件所用时间相等．求甲、乙型号机器人每小时分拣数量分别是多少件． 【答案】甲型号机器人每小时分拣件，乙型号机器人每小时分拣件． 【解析】 【分析】设乙型号机器人每小时分拣件，则甲型号机器人每小时分拣件，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设乙型号机器人每小时分拣件，则甲型号机器人每小时分拣件， 由题意得， 解得 ， 经检验， 是原分式方程的解， ． 答：甲型号机器人每小时分拣件，乙型号机器人每小时分拣件． 23. 滇剧的角色分为生、旦、净、丑四大行当，各有其独特的表演风格与扮相．某校戏曲社团组织的一次滇剧表演中，有生（记为a）、旦（记为b）、净（记为c）三种角色．先由甲同学从三个角色中随机选一个，再由乙同学从剩余的两个角色中随机选一个（不能与甲重复）．且每个角色被选到的可能性相等．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y． （1）用列表法或画树状图法求所有可能出现的结果总数； （2）求乙同学选到“旦”角色的概率． 【答案】（1） 解：由题意可列表如下， 甲（x） 乙（y） a b c a b c 由表可知，可能出现的结果共有6种； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列表求解即可； （2）由列表可知，共有6种等可能的结果，乙同学选到“旦”角色有2种，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由列表可知，共有6种等可能的结果， ∵乙同学选到“旦”角色有2种，即和， ， 故乙同学选到“旦”角色的概率为． 24. 如图，在矩形 中，点E是边上一点，连接、，且 ，过点A、B分别作和的平行线，两条平行线交于点F． （1）求证：四边形 是矩形； （2）连接，若， ，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形． 又， ． ∴四边形 是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别平行判定四边形 是平行四边形，再结合一个角是直角，即可判定矩形； （2）证明，根据相似三角形对应边成比例，求出 ，则，再结合矩形对角线相等求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在矩形 中，， ． ， ． ， 又， ． ， ，， ， ， ， ∴在矩形 中，． 25. 某校为丰富社团活动，计划购买一批国画用品和书法用品．已知购买1套国画用品和2套书法用品共需400元；购买2套国画用品和1套书法用品共需350元． （1）求每套国画用品和每套书法用品的价格； （2）社团准备购买两种用品共30套，且国画用品套数不多于书法用品套数的2倍．请设计一种购买方案使总费用最低，并求出最低总费用． 【答案】（1）每套国画用品价格为100元，每套书法用品价格为150元 （2）购买国画用品20套，书法用品10套时，总费用最低，最低总费用为3500元 【解析】 【分析】（1）设每套国画用品价格为a元，每套书法用品价格为b元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买国画用品x套，设总费用为y元，根据题意列不等式求出的取值范围，再得出关于的一次函数，利用一次函数的增减性求最值即可． 【小问1详解】 解：设每套国画用品价格为a元，每套书法用品价格为b元， 由题意得：， 解得． 答：每套国画用品价格为100元，每套书法用品价格为150元． 【小问2详解】 解：设购买国画用品x套，则购买书法用品套，设总费用为y元， 由题意得：， 解得． ， ， 随x的增大而减小， ∴当时，． 答：购买国画用品20套，书法用品10套时，总费用最低，最低总费用为3500元． 26. 已知关于的二次函数的图象过点． （1）求二次函数的解析式； （2）若点和都在该二次函数的图象上，且，比较与的大小关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，可得，即可得二次函数的解析式； （2）由，可得，按照和进行分类讨论，求二次函数的最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴． ，， 当时，． ∴ ， ∴当 时，取得最小值6， ∴． 当时，． ∴ ， ∴当时，取得最小值6， ∴． 综上所述，． 27. 已知 是 的外接圆，过点B作． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图1，在（1）的条件下，求证：直线是 的切线； （3）探索，发现与计算： 如图2， 为 的直径，与 相切，点D在弧上，连接，，，问是否存在一个非零常数a，使等式成立？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接，． 由（1）得 是等边三角形， ， ． ， ． ， ， ． 是半径， ∴直线是 的切线． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据，，得出．根据，得出，证出 是等边三角形，则． （2）如图，连接，．由（1）得 是等边三角形，则，根据圆周角定理得出．根据，得出，则 ，即可证明直线是 的切线． （3）如图，过点B作，交于点M，连接，则，设，则，根据圆周角定理得出，根据圆周角定理得出 ，则，，根据切线的性质得出 ，结合，得出是线段的垂直平分线，则，证明，则， ，得出，结合，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ． ， ， 是等边三角形， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，．理由如下： 如图，过点B作，交于点M，连接，则， 设，则， ， ①， 是 的直径， ， ， ②， 与 相切， ， ∵， ， 又， 是线段的垂直平分线， ③， 由①②③得， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二六年初中学业水平模拟考试 数学 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，练习用时120分钟） 注意事项： 1．学生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在练习、草稿纸上作答无效． 2．练习结束后，请将练习和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某公交公司全面升级智能刷卡支付系统，使乘客在不带现金的情况下也能进行付款乘车．若给公交卡充值元记作元，则使用公交卡消费 元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 截至2026年2月末，我国外汇储备规模达34278亿美元．将34278亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在反比例函数（k为常数且）的图象上，则下列不在该函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点D、E分别在、边上，且．若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 下图是由3个相同的小立方体组成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 8. 观察一组按规律排列的式子：a，，，，，…，则第n（n为正整数）个式子是（ ） A. B. C. D. 9. 为了解某校1000名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了100名学生进行调查，结果如下表所示： 锻炼时间x 学生人数 20 32 38 10 以此估计该校1000名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有（ ） A. 700人 B. 520人 C. 480人 D. 100人 10. 某圆形桌面，圆心为O，半径为，桌面上有一点P，则线段的长度可能是（ ） A. B. C. D. 11. 2025年是我国新能源汽车产业发展的关键一年．随着高压平台普及和充电桩密度提升，车企纷纷让利消费者．某品牌的一款车型在2025年1月售价为22万元，3月降至17.6万元．若该车型售价的月均下降率保持不变，设下降率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 下列汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. 日 B. 新 C. 月 D. 异 13. 如图，四边形 是菱形，E为边的中点，对角线，相交于点O，连接，若 ，，则菱形 的面积等于（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 36 14. 要使有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 15. 某设计师正在设计一个多边形形状的装饰图案，已知该多边形的内角和恰好等于其外角和的两倍，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：_____． 17. 在中，， ，，则 的值是_____________． 18. 某班8位学生参加中考体育测试的成绩（单位：分）分别是：45，48，44，50，45，48，47，45，则这组数据的众数是_____________． 19. 妈妈的生日前夕，芳芳用一张圆心角为 ，半径为 的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为_____________． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 21. 如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，， ，．求证： ． 22. 年春节前，某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”．已知甲型号机器人每小时分拣数量比乙型号机器人每小时分拣数量多件，且甲型号机器人分拣 件和乙型号机器人分拣 件所用时间相等．求甲、乙型号机器人每小时分拣数量分别是多少件． 23. 滇剧的角色分为生、旦、净、丑四大行当，各有其独特的表演风格与扮相．某校戏曲社团组织的一次滇剧表演中，有生（记为a）、旦（记为b）、净（记为c）三种角色．先由甲同学从三个角色中随机选一个，再由乙同学从剩余的两个角色中随机选一个（不能与甲重复）．且每个角色被选到的可能性相等．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y． （1）用列表法或画树状图法求所有可能出现的结果总数； （2）求乙同学选到“旦”角色的概率． 24. 如图，在矩形 中，点E是边上一点，连接、 ，且 ，过点A、B分别作 和的平行线，两条平行线交于点F． （1）求证：四边形 是矩形； （2）连接，若， ，求的长． 25. 某校为丰富社团活动，计划购买一批国画用品和书法用品．已知购买1套国画用品和2套书法用品共需400元；购买2套国画用品和1套书法用品共需350元． （1）求每套国画用品和每套书法用品的价格； （2）社团准备购买两种用品共30套，且国画用品套数不多于书法用品套数的2倍．请设计一种购买方案使总费用最低，并求出最低总费用． 26. 已知关于的二次函数的图象过点． （1）求二次函数的解析式； （2）若点和都在该二次函数的图象上，且，比较与的大小关系． 27. 已知是的外接圆，过点B作． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图1，在（1）的条件下，求证：直线 是的切线； （3）探索，发现与计算： 如图2，为的直径， 与相切，点D在弧上，连接，，，问是否存在一个非零常数a，使等式成立？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $