精品解析：四川省巴中市平昌中学2025-2026学年九年级春季学期教学质量监测（一）数学试卷

四川省平昌中学2026年初中学业水平考试 数学试卷 （满分150分，120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前务必将自己的姓名、座位号、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置． 2．本试卷选择题必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答非选择题时必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效． 3．考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回． 4．不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值． 第Ⅰ卷选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，数轴上的点、、、、分别对应的数是1、2、3、4、5，那么表示的点应在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 3. 作为历史文化名城的开封，凭借其丰富的旅游资源、独特的民俗文化以及精彩纷呈的节庆活动，吸引了来自全国各地的大量游客．据相关统计数据显示，年十一国庆节期间，开封累计接待国内游客数量高达万人次，实现文旅综合收入亿元．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个正多边形的每个内角都是，则这个正多边形是（ ） A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 6. 在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转，再向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 2024年2月26日，山西省中学生篮球锦标赛落下帷幕，汾阳市第四中学篮球队夺得总冠军！在“无运动不青春”的理念下，实验学校组织了篮球兴趣小组，共40名学生进行定期训练，他们的年龄分布如下表，他们年龄的中位数是（ ） 年龄/岁 15 16 17 18 人数 7 18 12 3 A. 15岁 B. 16岁 C. 17岁 D. 18岁 8. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ） A. 21 B. 14 C. 13 D. 9 9. 如图，是的直径，弦分别是的内接正六边形和内接正方形的一边．若，下列结论中错误的是（ ） A. 的直径为2 B. 连接，则 C. D. 连接，则 10. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：2a3﹣8a=________． 12. 若分式方程有增根，则a的值是______． 13. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．如图所示，已知小雪的镜片焦距为米时，眼镜度数为500度，若小雪的镜片焦距为米，则此时眼镜的度数为________度． 14. 如图，矩形中，，，对角线、相交于点O，点P是线段上任意一点，于点E，于点F，则等于________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，D是的中点，点P在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______． 三、解答题（本大题共9个小题，共95分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组： 17. 已知关于x，y的二元一次方程组 （1）求该方程组的解（用含a的式子表示） （2）若x与y互为相反数，求a的值． 18. 问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，． 求证：． 问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，．求的值． 19. 2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．） 等级 频数 频率 A m B C n D 6 根据图表中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中______，______； （2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度； （3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 20. 为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展．年月日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，结果精确到） 21. 硕果压枝，果香扑鼻，又到黄桃丰收季，东山的黄桃在各地享有盛名．某水果店购进甲、乙两种黄桃进行销售，两种黄桃的进价和售价如下表所示 黄桃品种 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种黄桃 a 15 乙种黄桃 18 已知用500元购进甲种黄桃的数量与用600元购进乙种黄桃的数量相同． （1）直接写出a的值为________； （2）该水果店计划购进甲、乙两种黄桃共100千克，其中甲种黄桃不少于30千克且不超过60千克． ①求销售完这两种黄桃的最大利润． ②为增加销售量，水果店让利销售，将乙种黄桃的售价每千克降低元，甲种黄桃的售价不变，为保证销售完这两种黄桃的利润的最小值不低于370元，求m的最大值． 22. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm. （1）若花园的面积为192m2, 求x的值； （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值. 23. 如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点．点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接． （1）求k，b的值； （2）当的面积为时，求点P的坐标； （3）设的中点为C，点D为x轴正半轴上一点，当以B，C，D为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省平昌中学2026年初中学业水平考试 数学试卷 （满分150分，120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前务必将自己的姓名、座位号、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置． 2．本试卷选择题必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答非选择题时必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效． 3．考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回． 4．不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值． 第Ⅰ卷选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图的定义，从几何体的正面看所得到的图形是主视图，进行解答． 【详解】解：主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图． 2. 如图，数轴上的点、、、、分别对应的数是1、2、3、4、5，那么表示的点应在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 【答案】B 【解析】 【分析】估算出的取值范围即可求解． 【详解】解：∵4＜8＜9 ∴， ∴表示的点应在线段BC上， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，得出的取值范围是解题的关键． 3. 作为历史文化名城的开封，凭借其丰富的旅游资源、独特的民俗文化以及精彩纷呈的节庆活动，吸引了来自全国各地的大量游客．据相关统计数据显示，年十一国庆节期间，开封累计接待国内游客数量高达万人次，实现文旅综合收入亿元．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，的指数与小数点移动的位数有关，本题中展开就是，用科学记数法表示需要把小数点向左移动位，所以的指数就是． 【详解】解：． 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相除、完全平方公式、平方差公式，根据幂的乘方和同底数幂相除的运算法则以及完全平方公式和平方差公式逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 若一个正多边形的每个内角都是，则这个正多边形是（ ） A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正多边形的每个内角都是，得出每个外角为，根据多边形的外角和求出结果即可． 【详解】解：∵正多边形的每个内角都是， ∴每个外角度数为， ∴这个正多边形的边数为，即这个正多边形是正八边形，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和外角，解题的关键是熟练掌握正多边形的外角为． 6. 在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转，再向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绕坐标原点逆时针旋转坐标变化的规律和一次函数平移的规律，先求出函数的图象绕坐标原点逆时针旋转的函数解析式，再根据函数图象的平移规律即可求出平移后的解析式． 【详解】解：∵点是函数图象上的点， ∴将绕原点逆时针旋转，则旋转后图象经过原点和、 ∴将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到图象的解析式为， ∴根据函数图象的平移规律，再将其向下平移2个单位后的解析式为． 故选D． 7. 2024年2月26日，山西省中学生篮球锦标赛落下帷幕，汾阳市第四中学篮球队夺得总冠军！在“无运动不青春”的理念下，实验学校组织了篮球兴趣小组，共40名学生进行定期训练，他们的年龄分布如下表，他们年龄的中位数是（ ） 年龄/岁 15 16 17 18 人数 7 18 12 3 A. 15岁 B. 16岁 C. 17岁 D. 18岁 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，先确定最中间的两个数是16，16，再求出平均数可得答案． 【详解】根据题意可知第20个数和第21个数都是16，则他们年龄的中位数是（岁）． 故选：B． 8. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ） A. 21 B. 14 C. 13 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 9. 如图，是的直径，弦分别是的内接正六边形和内接正方形的一边．若，下列结论中错误的是（ ） A. 的直径为2 B. 连接，则 C. D. 连接，则 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查正多边形的性质及圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据正多边形的性质及圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质依次判断即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， A、∵弦是的内接正六边形的一边， ， ∵， ， ∵是的直径， ， ∵，， ∴，即的直径为2，选项正确，不符合题意； B、∵是的内接正方形的一边， ∴，即，选项正确，不符合题意； C、∵，， ，， ∴， ∴，选项正确，不符合题意； D、如图，作的角平分线交于点E，连接， ， ， ， ∴，故选项错误，符合题意； 故选：D 10. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数图象与性质逐项判断即可得到相关不等式的关系，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则，①错误； 由图象可知，抛物线对称轴，结合①中可得，即，②正确； 如图所示： 当时，，③正确； ，， ， 由①知，则，即，则， ，即，④正确； 综上所述，题中结论正确的是②③④，共3个， 故选：C． 第Ⅱ卷非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：2a3﹣8a=________． 【答案】2a（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】． 12. 若分式方程有增根，则a的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-3=0，得到x=3，然后代入整式方程算出a的值即可． 【详解】方程两边同时乘以x-3得：1=a-x． ∵方程有增根， ∴x-3=0，解得：x=3， ∴1=a-3， 解得：a=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，先根据增根的定义得出x的值是解答此题的关键． 13. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．如图所示，已知小雪的镜片焦距为米时，眼镜度数为500度，若小雪的镜片焦距为米，则此时眼镜的度数为________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式，设，将代入计算即可求解． 【详解】解：设， 将代入中，得， 解得：， ， 当，则， 则此时眼镜的度数为度， 故答案为：． 14. 如图，矩形中，，，对角线、相交于点O，点P是线段上任意一点，于点E，于点F，则等于________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质和勾股定理的运用，解题的关键是掌握矩形的性质及三角形的面积公式． 连接，根据矩形的性质，得，点O是对角线的中点，则，再根据，，即可求出的值． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ，， ， ， ， ， ∵于点E，于点F，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，D是的中点，点P在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______． 【答案】 或 或 【解析】 【分析】先求出，，然后根据题意分情况讨论：当时，当时，当时，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形的顶点、的坐标分别为，， ∴． ∵D是OA的中点， ∴． 过作于，则 ①当时，如图1所示： 由勾股定理得：， ； ②当时，如图1所示： 由勾股定理得：, ∴，这与矛盾，此种情况不存在； ③当时，如图2所示： 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： 由勾股定理得：， ， ； 综上，点的坐标为 或 或． 三、解答题（本大题共9个小题，共95分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，解一元一次不等式组，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据事实的运算法则求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 17. 已知关于x，y的二元一次方程组 （1）求该方程组的解（用含a的式子表示） （2）若x与y互为相反数，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用加减消元法求解即可； （2）根据互为相反数相加得零列式求解即可． 【小问1详解】 解：， ，得 ， 把代入①，得 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵x与y互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得． 18. 问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，． 求证：． 问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，．求的值． 【答案】 问题1：证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． 问题2： 【解析】 【分析】问题1：先根据AAS证明，可得，，由此即可证得结论； 问题2：分别过点、作的垂线，垂足为、，由（1）可知，利用45°的三角函数值可得，，由此即可计算得到答案． 【详解】问题1：略 问题2：如图，分别过点、作的垂线，垂足为、． 由（1）可知， 在和中，， ∴，， ，． ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、解直角三角形，作出正确的辅助线并能利用解直角三角形的相关知识是解决本题的关键． 19. 2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．） 等级 频数 频率 A m B C n D 6 根据图表中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中______，______； （2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度； （3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图信息关联问题，以及概率问题，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据频数分布表求出总人数即可求解； （2）根据A等级所占比例即可求解； （3）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【小问1详解】 解：由频数分布表可得，总人数为：（人）； ∴，， 故答案为： 【小问2详解】 解：“A等”所对应的扇形的圆心角为：， 故答案为： 【小问3详解】 解：记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名学生为丙和丁，画出树状图： 一共有种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果． ． 20. 为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展．年月日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，结果精确到） 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设，解直角三角形得到，，再根据可得，解方程求出即可求解，正确解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，，， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：塔高为． 21. 硕果压枝，果香扑鼻，又到黄桃丰收季，东山的黄桃在各地享有盛名．某水果店购进甲、乙两种黄桃进行销售，两种黄桃的进价和售价如下表所示 黄桃品种 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种黄桃 a 15 乙种黄桃 18 已知用500元购进甲种黄桃的数量与用600元购进乙种黄桃的数量相同． （1）直接写出a的值为________； （2）该水果店计划购进甲、乙两种黄桃共100千克，其中甲种黄桃不少于30千克且不超过60千克． ①求销售完这两种黄桃的最大利润． ②为增加销售量，水果店让利销售，将乙种黄桃的售价每千克降低元，甲种黄桃的售价不变，为保证销售完这两种黄桃的利润的最小值不低于370元，求m的最大值． 【答案】（1）10 （2）570元； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）根据用500元购进甲种黄桃的数量与用600元购进乙种黄桃的数量相同列出分式方程求解即可； （2）①设购进甲种黄桃x千克，利润为W，由题意得y关于x的一次函数，利用一次函数的性质即可求解；②由题意得， ，则当，W最小，最小值为，再根据利润不低于370元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 【小问2详解】 解：①设购进甲种黄桃x千克，利润为W， ∵甲种黄桃不少于30千克且不超过60千克， ∴， 由题意得， ， ∵， ∴W随x增大而减小， ∴当，W最大，最大值为， ∴销售完这两种黄桃的最大利润为570元； ②设购进甲种黄桃x千克，利润为W， ∵甲种黄桃不少于30千克且不超过60千克， ∴， 由题意得， ， ∵， ∴ ∴W随x增大而增大， ∴当，W最小，最小值为， ∴， ∴ ∴m的最大值为． 22. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm. （1）若花园的面积为192m2, 求x的值； （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值. 【答案】（1）12m或16m；（2）195m2. 【解析】 【分析】（1）根据AB=x可得BC=28－x，然后根据面积列出一元二次方程求出x的值； （2）根据题意列出S和x的函数关系式，然后根据题意求出x的取值范围，然后根据函数的性质求出最大值. 【详解】解：（1）∵AB=xm，则BC=（28﹣x）m， ∴x（28﹣x）=192， 解得：x1=12，x2=16， 答：x的值为12m或16m （2）∵AB=xm， ∴BC=28﹣x， ∴S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196， ∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m， ∵28-x≥15，x≥6 ∴6≤x≤13， ∴当x=13时，S取到最大值为：S=﹣（13﹣14）2+196=195， 答：花园面积S的最大值为195平方米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键． 23. 如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径 ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线得到，根据平行线的性质得，即可证明； （2）连接，先解，求得，，则，，可证明，由，得，故，证明，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴在中，， 由勾股定理得： ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点．点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接． （1）求k，b的值； （2）当的面积为时，求点P的坐标； （3）设的中点为C，点D为x轴正半轴上一点，当以B，C，D为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入直线可得b，即可求出点，再将点代入反比例函数关系式得出答案； （2）先表示出点P，Q，即可表示出再根据得出方程，求出解即可； （3）由（2）知，再分两种情况：当是直角边，点D在x轴正半轴上时，作，作，然后根据“角角边”证明，进而得出，即可得出，求出解；当是斜边，点D在x轴正半轴上时，同理可得，进而得出，即可得出，求出解． 【小问1详解】 解：∵直线经过点 ∴ 解得， ∴直线的关系式为． ∵点在直线上， ∴， ∴点． ∵经过点， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知反比例函数的关系式为， ∴， ∴． ∵，， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知， 如图，当是直角边，点D在x轴正半轴上时，过点C作于点F，过点D作的延长线于点G， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 解得（舍去）， ∴； ②如图，当是斜边，点D在x轴正半轴上时，作轴，作于点F，作于点G， 同理可得， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴点． 综上所述，点P的坐标是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $