精品解析：广东茂名市田家炳中学2025-2026学年第二学期高二4月月考数学试卷

茂名市田家炳中学2025-2026学年第二学期高二级4月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 工具正加速渗透职场，但数据安全问题已成为职场人士对工具产生担忧的重要原因之一．某传媒数据中心随机调查位职场人，经统计，毫不担忧、轻微担忧、一般担忧、比较担忧、极度担忧的人数分别为、、、、，则这个数据的分位数是（ ） A. B. C. D. 2. 若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到坐标原点的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 记等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知等差数列中，，其前项和为．等比数列中，．则满足的的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知正项等比数列，满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 8. 若函数的单调递减区间为，则的值为（ ） A. 6 B. 3 C. -3 D. -6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得3分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 10. 在数列中，若，则下列结论正确的有（ ） A. 为等差数列 B. 的前项和 C. 的通项公式为 D. 的最小值为 11. 函数，下列说法正确的是（ ） A. 在区间上是增函数 B. 是奇函数 C. 在区间上的值域为 D. 若方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在点处的切线斜率为2，则点的坐标是_______． 13. 已知数列的前项和为，，则_____. 14. 函数的导数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 16. 已知数列的满足，. （1）求数列的通项公式. （2）设数列，前n项和为，求. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 设数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 19. 已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. （1）求的方程； （2）过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 茂名市田家炳中学2025-2026学年第二学期高二级4月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 工具正加速渗透职场，但数据安全问题已成为职场人士对工具产生担忧的重要原因之一．某传媒数据中心随机调查位职场人，经统计，毫不担忧、轻微担忧、一般担忧、比较担忧、极度担忧的人数分别为、、、、，则这个数据的分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将数据由小到大进行排序，利用百分位数的定义求解即可. 【详解】将个数据由小到大进行排序为：、、、、， 因为，故这个数据的分位数为. 2. 若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两平面垂直，则其法向量垂直，进而其数量积为0，逐一验证即可. 【详解】设平面的法向量为，因为平面平面，所以， 因为， ， ， . 所以平面的法向量的坐标可以是. 3. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到坐标原点的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线性质得出焦点，再根据坐标求两点之间的距离即可. 【详解】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为， 点到坐标原点的距离为. 故选：B. 4. 记等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由等差数列前项和性质可得，​， 因为，所以， 再根据等差数列中项性质：， 代入得，即， 又已知，设公差为，则，解得， 即等差数列的通项公式， 所以. 5. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的递推关系，依次计算确定周期即可得解. 【详解】数列中，，由，得，， ，因此数列是周期数列，周期为3， 所以. 故选：B 6. 已知等差数列中，，其前项和为．等比数列中，．则满足的的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】借助等差数列及求和公式与等比数列定义可求出与，再利用为正整数计算即可得. 【详解】等差数列的公差， 则， 等比数列的公比，即， 令，当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，的增长远快于，故无解； 故符合题意的的个数为. 7. 已知正项等比数列，满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列性质可求解数列的通项公式，然后把已知条件转化为，再用1的代换法来求最小值即可. 【详解】由等比数列性质可得：，又因为正项等比数列，所以， 又因为，所以，即公比， 所以正项等比数列的通项公式为：， 再由，可得， 则， 当且仅当取等号， 故选：D 8. 若函数的单调递减区间为，则的值为（ ） A. 6 B. 3 C. -3 D. -6 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据减区间求. 【详解】由题意得， 因为函数的单调递减区间为， 所以的解集为， 即方程的两根为， 所以，解得， 故选:B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得3分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本初等函数求导公示表可直接判断ABC，易知，求得其导函数直接代入计算即可知D错误. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确. 对于C，由，得，C错误； 对于D，由可知，则，D错误 故选：AB 10. 在数列中，若，则下列结论正确的有（ ） A. 为等差数列 B. 的前项和 C. 的通项公式为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用递推公式化简证明等差数列判断A,根据等差数列求通项公式计算判断B,C,特殊值法判断D. 【详解】因为，易知，所以， 所以是首项为，公差为3的等差数列，故A正确； 由A知，，所以的前项和，故B正确； 由B可知，所以，故C正确； 因为，所以的最小值不为，故D错误. 故选：ABC. 11. 函数，下列说法正确的是（ ） A. 在区间上是增函数 B. 是奇函数 C. 在区间上的值域为 D. 若方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用求导来判断三次函数的单调区间，从而可判断A,利用的解析式可判断B，利用三次函数的单调性求值域可判断C，利用函数零点个数可判断D. 【详解】对于A，由， 当，得或，即在上单调递增， 当，得，即在上单调递减， 从而可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A错误； 对于B，由， ，所以是奇函数，故B正确； 对于C，由在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且， 所以在区间上的值域为，故C错误； 对于D，由在上单调递增，在上单调递减， 且，当，，当，， 所以方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为，故D正确； 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在点处的切线斜率为2，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解. 【详解】由得 设，则，解得， 又，所以点的坐标为， 故答案为：. 13. 已知数列的前项和为，，则_____. 【答案】30 【解析】 【分析】根据已知通项公式写出，分组求和即可. 【详解】由题设. 故答案为：30 14. 函数的导数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据求导法则和复合函数的导数计算直接得出结果. 【详解】． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分和求解即可. 【小问1详解】 当时，，． ，． 曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ． 当时，，是增函数． 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 16. 已知数列的满足，. （1）求数列的通项公式. （2）设数列，前n项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）构造数列，判断该数列为等比数列，结合等比数列的通项公式可求数列的通项公式. （2）利用“错位相减求和法”可求数列的前项和. 【小问1详解】 因为，所以， 又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 故， 两式相减得：， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 18. 设数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式进行整理得到数列通项公式即可. （2）通过对所需要的数列的通项公式进行裂项，运用裂项相消的方法求和即可. 【小问1详解】 当时，，得． 当时，， ， 两式相减得，则． 当时，符合上式， 所以． 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 故． 19. 已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. （1）求的方程； （2）过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，即可求出、； （2）设，，利用点差法求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【小问1详解】 依题意设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为，所以点在椭圆内，直线与椭圆相交， 设，，则， 所以，即， 又点为的中点，所以， 所以，则， 即，所以直线的方程为，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $