精品解析：广东高州中学2025-2026学年第二学期3月月考高二创新班数学试卷

2025-2026学年第二学期3月月考 高二创新班数学试卷 2026.3.30 一、单选题 1. 幂函数在上递增，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】由条件根据幂函数的定义可得，解方程求，判断函数的单调性，由此确定结论. 【详解】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以不满足题意， 当时，在上递增，所以满足题意， 综上，实数， 故选：B. 2. 等比数列，，，则公比（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及已知，列方程求得公比. 【详解】由题设，又，解得. 故选：B 3. 已知直线与直线互相平行，则实数a的值（ ） A. B. 或1 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件可得结果. 【详解】直线斜率必存在，由两直线平行则， 解得或， 当时，两直线都为，两直线重合，舍去； 当时，两直线分别为与直线，两直线平行，满足要求； 故选：A. 4. 已知在数列中，，，则数列的通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后得到原数列通项． 【详解】在递推公式的两边同时除以，得． 令，则，所以． 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，即， 所以． 故选：D． 5. 已知函数，，零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可判断，再直接求出即可比较大小. 【详解】因为在上均单调递增， 则在上单调递增，且，， 则，则， 又因为，则，，则， 则. 故选：C. 6. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性，并通过导数分析函数的单调性，再将转化为，进而得到求解即可. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以为偶函数， ，令， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以，故在上单调递增， 又， 所以时，，即，所以在上单调递增； 所以不等式， 所以，或. 解得. 即实数的取值范围是. 故选：B. 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知在上为增函数，且，原不等式即为，结合单调性运算求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 则在内单调递增，可知在内单调递增， 所以在上为增函数， 若，则，可得， 所以，则， 不等式即为，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 8. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件：   点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 二、多选题 9. 已知则下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为2 B. 函数的最小值为2 C. 若且，则最小值为2 D. 若且，则最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，， ， 当且仅当时等号成立，所以A选项错误. B选项，， 当且仅当时等号成立，所以B选项正确. C选项，，， 当且仅当时等号成立，所以C选项错误. D选项，，， ， 当且仅当，时等号成立， 所以D选项正确. 故选：BD 10. 已知O为坐标原点，、为椭圆的左、右焦点，，P是椭圆C上异于顶点的一点，点Q是以为底的等腰的内切圆的圆心，过作于点M，，则下列选项正确的是（ ） A. 此椭圆的长轴长为10 B. 的面积为 C. 椭圆C的离心率为 D. 椭圆C的短轴长为4 【答案】ABC 【解析】 【分析】延长，交于点，根据内切圆的概念可得平分，再结合可得，所以，再结合椭圆的定义可求的值，即可逐项判断选项的真假. 【详解】如图： 延长，交于点，连接，因为点是内切圆的圆心，所以平分． 因为，所以为的中点， 又因为为的中点，．即， 又，所以， 故，，，故AC正确； 的面积为，故B正确； 因为，，所以．故，故D错误． 11. 已知正方体的棱长为2，点E，F，G分别是线段，，的中点，则（ ） A. B. ∥平面 C. 直线与平面所成的角的余弦值为 D. 过点F且与直线垂直的平面，截该正方体所得截面的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的性质，是否等于零，可判断A选项；求出平面的法向量，与判断是否垂直，可判断B选项；直线与平面所成的角的余弦值可先求出与平面的法向量的余弦值，再根据角的关系，求出所要求的结果，即可判断C选项；做出过点F且与直线垂直的平面的截面图，根据几何关系即可求出其周长，可计算出D选项. 【详解】以D为坐标原点，以、、分别为、、轴，建立坐标系，如图所示， ，，，，，，， ， ，故A选项正确； ，， 设平面的法向量为， 则即，令，则，， 则 与平面不平行，故B选项不正确； ， 设直线与平面所成的角为， 则 ，故C选项正确； 平面 取、为、的中点，，由几何关系可知，，，则组成一个平面， 由，，，均在平面内， 则平面，即过点F且与直线垂直的平面，截该正方体所得截面如图所示平面， 则截面的周长为 故D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题 12. 记为等差数列的前n项和．若，，则______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据等差数列性质求首项和公差，再求前5项和即可. 【详解】因为是等差数列，所以, 所以, 所以, 所以. 故答案为：. 13. 已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则______________． 【答案】12 【解析】 【分析】由得到的图像的对称轴，由的图像得到此函数的对称轴，由函数与的图像有6个交点，得到3对交点分别关于直线对称，每对交点的横坐标之和为4，从而得到所求． 【详解】由知的图像关于直线对称， 又的图像也关于直线对称， 所以函数与的图像有6个交点， 分3对交点分别关于直线对称，每对交点的横坐标之和为4，所以． 故答案为：12. 14. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造，得到为奇函数，且求导得到其在上单调递增，不等式变形得到，得到在恒成立，构造，求导得到单调性和最值，求出. 【详解】令，， 所以是奇函数，又，所以在上单调递增. 因为，所以，即， 即， 故，所以在恒成立. 令，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 四、解答题 15. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； （3）利用错位相减法来求和即可. 【小问1详解】 由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知：，故； 【小问3详解】 ， ， 两式相减，得 ， ， 故. 16. 设数列的前项积为，满足. （1）设，求证：数列是等比数列； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，取，结合可求，结合关系当时，可得，变形为，结合，即可得出，结合等比数列证明结论； （2）由（1）可得，结合关系可得，所以，利用裂项相消法求数列的前项和； 【小问1详解】 因为数列的前项之积为，满足， 所以当时，，解得． 当时，，化为， 变形为， 又，所以，又， 所以当，且时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知， 所以，所以， 所以， 故， 所以 ， 所以数列的前项和为. 17. 已知椭圆C：上一点到两焦点的距离之和为． （1）求椭圆C的方程． （2）不经过点的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）； （2）过定点，. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件代入求得，由此求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，结合直线的方程求得定点坐标. 【小问1详解】 依题意，，由点在椭圆上，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率不为零，设直线的方程为，，则， 由消去整理得， 则，直线的方程为， 由椭圆的对称性知，若存在符合条件的定点，则该定点一定在轴上， 令，得 ， 所以直线过定点. 18. 在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（如图2） （1）求证：平面； （2）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理及勾股定理得，，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）设为的中点，利用面面垂直的性质定理可得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点面距离的向量公式求得的位置，然后求出平面和平面的法向量，利用向量法求解平面夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 连接，在中，∵，， ∴， 在中，∵，∴， 同理可得，∵，平面， ∴平面； 【小问2详解】 设为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面平面， 又∵平面平面，平面， ∴平面，∴以点为坐标原点，为轴，为轴， 过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，，，，，， ∴， 设平面的法向量为， ∵，， 取，∴， ∴设， ∵，∴， 设点到平面的距离为， ∴，∴， ∴是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为， 设平面的法向量为， ∵，， 取，∴， 设平面与平面所成的角为， ∴． 19. 已知双曲线:的离心率为，点在双曲线上． （1）求的方程； （2）已知直线，交于，两点， ①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由； ②若，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2）①不存在，理由： 由题可设，将代入双曲线中， 整理得，由根与系数关系得， ， . ①不存在符合的直线. 令， 由得，即， 将代入上式得， ， 展开并整理， 将根与系数关系代入， 化简整理得，解得. 因此直线方程为. 检验，此时直线与双曲线的两个交点为，与重合，不构成垂直关系， 因此不存在满足条件的直线. ② 【解析】 【分析】(1)利用双曲线离心率及之间的关系得到双曲线方程； (2)设出两个交点，将直线与双曲线方程联立得到两个根的关系式，①运用向量法将 转化为，整理出参数方程最终得到直线方程； ②为得到的面积，首先得到弦长，到直线的距离，再表示三角形面积，利用单调性求出面积最小值即可. 【小问1详解】 因为，故. 由，代入得，则. 又因为在双曲线上，代入，得，则， 故双曲线方程为. 【小问2详解】 略 ②弦长， 到直线的距离， ， 令，可知在单调递增， 故，所以的面积最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期3月月考 高二创新班数学试卷 2026.3.30 一、单选题 1. 幂函数在上递增，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 2或 2. 等比数列，，，则公比（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 已知直线与直线互相平行，则实数a的值（ ） A. B. 或1 C. 2 D. 1 4. 已知在数列中，，，则数列的通项公式（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，，零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知则下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为2 B. 函数的最小值为2 C. 若且，则最小值为2 D. 若且，则最小值为 10. 已知O为坐标原点，、为椭圆的左、右焦点，，P是椭圆C上异于顶点的一点，点Q是以为底的等腰的内切圆的圆心，过作于点M，，则下列选项正确的是（ ） A. 此椭圆的长轴长为10 B. 的面积为 C. 椭圆C的离心率为 D. 椭圆C的短轴长为4 11. 已知正方体的棱长为2，点E，F，G分别是线段，，的中点，则（ ） A. B. ∥平面 C. 直线与平面所成的角的余弦值为 D. 过点F且与直线垂直的平面，截该正方体所得截面的周长为 三、填空题 12. 记为等差数列的前n项和．若，，则______． 13. 已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则______________． 14. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 16. 设数列的前项积为，满足. （1）设，求证：数列是等比数列； （2）设数列满足，求数列的前项和. 17. 已知椭圆C：上一点到两焦点的距离之和为． （1）求椭圆C的方程． （2）不经过点的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 18. 在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（如图2） （1）求证：平面； （2）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值． 19. 已知双曲线:的离心率为，点在双曲线上． （1）求的方程； （2）已知直线，交于，两点， ①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由； ②若，求的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $