精品解析：海南省三亚市第四中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

三亚市第四中学2025-2026学年高二上学期第二次月考 高二数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分：共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的一个方向向量，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C D. 或 2. 投篮测试中，每人投2次，至少投中1次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A. 0.24 B. 0.48 C. 0.84 D. 0.94 3. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，直线，则直线与圆公共点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 与有关，不能确定 6. 已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A B. 3 C. 2 D. 8. 已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知方程．则下列说法正确的是（ ） A. 若，则该方程表示椭圆 B. 若，该方程表示焦点在轴上的椭圆 C. 若该方程表示焦点在轴上的双曲线，则 D. 该方程可以表示两条平行直线 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 平面与平面所成的角为 C. A，E，，F四点共面 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线：的左、右焦点分别是是双曲线上一点，若，则______． 13. 若椭圆的左焦点在抛物线（）的准线上，则的值为_____． 14. 已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的最大值是__________. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分. 15. 宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区．为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求x的值； （2）若采用按比例分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取3人，再从这3人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内的概率． 16. 设椭圆过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． 17. 在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点. （1）求证：平面； （2）求与平面成角的正弦值. 18. 已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． （1）求双曲线的方程，并写出其离心率； （2）求的焦点到其渐近线的距离； （3）已知直线与双曲线交于不同两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值． 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2等边三角形，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为D． （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点F，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，指出点F的位置；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三亚市第四中学2025-2026学年高二上学期第二次月考 高二数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分：共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的一个方向向量，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面法向量与直线方向向量的性质进行判断即可. 【详解】， ， 或， 故选：D. 2. 投篮测试中，每人投2次，至少投中1次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A. 0.24 B. 0.48 C. 0.84 D. 0.94 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，该同学两次投篮都不中的概率为， 所以该同学通过测试的概率为. 故选：C 3. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线、、的倾斜角分别为，，， 由已知为钝角，为锐角， 所以，即． 综上， 故选：D． 4. 已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线与两坐标轴的焦点为，.根据，可设椭圆的方程为，求出即可. 【详解】令，可得；令，可得. 则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，. 因为，所以椭圆的焦点在轴上. 设椭圆方程为，则，， 所以椭圆的方程为. 故选：C. 5. 已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 与有关，不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数. 【详解】由直线恒过定点，而， 所以点在圆内，故直线恒与圆相交，故有两个交点， 故选：C 6. 已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设抛物线，根据点在上，代入抛物线方程，求出的值，即可得解. 【详解】由题意，设抛物线， 因为抛物线与直线相交所得线段的长为12， 所以点在上，所以， 解得，所以的标准方程为． 故选：B 7. 设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用数量积的定义,长度角度全部用表示，构造之间的一个等式,运用离心率公式求解即可. 【详解】由双曲线的几何性质知道，，， ∵， ∴，∴离心率. 故选：D. 8. 已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得. 【详解】过点作抛物线的准线于点， 由抛物线定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线，抛物线的准线， 即时，有最小值. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线和的方程，求得定点的坐标，可判定A正确，B不正确；根据两直线位置关系的判定方法，可判定C正确，D不正确. 【详解】由直线，令，可得，所以直线过定点，所以A正确； 由直线，可得， 联立方程组，解得，所以恒过定点，所以B不正确； 由和，可得，所以，所以C正确，D不正确； 故选：AC. 10. 已知方程．则下列说法正确的是（ ） A. 若，则该方程表示椭圆 B. 若，该方程表示焦点在轴上的椭圆 C. 若该方程表示焦点在轴上的双曲线，则 D. 该方程可以表示两条平行直线 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用椭圆、双曲线方程特征及直线方程特征逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，方程为，表示圆，A错误； 对于B，当时，方程为，，该方程表示焦点在轴上的椭圆，B正确； 对于C，该方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，C正确； 对于D，当时，方程表示两条平行直线，当时，方程也表示两条平行直线，D正确. 故选：BCD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 平面与平面所成的角为 C. A，E，，F四点共面 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出可判断A；判断出为二面角的平面角，再由可判断B；取的中点，连接，判断出四边形是平行四边形可判断C；利用点到平面距离的向量求法可判断D. 【详解】以D为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系，则 ; 所以； 所以; 所以与所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，因为平面平面，, 又因为为等腰三角形， 则即为二面角的平面角，，故B错误； 对于C，如图2，取的中点，连接 由正方体的性质可知，所以四边形是平行四边形， 所以，同理可知：， 所以，所以四边形是平行四边形， 则四点共面，故C正确； 对于D，， 设平面法向量为， 则，即， 令 ，则，则， 点到平面的距离，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线：的左、右焦点分别是是双曲线上一点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程可得，经分析点只能在双曲线的左支上，利用双曲线的定义可得，计算可得结果. 【详解】根据双曲线方程，， ， 根据双曲线的定义，由已知， 又， 所以． 故答案：. 13. 若椭圆的左焦点在抛物线（）的准线上，则的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】求出椭圆的左焦点坐标，进而求出值. 【详解】椭圆的半焦距，其左焦点为， 抛物线的准线，则， 所以. 故答案为：6 14. 已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题设出直线方程，计算中边上的高，利用直线过定点求出的范围，列出的面积表达式，利用二次函数的图象特点求出在 的范围上的面积最大值. 【详解】 如图，过点的直线不过圆心，所以该直线的斜率存在，设直线方程为，即， 所以圆心到该直线的距离为易得当时，，当直线经过圆心时，，故， 又因，故. 因时，可知函数单调递增，故. 即面积的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系产生的面积的最值问题,属于较难题. 解题的关键是在求得圆心到直线的距离表达式后，对距离的范围的界定，这需要看出含参的直线经过的定点，以及经过圆内定点的直线与圆产生的最短，最长弦情况的理解，借此求得参数范围，将面积转化为求二次函数在给定区间上的最值问题. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分. 15. 宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区．为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求x的值； （2）若采用按比例分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取3人，再从这3人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质可求解； （2）先确定每个区间抽取的人数，再利用列举法求概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图中各小矩形面积和为1，可得， 解得； 【小问2详解】 因为评分在，的频率分别为0.05，0.1，所以在中抽取（人），设为a， 在中抽取（人），设为B，C． 记事件A表示从这3人中随机抽取2人进行交流，选取的2人评分分别在和内． 从这3人中随机抽取2人，则有，，，共3个样本点， 选取的2人评分分别在和内的有，，共2个样本点， 所以， 即选取的2人评分分别在和内的概率为. 16. 设椭圆过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的条件，将两个点的坐标代入椭圆方程，解方程组作答. （2）求出直线的方程，再与椭圆方程联立，借助根与系数的关系求解作答. 【小问1详解】 因椭圆过点， 则有，解得， 所以椭圆C的标准方程为：； 【小问2详解】 依题意，直线的方程为：，由消去y并整理得：， 显然，设，则， 因此线段中点的横坐标，其纵坐标， 所以线段中点的坐标为. 17. 在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点. （1）求证：平面； （2）求与平面成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）法1：构造平行四边形，证明线线平行，即可证明线面平行；法2：利用向量法证明线面垂直； （2）利用向量法求线面角. 【小问1详解】 法1：取的中点,连接,, 依题意可知：且,且 所以且,四边形为平行四边形，故， 又平面,平面,所以平面. 法2：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，，，, ，， 设平面的法向量， 则，取，得， ,又面，所以平面， 【小问2详解】 由（1）， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的余弦值为. 18. 已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． （1）求双曲线的方程，并写出其离心率； （2）求的焦点到其渐近线的距离； （3）已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】(1)可设双曲线的方程为,代入可得标准方程，即可求离心率； 注：常见双曲线方程的设法 渐近线为的双曲线方程可设为；如果两条渐近线的方程为，那么双曲线的方程可设为． 与双曲线或共渐近线的双曲线方程可设为或． 与双曲线离心率相等的双曲线方程可设为或，这是因为由离心率不能确定焦点位置． 与椭圆共焦点的双曲线方程可设为． (2)由(1)的结果可得焦点与渐近线方程，由点到直线的距离公式可得结果； (3)联立直线与曲线方程，结合韦达定理可求. 【小问1详解】 因为双曲线与有相同的渐近线， 所以可设双曲线的方程为， 将代入，得，得， 故双曲线的方程为，所以，故离心率． 【小问2详解】 由（1）可知，的焦点为，渐近线方程为， 故的焦点到其渐近线的距离． 【小问3详解】 联立直线AB与双曲线的方程，得 整理得，． 设，则AB的中点坐标为， 由根与系数的关系得，， 所以AB的中点坐标为． 又点在圆上，所以，所以． 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为D． （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点F，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，指出点F的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点F为棱的中点 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，结合线面垂直的性质及判定可证明结论. （2）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可解决两平面夹角问题. 【小问1详解】 解法一：在三棱柱中，连接， ∵等边三角形，D为中点，∴， ∵在平面内的射影为D，∴平面， ∵平面，∴， ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴， ∵四边形为菱形，∴， ∵D，E分别为，中点，∴，∴， ∵，，平面，∴平面． 解法二：在三棱柱中，连接， ∵为等边三角形，D为中点，∴， ∵在平面内的射影为D，∴平面， ∵平面，∴，故直线，，两两垂直， 以D为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，． 设平面的一个法向量为，则， 令，得， ∴，即，∴平面． 【小问2详解】 由（1）知，直线，，两两垂直， 以D为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，． 设在棱存在点F，使得平面与平面夹角的余弦值为， 设，即， 则， 设平面的一个法向量为，则， 令，得， 设平面的法向量，则， 令，得， 设平面与平面夹角为， 则， 化简得， 解得或（舍）． 故当点F为棱的中点时，平面与平面夹角的余弦值为． 解法二：设在棱存在点F，使得平面与平面夹角的余弦值为， 设，即， 则， 设平面的法向量，则， 令，得， 设平面与平面夹角为， 则， 化简得， 解得或（舍）． 故当点F为棱中点时，平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $