精品解析：海南省海口市琼山华侨中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

海口市琼山华侨中学2024-2025学年度高二第一学期 第一次月考数学试题 总分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 3. 若 ， 且 ， 则 和 的夹角是（ ） A B. C. D. 4. 已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 5. 在中，，则的长为（ ） A B. 4 C. D. 5 6. 在直三棱柱中，，且，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 若正实数x，y满足，则xy的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 某公司计划组织秋游活动，定制了一套文化衫，女职工需要不同尺码文化衫的频数如图． 根据图中数据，下列结论正确的是（ ） A. 文化衫尺码的众数为187 B. 文化衫尺码的平均数为165 C. 文化衫尺码的方差为28 D. 文化衫尺码的中位数为165 10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 平面ABCD C. 三棱锥的体积为定值 D. 的面积与的面积相等 11. 已知函数的部分图象如图，则关于函数的描述正确的是（ ） A. 关于对称 B. 关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最大值为3 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 若，则______. 13. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________． 14. 各棱长均为1且底面为正方形的平行六面体，满足，则______；此平行六面体的体积为______． 四、解答题（本题共5小题，其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知. （1）求b的值； （2）求的值. 16. 已知函数 （1）求的值； （2）求函数的递增区间； （3）求函数在区间上的值域． 17. 在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数； （2）求值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 18 已知空间四点，，，. （1）若向量与互相垂直，求实数的值： （2）求以，为邻边的平行四边形的面积： （3）若D点在平面上，求实数n的值. 19. 如图，在四棱锥中，平面为的中点，. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海口市琼山华侨中学2024-2025学年度高二第一学期 第一次月考数学试题 总分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再求交集. 【详解】,则.则. 故选：A. 2. 若，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出复数,再根据虚部的概念进行选择. 【详解】由. 所以复数的虚部为：2. 故选：D 3. 若 ， 且 ， 则 和 的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得正确答案. 【详解】设的夹角为， 由于，所以， 所以，由于，所以. 故选：B 4. 已知一组数据：平均数为6，则该组数据的分位数为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数及百分位数的定义求解即可. 【详解】依题意，，解得， 将数据从小到大排列可得：， 又，则分位数为. 故选：C. 5. 在中，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，所以根据两角和的正弦公式可求得，再根据正弦定理可求得. 【详解】根据三角形内角和为，所以可知， 则， 根据正弦定理可知，代入解之可得. 故选：C 6. 在直三棱柱中，，且，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先找到异面直线与所成角为（或其补角）,再通过解三角形求出它的余弦值. 【详解】如图分别取的中点， 连接，因为， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角）， 设，由， 所以，， ， ， 所以由余弦定理可得：. 则异面直线与所成角的余弦值是. 故选：A. 7. 若正实数x，y满足，则xy的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式得到，求出答案. 【详解】，， 由基本不等式得，即， 解得. 故选：D 8. 沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意转化为圆锥的体积公式，以及高的关系，即可求解. 【详解】设沙漏下半部分的圆锥的容积为，沙子堆成的圆台体积为， 该圆锥内沙子上方的剩余空间体积为．由题意可知，即， 则，则下半部分圆锥剩余空间的高为圆锥高的一半，即沙子堆成的圆台的高为圆锥高的一半，即圆台的高为． 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 某公司计划组织秋游活动，定制了一套文化衫，女职工需要不同尺码文化衫的频数如图． 根据图中数据，下列结论正确的是（ ） A. 文化衫尺码众数为187 B. 文化衫尺码的平均数为165 C. 文化衫尺码的方差为28 D. 文化衫尺码的中位数为165 【答案】BD 【解析】 【分析】根据统计图可得样本数据的平均数、众数、中位数和方差，再逐一判断即可. 【详解】解：由题图知，众数为165，故A错误； 总数为， 平均数为，故B正确； 方差为，故C错误； 中位数为165，故D正确． 故选：BD 10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 平面ABCD C. 三棱锥的体积为定值 D. 的面积与的面积相等 【答案】AD 【解析】 【分析】取点与点重合可判断A；利用面面平行可判断B；判断三棱锥的高和的高是否为定值即可判断C；分别求点到直线的距离可判断D. 【详解】对A，不妨取点与点重合， 因为平面，在平面内，且不过点， 所以异面，即此时异面，A错误； 对B，因为平面，且平面平面， 所以平面，所以平面，B正确，不符合题意； 对C，易知，点到平面的距离为定值，又， 所以三棱锥的体积为定值，C正确； 对D，记的中点分别为，连接， 易知平面，平面，所以， 因为，是平面内的两条相交直线， 所以平面， 又平面，所以，所以， 所以，D错误. 故选：AD 11. 已知函数的部分图象如图，则关于函数的描述正确的是（ ） A. 关于对称 B. 关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最大值为3 【答案】AD 【解析】 【分析】由的图象，求出函数解析式，得解析式，由解析式对的对称性单调性和最值进行讨论. 【详解】由函数的部分图象， 得函数的最小正周期，则， 由，则，有， 将点代入函数解析式可得，即， 由，得， 所以， 当时，，有最大值， 的图象关于对称，A选项正确； 时，，，， 的图象关于点对称，B选项错误； 时，，不是正弦函数的单调区间，C选项错误； 时，，则当，即时，有最大值，D选项正确. 故选：AD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可． 【详解】， 故答案为： 13. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式,即可得出. 【详解】前局中，因第局甲当裁判，则乙恰好当1次裁判的事件A，设乙第二局当裁判的事件A1、乙第三局当裁判的事件A2，乙第二局当裁判的事件A3，它们互斥， 乙第二局当裁判的事件是乙在第一局输，第三局胜，则, 乙第三局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局输，则， 乙第四局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局胜，第三局输，则， 所以 故答案为：. 14. 各棱长均为1且底面为正方形的平行六面体，满足，则______；此平行六面体的体积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由空间向量基本定理可得，对其两边同时平方结合数量积的定义即可求出；连接交于点，连接，先证明平面，再由柱体的体积公式即可得出答案. 【详解】因为 ， 所以. 连接交于点，连接， 因为底面为边长是的正方形，所以， 因为，连接，则， 所以在中，，所以， 又因为，所以， ，平面， 所以平面，所以平行六面体的体积为： . 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知. （1）求b的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理可得，结合余弦定理可得的值； （2）借助正弦定理及同角三角函数关系得，由余弦定理得，再代入二倍角公式和两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由结合正弦定理可得：，即，所以， 由及余弦定理可得； 【小问2详解】 由得， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 所以， ， 所以 . 16. 已知函数 （1）求的值； （2）求函数的递增区间； （3）求函数在区间上的值域． 【答案】（1） （2）, （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数，即可得的值； （2）根据正弦型三角函数的性质列不等式求解单调增区间即可； （3）根据（2）确定函数在区间上的单调性，求值即可得函数的值域． 【小问1详解】 则； 【小问2详解】 令：， 解得 的单调递增区间为：,； 【小问3详解】 由（2）可得，函数在区间上单调递增 ， 在区间上的值域为：． 17. 在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数； （2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 【答案】（1）4 （2）；平均数为71；中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）先分别求出频率，进而由10乘以抽样比可求答案； （2）根据频率的性质，利用各小长方形的面积和等于1可求；利用各组中值与频率可估计平均数；先确定中位数所在的小长方形，再设中位数为，进而利用面积等于0.5即可求解； （3）独立事件的乘法公式即可求解. 【小问1详解】 从图中可知组距为，则的频率分别为, 从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时, 成绩不高于50分的人数为（人）. 【小问2详解】 由图可知，解得. 使用组中值与频率可估计平均数为 . 因为且， 所以中位数在内， 设估计的中位数为，则，得. 【小问3详解】 记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件、、，则 三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率等于 . 18. 已知空间四点，，，. （1）若向量与互相垂直，求实数的值： （2）求以，为邻边的平行四边形的面积： （3）若D点在平面上，求实数n的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量垂直的坐标表示建立方程，求解参数即可. （2）利用空间向量结合同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形面积公式并结合题意求解即可. （3）将点共面问题转化为向量共面问题，利用向量共面的充要条件建立方程，求解即可. 【小问1详解】 因为，，，， 所以，，， 所以，， 因为向量与互相垂直，所以， 化简得，解得， 【小问2详解】 因为，，且设夹角为， 所以，而恒成立， 所以，而，， 所以平行四边形的面积为， 【小问3详解】 因为D点在平面上，所以四点共面， 所以共面，而由题意得，，， 故存在，使得，所以，， ，解得，故实数n的值为. 19. 如图，在四棱锥中，平面为的中点，. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行. （2）通过证明，，进而根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，可证面面垂直. （3）先作出直线与平面所成的角，然后用直角三角形中的边角关系求角的正弦值. 【小问1详解】 如图： 取的中点，连接， 则，且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面平面，所以， 由题设易知为直角梯形，且， 则，， 所以，即， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【小问3详解】 如图： 取的中点，连接，则， 由（2）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 因为， 所以. 所以 即直线与平面所成角的正弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $