精品解析：山东青岛市平度南村镇亭兰中学2025-2026学年第二学期九年级下册4月学情自测数学试题

九年级4月份数学月考试题（总分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、选项图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、选项图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 国产大模型DeepSeek已经成为全球增长最快的AI工具，其每月新增网站访问量已超过OpenAI的ChatGPT．据报道，2025年2月，DeepSeek访问量达到525000000次，将数字525000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故选：B． 4. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不记厚度）如图（2）所示，则其俯视图为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体三视图，正确识别几何体的三视图是解题的关键. 根据米斗的示意图，即可得到米斗的俯视图. 【详解】解：米斗的示意图如图2所示， 米斗的俯视图为 故选：B. 5. 数轴上点的位置如图所示，则表示的实数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，根据数形结合的思想观察数轴确定点的位置是解题的关键． 先估算选项中的无理数，再根据数轴的特点即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴； ∵，， ∴， ∴从数轴可以得到表示的实数可能是， 故选：A． 6. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（　　） A. B. 6 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到AF=AB，∠AFE=∠B=90°，根据等腰三角形的性质得到AF=CF，于是得到结论． 【详解】∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处， ∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°， ∴EF⊥AC， ∵∠EAC=∠ECA， ∴AE=CE， ∴AF=CF， ∴AC=2AB=6， 故选B． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 7. 如图，的边经过的圆心O，与相切于B，D是上的一点，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理．设交于点E，连接，根据切线的性质可得，从而得到，再根据是的直径，可得，然后根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：设交于点E，连接，如图， ∵与相切于B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为 A. （1.4，－1） B. （1.5，2） C. （1.6，1） D. （2.4，1） 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1）， ∴平移和变化规律是：横坐标减4，纵坐标减3． ∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（－1.6，－1）． ∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2， ∴点P1和点P2关于坐标原点对称． ∴根据关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数的性质，得P2点的坐标为：（1.6，1）． 故选C． 9. 如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意； B、当时，，则此项正确，符合题意； C、当时，，则此项错误，不符合题意； D、当时，，当时，，则此项错误，不符合题意． 10. 已知点，是反比例函数的图象上的两点，且当时，，则函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，结合两个函数的图象及其性质分类讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，反比例函数，在一、三象限，而二次函数开口向上，与轴交点在原点下方，都不符； 当时，反比例函数，在二、四象限，而二次函数开口向下，与轴交点在原点上方，A符合． 由已知，k＞0：它们在同一直角坐标系中的图象大致是A． 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数、反比例函数的图象以及图象的特点． 二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式、根据二次根式乘法法则计算乘法，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 12. 不透明的口袋中装有个红球、个黄球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则的值最可能是______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．利用频率估计概率，由概率列方程求解即可． 【详解】解：由大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，可得摸到蓝球的概率为， 解得， 经检验，是原方程的解， 因此的值最可能是． 故答案为：． 13. 把方程化成的形式，则的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m、n的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 14. 如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，矩形的面积为________． 【答案】48 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出相关线段长，利用勾股定理逆定理判定，再结合即可得出结论． 【详解】解：在矩形中，， 在矩形中，，分别是，的中点，， 是的中位线，即， 在中，是BE的中点，， 是斜边上的中线，即， ， 在中，是EC的中点，， 是斜边上的中线，即， ， 在中，，，，即， 是直角三角形，且， 过作于，如图所示： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形面积，涉及到中位线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、矩形的性质、勾股定理逆定理、三角形等面积法等知识，熟练掌握相关性质，准确作出辅助线表示是解决问题的关键． 15. 某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，设A款吉祥物的单价为元，根据题意可列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设A款吉祥物的单价为x元，则B款吉祥物的单价为元， 根据题意得：． 故答案为：． 16. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设与扇形交于点，连接，解，求得，根据阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】如图，设与扇形交于点，连接，如图 是OB的中点 , OA＝2， ＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移， 阴影部分的面积为 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得是解题的关键． 17. 如图，在中，，．若点是边上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，，且以线段为边构造等边，若，则线段的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，确定当时，线段取最小值，根据等边三角形的性质可得和，过点作于点，交于点，根据勾股定理，三角形的中位线，等腰三角形的三线合一求出的长度，证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，当时，线段取最小值， ∵线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ∴当时，线段取最小值， 过点作于点，交于点， ∵，， ∴，由勾股定理得， 根据等腰三角形的三线合一可得，点是中点，且， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，线段的最值问题，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和作辅助线． 三、作图题（本题满分6分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 18. 已知：线段a．求作：矩形，使得，． 【答案】 所作满足条件矩形如下． 【解析】 【分析】本题考查了作图：作矩形；先作边长为a的等边，分别延长，得射线，在射线上分别截取，佽次连接即得满足条件的矩形． 【详解】略 四、解答题（本大题共6小题，满分63分） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的除法，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，进行计算即可； （2）根据分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 20. 某超市进行五一抽奖促销活动，购物满200元的顾客可以参加活动，规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘，盘被均分成面积相等的三个扇形，盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，将赢得一张九折购物券，在下次购物时使用，李大妈获得了参加活动的资格． （1）若李大妈转动一次盘，则她转出红色的概率为___________． （2）若李大妈同时转动盘和盘，请用列表或画树状图的方法，求出她赢得购物券的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果，由表格求得她赢得购物券的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 【小问1详解】 解：∵A盘被分成面积相等的3个扇形，分别是红、黄、蓝， ∴李大妈转出红色的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆角是， ∴蓝色区域占整体的， ∴红色区域占整体的， 根据题意列表如下： 红 红 蓝 红 （红，红） （红，红） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） 由表可知，共有9种等可能结果，其中她赢得购物券的有3种等可能结果， 则她赢得购物券的概率是． 21. 某小区活动中心想在房前高的墙上安装一个遮阳篷，使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光线与水平地面的夹角为，遮阳篷与水平面的夹角为，如图为侧面示意图，请求出此遮阳篷端到墙的距离是多长？（结果精确到）． （参考数据，，；，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是通过作辅助线构建直角三角形，利用矩形性质和三角函数关系建立方程求解． 过点作，利用三个直角证明四边形是矩形，得 ．在中，设，根据求出（即）关于的表达式． 在中，根据得出关于的表达式． 依据， 建立方程，求解后得出的长度． 【详解】解：过点作 ∴， ∵， ∴ ∴四边形是矩形 设 在中， 在中， ， ， 答：的长是． 22. 2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，若单独生产12000个类手办所需时间和单独生产8000个类手办所用时间相同． （1）求生产商每天单独生产两类手办的个数； （2）两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类/个 80 100 类/个 100 150 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； （3）商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元的类手办，进行了4天的试销，试销情况如下表： 第一天 第二天 第三天 第四天 日销售单件利润（元） 20 30 40 50 日销售量（个） 300 200 150 120 根据试销情况，请你猜测并求与之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售单价． 【答案】（1）生产商每天生产类手办600个，类手办400个 （2）当购进150个种手办，50个种手办时，商家获利最大，最大利润是5500元 （3）110元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，不等式，函数解析式是解题的关键． （1）设生产商每天生产类手办个，则每天生产类手办个，根据时间相同列出方程求解即可； （2）设购进个种手办，则购进个种手办，根据不超过17000元的资金列出不等式求解，设这200个手办全部售完获得的总利润为元，列出一次函数并分析一次函数自变量的取值即可得出结果； （3）根据表格信息列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设生产商每天生产类手办个，则每天生产类手办个， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根，并符合题意， 所以，生产商每天生产类手办600个，类手办400个； 【小问2详解】 解：设购进个种手办，则购进个种手办， 根据题意得：， 解得：． 设这200个手办全部售完获得的总利润为元， 则，即， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时（个）． 所以，当购进150个种手办，50个种手办时，商家获利最大，最大利润是5500元； 【小问3详解】 解：由表中数据得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴利润至少为10元 ∴单价至少为元． 23. 甲同学在距篮筐中心水平距离4米处跳起投篮，球在距地面2米的点处出手．按如图所示的平面直角坐标系，球在空中运行的轨迹可以近似地用二次函数来表示．当篮球达到最高点时，其距地面高度为3.5米，距篮筐中心的水平距离为2米（篮球看作一个点，篮筐中心、点、点在同一平面内），已知篮筐中心距地面3.05米，解答下列问题： （1）求篮球运动轨迹的抛物线函数表达式； （2）若甲同学位置和球出手高度不变，仅调整出手角度，使篮球达到最高点时，其距地面高度仍为3.5米，距篮筐中心的水平距离变为3米，求新的抛物线表达式； （3）在（2）的条件下，另一同学乙在甲面前跃起拦截（注：拦截应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属于犯规行为），已知乙的最大摸球高度为，求乙在甲面前多远才能恰好拦截成功． 【答案】（1） （2） （3）乙距离甲0.4米时可以拦截成功 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）设抛物线顶点式为，将顶点坐标和点代入即可求解； （2）由题意可知新顶点坐标，设新抛物线顶点式为，将点代入即可求解； （3）由（2）求得的函数解析式，当时，求得的值求解． 【小问1详解】 设抛物线顶点式为， ∵将顶点坐标和点代入得，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 ∵新顶点坐标， ∴设新抛物线顶点式为， ∵将点代入得，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问3详解】 由（2）求得的函数解析式，当时， 解得，（犯规，应舍去）， ∴乙距离甲米时可以拦截成功． 24. 如图①，在菱形中，，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，线段（点M，N分别与点A，D重合）从点D出发，沿方向匀速平移，速度为；线段停止运动时，点P也随之停止运动．交于点E，连接，．设运动时间为t（s）（），解答下列问题： （1）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （2）是否存在某一时刻t，使点E在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； （4）如图②，点是点N关于直线的对称点，连接，，当t为何值时，点M，B，在同一条直线上？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据菱形中，，．动点P从点B出发，速度为；同时，线段速度为，设运动时间为t，则，，，根据得到，列出比例式，当时，四边形是平行四边形，即可证； （2）根据，得，根据点E在的平分线上，得到，于是得到即，建立方程，解答即可； （3）连接与交于点O，求得，过点N作于点G，交于点H，则为菱形的高，根据，就可以得到，根据，得到，求得，后根据解答即可． （4）连接与交于点O，设与交于点Q，求得，得到，证明，得，根据三角形中位线定理，得，故，解得． 【小问1详解】 解：∵菱形中，，．动点P从点B出发，速度为；同时，线段速度为， 设运动时间为t，则，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，四边形是平行四边形，即可证， 于是，， 解得， 故当时，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点E在的平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故当时，点E在的平分线上． ． 【小问3详解】 解：连接与交于点O， ∵菱形中，，． ∴，， ∴， 过点N作于点G，交于点H， 则为菱形的高， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 【小问4详解】 解：连接与交于点O，设与交于点Q， ∵菱形中，，． ∴，， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握性质和三角函数的应用是阶梯的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级4月份数学月考试题（总分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 国产大模型DeepSeek已经成为全球增长最快的AI工具，其每月新增网站访问量已超过OpenAI的ChatGPT．据报道，2025年2月，DeepSeek访问量达到525000000次，将数字525000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不记厚度）如图（2）所示，则其俯视图为 （ ） A. B. C. D. 5. 数轴上点的位置如图所示，则表示的实数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（　　） A. B. 6 C. 4 D. 5 7. 如图，的边经过的圆心O，与相切于B，D是上的一点，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为 A. （1.4，－1） B. （1.5，2） C. （1.6，1） D. （2.4，1） 9. 如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 已知点，是反比例函数的图象上的两点，且当时，，则函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 11. 计算：______． 12. 不透明的口袋中装有个红球、个黄球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则的值最可能是______个． 13. 把方程化成的形式，则的值是______． 14. 如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，矩形的面积为________． 15. 某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，设A款吉祥物的单价为元，根据题意可列方程为____________． 16. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______． 17. 如图，在中，，．若点是边上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，，且以线段为边构造等边，若，则线段的最小值是_________． 三、作图题（本题满分6分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 18. 已知：线段a．求作：矩形，使得，． 四、解答题（本大题共6小题，满分63分） 19. （1）计算：； （2）化简：． 20. 某超市进行五一抽奖促销活动，购物满200元的顾客可以参加活动，规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘，盘被均分成面积相等的三个扇形，盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，将赢得一张九折购物券，在下次购物时使用，李大妈获得了参加活动的资格． （1）若李大妈转动一次盘，则她转出红色的概率为___________． （2）若李大妈同时转动盘和盘，请用列表或画树状图的方法，求出她赢得购物券的概率． 21. 某小区活动中心想在房前高的墙上安装一个遮阳篷，使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光线与水平地面的夹角为，遮阳篷与水平面的夹角为，如图为侧面示意图，请求出此遮阳篷端到墙的距离是多长？（结果精确到）． （参考数据，，；，） 22. 2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，若单独生产12000个类手办所需时间和单独生产8000个类手办所用时间相同． （1）求生产商每天单独生产两类手办的个数； （2）两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类/个 80 100 类/个 100 150 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； （3）商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元的类手办，进行了4天的试销，试销情况如下表： 第一天 第二天 第三天 第四天 日销售单件利润（元） 20 30 40 50 日销售量（个） 300 200 150 120 根据试销情况，请你猜测并求与之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售单价． 23. 甲同学在距篮筐中心水平距离4米处跳起投篮，球在距地面2米的点处出手．按如图所示的平面直角坐标系，球在空中运行的轨迹可以近似地用二次函数来表示．当篮球达到最高点时，其距地面高度为3.5米，距篮筐中心的水平距离为2米（篮球看作一个点，篮筐中心、点、点在同一平面内），已知篮筐中心距地面3.05米，解答下列问题： （1）求篮球运动轨迹的抛物线函数表达式； （2）若甲同学位置和球出手高度不变，仅调整出手角度，使篮球达到最高点时，其距地面高度仍为3.5米，距篮筐中心的水平距离变为3米，求新的抛物线表达式； （3）在（2）的条件下，另一同学乙在甲面前跃起拦截（注：拦截应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属于犯规行为），已知乙的最大摸球高度为，求乙在甲面前多远才能恰好拦截成功． 24. 如图①，在菱形中，，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，线段（点M，N分别与点A，D重合）从点D出发，沿方向匀速平移，速度为；线段停止运动时，点P也随之停止运动．交于点E，连接，．设运动时间为t（s）（），解答下列问题： （1）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （2）是否存在某一时刻t，使点E在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； （4）如图②，点是点N关于直线的对称点，连接，，当t为何值时，点M，B，在同一条直线上？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $