精品解析：福建省莆田第十五中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

2025-2026学年下学期月考试卷 高二数学 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点关于平面的对称点为求解. 【详解】因为点关于平面的对称点为， 所以点关于平面的对称点为 故选：A 2. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B不正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D正确． 3. 已知，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共线定理，代入公式，即可求解. 【详解】由，可知，即， 得，解得：，. 故选：D 4. 若，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由求导得：， 则，解得，即， 所以. 故选：A 5. 如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，然后平方可算出答案. 【详解】在平行六面体中，，，，，， ∵， ∴ ， ∴. 故选：C. 6. 若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出切点，利用在切点处的斜率等于0即可求得结果. 【详解】设切点坐标为，函数，所以， 因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为 故选：B 7. 已知在上单调递增，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，分离参数，结合函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由在上单调递增， 得在上恒成立， 即，恒成立，而在上单调递增，即， 故， 故选：A 8. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点的概念，转化为导函数有零点求参数范围问题 【详解】由已知得，若函数在上有极值点，则在上有解，即，解得. 故选：D 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是导数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】AB 【解析】 【分析】根据原函数与导函数图象的关系及极值的定义一一判定即可. 【详解】对于A、B选项，由导函数的图象可知上导函数为正，上导函数为负，故A、B正确； 对于C、D选项，由导函数的图象可知处导函数不为零，在处导函数为零，其左侧导函数为正号，右侧导函数为负号，故处应取得极大值，故C、D选项错误. 故选：AB 10. 设是空间的一个基底，则下列结论正确的是（ ） A. 可以为任意向量 B. 对任一空间向量，存在唯一有序实数组，使 C. 若，则 D. 可以构成空间的一个基底 【答案】BD 【解析】 【分析】根据是空间的一组基底，利用空间向量基本定理，结合空间向量的定义、基底的定义以及垂直的定义即可判断. 【详解】对于A，因为是空间的一个基底，所以为不共面的非零向量，A不正确； 对于B，由空间向量基本定理知，对任一空间向量，存在唯一有序实数组，使，B正确； 对于C，，但不一定垂直，C不正确； 对于D，假设共面，则存在唯一实数对，使得， 所以，无解，所以不共面， 所以可以构成空间的一个基底，D正确. 故选：BD. 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解，对于B，求导后，由导数小于零求解，对于C，求导后求极值，对于D，函数与的交点个数判断 【详解】对于A，由（），得，，则，所以在处的切线方程为，所以A错误， 对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B正确， 对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C正确， 对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，， 所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误， 故选：BC 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】求导后，赋值即可. 【详解】依题意，，则. 故答案为：1. 13. 已知函数的图象在处的切线方程为，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】由切线方程得切点坐标和切线斜率，可计算. 【详解】函数的图象在处的切线方程为， 则切点坐标为，切线斜率， 所以. 故答案为：6. 14. 已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及数量积运算可得，由正方体的性质可得当时取得最大值为4. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 因此可得，且 可得； 因此当的长度最大时，取得最大值， 显然当点与重合时，，因此取得最大值为4. 故答案为：4 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 如图所示，在平行六面体中，为的中点. （1）化简：； （2）设是棱上的点，且，若，试求实数，，的值. 【答案】（1）；（2）、、. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解； （2）用基底表示出后可得的值． 【详解】（1） （2） ， 、、. 16. 已知曲线 ，求： （1）求曲线在的切线方程； （2）求过点 且与曲线相切的切线方程． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）求得切点和函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程； （2）设出切点坐标为，求得切线的斜率的两种形式，解方程可得切点，再由点斜式方程可得切线的方程． 【小问1详解】 解：切点坐标为， 则由，得， 在的切线斜率为， 所求切线方程为， 即； 【小问2详解】 解：因为点不在曲线 上， 需设切点坐标为， 则切线斜率为， 又因为切线斜率为， 所以， 所以，得， 所以切点坐标为，斜率为， 所以切线方程为， 即． 17. 已知函数的图象过点，且在和上为增函数，在上为减函数． （1）求的解析式； （2）求在R上的极值． 【答案】（1）； （2）极大值，极小值. 【解析】 【分析】（1）由点在上得，根据区间单调性知是的两个根，结合根与系数关系求得，即可得解析式. （2）由已知区间单调性及极值点的定义，即可求极值. 【小问1详解】 的图象过点， ， ， ， 由已知：是的两个根，则， . . 【小问2详解】 由题设：是的极大值点， 是的极小值点， 极大值，极小值. 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. （3）若方程有三个根，写出k的取值范围（无需解答过程）. 【答案】（1）增区间为和，减区间为 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数单调区间； （2）根据函数的增减性确定函数的最值； （3）由函数图象的变化情况，结合函数的极值得出结论. 【小问1详解】 , 令可得或， 令可得， 故函数的增区间为和，减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，上递增，在递减， 故当时，， 又，故. 【小问3详解】 由（1）（2）知函数在上递增，在上递减，在上递增，且极大值为，极小值为， 若方程有三个根，即与图象有3个交点， 故k的取值范围为. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1）在处取得极大值，无极小值 （2）当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，上单调递减 （3）整数的最大值为5 【解析】 【分析】（1），令或可求单调区间，进而求得极值； （2），然后分类讨论可求得的单调区间； （3）根据已知式子进行变量分离可转化为恒成立，令，然后利用导数研究函数的单调性与极值，进而得出的最小值，进而得出所求得答案. 【小问1详解】 当时，， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 ， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，上单调递减. 【小问3详解】 在时恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，且 ，所以在存在唯一实数， 使得，即，所以 当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以， 故，又，整数的最大值为5． 【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用导数分析函数单调性的问题，同时也考查了构造函数，结合零点存在性定理，进而确定函数在区间上最值的范围问题.需要根据题意参变分离，构造函数求导，设极值点，再确定零点所在区间，进而代入原函数可得极值范围.属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期月考试卷 高二数学 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 2. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 若，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 5. 如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 6. 若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在上单调递增，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是导数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 10. 设是空间的一个基底，则下列结论正确的是（ ） A. 可以为任意向量 B. 对任一空间向量，存在唯一有序实数组，使 C. 若，则 D. 可以构成空间的一个基底 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 已知函数的图象在处的切线方程为，则______． 14. 已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为________. 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 如图所示，在平行六面体中，为的中点. （1）化简：； （2）设是棱上的点，且，若，试求实数，，的值. 16. 已知曲线 ，求： （1）求曲线在的切线方程； （2）求过点 且与曲线相切的切线方程． 17. 已知函数的图象过点，且在和上为增函数，在上为减函数． （1）求的解析式； （2）求在R上的极值． 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. （3）若方程有三个根，写出k的取值范围（无需解答过程）. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $