福建省仙游第一中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

仙游一中2025-2026学年下学期第一次月考试卷 高二数学 一、单选题 1．下列求导，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，为原点，已知，，则（   ） A．点关于点的对称点为 B．点关于轴的对称点为 C．点关于轴的对称点为 D．点关于平面的对称点为 3．如图，在四面体中，是的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．－4 B．－3 C．4 D．3 5．下列关于空间向量的命题中正确的是（   ） A．已知两个向量，，则与的夹角为锐角 B．已知过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为 C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D．已知，，则在上的投影向量坐标为 6．在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 7．已知，若函数恰有1个零点，则（    ） A． B．e C．1 D．3 8．若对任意，且，都有，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．若向量，，则，，三点共线 B．若非零向量和不共线，若和共线，则 C．与向量垂直的单位向量可以是 D．平面上三点的坐标分别为，，，若点与，，三点能构成平行四边形四个顶点．则的坐标可以是 10．已知空间中三点，，，则（    ） A． B．方向上的单位向量坐标是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 11．已知函数，则（    ） A．是函数的极小值点 B． C．对，方程恒有两个不同的实数解 D．存在，使得直线与曲线相切 三、填空题 12．在平行六面体中，，则______________. 13．函数的单调递减区间为__________________________. 14．曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数 __________． 四、解答题 15．如图，在正方体中，、分别是、的中点． (1)求异面直线与所成的角； (2)证明：平面． 16．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．侧面底面，是的中点． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的余弦值． (3)若，求点到平面的距离． 17．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 18．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 19．已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设有且仅有一个极值点，求a的取值范围； (3)若函数存在2个极值点，且满足，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 高二下数学第一次月考试卷参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A D D B A B ACD BC AC 三、填空题 12． 13． 14． 四、解答题 15．【解】（1）异面直线与所成的角为．（2）略 16．【解】（1）略 （2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系.所以： 因为是的中点，故，所以 ， 设平面的法向量为 ，所以 ，即 ， 令，，即， 又因为平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则， 又因为所成角为锐角，所以二面角的余弦值为. （3）若，此时底面边长为2，是正三角形， 故，则， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，即， 又因为，所以点到平面的距离为. 17．【解】（1）由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令，则 所以函数在区间单调递增，故， 所以，恒成立， 所以当时，． 18．【解】解析 （1）略 （2）证明；记中点为，连接，， 则四边形为正方形，且根据勾股定理得， 所以，则，所以． 又因为，，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 又因为，所以， 且，，平面，所以平面． （3）由（2）知，平面，且．以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 由向量爪子定理：设，则 则，，， 平面的法向量（只需在找一条与垂直的线，且垂直于），取 与平面的法向量为则，则， 令，得． 设平面与平面的夹角为，， 则，解得． 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为． 19．【解】（1）当时，， ，且， 故在处的切线方程为，即2x＋y－2＝0， （2）， ， 由＝0可得，令，x>0， 则 令，在上单调递减，且， 则当时，，则，即在上单调递增， 时，，，即在上单调递减， 且又时，，时，， 由题得，有且只有一个变号根，故 （3）由 ，可得， 令，则，由得，由，得. 故在上单调递增，在上单调递减，且，当时，， 因，对于，有，，故，， 则由，又，故， 令，则， 因，则，故在上单调递增， 又， 则在上存在唯一解，∴ 又，， 则有，故可得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $