精品解析：贵州省遵义市汇川区2026年初中学业水平适应性考试（一模）数学

2026年初中学业水平适应性考试 数学试题卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年贵州省计划新增城市绿地面积320000平方米，用于改善生态环境．将320000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一束平行于主光轴的光线经过凸透镜折射后，其折射光线相聚于一点．如图，光线，折射光线相交于点E，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 贵州省部分主要城市在地图中的位置如图所示，若毕节位置的坐标为，安顺位置的坐标为，则遵义位置的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 为了倡导节约的生活方式，鼓励居民节约用水，某小区随机调查了10户家庭一年的月均用水量（单位：t），并绘制了如下的条形统计图，则这10户家庭月均用水量的众数和中位数分别是（ ） A. 7，6.5 B. 6.5，7 C. 7，7 D. 6.5，6.5 7. 如图，在 中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点， ，直线与，分别相交于点和点，连接 ，若，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数（k为常数，且），如果函数值y随着自变量x的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过（ ） A. 第一、三、四象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、二、三象限 9. 如图，小星用高度都相等的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与 ，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且等腰直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，等腰直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知，，则每个长方体小木块的高度为（ ）     A. B. C. D. 10. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2 11. 如图，，是的弦，延长，相交于点P．连接， ，已知，，的半径为9，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，动点P从点A出发，沿着边长为 的正方形的边，按照路线 以匀速运动至点C停止，动点Q从点A出发，且与P的运动速度相同，沿着正方形的边，按照路线匀速运动至点C停止，连接 、 、 ，设的面积为，时间为，下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 二次根式有意义的条件是__________． 14. 抛掷一枚质地均匀的硬币，前10次有8次都是正面朝上，掷第11次时正面朝上的概率是__________． 15. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______________． 16. 在 中，BD是 的角平分线， ，，，则 的长为__________． 三、解答题（本大题共9题，共98分） 17. 按要求解答下列问题： （1）计算： （2）已知代数式①；②；③．请从其中任意选择2个代数式用加号“”连接，并将连接的式子进行化简． 18. 小红同学学习了小孔成像的科学原理后，在实验室做小孔成像实验，当像距（小孔到像的距离）和物体高度不变时，得到像高y（单位：）与物距（小孔到物体的距离）x（单位：）的几组数据． 像高y（单位：） 1.5 2 3 5 物距x（单位：） 8 6 4 2.4 （1）已知像高y与物距x之间是反比例函数关系，请求出该函数关系式； （2）当像高为时，物距是多少厘米？ （3）因为实验器材限制，物距（x）不能超过为，则像高（y）的范围是__________． 19. 某校以传扬红色文化为契机，组织全体学生参加红色文化学习活动，并随机调查了部分学生，对他们每个人的学习时长进行统计，最终，根据统计结果绘制成如下不完整的统计表．根据表中信息，解答下列问题： 组别 时长t（单位：小时） 人数 所占百分比 A 16 x B 28 C D 4 （1）本次调查的学生总人数为__________，表中x的值为__________． （2）该校共有学生2000人，请你估计等级为B的学生人数． （3）已知学习时长属于组别D的4人中，有两名男生和两名女生．若从中随机抽取两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 20. 如图， 为等边三角形，D为中点，连接 ．过点A，C分别作 ， ，，相交于点E． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若，求四边形 的面积． 21. 2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹． （1）求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？ （2）该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？ 22. 综合与实践 【活动主题】某班级同学在老师的带领下前往某河边开展综合与实践活动． 【项目背景】其中一个项目是测算河流宽度（如图所示）． 【工具准备】皮尺、测角仪、计算器等． 【测量过程】在点N处测得，A、B两个观测点的距离是，，． 【数据信息】用计算器算得如下参考数据：，，，，，． 【完成任务】 （1）设米，则的长为__________．（用含x的代数式表示） （2）请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到 ）． 23. 如图，在 中， ，以为直径作半圆，交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，交于点F． （1）写出图中一个与相等的角：__________； （2）判断与 的位置关系并证明； （3）若 ， ，求的长． 24. 为了让同学们感受数学与科技的紧密联系，学校组织开展了小型无人机飞行实验活动．同学们发现，从垂直地面的起降架 的顶端A处，以一定倾斜角度发射出的无人机，其飞行路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该无人机飞行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 如图1，已知起降架 的高度是1.52米，当顶端A处发射的无人机与起降架 的水平距离为18米时，达到最大高度8米，此时无人机完成航拍任务，仍会沿原来的抛物线继续飞行．以点O为原点，表示地面的直线为x轴， 所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 （1）求无人机飞行路线所在抛物线的解析式； （2）如图2，在（1）的条件下，距离起降架36米处有一个可升降的平台，其截面示意图为矩形，其中 为36米，为1米． ①当平台升高至0.5米时（米），求无人机能否越过该平台； ②为安全回收无人机，使得无人机恰好降落在这个平台上（包含D、E两点），此时平台高度为h米，求h的取值范围． 25. 综合与探究 如图1，， 于点C，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），连接 ，将线段 绕点D逆时针旋转得到线段 ，过点E作交射线 于点G，垂足为F． 【初步尝试】 （1）当点D在线段上时， 与 的数量关系为__________， 与 的数量关系为__________； 【深入探究】 （2）当点D在线段上时，求证：； 【拓展延伸】 （3）若，点D在运动过程中，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平适应性考试 数学试题卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用有理数大小比较的基本法则即可求解． 【详解】解：∵ ， ，，又∵，，且， ∴ ， ∴ 四个数中最小的数是 ． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：根据定义可知A选项为中心对称图形． 3. 2026年贵州省计划新增城市绿地面积320000平方米，用于改善生态环境．将320000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将320000用科学记数法表示为． 4. 一束平行于主光轴的光线经过凸透镜折射后，其折射光线相聚于一点．如图，光线，折射光线相交于点E，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，由题意，， ∴， ∴. 5. 贵州省部分主要城市在地图中的位置如图所示，若毕节位置的坐标为，安顺位置的坐标为，则遵义位置的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知点的坐标确定原点的位置，再进行求解即可. 【详解】解：由题意，建立直角坐标系如图： 由图可知：遵义位置的坐标是. 6. 为了倡导节约的生活方式，鼓励居民节约用水，某小区随机调查了10户家庭一年的月均用水量（单位：t），并绘制了如下的条形统计图，则这10户家庭月均用水量的众数和中位数分别是（ ） A. 7，6.5 B. 6.5，7 C. 7，7 D. 6.5，6.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数和众数的确定方法进行求解即可. 【详解】解：用水量为的人数最多，故众数为； 将数据排序后，第5个和第6个数据均为，故中位数为. 7. 如图，在 中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点， ，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作图可得： 垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出 ，即可得解． 【详解】解：由题意得： 垂直平分， ， 则的周长． 8. 已知一次函数（k为常数，且），如果函数值y随着自变量x的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过（ ） A. 第一、三、四象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象性质，先根据一次函数的增减性得出，函数图象经过第二、四象限，再根据一次函数与y轴的交点位置，确定该函数经过第一、二、四象限． 【详解】解：∵一次函数，函数值y随着自变量x的增大而减小， ∴， ∴此时一次函数图象经过第二、四象限， 又∵一次函数与y轴的交点为， 即该一次函数与y轴的交点位于y轴正半轴， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限． 9. 如图，小星用高度都相等的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与 ，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且等腰直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，等腰直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知，，则每个长方体小木块的高度为（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，得到，进而求出的长为10个长方体小木块的高度，即可. 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴10个长方体小木块的高度为， ∴每个长方体小木块的高度为 . 10. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先通分，再合并分子后约分得到结果，运用分式基本性质计算即可． 【详解】解： ． 11. 如图，，是的弦，延长，相交于点P．连接， ，已知，，的半径为9，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接 、 ，由三角形外角的定义及性质得出，结合圆内接四边形的性质得出，由圆周角定理可得，最后由弧长公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接 、 ， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为． 12. 如图，动点P从点A出发，沿着边长为 的正方形的边，按照路线 以匀速运动至点C停止，动点Q从点A出发，且与P的运动速度相同，沿着正方形的边，按照路线匀速运动至点C停止，连接 、 、 ，设的面积为，时间为，下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分和两种情况，分别讨论求出函数解析式，再结合二次函数图象性质得出答案． 【详解】解：当时，如图1，点P在上运动，点Q在上运动， ∵点P，点Q的速度均为，时间为， ∴，， ∵正方形， ∴ ， ∴， 即当时，； 当时，如图2，点P在上运动，点Q在 上运动， ∵点P，点Q的速度均为，时间为， ∴，， ∵正方形边长为 ， ∴， ∴，， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ，， ∴ 即当时，； 综上，． 由此可知，当时，函数图象为开口向上，过点，的二次函数的一部分；当时，函数图象为开口向下，过点，的二次函数的一部分． 观察各选项，只有选项D符合题意． 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 二次根式有意义的条件是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得被开方数为非负数，列出不等式即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 14. 抛掷一枚质地均匀的硬币，前10次有8次都是正面朝上，掷第11次时正面朝上的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，根据概率的意义即可求解． 【详解】解：掷一枚质地均匀的硬币，在大量重复进行的情况下，正面朝上的频率会稳定在左右， ∴前10次有8次都是正面朝上，掷第11次时正面朝上的概率是． 15. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的判别式． 由一元二次方程的定义可得，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 又∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 16. 在 中，BD是 的角平分线， ，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了作平行线构造相似三角形，运用勾股定理求直角三角形的边．过A作交 延长线于点M，过A作交于点N．先证，，再通过相似三角形的性质求得的长，运用等腰三角形“三线合一”的性质，求得 的长，最后分别在， 运用勾股定理，求出相应线段长度即可． 【详解】解：如图，过A作交 延长线于点M，过A作交于点N． ∵， ∴， ∵BD是 的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ，， ∴， 同理，在 中， ∵，，， ∴． 三、解答题（本大题共9题，共98分） 17. 按要求解答下列问题： （1）计算： （2）已知代数式①；②；③．请从其中任意选择2个代数式用加号“”连接，并将连接的式子进行化简． 【答案】（1） （2） 解：选择①和② ． 选择①和③； 选择②和③． 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 略 18. 小红同学学习了小孔成像的科学原理后，在实验室做小孔成像实验，当像距（小孔到像的距离）和物体高度不变时，得到像高y（单位：）与物距（小孔到物体的距离）x（单位：）的几组数据． 像高y（单位：） 1.5 2 3 5 物距x（单位：） 8 6 4 2.4 （1）已知像高y与物距x之间是反比例函数关系，请求出该函数关系式； （2）当像高为时，物距是多少厘米？ （3）因为实验器材限制，物距（x）不能超过为，则像高（y）的范围是__________． 【答案】（1） （2）物距是5厘米； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中数据，可以发现像高y与物距x的乘积为常数12，因此像高y与物距x之间满足反比例函数关系即可； （2）当时，代入求得x的值即可； （3）由于物距x不能超过，即，根据反比例函数性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵像高y与物距x之间满足反比例函数关系， ∴设像高 关于物距的函数关系式为， ∴， ∴像高 关于物距的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得 ， ∴物距是5厘米； 【小问3详解】 解：由于物距x不能超过，即， 根据反比例函数性质，当x增大时，y减小， 因此，当时，， ∴像高的范围为． 19. 某校以传扬红色文化为契机，组织全体学生参加红色文化学习活动，并随机调查了部分学生，对他们每个人的学习时长进行统计，最终，根据统计结果绘制成如下不完整的统计表．根据表中信息，解答下列问题： 组别 时长t（单位：小时） 人数 所占百分比 A 16 x B 28 C D 4 （1）本次调查的学生总人数为__________，表中x的值为__________． （2）该校共有学生2000人，请你估计等级为B的学生人数． （3）已知学习时长属于组别D的4人中，有两名男生和两名女生．若从中随机抽取两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）80， （2）全校等级为B的人数约为700人； （3） 【解析】 【分析】（1）由D的人数除以所占百分比得出本次调查的学生人数，即可解决问题； （2）由该校共有学生人数乘以等级为B的学生人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解： （人）， ； 【小问2详解】 解：组别B的百分比：， （人）， ∴全校等级为B的人数约为700人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 20. 如图， 为等边三角形，D为中点，连接．过点A，C分别作 ， ，，相交于点E． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若，求四边形 的面积． 【答案】（1） 证明：∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， 又 是等边三角形，D为中点， ∴ 于点D， ∴ ， ∴四边形 是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据“两组对边互相平行的四边形是平行四边形”证明四边形 是平行四边形，再结合等边三角形的“三线合一”性质，证得 ，最后运用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证得四边形 是矩形； （2）先根据等边三角形的“三线合一”性质，证得 ，求出线段的长，再结合（1）中的结论，运用，求出四边形 的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 是等边三角形， ∴ ， 又∵D为中点，， ∴ ， 于点D， ∴ ， ， 在 中， ∵， ，， ∴， 由（1）可知，四边形 是矩形， ∴， ， ∴． 21. 2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹． （1）求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？ （2）该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？ 【答案】（1）A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹 （2）该物流中心有3种投入方案 【解析】 【分析】（1）设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人台，根据题意“总费用不超过26万元，每小时总分拣量不少于12000件”，建立一元一次不等式组，解不等式组得到a的取值范围，最后考虑到a为非负整数，确定一共有3种方案． 【小问1详解】 解：设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹． 由题意得：， ∴解得： 答：A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹． 【小问2详解】 解：设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人台． 由题意得：， ∴解得：． ∵a为非负整数， ∴a可为4、5、6， ∴该物流中心有3种投入方案． 22. 综合与实践 【活动主题】某班级同学在老师的带领下前往某河边开展综合与实践活动． 【项目背景】其中一个项目是测算河流宽度（如图所示）． 【工具准备】皮尺、测角仪、计算器等． 【测量过程】在点N处测得，A、B两个观测点的距离是，，． 【数据信息】用计算器算得如下参考数据：，，，，，． 【完成任务】 （1）设米，则的长为__________．（用含x的代数式表示） （2）请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到 ）． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）利用正切函数进行求解； （2）利用正切函数表示出 的长，然后根据的长列方程求解． 【小问1详解】 解：设米， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，，， （米）， ， ， 解得， ∴这段河流的宽度约为米． 23. 如图，在 中， ，以为直径作半圆，交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，交于点F． （1）写出图中一个与相等的角：__________； （2）判断与 的位置关系并证明； （3）若 ， ，求的长． 【答案】（1）或 （2） 解： ，证明如下： 连接 ， 切于点D， ， 又， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接 ，利用切线定理和直径定理得出直角，然后根据角的和差以及等边对等角得出相等的角； （2）连接 ，利用切线定理得出直角，根据相等的角得出 ，即可得出结论； （3）根据平行证明 ，利用相似三角形的性质进行求解． 【小问1详解】 解：与相等的角为或，理由如下： 如图，连接 ， ∵为的直径， ∴ ， ∵ 是的切线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵， ， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ， ． ， ， 又 ， ， ， ， ． 24. 为了让同学们感受数学与科技的紧密联系，学校组织开展了小型无人机飞行实验活动．同学们发现，从垂直地面的起降架 的顶端A处，以一定倾斜角度发射出的无人机，其飞行路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该无人机飞行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 如图1，已知起降架 的高度是1.52米，当顶端A处发射的无人机与起降架 的水平距离为18米时，达到最大高度8米，此时无人机完成航拍任务，仍会沿原来的抛物线继续飞行．以点O为原点，表示地面的直线为x轴， 所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 （1）求无人机飞行路线所在抛物线的解析式； （2）如图2，在（1）的条件下，距离起降架36米处有一个可升降的平台，其截面示意图为矩形，其中 为36米，为1米． ①当平台升高至0.5米时（米），求无人机能否越过该平台； ②为安全回收无人机，使得无人机恰好降落在这个平台上（包含D、E两点），此时平台高度为h米，求h的取值范围． 【答案】（1） （2）①无人机能越过该平台；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）设抛物线解析式为，将代入解析式计算即可得出结果； （2）①令，求出 的值，比较即可得出结果；②求出当和时 的值，结合二次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题可知：抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：①由题可得，， 令，得， ， ∴无人机能越过该平台； ②如图所示： ，， ，得．，得． ， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， 的取值范围为． 25. 综合与探究 如图1，， 于点C，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段 ，过点E作交射线 于点G，垂足为F． 【初步尝试】 （1）当点D在线段上时，与 的数量关系为__________， 与 的数量关系为__________； 【深入探究】 （2）当点D在线段上时，求证：； 【拓展延伸】 （3）若，点D在运动过程中，当时，求的长． 【答案】（1）， （2） 证明：过点D作于点M，作 于点N． ， ，， ， ，， ， ， ∴四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． （3）的值为和． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得， ，再根据等角的余角相等即可得出； （2）过点D作于点M，作 于点N．先证明得出，，再证明四边形为正方形，得出，最后证明，即可得证； （3）分两种情况：：①若点D在线段上，连接，②若点D在射线上，连接，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可得， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ， ∴， ∴， ①若点D在线段上，连接， 是等腰直角三角形，且 ， ∴当时， 垂直平分， ∴点E，C，F三点共线， ， 由（2）知 平分， ， ， 是AB的中点， 是 的中位线， ， ， ∴， ， ． ②若点D在射线上，连接， 同（2）可得四边形是正方形，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则，则，， ， 解得： ， ． 综上：的值为和． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $