专题9.1.2 余弦定理（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第四册

专题9.1.2 余弦定理 教学目标 1．理解余弦定理的文字与符号表述，掌握定理结构与推导思路。 2．熟练运用余弦定理及其推论进行三角形边角计算。 3．能利用余弦定理解决已知两边一夹角、已知三边的解三角形问题。 4．树立方程思想，会用“知三求一”思路处理三角形计算。 教学重难点 重点：余弦定理及其推论的理解、记忆与直接应用。 难点：已知条件合理选用定理，准确进行边角互化与运算。 知识点01 余弦定理 1.余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （2）符号语言:在中,， 2.余弦定理的推论 在中, 【即学即练】 1．在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为______． 【答案】/ 【详解】因为， 所以由余弦定理可得. 故答案为： 2．在中，，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】由余弦定理得，又， 所以，则的范围是. 故答案为：. 知识点02 利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 注：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量（即三边一角），利用方程的观点，可以知三求一． 【即学即练】 3．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由余弦定理得. 故选：A 4．在中，，则___________. 【答案】 【详解】由余弦定理可得. 故答案为：. 题型01 已知两边一角解三角形 【例1】在钝角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得， 化简得，解出或2， 当时，为钝角三角形符合题意， 当时，为直角三角形不符合题意. 【例2】在中，内角的对边分别是，若， (1)求边， (2)求． 【答案】(1) (2)，. 【分析】 【详解】（1）由余弦定理，， 所以. （2）因为，所以为直角三角形，，. 【变式1-1】在中，角的对边分别为，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】在中，因为， 可知，所以， 所以A为锐角，可得， 由余弦定理可得， 即，即， 可得. 【变式1-2】在中，，，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，， 又已知，，， 所以，化简可得， 因为，所以， 解得，又因为，所以. 由余弦定理， 代入数值可得，因此. 【变式1-3】如图，在平行四边形中，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【详解】在中，， 由余弦定理可得 . （1）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． （2）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． 题型02 已知三边或三边的关系解三角形 【例3】在中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理可得 ，故． 【例4】在中，，则的最小内角的余弦值为___________． 【答案】 【详解】由正弦定理可得， 可得是最小的角，设，则， 由余弦定理得. 【变式2-1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______. 【答案】 【详解】由余弦定理可得，， 因为，所以， 故的面积为. 【变式2-2】在中，，，，D为BC的中点，则中线______． 【答案】 【详解】法1：由余弦定理，. 所以. 又， 所以， 所以. 法2：在中，由中线长定理可知， 则，解得． 【变式2-3】在中，是边上一点，，，，，则_____. 【答案】 【详解】法一：在中，，，， 由互补角余弦值互为相反数得 由余弦定理得 即，故 法二：在中，，故 故 （1）利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角． （2）若已知三角形的三边的比例关系，常根据比例的性质引入，从而转化为已知三边求解． 题型03 判断三角形形状 【例5】在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】中，，则， 又，则， 由，可得，代入， 则有，则，则， 又，则的形状是等边三角形. 【例6】（多选）的内角所对的边分别是，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】AD 【详解】对于A，由余弦定理，，因，故角为钝角， 则是钝角三角形，故A正确； 对于B，若，,显然满足，但此时是直角三角形，故B错误； 对于C，若，显然满足，但此时是直角三角形，故C错误； 对于D，由可得，，即得，， 由余弦定理，，整理得，，故是直角三角形，即D正确. 故选：AD. 【变式3-1】在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【详解】在中利用余弦定理，则， 得，则为直角三角形. 故选：B 【变式3-2】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．非直角三角形，也非等腰三角形 【答案】A 【详解】在中， ， ，， 又由可得， ，故是等边三角形. 故选：A. 【变式3-3】（多选）已知的内角所对的边分别为下列说法错误的是（     ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是直角三角形 D．“”是“是等边三角形”的充分不必要条件 【答案】ABD 【详解】对于A项，由和正弦定理，， 即，故得或， 即或，即是等腰三角形或直角三角形，故A项错误； 对于B项，因，由余弦定理，， 代入化简得，，即得，故是等边三角形，故B项错误； 对于C项，由和正弦定理，,化简得，(*)， 因,则,代入(*),得， 因，，则，故,即C项正确； 对于D项，若是等边三角形，则,即必成立， 故“”是“是等边三角形”的必要条件，故D项错误. 故选：ABD. 题型04 求三角形的周长、面积 【例7】在中，内角所对的边分别为，． (1)求； (2)已知，△的周长为，求△的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由，得， 即， 因， 代入上式，可得，因，则得， 又，所以； （2）由余弦定理，，即① △的周长为，即② 由①②解得，所以△的面积. 【例8】的内角的对边分别为，已知. (1)求的面积； (2)若，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由余弦定理得，所以， 因为，所以，， 所以； （2）因，则，即， 则， 因为，所以， 由正弦定理，得， 由（1）知，则，， 因为，所以， 故的周长为. 【变式4-1】记的角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，且的周长为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以 ， 整理得，， 又，所以， 所以，解得， 又，所以． （2）因为，且的周长为，所以， 由余弦定理得，， 整理得，， 由得，，解得， 所以． 【变式4-2】记的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的周长为12，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由正弦定理以及得： ， 在中，，所以， 所以，即 ， 所以， 又，所以， 所以. （2）由（1），又的周长为12， 所以，所以， 由余弦定理得： ， 解得：， 所以的面积为：. 【变式4-3】在中，角的对边分别是，． (1)求； (2)若，的面积是，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意在中，得， 故 ， 由于，所以. （2）由（1）及题意可知的面积是，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 于是的周长为. 对余弦定理进行变形，，该公式中含有周长结构和面积结构 题型05 求边、角的取值范围 【例9】在中，角的对边分别为，已知，且的面积为，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，即， 所以，又，所以， 由的面积为，得，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号. 【例10】在中，角的对边分别为，已知. (1)若，求的面积； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由及正弦定理得， 又在中，， 则， 由正弦定理得， 因为，所以由余弦定理得， 所以，所以， 由，解得， 所以的面积为. （2）由（1）知， 所以. ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 【变式5-1】在平面四边形中，已知，且，则a的最大值为______． 【答案】5 【详解】如图，点E满足，则,    因为， 所以可得， 在中，由余弦定理可得， 所以，当且仅当C，B，E三点共线，即时等号成立, 所以a的最大值为5. 故答案为：5. 【变式5-2】已知的面积为，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】由已知联立，得，解得. 由面积得，可得. 由余弦定理得， 当且仅当时，等号成立，于是的最小值为． 【变式5-3】已知中，内角的对边分别为，且满足. (1)若，求的值； (2)求角的最大值，并判断此时的形状. 【答案】(1) (2)，等边三角形 【分析】 【详解】（1）中，由正弦定理得 （2）中，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立， 的最大值为，此时基本不等式等号成立，即， 为等边三角形. 利用余弦定理求解范围的方法可总结如下：①公式转化：将余弦定理公式转化为关于目标边或角的二次方程，结合判别式判断解的个数； ②不等式约束：结合三角形边的不等式（如两边之和大于第三边）和余弦定理表达式联立，求解边长的合理区间 题型06 余弦定理与平面图形的结合 【例11】如图，在中，为的中点，且． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为为的中点，所以， 则， 即， 因为，所以， 所以，即． （2）不妨令，则，设，则． 在中，由余弦定理得， 即．① 在中，由余弦定理得，即．② ①②联立，解得， 所以． 【例12】如图，在中，，为延长线上的一点，，． (1)若，求的长； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，根据正弦定理可得， 即， 由为钝角，得为锐角，所以， 所以， 所以 ． （2）因为， 在中，由余弦定理得，， 解得，则， 则，在中，， 所以的面积为 【变式6-1】若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知在中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．若，且满足，则其布洛卡角的正切值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，即，得， 点满足，则， 在与中，，， 所以，则，即，所以，且； 在中，由余弦定理得， 因为，所以，所以，， 在中，由正弦定理得， 化简得，解得． 故选：C． 【变式6-2】如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求b. (2)若D点满足，，求a. 【答案】(1)2 (2) 【分析】 【详解】（1）由及正弦定理得， 即，即， 由得，， 即，进而由正弦定理得； （2）因为，所以， 设，则由题意，设，则， 则由正弦定理得，消去x得， 所以，又，所以，所以，所以， 由余弦定理得，所以. 【变式6-3】如图，中，为上一点，． (1)若为钝角，与均为等腰三角形，求的面积; (2)若，求AD． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）令，， 由为钝角，为等腰三角形，得， 又为等腰三角形，且，则， 在中，，则， 所以的面积为. （2）法1：在中，由，得，而，， 由，得， 由，得， 则， 因此，即，又， 所以. 法2：在中，，由余弦定理得， 而，即，又，则， 即，于是，解得， 则，解得， 所以. 题型07 结合基本不等式求周长、面积的取值范围 【例13】记的内角的对边分别为，，若的面积为3，则当的周长取到最小值时，_______． 【答案】 【详解】由题意得，因为，则， 由余弦定理，所以即，即，则， 而函数在上单调递增，即当a最小时，的周长最小， 显然，当且仅当时取“=”，此时， 所以当的周长取到最小值时，． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求的周长取到最小值时先将周长表达为变量的函数，根据函数的单调性确定当且仅当取最小值时周长最小，再用基本不等式求取最小值时的取值. 【例14】在中，已知，三角形外接圆半径为2． (1)求的大小； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：由，可得， 整理得，解得或（舍去）， 因为，所以. （2）解：由（1）知：且的外接圆的半径为， 由正弦定理，可得， 又由余弦定理得， 当且仅当时，等号成立，所以，即， 所以，所以面积的最大值为． 【变式7-1】已知的内角的对边分别为，，． (1)求的面积的最大值； (2)求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解法1：由余弦定理得， 结合基本不等式得， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即的面积的最大值为． 解法2：由正弦定理有，得，． 所以． 因为在中，，所以，即，且， 则 ， 因为，则，所以， 即，当且仅当时等号成立. 所以，即的面积的最大值为． （2）解法1：由余弦定理得，则， 结合基本不等式得， 所以，当且仅当时取等号． 又因为，所以，所以周长的取值范围为． 解法2：由正弦定理有， 得，，所以． 因为在中，，所以，即，且， 所以． 又因为，则，所以，即． 【变式7-2】在中，分别是内角的对边，已知，且，则的面积的最大值为______． 【答案】 【详解】由任意三角形的射影定理可知， 又因为，所以． 又因为，，所以，且， 所以，所以， 再由基本不等式可知，因为，所以，即， 当且仅当时，的面积取得最大值． 【变式7-3】已知函数. (1)求函数在上的单调递增区间； (2)在中，，，分别为角，，的对边，，，求的周长的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1） 由，得：，，   函数在上的单调递增区间为，； （2）由得：， ，，，， 由余弦定理知， （当且仅当时等号成立）， 又，，. 利用余弦定理可建立三角形边长与夹角的关系式，结合基本不等式，通过配方或因式分解构造均值不等式条件，将边的平方和与乘积转化，进而求出周长的取值范围。先由余弦定理得出边的约束关系，再用不等式求最值。 面积取值范围通常先由余弦定理建立边与角的关系，再结合面积公式与基本不等式，对两边乘积进行放缩，确定面积表达式的上下界，最终得到面积范围。 一、单选题 1．在中角所对的边分别是，若，则边（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得， 所以. 2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】中，由，得， 由余弦定理，，得， 又，所以. 3．已知钝角三角形中，角的对边分别为，若，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，且为钝角三角形，∴C为钝角. 由余弦定理得， ∴，解得. 又中，两边之和大于第三边，即，∴. 综上，实数k的取值范围是，故D正确. 4．内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，又，因此，而，， 由余弦定理得， 所以. 5．在中，角，，的对边分别为，，，且，则为（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形 【答案】A 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以. 因为，所以， 所以，即. 所以. 因为，所以. 所以为等腰直角三角形. 方法二： 因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以为等腰直角三角形. 6．如图，西昭高速施工队计划在一座大山中挖通一条直隧道，需要确定隧道的长度，工程测量员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 故隧道的长度. 7．记的内角的对边分别为，已知，则最大内角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 结合正弦定理得：， 所以 因为，所以， 则，即， 由正弦定理，得． 又，同理可得， 所以，故为的最大内角， 设，所以． 8．在中，，，，为边AC上一点，且BD平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为BD平分，所以， 又因为，所以，， 在中，, 在中，， 所以． 二、多选题 9．在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由余弦定理可得， 故，A对； 对于B选项，由余弦定理可得， 因为，故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，设边上的高为，则，解得，D对. 故选：ACD. 10．记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，是三角形内角，则. 所以 ， 已知，由正弦定理可得： ， 又因为，所以. 因为，所以，且，那么或. 若，又，则，这与矛盾，所以，故选项正确，错误. 由余弦定理可得：，即， 即，得，则或. 因为，所以，故选项正确，错误. 故选：BD. 三、填空题 11．在中，角所对的边分别为．已知的面积为，，，则______． 【答案】 【详解】，，， ，解得：， ，. 12．在中，已知，点在线段上，且满足，则的长度为__________. 【答案】 【详解】如图所示： 由余弦定理可得 , 所以，又因为， 所以，在中，, 在中，由余弦定理可得：, 所以. 四、解答题 13．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，求： (1)边长； (2)角； (3)面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由余弦定理，得，得，解得. （2）由正弦定理，得. 因为，所以，所以，所以. （3）因为是直角三角形，所以. 14．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角B； (2)若，，求边c和的面积. 【答案】(1) (2)，面积 【分析】 【详解】（1）已知，由余弦定理得：， 所以， 化简可得：. 又，故 （2）， 由正弦定理，代入，，： 所以. 因为， 所以. 15．设的内角的对边分别为，若，. (1)求的值； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以由正弦定理角化边可得， 又因为，所以，即. （2）由，，可得， 因为，所以可得， 又由余弦定理得，代入，， 则可得， 整理得，解得或. 由，得， 当时，，与矛盾，舍去； 当时，，符合题意. 故的周长为. 16．在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得. 因为，所以. （2）已知，由（1）知， 由余弦定理， 得， ，即， 　当且仅当时取等号， . 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.1.2 余弦定理 教学目标 1．理解余弦定理的文字与符号表述，掌握定理结构与推导思路。 2．熟练运用余弦定理及其推论进行三角形边角计算。 3．能利用余弦定理解决已知两边一夹角、已知三边的解三角形问题。 4．树立方程思想，会用“知三求一”思路处理三角形计算。 教学重难点 重点：余弦定理及其推论的理解、记忆与直接应用。 难点：已知条件合理选用定理，准确进行边角互化与运算。 知识点01 余弦定理 1.余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （2）符号语言:在中,______________， _______ 2.余弦定理的推论 在中,_____________________ 【即学即练】 1．在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为______． 2．在中，，则的取值范围是______． 知识点02 利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及_______，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的_______，求其三个角． 注：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量（即三______一______），利用方程的观点，可以知三求一． 【即学即练】 3．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．在中，，则___________. 题型01 已知两边一角解三角形 【例1】在钝角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D． 【例2】在中，内角的对边分别是，若， (1)求边， (2)求． 【变式1-1】在中，角的对边分别为，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【变式1-2】在中，，，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在平行四边形中，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 （1）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． （2）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． 题型02 已知三边或三边的关系解三角形 【例3】在中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【例4】在中，，则的最小内角的余弦值为___________． 【变式2-1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______. 【变式2-2】在中，，，，D为BC的中点，则中线______． 【变式2-3】在中，是边上一点，，，，，则_____. （1）利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角． （2）若已知三角形的三边的比例关系，常根据比例的性质引入，从而转化为已知三边求解． 题型03 判断三角形形状 【例5】在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【例6】（多选）的内角所对的边分别是，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是直角三角形 【变式3-1】在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式3-2】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．非直角三角形，也非等腰三角形 【变式3-3】（多选）已知的内角所对的边分别为下列说法错误的是（     ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是直角三角形 D．“”是“是等边三角形”的充分不必要条件 题型04 求三角形的周长、面积 【例7】在中，内角所对的边分别为，． (1)求； (2)已知，△的周长为，求△的面积． 【例8】的内角的对边分别为，已知. (1)求的面积； (2)若，求的周长. 【变式4-1】记的角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，且的周长为，求的面积． 【变式4-2】记的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的周长为12，求的面积. 【变式4-3】在中，角的对边分别是，． (1)求； (2)若，的面积是，求的周长． 对余弦定理进行变形，，该公式中含有周长结构和面积结构 题型05 求边、角的取值范围 【例9】在中，角的对边分别为，已知，且的面积为，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【例10】在中，角的对边分别为，已知. (1)若，求的面积； (2)求的最小值. 【变式5-1】在平面四边形中，已知，且，则a的最大值为______． 【变式5-2】已知的面积为，，则的最小值为______． 【变式5-3】已知中，内角的对边分别为，且满足. (1)若，求的值； (2)求角的最大值，并判断此时的形状. 利用余弦定理求解范围的方法可总结如下：①公式转化：将余弦定理公式转化为关于目标边或角的二次方程，结合判别式判断解的个数； ②不等式约束：结合三角形边的不等式（如两边之和大于第三边）和余弦定理表达式联立，求解边长的合理区间 题型06 余弦定理与平面图形的结合 【例11】如图，在中，为的中点，且． (1)求； (2)若，求． 【例12】如图，在中，，为延长线上的一点，，． (1)若，求的长； (2)若，求的面积． 【变式6-1】若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知在中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．若，且满足，则其布洛卡角的正切值为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求b. (2)若D点满足，，求a. 【变式6-3】如图，中，为上一点，． (1)若为钝角，与均为等腰三角形，求的面积; (2)若，求AD． 题型07 结合基本不等式求周长、面积的取值范围 【例13】记的内角的对边分别为，，若的面积为3，则当的周长取到最小值时，_______． 【例14】在中，已知，三角形外接圆半径为2． (1)求的大小； (2)求面积的最大值． 【变式7-1】已知的内角的对边分别为，，． (1)求的面积的最大值； (2)求的周长的取值范围． 【变式7-2】在中，分别是内角的对边，已知，且，则的面积的最大值为______． 【变式7-3】已知函数. (1)求函数在上的单调递增区间； (2)在中，，，分别为角，，的对边，，，求的周长的取值范围. 利用余弦定理可建立三角形边长与夹角的关系式，结合基本不等式，通过配方或因式分解构造均值不等式条件，将边的平方和与乘积转化，进而求出周长的取值范围。先由余弦定理得出边的约束关系，再用不等式求最值。 面积取值范围通常先由余弦定理建立边与角的关系，再结合面积公式与基本不等式，对两边乘积进行放缩，确定面积表达式的上下界，最终得到面积范围。 一、单选题 1．在中角所对的边分别是，若，则边（    ） A． B． C． D． 2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知钝角三角形中，角的对边分别为，若，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 5．在中，角，，的对边分别为，，，且，则为（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形 6．如图，西昭高速施工队计划在一座大山中挖通一条直隧道，需要确定隧道的长度，工程测量员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 7．记的内角的对边分别为，已知，则最大内角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．在中，，，，为边AC上一点，且BD平分，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 10．记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．在中，角所对的边分别为．已知的面积为，，，则______． 12．在中，已知，点在线段上，且满足，则的长度为__________. 四、解答题 13．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，求： (1)边长； (2)角； (3)面积. 14．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角B； (2)若，，求边c和的面积. 15．设的内角的对边分别为，若，. (1)求的值； (2)若，求的周长. 16．在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求的最大值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $