专题11.4.1 直线与平面垂直（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第四册

本讲义聚焦高中数学“直线与平面垂直”核心内容，构建“异面直线所成角—线面垂直判定与性质定理—直线与平面所成角”递进式学习支架，系统梳理定义、定理及计算方法，衔接空间角与垂直关系的逻辑脉络。 资料以“知识点+即学即练+分题型精讲”为特色，通过正方体、正四棱锥等模型培养空间观念（数学眼光），以符号与图形语言强化数学表达（数学语言），借助推理证明与角度计算提升逻辑思维（数学思维）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固重难点，查漏补缺。

专题11.4.1 直线与平面垂直 教学目标 1．理解异面直线所成角的定义、范围与垂直判定，掌握异面直线所成角的概念与基本计算方法。 2．掌握线面垂直的判定定理，能准确用文字、图形与符号语言表述并进行简单证明应用。 3．掌握线面垂直的性质定理及常用推论，能利用性质进行线线、线面、面面关系的推理。 4．理解直线与平面所成角的定义、规定及范围，会识别并求解直线与平面所成角的基本问题。 教学重难点 重点：异面直线所成角、线面角的定义与范围；线面垂直判定与性质定理的理解与使用。 难点：准确使用定理进行空间垂直关系推理；异面直线所成角、线面角的识别与计算。 知识点01 异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 【即学即练】 1．正方体中，点分别是的中点，则与所成角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示：设正方体边长为，取中点，连接. 易知正方体中，所以与所成角即与所成角. 又分别为中点. 所以. 所以三角形为等边三角形，即与所成角为. 所以与所成角为 知识点02 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 【即学即练】 2．如图为正四棱台与正四棱锥拼接而成的几何体. 证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】证明：记与的交点为O，与的交点为， 则由正四棱台和正四棱锥结构性质可得平面，平面，且， 又，所以三点共线， 又因为平面，则，即， 又由正四棱台结构性质可知，所以， 因为，平面，平面， 故平面. 知识点03 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 【即学即练】 3．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点．求证：； 【答案】证明见解析 【详解】证明：设的中点为，连接，连接，则， 又因为为等腰直角三角形，， ，又是正三角形， ， 又因为平面，则面，面， . 知识点04 直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 【即学即练】 4．已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________. 【答案】 【详解】设该三棱台为正三棱台，且，， 设该三棱台的上、下底面的中心分别为，，则． 在平面中，过作，垂足为，则平面， 且，且该三棱台的侧棱与底面所成的角为． 因为，， 所以， 故． 题型01 求异面直线所成的角 【例1】如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，取底面圆心（即中点），连接. 因为是中点，是中点，所以是的中位线，得. 因此异面直线和所成的角，等于与所成的角. 圆锥轴截面垂直于底面圆所在平面，交线为. 因为是弧的中点，所以， 由面面垂直的性质定理，得平面. 又平面，因此，是直角三角形，直角在点. 设底面圆半径为，则，直径. 因为轴截面是等边三角形，所以， 由中位线性质得， 在中，，因此 ，得 ， 即异面直线和所成角为. 【例2】如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，与，分别垂直，垂足为，且，是侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）连接，与交于点， 则为中点，又为中点，， 又平面，平面， 平面． （2）取中点，连接，、是、的中点，， 就是异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，， 则， ， 所以直线与夹角的正弦值为. 【变式1-1】在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设棱长为1，取中点为， 由为的中位线知，， 所以是异面直线，所成角的平面角， 在中，，， . 【变式1-2】上海大剧院的建筑顶部采用两边反翘的白色弧形设计，寓意“天圆地方”，其可抽象为一个上、下底面均为扇环形的柱体．现有一扇环形柱体如图，底面，，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，, 底面，，所以底面，， 由底面扇环所对的圆心角为，所以， 的长度是长度的2倍，所以，因为，所以, 同理，，所以，所以， 则即为直线与所成的角， 因为底面，所以， 在中，根据余弦定理， 所以，因为，所以， 所以，所以直线与所成角的余弦值为. 【变式1-3】已知三棱锥中，，且直线与成角，点分别是，的中点，求直线和所成的角. 【答案】或 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为点，分别是，的中点，所以，且；，且， 所以（或其补角）为与所成的角.所以（或其补角）为与所成的角. 因为直线与成角， 所以或. 又因为，所以， ①若，则是等边三角形，所以，即与所成的角为. ②若，则易知是等腰三角形.所以，即与所成的角为. 综上可知：与所成角为或. 求异面直线所成角时，先利用平移法将两条异面直线平移到同一个点，使其成为相交直线，再根据定义取所成的锐角或直角，角的范围为。一般通过中位线、平行四边形进行平移，再在三角形中用勾股定理或三角函数计算角度，最后验证是否符合锐角或直角要求。 题型02 已知异面直线的夹角求其他量 【例3】如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为________． 【答案】 或 【详解】取中点，连接， 又因为，，、分别为、的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成角（或补角）， 又因为异面直线与所成角的大小为，所以或， 在中，由余弦定理得， 当，有，解得； 当，有，解得； 因此的长为或. 【例4】已知在正四棱台中，．若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为__________． 【答案】 【详解】如图，在正四棱台中，， 所以为异面直线与所成角，又， 所以，且，所以． 连接，过点作交于点，过点作交于点， 则平面且， 所以，则， 即正四棱台的高， 所以棱台的体积． 故答案为： 【变式2-1】如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 【答案】1或 【详解】如图，取的中点，连接，，由题可知，，， ，．因为与所成的角为， 所以或，当时，为等边三角形，所以； 当时，由余弦定理得，， 所以．综上，或． 故答案为：或. 【变式2-2】如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为_____. 【答案】2 【详解】连接，如图， 在直三棱柱中，， 则（或其补角）是异面直线与所成的角，所以， 设三棱柱的高为，在和中，， 所以是等腰三角形. 因为，所以， 所以，所以该三棱柱的高为2. 故答案为：2. 【变式2-3】如图，已知点在圆柱的底面上，，，，分别为，的直径，且.若圆柱的体积，，，回答下列问题： （1）求三棱锥的体积. （2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）存在，点M为AP的中点 【解析】（1）根据圆柱的体积计算，根据计算，，代入体积公式计算棱锥的体积； （2）根据可得，故为的中点，再证明即可． 【详解】解：（1）由题意，得，解得. 由，，得，，， ∴， ∴三棱锥的体积. （2）当点为的中点时，异面直线与所成的角的余弦值为. 证明如下： ∵，分别为，的中点，∴， ∴就是异面直线与所成的角. ∵，，，∴. 又，∴， ∴当点为的中点时，异面直线与所成的角的余弦值为. 【点睛】本题考查棱锥的体积计算，异面直线所成的角，属于中档题． 题型03 证明异面直线垂直 【例5】如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】对于A：如图：连接，    由正方体的性质可得：，在矩形中，显然不成立， 所以不成立，故错误； 对于B：    如图取中点，连接， 由正方体的结构特点，结合，可得平面， 又平面， 所以， 在正方形中，因为， 所以， 又为平面内两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以，故B正确； 对于C：    如图，取的中点，连接， 在正方体中可知：， 所以为平行四边形， 所以， 在正方形中，可知， 所以不成立，即不成立，故C错误， 对于D：    如图，取的中点，连接， 由中位线可知， 又在正方体中可知：， 所以， 设正方体的棱长为2，可得：， 则，所以不成立， 即不成立，故D错误. 故选：B. 【例6】如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）如图所示，连接，   为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 【变式3-1】（多选）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有______． 【答案】AB，A1B1 【详解】由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1． 故答案为：AB，A1B1. 【变式3-2】如图，正方体，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明:如图,连接,交于,设的中点为,连接,则,所以与所成的角即为与所成的角． 连接,,因为正方体,所以. 又是的中点,所以,所以. 【变式3-3】空间四边形中，的中点分别为，且，，，求证：. 【答案】见解析 【详解】如图，因为分别为的中点， 所以，， 所以为和所成的角. 又，，， 所以，所以， 即和所成的角为90°所以. 【点睛】本题考查了线线垂直，转化为异面直线夹角是解题的关键。 通过异面直线所成角为来判断垂直。也可结合平行线的传递性，若一条直线垂直于某直线，它也垂直于与该直线平行的直线。 题型04 线面垂直的性质定理与判定定理的命题的判断 【例7】（多选）已知三棱柱，为中点，下列选项正确的是（     ） A．过点有且只有一条直线与直线、都垂直 B．过点有且只有一个平面与直线、都垂直 C．过点有且只有一个平面与直线、都平行 D．过点有且只有一个平面与直线、都相交 【答案】AC 【详解】在B选项中，若一个平面与两条异面直线都垂直，那么这两条异面直线平行， 而与不平行，所以不存在这样的平面，所以B选项错误， 在C选项中，过点分别作直线与的平行线、， 则，平面，平面，所以平面， 同理可知平面，所以过点有且只有一个平面与直线、都平行，所以C选项正确， 在A选项中，由C选项可知，过点有且只有一个平面与直线、都平行，且该平面为平面， 因为过点有且只有一条直线与平面垂直，记该直线为直线， 因为平面，所以，因为，所以，同理可知， 所以，因此过点有且只有一条直线与直线、都垂直，所以A选项正确， 在D选项中，过点与直线、都相交的平面有无数个，所以D选项错误. 故选：AC. 【例8】已知不重合的直线，，与两个平面，，则下列四个命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，则，故A正确； 对于B，若，，由线面垂直的性质可得，故B正确； 对于C，若，，由面面平行的性质可得，故C正确； 对于D，若，，可得或，故D错误. 【变式4-1】（多选）下列说法中，错误的是（   ） A．如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线 B．如果直线l不垂直于平面，则平面内不存在与l垂直的直线 C．如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交 D．如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必与这个平面平行 【答案】BCD 【详解】对于A，由线面垂直的定义可知，故A正确． 对于BCD，有长方体，如图： 直线不垂直于平面，且平面，故B错误； 同时与平面没有交点，故C错误； 是平面的一条垂线，，但平面，故D错误. 故选：BCD. 【变式4-2】（多选）已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AC 【详解】对于A，若，，则，故A正确； 对于B，若，，则或m与n为异面直线或相交直线，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，当时，不成立，故D错误. 【变式4-3】已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（   ） A．若，，且，则与为异面直线 B．若，，且，则 C．若，，且，则与为异面直线 D．若，，且，则 【答案】B 【详解】对于A，若，，且， 则与为异面直线或平行直线或相交直线，故A错误； 对于B，若，，且， 则，，故B正确； 对于C，若，，且，则与可能为相交直线，如下图所示：    所以若，，且，则与为异面直线为假命题，故C错误； 对于D，若，，且，则与可能相交，如下图所示：    也可能为异面直线， 所以若，，且，则为假命题，故D错误. 题型05 线线垂直↔线面垂直 【例9】如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证： (1)平面∥平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：连接， ∵分别是 的中点， ∴，又∵平面，平面， ∴平面， 同理可证平面， 且平面，平面，， ∴平面平面； （2）证明：在正方体中，是的中点， ，平面，平面， ，又平面， 平面，又平面平面， 平面． 【例10】如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为在四棱锥中，平面， 由，，，， 所以． （2）证明：因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面． （3）    取的中点为，又为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，即， 又因为平面，平面， 所以平面． 【变式5-1】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为底面为菱形，， 所以是等边三角形， 又因为是的中点，所以， 又因为，所以. 因为，为中点，所以， 又因为，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2）经计算，，又， 所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以是四棱锥的高， 所以. 【变式5-2】如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为1，且底面，求三棱锥的体积. 【答案】 【详解】 三棱柱的所有棱长均为1， 作于，则， ， 由于该几何体是三棱柱，所以平面，平面， 所以，又因为，又，平面， 所以平面，则是三棱锥的高， 所以. 【变式5-3】如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 【答案】证明见解析 【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以； 由线线垂直到线面垂直，必须严格满足判定定理：一条直线垂直于一个平面内两条相交的直线，缺一不可。证明时先找到平面内两条相交直线，分别证明已知直线与它们垂直，再直接得出线面垂直，注意不能用两条平行直线。 题型06 补全线面垂直的条件 【例11】已知正方体的棱长为，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【分析】 【详解】（1）连接， ，，四边形为平行四边形，； 分别为中点，，， 平面，平面，平面. （2）取中点为， ，， ，，又， ，， 又，，则， ，平面，平面，此时， 则线段上存在点，为中点，使得平面，此时. （3）平面，到平面的距离即为点到平面的距离， 由（2）知：当为中点时，平面，则点到平面的距离即为， 又，直线到平面的距离为. 【例12】如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点． (1)证明：面； (2)若满足面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：因为，，，所以，， 所以，，则， 因为平面，平面，所以，， 又因为，、平面，所以，平面. （2）解：因为平面，平面，所以，， 若面，平面，则， 因为，， 由余弦定理可得， 因为平面，、平面，则， 所以，，， 在中，，，， 所以，， 所以，， 所以，，则， 因此，若满足面，则. 【变式6-1】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝__时，D1E⊥平面AB1F． 【答案】1 【详解】解：连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A内的射影， ∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1， 于是D1E⊥平面AB1F，又平面AB1F，所以D1E⊥AF． 连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影． ∴D1E⊥AF，，因为，所以平面， 又平面，所以DE⊥AF． ∵ABCD是正方形，E是BC的中点． ∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF， 即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F． ∴＝1时，D1E⊥平面AB1F． 故答案为：1. 【变式6-2】如图，四棱柱的底面四边形ABCD是菱形，且，当的值为多少时，平面？ 【答案】当＝1时，能使A1C⊥平面C1BD 【详解】解：如图，当＝1时，能使A1C⊥平面C1BD， 证明：连接AC，A1C1，B1C，A1 A，设AC和BD交于O，B1C和B C1交于O1，连接C1O，DO1 ∵四边形ABCD是菱形，且 ∴AC⊥BD，BC＝CD， 又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C＝C1C，∴△C1BC≌△C1DC， ∴C1B＝C1D，∵DO＝OB，∴C1O⊥BD， 又AC⊥BD，AC∩C1O＝O， ∴BD⊥平面AA1C1C，又A1C⊂平面AA1C1C， ∴A1C⊥BD， 当＝1时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 为等边三角形， 同BD⊥A1C的证法可得， ∴平面，∴ BC1⊥A1C，又BD∩BC1＝B， ∴A1C⊥平面C1BD． 【变式6-3】如图1，在中，，，分别为，的中点，点是线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2． （1）证明：； （2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，． 【分析】 【详解】（1）证明：由已知得且， ，又， 平面，面平面， ， 又平面， . （2） 线段上存在点，使平面. 理由如下：如图，分别取的中点，则. 平面即为平面. 由（1）知平面， 又是等腰三角形底边的中点，， 平面，从而平面， 故线段上存在点，使平面，其中. 补全线面垂直条件要紧扣判定定理，必须补齐平面内两条相交直线，并证明已知直线与这两条直线都垂直。题目常缺少“相交”“另一条垂线”或“线在面内”等条件，根据已有信息补充中点、平行线、垂直关系，使判定定理三个条件完整即可。 题型07 求点到平面的距离 【例13】如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 【答案】 【详解】因为四边形是边长为2的正方形，且， 所以，， 设点A到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点A到平面的距离为。 故答案为：. 【例14】如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形， 所以，所以， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为h， 由等体积法得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 【变式7-1】在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【详解】是边长为3的等边三角形，所以， 取的中点，则， 又平面，所以平面， 在中，由余弦定理得， 所以， 过点作直线的垂线，垂足为，则， 又平面，所以，又平面， 所以平面，即点到平面的距离为. 【变式7-2】如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 【答案】/ 【详解】设点C到平面的距离为， 因为， 所以， 因为正方体棱长为， 所以， 所以是等边三角形， 所以， 又因为， 代入体积公式得. 【变式7-3】如图，正三棱锥中，底面边长是，棱锥的侧面积等于底面积的倍，是的中点.求： (1)的值； (2)点到面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为是正三棱锥，所以是等边三角形，即， 而是的中点，所以. 因为是正三棱锥，所以， 而是的中点，所以. 因为棱锥的侧面积等于底面积的倍，所以， 所以. （2）设顶点在底面的投影为，分的比为， 因此. 在中，三棱锥的高. 三棱锥的体积， 因此. 设点到平面的距离为，， 由体积公式， 解得. 题型08 求直线与平面所成的角 【例15】三棱台上下底面为正三角形，，侧面是底角为的等腰梯形，棱台的高为，则与平面所成角的正弦值为______. 【答案】 【详解】过点作平面的垂线，垂足为，连接， 则与平面所成角为， 因为，侧面是底角为的等腰梯形， 所以等腰梯形的高， 因为， 因为，设点B到面的距离为， 根据，即，解得， 所以与平面所成角的正弦值为. 【例16】如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）证明：连接交于，连接，   是三角形中边上的中位线，， 又平面，平面，平面. （2）证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，，平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. （3）如图，取中点为，连接，    在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面，平面， ， 由（2）得平面，平面，， ，，，又，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得，故， 直线与平面所成角的正弦值为. 【变式8-1】如图，在正方体中，、分别为，的中点，则直线与平面所成角的正切值为______． 【答案】 【详解】设正方体的棱长为， 所以，所以， ， 设的中点为，连接， 所以， 所以， 所以， 设点到平面的距离为， 所以， 所以，所以， 解得， 设直线与平面所成角为， 所以，又，所以， 所以. 【变式8-2】(本题若使用空间向量，相关步骤不得分)如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. (1)连接，证明：平面. (2)设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接，由于为的外心，故有. 因为为中点，，所以，， ∵，平面∴平面， ∴.同理，. ∵，平面， ∴平面. （2）正四面体棱长​，等边中，中线， 为重心（等边三角形重心与外心重合），故. 由平面，​. 是中点，在中，，， 由中线长公式. 由体积法，​​， 故， 又​， 设到平面距离为，则，​ 设线面夹角为，由线面角定义，代入得. 即直线与平面夹角的正弦值为. 【变式8-3】如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）    由侧棱底面，底面，可得 ； 又已知，且， 平面， 根据线面垂直判定定理得： 平面， 因为平面，因此 ， 三棱柱中，，因此可得 ， 由， ，可知侧面是正方形，正方形对角线互相垂直， 因此 ，又， 平面， 根据线面垂直判定定理得 平面， 因为平面，所以 ，得证； （2）由题意可得平面，又平面，所以. 又为的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面. 所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以. 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角为. 求线面角先找到直线在平面内的射影，斜线与射影所成锐角即为线面角，范围是。若直线垂直平面，角为；直线平行或在平面内，角为。解题步骤为：作射影→证垂直→找角→算角，通常在直角三角形中计算角度。 题型09 已知线面角求其他 【例17】在三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作，垂足为，连接，    因为平面，平面，则，， 且，平面，可知平面， 可知直线与平面所成的角为， 且，则， 又因为，则，， 且，可得， 所以三棱锥的体积为. 故选：D. 【例18】在三棱锥中，，，两两垂直，且，点E为中点，若直线与底面所成的角为45°，则三棱锥的体积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，点E为的中点， ∴， ∵，，两两垂直，则， 平面，∴平面， ∴为直线与底面所成的角， 由题意可知，， ∴， ∴三棱锥的体积． 故选：C． 【变式9-1】在直三棱柱中，，直线与平面的夹角为，该直三棱柱的体积为______. 【答案】/ 【详解】如图，在直三棱柱中， 因为，则，又平面，平面， 所以，又，平面， 故平面，连接， 则为与平面所成的角，即， 因为，所以， 在中，，解得， 所以. 所以直三棱柱的体积为. 故答案为：. 【变式9-2】已知正三棱锥的底面的边长为6，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，作平面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接， 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线与底面所成角的余弦值为，即， 所以， 故, 故选：B 【变式9-3】如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为___________．    【答案】/ 【详解】在圆内，延长交圆上一点，连接， 因为是圆的直径， 所以，因此是异面直线与所成的角（或其补角）， 在圆中，因为， 所以， 由圆柱的性质可知：底面圆，与底面圆所成的角为， 所以，因为，所以， 因此有， ， 因为， 所以， 所以， 因为底面圆，底面圆， 所以， 因此， 在中，由余弦定理可知： ， 故答案为：    一、单选题 1．如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正方体中，连接，则， 异面直线与所成的角等于所成的角，而， 所以所求角的大小为. 2．若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则m与n相交 【答案】C 【详解】对于A，B，若，则m与n可能平行、相交或异面，故A，B错误； 对于C，D，若，，则，且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误． 3．如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面，所以是直线与平面所成的角， 设正方体的棱长为，则，,所以， 所以，则与平面所成的角的余弦值为. 4．在三棱锥中，三条棱，，两两相互垂直，，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点到平面的距离为， 因为，且，，两两相互垂直， 故，故的面积为， 因为平面， 故平面，故， 故，故. 故选：B. 5．如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱的中点，则下列结论中不正确的是（）.    A．平面 B．平面平面 C． D． 【答案】C 【详解】对A，连结，因为为正方向，所以为的中点， 又为的中点，所以则， 因为平面，平面，所以平面，故A正确． 对B，由分别为侧棱的中点，得， 因为平面，平面，平面， 又平面，是平面内的两条相交直线， 所以平面平面，故B正确．    对C，因为，易知，所以直线与直线不垂直，故C错误. 对D，设棱长为，则，所以，故， 又，所以，故D正确． 故选：C． 6．已知在正四棱台中，，，与平面ABCD所成角的正弦值为，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，过作于H， 由正四棱台的性质知底面ABCD， 因为与平面ABCD所成角的正弦值为，所以， 又为锐角，所以， 从而， 由题设可得，所以， 故正四棱台的体积. 故选：B. 二、多选题 7．如图所示，正方体中，给出以下判断，其中正确的有（   ） A．面 B． C．与是异面直线 D．与平面夹角正弦为 【答案】ABC 【详解】对于A，因为，且，平面， 所以平面，故A正确；     对于B，因为，所以四边形是平行四边形， 所以，故B正确； 对于C，因为平面，平面， 且与无公共点，所以与是异面直线，故C正确； 对于D，连接，因为平面， 所以为 与平面的夹角， 设正方体的棱长为2， 则， 可得，故D错误. 8．已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【详解】对于选项A，若，则与相交或平行，所以A错误； 对于选项B，由两个相交平面都和第三个平面垂直，那么它们的交线与这个平面垂直，所以B正确； 对于选项C，若有可能在内，故C错误； 对于选项D，若，根据线面平行的性质定理和判定定理， 可以判断，所以D正确. 故选：BD 三、填空题 9．如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 【答案】 【详解】由已知，可得，所以．又， 所以，取的中点M，则，且． 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以．又因为，，平面， 所以平面，所以就是点D到平面的距离， 所以点D到平面的距离为. 10．如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 【答案】的中点 【详解】如图，连接，则， 因为平面，又平面，所以. 又，平面. 所以平面，又平面，所以. 于是若平面，平面，则， 平面，又平面，所以. 又，平面，所以平面， 平面，所以，所以，， 所以， 因为是正方形，是的中点， 所以当且仅当是的中点时，， 即当点是的中点时，平面. 四、解答题 11．已知正四棱锥P-ABCD，M，N分别是BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥各棱长均为2，求直线CN与AM所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）取的中点为，连接, 由于是中点，故,且， 又且， 故,则四边形为平行四边形， 故平面, 平面, 故平面 （2）由（1）知：故或其补角即为直线CN与AM所成角， 由于为边长为2的等边三角形，故， , 故, 故直线CN与AM所成角的余弦值为 12．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）连接，因为底面为平行四边形， 为中点，故与相交于， 因为为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，， 由余弦定理得， 即，解得， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且交于， 所以平面. （3）取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 13．如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形． (1)求证：平面； (2)若平面，且，求直线与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1） 设中点为，又因为是的中点，所以且， 因为底面是菱形且是的中点，所以且， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 因为，面，面，所以面. （2） 设中点为，又因为是中点，所以， 因为面，面，面，所以，. 又因为，所以，， 因为，，，面， 所以面，所以是直线与面的夹角. 又由（1）知，所以是直线与面的夹角， 由已知得三角形中，，，所以三角形是等腰直角三角形. 又因为是中点，故，因此直线与面的夹角为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.4.1 直线与平面垂直 教学目标 1．理解异面直线所成角的定义、范围与垂直判定，掌握异面直线所成角的概念与基本计算方法。 2．掌握线面垂直的判定定理，能准确用文字、图形与符号语言表述并进行简单证明应用。 3．掌握线面垂直的性质定理及常用推论，能利用性质进行线线、线面、面面关系的推理。 4．理解直线与平面所成角的定义、规定及范围，会识别并求解直线与平面所成角的基本问题。 教学重难点 重点：异面直线所成角、线面角的定义与范围；线面垂直判定与性质定理的理解与使用。 难点：准确使用定理进行空间垂直关系推理；异面直线所成角、线面角的识别与计算。 知识点01 异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作________________，则与所成的________(或________) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作________. 【即学即练】 1．正方体中，点分别是的中点，则与所成角为（ ） A． B． C． D． 知识点02 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条________直线垂直，那么该直线与此平面垂直 【即学即练】 2．如图为正四棱台与正四棱锥拼接而成的几何体. 证明：平面. 知识点03 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 ________于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的________一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条________于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面________. 【即学即练】 3．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点．求证：； 知识点04 直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________ 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面________或________，它们所成的角是0°的角 取值范围 【即学即练】 4．已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________. 题型01 求异面直线所成的角 【例1】如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，与，分别垂直，垂足为，且，是侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与夹角的正弦值． 【变式1-1】在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】上海大剧院的建筑顶部采用两边反翘的白色弧形设计，寓意“天圆地方”，其可抽象为一个上、下底面均为扇环形的柱体．现有一扇环形柱体如图，底面，，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知三棱锥中，，且直线与成角，点分别是，的中点，求直线和所成的角. 求异面直线所成角时，先利用平移法将两条异面直线平移到同一个点，使其成为相交直线，再根据定义取所成的锐角或直角，角的范围为。一般通过中位线、平行四边形进行平移，再在三角形中用勾股定理或三角函数计算角度，最后验证是否符合锐角或直角要求。 题型02 已知异面直线的夹角求其他量 【例3】如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为________． 【例4】已知在正四棱台中，．若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为__________． 【变式2-1】如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 【变式2-2】如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为_____. 【变式2-3】如图，已知点在圆柱的底面上，，，，分别为，的直径，且.若圆柱的体积，，，回答下列问题： （1）求三棱锥的体积. （2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 题型03 证明异面直线垂直 【例5】如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【例6】如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【变式3-1】（多选）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有______． 【变式3-2】如图，正方体，求证：． 【变式3-3】空间四边形中，的中点分别为，且，，，求证：. 通过异面直线所成角为来判断垂直。也可结合平行线的传递性，若一条直线垂直于某直线，它也垂直于与该直线平行的直线。 题型04 线面垂直的性质定理与判定定理的命题的判断 【例7】（多选）已知三棱柱，为中点，下列选项正确的是（     ） A．过点有且只有一条直线与直线、都垂直 B．过点有且只有一个平面与直线、都垂直 C．过点有且只有一个平面与直线、都平行 D．过点有且只有一个平面与直线、都相交 【例8】已知不重合的直线，，与两个平面，，则下列四个命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式4-1】（多选）下列说法中，错误的是（   ） A．如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线 B．如果直线l不垂直于平面，则平面内不存在与l垂直的直线 C．如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交 D．如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必与这个平面平行 【变式4-2】（多选）已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式4-3】已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（   ） A．若，，且，则与为异面直线 B．若，，且，则 C．若，，且，则与为异面直线 D．若，，且，则 题型05 线线垂直↔线面垂直 【例9】如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证： (1)平面∥平面； (2)平面. 【例10】如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面． 【变式5-1】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 【变式5-2】如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为1，且底面，求三棱锥的体积. 【变式5-3】如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 由线线垂直到线面垂直，必须严格满足判定定理：一条直线垂直于一个平面内两条相交的直线，缺一不可。证明时先找到平面内两条相交直线，分别证明已知直线与它们垂直，再直接得出线面垂直，注意不能用两条平行直线。 题型06 补全线面垂直的条件 【例11】已知正方体的棱长为，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求到平面的距离． 【例12】如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点． (1)证明：面； (2)若满足面，求的值． 【变式6-1】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝__时，D1E⊥平面AB1F． 【变式6-2】如图，四棱柱的底面四边形ABCD是菱形，且，当的值为多少时，平面？ 【变式6-3】如图1，在中，，，分别为，的中点，点是线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2． （1）证明：； （2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 补全线面垂直条件要紧扣判定定理，必须补齐平面内两条相交直线，并证明已知直线与这两条直线都垂直。题目常缺少“相交”“另一条垂线”或“线在面内”等条件，根据已有信息补充中点、平行线、垂直关系，使判定定理三个条件完整即可。 题型07 求点到平面的距离 【例13】如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 【例14】如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【变式7-1】在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 【变式7-2】如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 【变式7-3】如图，正三棱锥中，底面边长是，棱锥的侧面积等于底面积的倍，是的中点.求： (1)的值； (2)点到面的距离. 题型08 求直线与平面所成的角 【例15】三棱台上下底面为正三角形，，侧面是底角为的等腰梯形，棱台的高为，则与平面所成角的正弦值为______. 【例16】如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式8-1】如图，在正方体中，、分别为，的中点，则直线与平面所成角的正切值为______． 【变式8-2】如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. (1)连接，证明：平面. (2)设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 【变式8-3】如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 求线面角先找到直线在平面内的射影，斜线与射影所成锐角即为线面角，范围是。若直线垂直平面，角为；直线平行或在平面内，角为。解题步骤为：作射影→证垂直→找角→算角，通常在直角三角形中计算角度。 题型09 已知线面角求其他 【例17】在三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【例18】在三棱锥中，，，两两垂直，且，点E为中点，若直线与底面所成的角为45°，则三棱锥的体积等于（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】在直三棱柱中，，直线与平面的夹角为，该直三棱柱的体积为______. 【变式9-2】已知正三棱锥的底面的边长为6，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为___________．    一、单选题 1．如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则m与n相交 3．如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，三条棱，，两两相互垂直，，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱的中点，则下列结论中不正确的是（）.    A．平面 B．平面平面 C． D． 6．已知在正四棱台中，，，与平面ABCD所成角的正弦值为，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图所示，正方体中，给出以下判断，其中正确的有（   ） A．面 B． C．与是异面直线 D．与平面夹角正弦为 8．已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 三、填空题 9．如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 10．如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 四、解答题 11．已知正四棱锥P-ABCD，M，N分别是BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥各棱长均为2，求直线CN与AM所成角的余弦值． 12．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 13．如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形． (1)求证：平面； (2)若平面，且，求直线与平面的夹角． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $