专题02 余弦定理七大题型（高效培优专项训练）数学人教B版高一必修第四册

专题02 余弦定理七大题型 题型一：已知两边一角解三角形 题型二：已知三边或三边的关系解三角形 题型三：判断三角形形状 题型四：求三角形的周长、面积 题型五：求边、角的取值范围 题型六：余弦定理与平面图形的结合 题型七：结合基本不等式求周长、面积的取值范围 题型一：已知两边一角解三角形 1．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】D 【详解】，，， ， ，． 故选：D. 2．在中，内角所对的边分别为. (1)若， ， ，求； (2)若，，，解这个三角形. 【答案】(1)7 (2), 【分析】 【详解】（1）在中，， ， ， 由余弦定理得，， 所以； （2）由余弦定理得，即， 解得（负值舍去），所以，即， 所以. 3．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由余弦定理得，又 得，又， 从而，又，所以 从而的面积. 4．某人向正东方向走了后，向右转，然后朝新方向走3km，结果他恰好离出发地，那么的值为（   ） A． B． C．或 D．5 【答案】C 【详解】由题意得，解得或， 故选：C． 5．在中，若的面积，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 又由余弦定理， 所以， 所以， 故选：D. 题型二：已知三边或三边的关系解三角形 6．已知的三边满足，则（   ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【详解】由的三边，，满足， 可设，，（）， 则， 所以角是钝角，故是钝角三角形． 故选：C． 7．已知钝角三角形的三边，，，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为，且为钝角三角形，所以角为钝角． 由余弦定理的推论，得． 因为，，所以， 即，解得， 由三角形的任意两边之和大于第三边，得，所以． 所以满足，解得， 综上所述，的取值范围为． 故答案为：. 8．在中，，，，则________． 【答案】/ 【详解】因为，，，由余弦定理得， 所以. 9．在中，三个内角为.若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由及正弦定理得， 令，则，由余弦定理得. 故选：D 10．记的内角的对边分别为，已知，且，则______． 【答案】 【详解】由余弦定理结合，得， 整理可得， 因为，所以， 代入中得，所以． 故答案为： 11．在中，角、、的对边分别为、、，已知，，. (1)求角的大小； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）， ， ，； （2）， . 题型三：判断三角形形状 12．若，，是的内角，，的对边，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】由得，， 由余弦定理得. 因为，所以，或， ，代入，得， 因为，所以，所以. 故选：D. 13．在 中， 分别是角 的对边， ，则（    ） A．为锐角三角形 B．为直角三角形 C．为钝角三角形 D．以上三个选项都有可能 【答案】C 【详解】由余弦定理，，则， 整理可得，则， 结合是三角形的内角，则， 即是钝角三角形. 14．若，则三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】若，则由余弦定理得， 整理得，即， 所以三角形的形状为直角三角形. 故选：A 15．在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】由得， 所以，又，所以. 由，根据正弦定理可得， 又，， 所以，又，所以， 由正弦定理可得.因为，所以是等边三角形. 故选：D. 16．在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，证明：是直角三角形. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由条件及正弦定理得， 即，得， 又，所以，所以，解得， 又，所以. （2）解法一：由及正弦定理可得， 由余弦定理得，即， 化简得，所以， 因此， 所以是直角三角形. 解法二：因为，所以. 所以， 所以，又，故， 即是直角三角形. 题型四：求三角形的周长、面积 17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若的面积且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，根据余弦定理，得， 化简得，即. 所以. 因为，所以. （2）由正弦定理可得. 由三角形的面积公式可得， 所以. 由（1）得，所以. 所以， 所以. 所以的周长为． 18．在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求； (2)已知，的周长为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由可得， 即， 因, 代入上式，可得， 因，则得， 又，所以． （2）由余弦定理，，即① 的周长为，即② 由①②解得，， 所以的面积． 19．在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)若的周长等于，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以，即， 因为在中，， 所以， 因为， 所以，则 （2）因为，， 所以， 所以或， 当时，由，故， 由（1）知，则，此时，， 因为的周长等于， 所以，解得， 所以的面积为； 当时，，即，其中为外接圆的半径， 所以， 由余弦定理得， 因为的周长等于， 所以， 所以， 所以，解得， 所以的面积为， 综上，的面积为. 20．在中， 内角，，所对的边分别是，，， 已知. (1)求的值； (2)求； (3)若，的周长为， 求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）， 则，故； （2）由，则，则， ； （3）由余弦定理可得， 又，则， 即，则. 21．在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)已知的周长为，外接圆的面积为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以，因为，所以, 所以，因为，所以. （2）设外接圆的半径为，由，得， 又因为， 因为的周长为，所以， ，得， 所以的面积为. 22．已知在中，为钝角，，且. (1)求； (2)若周长为15，面积为，求外接圆的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）或， 对于.由知无解， 对于，仅当时有解， 即，. （2）由， 而 ，与联立得：， ， 则外接圆的直径，故， 外接圆的面积为. 题型五：求边、角的取值范围 23．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，D为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为D为的中点，，所以， 由三角形的三边关系，可知且，解得． 在中，由余弦定理得；　① 在中，由余弦定理得．　② 因为，所以， 所以，解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立，此时，满足条件， 所以的最小值为． 故选：A． 24．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故选：A. 25．已知点G是的重心，若，则的最大值为______． 【答案】/0.6 【详解】如图所示，设的中点分别为，,， ,当且仅当 时，等号成立， 的最小值为，则的最大值为. 故答案为：. 26．已知中，角，，所对的边分别为，，，其中的面积为，，则c的最小值为______. 【答案】 【详解】 依题意，，而， 则，，，而， 则，其中， 故，则， 故的最小值为. 故答案为：. 27．在中，已知. (1)将的长分别记为，证明：； (2)求的最大值. 【答案】(1)证明见详解. (2) 【分析】 【详解】（1）在中，设角所对的边为， 由向量数量积的定义可得， 再由余弦定理得， 化简得，故原命题成立. （2）由（1）可得，即， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为， 又，， 故的最大值为. 28．在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角B的大小； (2)若，记边上的高为，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）根据正弦定理可得，化简整理得， 由余弦定理得，因为，故； （2）由，得，又， 所以 ， 在三角形中，故， 当，即时，. 题型六：余弦定理与平面图形的结合 29．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 【答案】15 【详解】在中，由余弦定理得， 即，解得，， 而，则，又，因此， 所以的面积是. 30．如图，在凸四边形ABCD（凸四边形指没有内角度数大于的四边形）中，，． (1)若四点共圆，且，求AD； (2)若，求凸四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中， 由余弦定理可知； 因为四点共圆，且， 所以由圆内接四边形的性质可知：， 因此在中， 由余弦定理可知， 解得：，或舍去； （2）在和中，， ， 所以， 设凸四边形ABCD面积为， 所以，所以 ， 所以当时，有最大值，即有最大值， 所以S的最大值为. 31．如图，在中，内角A，B，C所对的边分别为为BC上一点，. (1)若，求的面积； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），则， 是直角三角形， 在中，，， ， . （2）设，则， 在中，由余弦定理，得，解得. 即， 在中，由正弦定理，得，即， ，. 在中，由余弦定理，得， . 32．如图，在三角形中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，，点D在上，且，.    (1)求B的大小； (2)若，求的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由题设，则， 所以，则， 所以，，故， 由，则； （2）由，，，则，故， 由，则，所以，则，故， 又，则为等腰三角形，且，故， 在中， 所以. 33．如图，在平面四边形中，交于点，且为的中点.，，，. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，用余弦定理，， 得，. （2）由（1）得，， ∴，∴， 又∵，∴，. ， ∴， 在中，由余弦定理得， ∴， ∴为等腰三角形，. 又∵，， . 34．如图，在四边形中，点为的中点，，且．    (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以是等边三角形，且，又， 所以． 又点为的中点，，所以． 在中，由余弦定理得得， 所以． 在中，由勾股定理可得，所以， 所以， 故四边形的周长为． （2）因为， 结合三角形的面积公式可得 ， 故四边形的面积为． 题型七：结合基本不等式求周长、面积的取值范围 35．在三角形中，角所对的边分别为．若，且三角形的周长为，则该三角形面积的最大值为_______________． 【答案】 【详解】因为， 所以由余弦定理可得， 整理得，解得或， 因为，所以，所以， 故三角形为直角三角形，且. 又因为，， 由基本不等式可得， 即,解得，当且仅当时等号成立， 所以该三角形面积，此时； 当时， 此时三角形为等腰直角三角形，，面积有最大值. 36．记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)若，分别求周长与面积的最大值． 【答案】(1)2 (2)6； 【分析】 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以，由正弦定理可得， 又结合余弦定理可得， 所以得，即. （2）由（1）结合，可得， 所以三角形的周长， 当且仅当时等号成立，所以周长的最大值为6. 由（1）得，所以， 又，即，当且仅当时等号成立， 所以，即，所以， 所以， 当，即时，面积取得最大值. 37．在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为的角平分线交BC于点D，所以， 由，得， 则， 即，所以， 在中，由余弦定理得， 即； （2）由， 得， 得， 化简得，即， 所以， 当且仅当时等号成立，取得最小值， 此时，面积为． 【点睛】 38．在中，角、、所对的边分别为、、，， (1)求的最小值； (2)求的面积的最大值. 【答案】(1) (2)12 【分析】 【详解】（1）因为（当且仅当时取“”）. 由余弦定理可得：. 所以. 所以的最小值为. （2）由（1）可知：，所以 又. 因为，所以. 即的面积的最大值为12（当且仅当时取“”）. 39．在中，角，，的三边长分别为，，，已知，． (1)求角； (2)求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)周长 【分析】 【详解】（1）由正弦定理得， 在中，，， 所以， 所以. （2）因为，， 由余弦定理可得： 所以， 所以， 在中，， 所以， 所以周长. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 余弦定理七大题型 题型一：已知两边一角解三角形 题型二：已知三边或三边的关系解三角形 题型三：判断三角形形状 题型四：求三角形的周长、面积 题型五：求边、角的取值范围 题型六：余弦定理与平面图形的结合 题型七：结合基本不等式求周长、面积的取值范围 题型一：已知两边一角解三角形 1．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 2．在中，内角所对的边分别为. (1)若， ， ，求； (2)若，，，解这个三角形. 3．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 4．某人向正东方向走了后，向右转，然后朝新方向走3km，结果他恰好离出发地，那么的值为（   ） A． B． C．或 D．5 5．在中，若的面积，则（   ） A． B． C． D． 题型二：已知三边或三边的关系解三角形 6．已知的三边满足，则（   ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 7．已知钝角三角形的三边，，，则的取值范围为________． 8．在中，，，，则________． 9．在中，三个内角为.若，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．记的内角的对边分别为，已知，且，则______． 11．在中，角、、的对边分别为、、，已知，，. (1)求角的大小； (2)求的值. 题型三：判断三角形形状 12．若，，是的内角，，的对边，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 13．在 中， 分别是角 的对边， ，则（    ） A．为锐角三角形 B．为直角三角形 C．为钝角三角形 D．以上三个选项都有可能 14．若，则三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 15．在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 16．在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，证明：是直角三角形. 题型四：求三角形的周长、面积 17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若的面积且，求的周长． 18．在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求； (2)已知，的周长为，求的面积． 19．在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)若的周长等于，求的面积. 20．在中， 内角，，所对的边分别是，，， 已知. (1)求的值； (2)求； (3)若，的周长为， 求的面积． 21．在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)已知的周长为，外接圆的面积为，求的面积. 22．已知在中，为钝角，，且. (1)求； (2)若周长为15，面积为，求外接圆的面积. 题型五：求边、角的取值范围 23．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，D为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 25．已知点G是的重心，若，则的最大值为______． 26．已知中，角，，所对的边分别为，，，其中的面积为，，则c的最小值为______. 27．在中，已知. (1)将的长分别记为，证明：； (2)求的最大值. 28．在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角B的大小； (2)若，记边上的高为，求的最大值． 题型六：余弦定理与平面图形的结合 29．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 30．如图，在凸四边形ABCD（凸四边形指没有内角度数大于的四边形）中，，． (1)若四点共圆，且，求AD； (2)若，求凸四边形ABCD面积的最大值． 31．如图，在中，内角A，B，C所对的边分别为为BC上一点，. (1)若，求的面积； (2)若，求． 32．如图，在三角形中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，，点D在上，且，.    (1)求B的大小； (2)若，求的长. 33．如图，在平面四边形中，交于点，且为的中点.，，，. (1)求的长； (2)求. 34．如图，在四边形中，点为的中点，，且．    (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 题型七：结合基本不等式求周长、面积的取值范围 35．在三角形中，角所对的边分别为．若，且三角形的周长为，则该三角形面积的最大值为_______________． 36．记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)若，分别求周长与面积的最大值． 37．在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 38．在中，角、、所对的边分别为、、，， (1)求的最小值； (2)求的面积的最大值. 39．在中，角，，的三边长分别为，，，已知，． (1)求角； (2)求周长的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $