专题03 解三角形中的中线、角分线、垂线问题（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第四册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03解三角形中的中线、角分线、垂线问题 目录 典例详解 类型一、解三角形中的求中线 类型二、解三角形中的求中线范围 类型三、解三角形中的求角分线 类型四、解三角形中的求角分线范围 类型五、解三角形中的求高线 类型六、解三角形中的求高线范围 类型七、解三角形中的求其他分线 压轴专练 典例详解 类型一、解三角形中的求中线 中线将三角形分成两个小三角形，通过在两个小三角形中分别使用余弦定理，建立中线与两边及夹角的 关系。常用方法： 1、在包含中线的两个小三角形中，利用邻补角互补（余弦值互为相反数），联立方程求解中线长度。 此法适用于已知两边及其夹角，或己知两边及第三边的情形。 2、向量法：若已知两边向量，中线向量等于两边向量和的一半，两边平方即可得中线长的平方表达 式，直接转化为已知边角的关系。 解三角形中的中线模型 1、 在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和： 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 0 B D 换成三角形的中线，则有ADP=引AB+BC-BC 2、 可以通过向量法AD=)(AB+AC),两边平方后可得|AD=AB+AC+2 ABAC]cos A) 例1.(25-26高一下北京丰台期中)在△ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,C,且 bcosC+ccosB=2 acosA」 (1)求角A: (2)已知C=3,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定， 求BC边上中线AD的长， 2 条件O:cosB=5: a=v19 条件②： 条件③：b=5. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分 变式1-1.(25-26高一下福建宁德·月考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是4，b,C,满足 1 acosC+c-b (1)求A; ②活“=，△BC的面积为5，且6>c,求、c: (3)在(2)的条件下，D为BC的中点，求中线AD的长 变式1-2.(25-26高一下·湖南月考)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,C,且 2/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sinC 3 +cosC=sin4 sinB’b=V3, (1)求角B: (2)若a+C=2,BD平分∠ABC交AC于点D,求BD的长； (3)在第(2)问的条件下，若点E为边AC的中点，求BE的值. 变式18，（25-26商一下北京顺义：月考)在61BC中，∠B4C- 3，AB=4,BC=4V7. (1)求AC边长： (2)设BC的中点为D,求AD长以及∠DAB的大小. 类型二、解三角形中的求中线范围 在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成 角的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。 例2.(25-26高一下广东佛山期中)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,C,且 sinC+3cosC )sinB=bsinA,b=3 (1)求B. (2)若a+c=2,求边AC上的角平分线BD长； (3)求边AC上的中线BE的取值范围. 变式2-1.(25-26高一下·江苏扬州期中)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a4,b,c, 1+cos24 tan B-1 sin 2A tanB+1且c=2 (1)求角C的大小： (2)求b的取值范围： (3)边AB的中点为D,求中线CD的长度的取值范围 变式2-2.(25-26高一下河北石家庄月考)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且 3/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 acosC+3asinC-b-c=0 (1)求角A: (②若4AB 为锐角三角形，a=V5 ,求边BC上的中线4D的取值范围。 BC 变式2-3.(25-26高一下·山东济宁·期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 a=√6，V5 acosC+asinC=√5b (1)求角A的大小： (2)若AD平分∠BAC交BC于D,且AD=1,求BC边上的高： (3)若△ABC为锐角三角形，E为边BC的中点，求中线AE长度的取值范围. 类型三、解三角形中的求角分线 解三角形中的角分线模型 1 面 积 法： 如图三角形中 SABACIsinA-ABIAD siG+ADACIsiB y B D 化简有sina+B=ADl(ng+sine ACAB 2、角分线张角定理：若AD为角分线，则a=A,则化简上式有cosa-ADAd闷 3、斯库顿定理：若AD为角分线，有AD=AB·AC-BDDC, 例3.(25-26高一下河北保定·期中)若a,b,C分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且 4/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 acosC+3asinC=b+c (1)求A; (2)若a=2,且△ABC的面积为5，求b,c: 35 (3)若△ABC的面积为4，设M为BC的中点，且AM=V3,∠BAC的平分线交BC于N,求线段AW的 长度 变式3-1.(25-26高一下浙江宁波期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,C,△ABC的面 s 积为S,外接圆半径R=4,且 2+c2-b=43 3 (1)求b: (2)若a=3c,∠CBA的平分线交AC于D,求BD的长度. 变式3-2.(25-26高一下安徽安庆月考)已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=3c, A-π 3. (1)求a:b:c: (②若a=2V万 角A的平分线交BC于D,求D的长。 变式3,3，（25-26高-下江苏无锡阶段检测)△46C的内角4，B,C的对边分别为a,6,c已知4=万 b=2A=60° (I)求sinB的值； (2)求c的值， (3)若∠BAC的平分线交BC于点D,求AD的长： 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型四、解三角形中的求角分线范围 将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求该函数的值域。 函数法：利用角平分线公式，将其表达为两边长及夹角（或半角）的式子，再根据已知条件将变量统一 为同一个角（或边），转化为三角函数或基本不等式求范围。 几何法：从几何视角分析，角平分线夹在两边之间，其长度受两边长度和夹角的约束。通过长度的取值 范围，从而得所求的取值范围。 适用要点：注意三角形的隐含约束（两边之和大于第三边、角度范围），这些限制直接影响取值区间的 端点是否可取。 例4.(25-26高一下河南安阳·月考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (b-a)(sinB+sin A)=c(sin B-sinC) (1)求角A的大小： 巴法-压.△1C布为，来c .3V3 的周长； (3)若a=2,D是边BC上的点，且AD平分∠BAC,求AD的最大值 变式4-1，(25.26高-下湖北期中)定义：函数(=1sinx+4cosx为向量a=(2,四)的和谐函数，向 量a=(a,四为和谐函数f()=isn+OS 的和谐向量： (①)求函数f(x)=cosx+）】 +3-sinx+ 6的和谐向量。： V31 1 (2)已知和谐向量 22 的和谐函数为g(r,A4BC的内角AB.C的对边分别为ab,c,其中a-V3 2, 且8(A)=1 (i)若点G为△ABC的重心，求 G的最大值： 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (i)若△ABC为锐角三角形，AD平分∠BAC且与BC交于点D,求AD长度的取值范围 变式4-2.(25-26高三上山东淄博·期中)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为4，b,C,若 向量m=(←sinB,cosB）,N=(2cosA+cosC,sinC),且mm (1)求角B的大小： (②)若点D在边1C上，BD平分∠BC,b=25 ,试求BD的最大值， 变式4-3.(2026辽宁大连模拟预测)已知锐角△ABC中，D为边BC上一点，AD平分∠BAC,且 cosB cosC-cosB b b-c (I)证明：DA=DB: (2)若a=2,求AD长度的取值范围. 类型五、解三角形中的求髙线 解三角形中的高模型 1、 如图AD为BC边上的高线，则有AD=AB·sin∠B=AC·sin∠C 2、 利用面积公式有：AD·BC=AB·AC·sin∠BAC 高线将三角形分成两个直角三角形，利用面积相等或直角三角形的边角关系建立方程。 面积法：三角形面积等于底乘高的一半，先通过正余弦定理求出面积和对应底边长，直接反推高线长 度。 直角三角形法：在高线分出的直角三角形中，利用已知角的正弦或余弦，通过斜边（原三角形的边）直 接计算高线长度。 适用范围：求高线长、高线范围或与高线有关的边角最值问题时，优先用面积法（已知两边及其夹角） 7/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 或直角三角形法（己知一角及其邻边）。 例5.(25-26高一下湖北武汉·月考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,c,已知 sinA+cosA=√2 (1)求A: (2)若a=2,bsinC=csin2B,求sinC及BC边上的高. 变式5-1.(25-26高二上·贵州六盘水期中)在△ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,C,且 asinB-3bcosA=-3c (1)求B: 回若0=2，=，求4C边上的高4 变式5-2.(25-26高二上·云南昆明月考)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为，b,C,且 4V3 asinC-√5 ccosBcosC=V5bcos2C,a+b=5,△ABC的外接圆半径为3 (I)求sinC: (2)求△ABC的边AB上的高h 变式5-3.(25-26高一下福建厦门月考)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 2 a cos B=c」 (I)求证：△ABC为等腰三角形： (②)若c=2,cosC= 5,求BC边上的高h 类型六、解三角形中的求高线范围 将高线表示为底边和对应角的正弦的乘积，转化为三角函数的值域问题，或结合底边的取值范围进行估算 函数法：利用面积相等，将高线用两边及其夹角表示，再根据已知条件将变量统一为同一角或边，转化为 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三角函数或基本不等式求范围。 几何法：从几何图形出发，高线长度受顶点到底边距离的限制。通过分析顶点在轨迹（如圆、弧）上移动 时高线的变化趋势，找出最大值与最小值的临界位置（如垂直、共线等极端情况）。 适用要点：注意三角形的存在性约束（如两边之和大于第三边、角度的开闭），这些条件直接影响高线取 值区间的端点是否可取。 例6.(25-26高一下·湖北期中)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为4b、c,且满足 acosB+bcos A=2ccosC,a=2. (1)求角C的大小： 若sin Asin≥A,求AMBC的面 (3)记边a、b、c的高分别为“、 为”.么、，求气+6+ ‘的取值范围。 变式6-1.（多选）(25-26高一下浙江杭州期中)（多选）在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为 a,b,c haho,he 分别为边0，C上的高.若a=2,acosC+V5 BasinC=b+c a,b,c ,则下列说法正确的是() A4=骨 B.的最大值为5 1,1 C.房匠的值可取2 D.△ABC内切圆半径的值可取2 变式6-2.(25-26高三上河南三门峡·期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 (2a+c)cosB+bcosC=0 (1)求B的大小： =V5,D为4C边上的高，求BD的取值范围。 (2)已知 变式6-3.（山东枣庄市2026届高三下学期5月模拟考试数学试题）在△ABC中，内角A,B,C所对的 9/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 边分别为a,b,c.且(a-b+c(sinA+sinB+sinC)=(2+V3)asinC (1)求B: (②)若b=2,记AC边上的高为h,求h的最大值. 类型七、解三角形中的求其他分线 其他分线（如等分线、从顶点出发的任意分线）通常利用面积比等于分线段比或边长比的关系，结合 正余弦定理建立方程。 面积比法：分线将对边分成若干段，各小三角形面积比等于底边长度比（等高时），或等于边长乘积与 夹角正弦的乘积比，通过面积关系列式求解分线长度或相关边角。 向量法：将分线表示为两边向量的线性组合（系数由分点比例决定），两边平方后转化为已知边角的关 系式，适用于求长度或范围。 适用要点：关键是根据分点比例正确表达分线向量或面积关系，再结合三角形已有的边角条件（正余弦 定理)联立求解。 例7.(25-26高一下·黑龙江哈尔滨期中)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 (2a-c)cosB=bcosC (1)求B的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，且a=4,求△ABC面积的取值范围； AD (3)若D为边AC上一点（不包含端点），且满足∠ADB=3∠ACB'求CD的取值范围， 变式7-1.(25-26高三下·江苏扬州开学考试)已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, e tan A+tan B 且acos B (1)求角A的大小： (②)若边b=1,C=2,边BC上存在一点D,满足BD=2DC,求AD的长 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变武72.(2525高-下东荷泽期中)如图，在A1BC中，8CD%边4C上一点.且 AB⊥BD,BD=2 B D 若CD-V2 (i)求AD: (ii)求△ABC的面积： 4.2 (②)求AD+CD的取值范围. 变式7-3.(25-26高一下黑龙江哈尔滨期中)若点O是直线P外一点，点M,N在线段P№上(M, (P,O;M)= OP sin.∠POM N异于P,Q),我们则称以下操作： oo sin,∠MOQ为“由O点对PQ施以张角运算”；并且， 记PCM,w)= P,O;M) (P,Q:N)如图，四个有序点A,B,C,D,由O点对AD施以张角运算，得 （A,D;B)=1 (I)在OA,OD上分别取点E,F(异于端点)，连EF交OB于点G,证明：B为AD的中点，且 OA,OD 20B OE OF OG 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知 A,D;C,B)=3AC=V3 ①若∠AOC=60°，求OB的最大值： sin∠ACO3 ②若OB=1,sin∠AOB-2,求tanA的值： 压轴专练 1.（2026河南开封二模)在△1BC中，角4，B,C的对边分别为4，b,c,已知0sA= 3 asin C=4v2 (1)求c的值： (2若△ABC 的面积为 0W2 0N2,D为BC的中点，求AD的长. 5 2.(25-26高一下山东烟台·期中)在①3 bsinC+co+2cco cos()+cosC 5sinC+2cosS=3这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问瑟问题：在△4BC中，内角 2 A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分) (1)求角C的大小： (②D为1B上一点，且C=5 (i若D满足CD= CA CB cD=5,求 的值： 6 sin A+sin B (ii)若D是线段AB的中点，求CD的最大值 12/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26高一下·贵州贵阳·月考)已知a、b、C分别为△ABC的内角A、B、C的对边， acosC+3asinC-b-c=0 (1)求A: (②)已知a=2,D是边BC的中点，求' AD 的最大值. 4.(25-26高一下·湖北咸宁·期中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 p=(a+b,c).q=(a-b,c+a),p1q (1)求B: (2)若b=7,Q=5,线段BD是∠B的平分线，交AC于点D,求线段BD的长 5.(25-26高一下·福建莆田·期中)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,C,满足 b+2bcosA=c, (1)证明A=2B: (2)若b=2,C=1,点D为边BC上一点，AD为∠BAC的平分线，求AD的值. 6.(25-26高三上·北京顺义：月考)在△4BC中，acos B+bcos A=3 ccos A, (I)求cosA的值： (②若a=4V2 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△1B 存在，求BC 边上的高 条件①： 4: 条件②：b=6: 条件③： cosC=2v2 3. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分 7（2026北京通州一模)在△MBC中，角4，B,C所对的边为a,6,G,c0sB=手 5, 13/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (a+c)sin B-bsin A=3 (1)求c的值： (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC为钝角三角形，求AC边上的 高 b=5 BA·BC=1 条件①： ；条件②： 6,条件③： △ABC 的周长为18. c sin A+2sin Bcos A 8.(2025四川成都二模)在△4BC中，角4，B,C的对边分别是a,b,c,且a 2sinA ,且 b=25 (I)求角B的大小： (2)D为AC过上的一点，BD=3,且一，求△ABC的面积： (从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答)· ①BD是角B的平分线： ②D为线段AC的中点. (3)若△ABC为锐角三角形，求AC边上的高取值范围， 9.(25-26高一下·安徽阜阳阶段检测)在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满 足6mA-s血C(sm4+sinC)=smB(6mA-si血Ba) (1)求角C: a2+b2 (2②求。的取值范围： ()若D点为1B边上的中点， c=V V3,求线段C”的最大值。 10.(25-26高一下云南昆明月考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C, cos2A+cos2B =cos2C+-sin Asin B,点D为边AB上一点， (1)求角C的大小： (2)若CD是C的角平分线，c=9,△ABC的周长为19，求CD的长度： 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若D是边AB上靠近点A的一个三等分点，CD=AD,求实数t的取值范围 15/15 专题03 解三角形中的中线、角分线、垂线问题 目录 典例详解 类型一、解三角形中的求中线 类型二、解三角形中的求中线范围 类型三、解三角形中的求角分线 类型四、解三角形中的求角分线范围 类型五、解三角形中的求高线 类型六、解三角形中的求高线范围 类型七、解三角形中的求其他分线 压轴专练 类型一、解三角形中的求中线 中线将三角形分成两个小三角形，通过在两个小三角形中分别使用余弦定理，建立中线与两边及夹角的关系。常用方法： 1、在包含中线的两个小三角形中，利用邻补角互补（余弦值互为相反数），联立方程求解中线长度。此法适用于已知两边及其夹角，或已知两边及第三边的情形。 2、向量法：若已知两边向量，中线向量等于两边向量和的一半，两边平方即可得中线长的平方表达式，直接转化为已知边角的关系。 解三角形中的中线模型 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和： 换成三角形的中线，则有 2、可以通过向量法,两边平方后可得) 例1．（25-26高一下·北京丰台·期中）在中，内角对应的边分别为，且. (1)求角； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）方法一：利用正弦定理将边化为角,结合两角和正弦公式与三角形内角和关系化简,消去后求得,进而结合角的范围算出角； 方法二：借助余弦定理把式子中余弦转化为边的表达式,代入等式化简整理,得到边的关系式,再由余弦定义求出,结合内角范围解得. （2）选条件①由求出,利用内角和与两角和正弦公式算出,结果为负,与三角形内角正弦为正矛盾,故此三角形不存在； 选条件②结合与角,由余弦定理列方程解出边长,利用中线向量公式平方运算,结合向量数量积,代入数值求出中线长度； 选条件③已知两边与夹角,直接运用中线向量结论,结合向量模长与数量积运算,整体代入计算,求得中线的长,三角形唯一存在. 【详解】（1）方法一：由正弦定理，为三角形外接圆半径， 代入，得， 即. 由，，故. 因为，所以，又，所以. 方法二：因为， 由余弦定理得， 化简得即. 又，所以. （2）选条件①：，，， 因为，所以，. 则 . 三角形内角正弦值必为正，故不存在. 选条件②：，，. 由余弦定理，得， 即，整理得，解得或（舍去）. 故，三角形唯一确定. 因为为边上中线，由向量关系得， 两边平方得， 代入，，， 得，所以. 选择条件③：，，， 为边上中线，所以， ， 代入，，， 得，所以，三角形存在且唯一. 变式1-1．（25-26高一下·福建宁德·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. (1)求； (2)若，的面积为，且，求、； (3)在（2）的条件下，D为的中点，求中线的长. 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，进而求得结果. （2）根据三角形面积公式和余弦定理计算即可. （3）先根据余弦定理求出，然后根据余弦定理计算结果. 【详解】（1）因为角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足， 根据正弦定理得，因为， 所以，所以， 化简得，又，所以. 又，所以. （2）由，，得. 由余弦定理，得. 则，所以.又则，. （3）由于，所以根据余弦定理得. 在中，，所以根据余弦定理得 所以. 变式1-2．（25-26高一下·湖南·月考）在中，内角所对的边分别是，且，． (1)求角； (2)若，平分交于点，求的长； (3)在第（2）问的条件下，若点为边的中点，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角恒等变换整理得，进而求得答案； （2）结合已知，根据余弦定理求得，再结合求解即可. （3）根据，结合向量的模的求解得，再将（2）的结果代入求解即可. 【详解】（1）解：因为，所以， 又， 所以，即， 因为，所以，即， 因为，所以 （2）解：因为，， 所以，由余弦定理得，即 因为， 所以，解得， 因为平分交于点， 所以，即 所以，即. （3）解：因为点为边的中点，所以， 所以 ， 由（2）知，，， 所以， 所以，即 变式1-3．（25-26高一下·北京顺义·月考）在中，，，． (1)求边长； (2)设的中点为，求长以及的大小． 【答案】(1) (2)； 【分析】利用余弦定理及向量的基本运算求解即可. 【详解】（1）设，已知，，， 由余弦定理，代入已知条件， ，得 ， 整理得一元二次方程 ，解得（边长为正，舍去负根）， 因此. （2） 是中点，由向量中线公式得， 两边取模平方得， 代入， 得， 因此​. 在中，，，， 由余弦定理， 代入得， 整理得， 即. 因为，因此. 类型二、解三角形中的求中线范围 在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成角的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。 例2．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，内角所对的边分别是，且． (1)求． (2)若，求边上的角平分线长； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）先把已知条件中的用展开，约去后可直接求得再由正弦定理得到外接圆直径为，从而 （2）由结合正弦定理得到，，的值，由边上的角平分线为，利用三角形面积公式得到，得到由余弦定理结合得到从而得到的值. （3）由为边上的中线得到，将此式子两边平方得到，由和余弦定理得到，利用正弦定理求出和且结合两角差的正弦公式通过计算得到，又结合正弦函数的图像和性质得到的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】（1）由已知 又所以 而 故 代入得 展开后可得 消去相同项，得 因为三角形内角满足所以 从而即 又因为所以 （2）由小问（1）知 由正弦定理得 故且 已知，边上的角平分线为， 则， 即，即，因此 由余弦定理即 又因为所以 代入上式得从而 所以 （3）由为边上的中线，得到， 则 因为，由余弦定理 即. 所以，即， 因为，所以， 可知且 所以 因为 所以，所以， 所以，因此 因为，于是故 变式2-1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦余弦二倍角公式，结合同角三角函数关系式中的商关系化简已知等式、两角和的正弦余弦公式进行求解即可； （2）根据锐角三角形的性质，结合正弦定理进行求解即可； （3）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即 因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 所以， 所以. （2）由正弦定理得， 因为锐角，所以， 所以，所以； （3）由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 由（2）知，则， 所以， 则， 则， 故中线的长度的取值范围为. 变式2-2．（25-26高一下·河北石家庄·月考）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用正弦定理把边的关系转化为角的关系，再利用三角形内角和与辅助角公式，结合角的范围即可求得结果； （2）先通过余弦定理得到与的关系，再用向量表示出，结合正弦定理转化为角的三角函数，最后根据锐角三角形角的范围即可求出取值范围. 【详解】（1）根据题意可知，， 由正弦定理得：， 即， 所以， 即． 又，则， 故，即，所以 ． 又，所以 ， 即，故． （2）根据余弦定理得：， 即． 又因为，两边平方得． 根据正弦定理可知，，故，， 所以 ． 又由于是锐角三角形，因此可得，解得． 因此，所以，即， 所以，则． 变式2-3．（25-26高一下·山东济宁·期中）在中，角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若平分交于，且，求边上的高； (3)若为锐角三角形，为边的中点，求中线长度的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】(1)根据正弦定理和辅助角公式计算即可； (2)根据面积，结合余弦定理计算即可； (3)利用向量法表示，结合三角函数求解取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得 因为， 所以， 所以， 因为，所以，即 又所以 （2）因为平分交于，所以， 又，即， 化简得． 在△中，由余弦定理得 ，即， 所以 解得 又，所以， 所以边上的高为． （3）因为为边的中点，所以， 所以， 由正弦定理得 ，所以，， 所以 因为△为锐角三角形，所以，即， 所以，所以， 所以，所以， 所以中线长度的取值范围是． 类型三、解三角形中的求角分线 解三角形中的角分线模型 1、面积法：如图三角形中， 化简有 2、角分线张角定理：若为角分线，则，则化简上式有 3、斯库顿定理：若为角分线，有， 例3．（25-26高一下·河北保定·期中）若，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求，； (3)若的面积为，设为的中点，且，的平分线交于，求线段的长度. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合辅助角公式整理，求解角； （2）利用三角形面积公式得到的值，再结合余弦定理建立方程求解和； （3）利用向量中线公式和向量数量积公式得到关于、的等式， 再利用求解. 【详解】（1）由题意知中，，由正弦定理边角关系得： ， ， ，，， ，， 又，，所以，即. （2）由，，得. 由余弦定理得， 则，所以， 解得. （3）在中，为中线，， ，. ，，， ， ， ， . 变式3-1．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，外接圆半径，且． (1)求b； (2)若 ，∠CBA的平分线交AC于D，求BD的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知等式结合三角形的面积公式和余弦定理化简可求出角，再利用正弦定理即可求解； （2）结合条件结合余弦定理化简可求出，的值，再利用等面积法得即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得 ，所以 ， 又，所以；又因为外接圆半径， 则由正弦定理可得. （2）由（1）知，，，且， 由余弦定理可得，化简得， 所以，， 的平分线交AC于D，则， 在中，由等面积法得， 即， 即 所以. 变式3-2．（25-26高一下·安徽安庆·月考）已知中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求； (2)若，角的平分线交于，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理，用c表示a，从而求得； （2）根据角平分线的性质及面积相等求角平分线的长． 【详解】（1）由，，及余弦定理得 ， 所以，故． （2）因为，所以，， 由题意可知，， 所以， 即， 解得． 变式3-3．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，. (1)求sin B的值； (2)求c的值. (3)若的平分线交BC于点D，求AD的长. 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据正弦定理求的值； （2）方法一，根据（1）的结果求，再根据正弦定理求的值；方法二，根据余弦定理求； （3）根据，代入面积公式，即可求解. 【详解】（1）由正弦定理=， 可得，所以sin B=. （2）方法一　根据条件，b<a，∴B为锐角， 由（1）sin B=，所以cos B=， 所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B =×+×=， 由正弦定理=可得c=3. 方法二　由余弦定理， 得(， 整理得， 解得或(舍去)， 所以. （3）， 即，得. 类型四、解三角形中的求角分线范围 将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求该函数的值域。 函数法：利用角平分线公式，将其表达为两边长及夹角（或半角）的式子，再根据已知条件将变量统一为同一个角（或边），转化为三角函数或基本不等式求范围。 几何法：从几何视角分析，角平分线夹在两边之间，其长度受两边长度和夹角的约束。通过长度的取值范围，从而得所求的取值范围。 适用要点：注意三角形的隐含约束（两边之和大于第三边、角度范围），这些限制直接影响取值区间的端点是否可取。 例4．（25-26高一下·河南安阳·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，D是边上的点，且平分，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将已知边角关系式化为边的关系，再用余弦定理求出角的余弦值，结合三角形内角范围确定的大小； （2）由三角形面积公式求出的值，再用余弦定理结合完全平方公式求出，进而得到三角形周长； （3）利用面积分割法建立与的关系式，再用余弦定理结合基本不等式求的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理，， 且A为三角形内角，所以. （2）， 由余弦定理，， 所以，，所以， 所以的周长为. （3）因为， 所以，可得. 由余弦定理可知，即， 整理得，即， 于是，当且仅当时等号成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 变式4-1．（25-26高一下·湖北·期中）定义：函数为向量的和谐函数，向量为和谐函数的和谐向量. (1)求函数的和谐向量； (2)已知和谐向量的和谐函数为，的内角的对边分别为，其中，且. （i）若点为的重心，求的最大值； （ii）若为锐角三角形，平分且与交于点，求长度的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由三角恒等变换的公式，化简得到，结合和谐向量的定义，即可求解； （2）根据题意，得到，由，求得，（ⅰ）利用余弦定理和基本不等式，求得，结合，即可求得的最大值；（ⅱ）由，求得，再由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由向量为和谐函数的和谐向量， 因为， 所以的和谐向量为. （2）解：由和谐向量的和谐函数为， 因为，可得，其中，可得 所以，解得. （ⅰ）在中，因为，由余弦定理得， 又因为，则，即，当且仅当时“=”成立， 因为点为的重心，可得， 所以 ，即的最大值为. （ⅱ）因为平分且与交于点，可得， 即， 即，即，所以， 由正弦定理，可得， 则 ， 因为则为锐角三角形，可得，解得， 令，可得，则， 所以 ， 由，可得，由于函数在上单调递增， 当时，，当时，，所以长度的取值范围是. 变式4-2．（25-26高三上·山东淄博·期中）已知锐角三角形的内角所对的边分别为，若向量，，且. (1)求角的大小； (2)若点在边上，平分，，试求的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由向量共线的坐标公式计算，逆用和角的余弦公式化简，结合锐角三角形，即可求得角； （2）设，利用余弦定理和面积相等求出，通过两次换元，最后根据二次函数的性质即可求得长的最大值. 【详解】（1）因，，且， 则，所以， 所以， 所以，所以， 因为锐角三角形，则，，故. （2）由余弦定理，即， 则得①， 设，因，可得， 整理得，令， 设，由①可得，，解得， 当且仅当时等号成立，故，则， 再令，则，， 故当时，取得最小值， 此时取得最大值为9，即长的最大值为3. 变式4-3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角中，为边上一点，平分，且． (1)证明：； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式化简得出，再结合角的范围得出，最后应用等角对等边即可证明； （2）先应用正弦定理结合角平分线性质计算化简，再换元设，，结合正弦函数值域及单调性计算求解. 【详解】（1）由与正弦定理可得 展开得， 所以，即得， 由于为锐角三角形，和均在内， 则或， 当时，因，则，即得，此时题设条件不满足，舍去. 故，又平分，所以． 故．    （2）由（1）知，则． 因为为锐角三角形， 所以 解得 已知，由正弦定理，得 因平分，则 设，则，且由（1）知， 则得（*） 因， 则， 设，由，得，则． 由可得， 又函数在上单调递增， 故，即. 类型五、解三角形中的求高线 解三角形中的高模型 1、 如图为边上的高线，则有 2、 利用面积公式有： 高线将三角形分成两个直角三角形，利用面积相等或直角三角形的边角关系建立方程。 面积法：三角形面积等于底乘高的一半，先通过正余弦定理求出面积和对应底边长，直接反推高线长度。 直角三角形法：在高线分出的直角三角形中，利用已知角的正弦或余弦，通过斜边（原三角形的边）直接计算高线长度。 适用范围：求高线长、高线范围或与高线有关的边角最值问题时，优先用面积法（已知两边及其夹角）或直角三角形法（已知一角及其邻边）。 例5．（25-26高一下·湖北武汉·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求及BC边上的高． 【答案】(1)； (2)；BC边上的高为． 【分析】（1）根据辅助角公式及条件，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据条件及正弦定理，可得角B，根据诱导公式及两角和的正弦公式，可得的值，根据正弦定理，可得c值，进而可得BC边上的高 【详解】（1）由题意得，可得， 根据A为三角形的内角，可得， 所以，可得； （2）由正弦定理及，可得， 因为，所以均不为0， 所以，即，所以， 所以 ， 由正弦定理得，则，解得， 所以中，BC边上的高. 变式5-1．（25-26高二上·贵州六盘水·期中）在中，角对边分别为，且. (1)求； (2)若，，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，即可求解角； （2）利用余弦定理求解第三边，再用正弦定理求角，即可求高. 【详解】（1）由可得：， 由三角形内角和定理可知：， 化简可得：， 因为，则，所以上式可化简为：， 又因为，所以; （2） 由余弦定理得：， 解得或（舍去）， 再由正弦定理可得：， 所以边上的高. 变式5-2．（25-26高二上·云南昆明·月考）在中，内角所对的边分别为，且，的外接圆半径为. (1)求； (2)求的边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据正弦定理边化角，然后三角恒等变换相关公式即可求解； （2）首先根据正弦定理求出，然后根据余弦定理求出，最后根据面积公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 即， 又，故. 又，所以， 所以，即 由，可得， 所以. （2）由题意知. 由余弦定理得， 又，所以， 所以的面积，所以， 所以. 变式5-3．（25-26高一下·福建厦门·月考）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且. (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求边上的高. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由余弦定理化角为边，化简即可得证； （2）由余弦定理可求得，可求的面积. 【详解】（1）因为，所以， 化简得，即， 所以是等腰三角形， （2）由余弦定理可得，得， 解得，由，所以， 所以的面积， 又，所以， 所以. 类型六、解三角形中的求高线范围 将高线表示为底边和对应角的正弦的乘积，转化为三角函数的值域问题，或结合底边的取值范围进行估算 函数法：利用面积相等，将高线用两边及其夹角表示，再根据已知条件将变量统一为同一角或边，转化为三角函数或基本不等式求范围。 几何法：从几何图形出发，高线长度受顶点到底边距离的限制。通过分析顶点在轨迹（如圆、弧）上移动时高线的变化趋势，找出最大值与最小值的临界位置（如垂直、共线等极端情况）。 适用要点：注意三角形的存在性约束（如两边之和大于第三边、角度的开闭），这些条件直接影响高线取值区间的端点是否可取。 例6．（25-26高一下·湖北·期中）在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，. (1)求角C的大小； (2)若，求的面积； (3)记边a、b、c的高分别为、、，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意及正弦定理得，化简即得； （2）化简得到，即，又由，得到，从而得到，进而得到是等边三角形，即可求其面积； （3）先利用面积公式化简得到，再利用正弦定理和三角恒等变换化简得到，在锐角中， 则在上单调递减，从而，所以. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即， ∴, 又∵，∴， ∵，∴. （2） ， ∵，∴，∴， 又∵，∴，从而，， 由（1）知，∴是等边三角形，面积为. （3）由题得到， ∵， ∴， ， 在锐角中，∵，∴，， ∴在上单调递减， 从而， 即， ∴. 变式6-1．（多选）（25-26高一下·浙江杭州·期中）（多选）在中，角所对的边长分别为，分别为边上的高．若，，则下列说法正确的是（） A． B．的最大值为 C．的值可取 D．内切圆半径的值可取 【答案】ABD 【分析】选项A：利用正弦定理将边化为角,结合进行三角恒等变换,消去后用辅助角公式化简,求得. 选项B：由三角形面积公式得与的关系,结合余弦定理和基本不等式求出的最大值,代入可得最大值为. 选项C：由面积公式得出、表达式,代入化简后换元构造函数,转换成二次函数单调性问题,算出式子最小值大于. 选项D：根据内切圆半径公式整理出与的关系,结合正弦定理、余弦定理确定取值范围,验证时满足条件,三角形存在. 【详解】在中，已知，.由正弦定理， 得. 因为，所以， 代入化简得.由， 得，即，. 因为，所以，，故选项A正确. 设的面积为，则， 代入，，得. 由余弦定理，得. 由，得，当且仅当时取等号， 所以，即的最大值为，故选项B正确. 由，得，， 则.又，， 代入得. 令，，则， 令,由,得, 函数化为二次函数: 令开口向上,对称轴. 在区间上单调递增. 因此当(即)时,取得最小值 代入得最小值， 所以，故选项C错误. 设内切圆半径为，则，即，. 由余弦定理，得， 代入的表达式约分得：， 由正弦定理，，，故，得， 因此， 若​，代入得：， 此时，满足， 且方程的判别式，存在两个正根，即这样的三角形存在， 因此可取，选项D正确. 变式6-2．（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式转化为关于角的三角函数关系，进而求解. （2）利用正弦定理和三角形内角和定理，将高表示为角的函数，再利用三角函数性质求其范围． 【详解】（1）由， 用正弦定理得， 化简得：， 又, 从而，， 得又. （2）由正弦定理得: , 所以 , 在 中， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 变式6-3．（山东枣庄市2026届高三下学期5月模拟考试数学试题）在中，内角，，所对的边分别为，，.且. (1)求； (2)若，记边上的高为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简得，再由余弦定理即可得解； （2）由三角形面积公式可得，结合正弦定理及三角恒等变换得，即可得解． 【详解】（1）根据正弦定理可得， 化简整理得， 由余弦定理得， 因为，故； （2）由，得， 又， 所以 ， 在三角形中，故， 当，即时，． 类型七、解三角形中的求其他分线 其他分线（如等分线、从顶点出发的任意分线）通常利用面积比等于分线段比或边长比的关系，结合正余弦定理建立方程。 面积比法：分线将对边分成若干段，各小三角形面积比等于底边长度比（等高时），或等于边长乘积与夹角正弦的乘积比，通过面积关系列式求解分线长度或相关边角。 向量法：将分线表示为两边向量的线性组合（系数由分点比例决定），两边平方后转化为已知边角的关系式，适用于求长度或范围。 适用要点：关键是根据分点比例正确表达分线向量或面积关系，再结合三角形已有的边角条件（正余弦定理）联立求解。 例7．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； (3)若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换及三角形内角和定理求解即可； （2）求得，利用正弦定理求得，最后利用面积公式求解即可； （3）设，则，，，在、中，利用正弦定理可得出，利用换元法、三角恒等变换及三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 又因为 所以，所以， 所以 （2）因为， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以，   ，所以. （3）设，则，，， 所以， 在中， 在中，， 作商得， 设，因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以 所以. 变式7-1．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边，，边上存在一点，满足，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差的正弦公式，同角关系式求解. （2）法一：由得到，两边平方求出；法二：由余弦定理得到，从而得到.利用正弦定理得到， 由利用三角形面积公式求出. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以，所以. （2）法一： 在边上，且，所以. ， ，， ， 所以， 法二： 由余弦定理得，所以，所以. 因为，所以， 所以，在直角三角形中，. 在和中，分别由正弦定理得： ， 因为，，，所以， 又因为均为三角形的内角，所以， 因为，所以. 由， 得， 即， ，，，， ， . 变式7-2．（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图，在中，为边上一点，且. (1)若. （i）求； （ii）求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）已知，，可求得的大小；在和中，利用角的关系结合正弦定理，建立关于的等式求解； （ii）根据已知边、角关系，先求出，的长度，再利用三角形面积公式计算的面积. （2）利用三角形内角和及直角三角形的性质，用分别表示出和；将其代入，转化为关于的三角函数；再根据的取值范围，结合三角函数的性质求取值范围. 【详解】（1）（i），，； ，，在中，由正弦定理得，即，解得. 在中，，为锐角； ，. 所以， 在中，由正弦定理得， 所以. （ii），， 所以， ，得. ，， 在中，由正弦定理得 ，即，所以. 所以. （2），，在中，由正弦定理得， ，得. ，，在中，由正弦定理得， ，得. 在中，，得，； 所以 ； ，，； ，即. 变式7-3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若点是直线外一点，点，在线段上（，异于，），我们则称以下操作：为“由点对施以张角运算”；并且，记.如图，四个有序点，，，，由点对施以张角运算，得. (1)在，上分别取点，（异于端点），连交于点，证明：为的中点，且； (2)已知，. ①若，求的最大值； ②若，，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②. 【分析】（1）利用定理及三角形的面积公式即可证明为的中点，根据，和，即可证明； （2）①由题意可得，从而可得， ， ，设，，利用正弦、余弦定理及三角函数的性质求解即可； ②由正弦定理及，可得，根据，可得，从而得，，由余弦定理求得，即可求出的值. 【详解】（1）证明： ， 其中为的高， 为中点； ， 又， ， ， . （2）由（1）知，，， , ， 又为中点，， ， 设，， ①，，， 由，可得， 平方得，，. 在中，由正弦定理可得：， 将，代入， ， ，，， 当，即时，等号成立， ， , 当时，取最大值; ②，, ,， 又， ， 联立,得，， ， , . 1．（2026·河南开封·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求c的值； (2)若的面积为，D为BC的中点，求AD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的平方关系求出，再根据正弦定理求出. （2）根据三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，在和分别计算，列出等式，将代入，即可解出. 【详解】（1）已知，故， 根据正弦定理可得.又，故，解得. （2）已知面积，由面积公式，代入，解得， 根据余弦定理得，解得， 因为为的中点，在中，在中， 故，即， 将代入上式，化简得，故. 2．（25-26高一下·山东烟台·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. （注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分） (1)求角的大小； (2)D为上一点，且. （i）若D满足，，求的值； （ii）若D是线段的中点，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）若选择①利用正弦定理，结合恒等变形求角即可；若选择②，根据三角恒等变形化简可得，解得即可得到；若选择③，根据二倍角公式及辅助角公式即可求解． （2）（i）由题可知是的角平分线，再根据可得，结合余弦定理解出，得到，然后根据正弦定理求解； （ii）由题可知，再平方，结合余弦定理及基本不等式计算最值即可． 【详解】（1）解：选择条件①：由正弦定理， 即， ，又，， ，即， 又因为，所以； 选择条件②：， 即， 解得，又，所以， 所以； 选择条件③：， 解得，又，， ，； （2）（i）因为，和分别是与、同向的单位向量， 所以是的角平分线，即， 又，即， 化简得，即， 由余弦定理，可得， 即， 将代入上式可得， 令，则， 即，解得或(舍去)， 所以，则， 由正弦定理，可得，， 所以； （ii）因为是线段的中点，所以， ， ， 由余弦定理，可得，即， 根据基本不等式，可得，即，当且仅当时取等号， 所以，则， 故的最大值为． 3．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）已知、、分别为的内角、、的对边，． (1)求A； (2)已知，是边的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换公式化简求解即可； （2）先根据平面向量的线性运算、数量积运算律可得，再结合余弦定理得到、，进而求解即可. 【详解】（1）由， 根据正弦定理，得， 则， 即， 则， 因为，所以，即， 则，即， 因为，所以，则，即. （2）因为是边的中点，所以， 则 ， 由余弦定理，得，即 而，当且仅当时等号成立，则，即， 则，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 4．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）记的内角的对边分别为，若. (1)求； (2)若，线段是的平分线，交于点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据以及余弦定理即可得到答案； （2）由题意得出的长度，再根据，利用面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 由余弦定理得，因为，所以. （2）由（1）得，又，代入解得或（舍）， 如图所示：， 代入数据得， 解得. 5．（25-26高一下·福建莆田·期中）在中，内角的对边分别是，满足． (1)证明； (2)若，点为边上一点，为的平分线，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形的内角和公式，可得，进而可得角的关系. （2）先根据条件求出，，再利用结合三角形的面积公式可求的长度. 【详解】（1）由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 而为三角形内角，所以或， 所以或（舍去） 所以. （2）由，，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线，， 所以， 又因为，， 所以，因为，所以， 所以，所以. 6．（25-26高三上·北京顺义·月考）在中，. (1)求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选①不能构成三角形；选②边上的高2；选③边上的高2 【分析】（1）由正弦定理化简等式，然后结合正弦的和差角公式，诱导公式即可求得结果； （2）由（1）求出.选①由和差角公式求，从而证明不能构成三角形；选②由余弦定理求出，由三角形面积公式建立方程即可求边上的高；选③由和差角公式求即得到，由正弦定理求得，即可求边上的高. 【详解】（1）∵， ∴， 即， ∵在三角形中，∴， ∵在三角形中，即 ∴. （2）选①，即，； 由（1）知，则， ∵， 此时，故此三角形不存在. 选②，即，； 由（1）知，则， 由余弦定理， ∴，即，即. ∵，即， ∴. 选③，即，. 由（1）知，则， ∵，∴， ∴， ∵，∴， ∴边上的高为， ∵，即. ∴边上的高为2. 7．（2026·北京通州·一模）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，． (1)求c的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得为钝角三角形，求边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为18． 【答案】(1)5 (2)选择条件①或③时，边上的高为；选择条件②时，不满足题意. 【分析】(1)利用正弦定理即可求解； (2)选择条件①或③，首先验证是钝角三角形，再利用余弦定理和面积公式即可求解，选择条件②，验证不满足钝角三角形的条件. 【详解】（1）因为，且，所以， 设外接圆半径为， 由正弦定理得 所以，即：，所以. （2）选择条件①： 由余弦定理，得，代入，，，得，则， 此时，所以，为钝角三角形， 设边上的高为，则 ，即 ，. 选择条件②： 若，则，所以， 由余弦定理得： ， 因为，，，所以，则是直角三角形，不满足题意. 选择条件③： 若周长为18，则， 由余弦定理得：， 联立解得：，， 所以，所以，为钝角三角形， 设边上的高为，则 ，即 ，. 8．（2025·四川成都·二模）在中，角的对边分别是，且，且． (1)求角的大小； (2)D为AC过上的一点，，且_____，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点． (3)若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 【答案】(1)； (2)选①②，答案均为； (3) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，又，所以； （2）若选①，利用三角形面积公式和得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； 若选②：由题设，平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； （3）由正弦定理和三角恒等变换得到，为锐角三角形，求出，从而得到，设边上的高为，由三角形面积公式求出. 【详解】（1）在中，， 结合正弦定理可得：． 由得， ， ∴， ∴， ， 又，，又，所以； （2）若选①：由平分得：， ，即． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得，解得， ； 若选②：由题设， 则， 即，所以，   在中，由余弦定理得，则， 联立，得， ． （3）由正弦定理得，故， 故 ， 由于为锐角三角形，故，故， 因此，， 因此， 设边上的高为，， 所以. 9．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C； (2)求的取值范围； (3)若点为边上的中点，，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据余弦定理，结合正弦定理角化边求解得即可得答案； （2）由正弦定理边化角，结合内角和定理，三角恒等变换得，再结合的范围求解即可； （3）根据得，再结合余弦定理与基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）解：因为， 所以，由正弦定理可得，整理得， 所以，由余弦定理可得， 又因为，所以． （2）解：由正弦定理，可得， 因为为锐角三角形，且， 所以，解得， 所以，，， 所以， 所以的取值范围是． （3）解：因为点为边上的中点，所以， 所以， 因为，， 所以，由余弦定理得， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以， 所以，即线段的最大值为． 10．（25-26高一下·云南昆明·月考）在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； (3)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用二倍角公式进行化简，然后结合余弦定理求解. （2）利用已知条件和余弦定理求得，然后根据列出关于的方程求解. （3）根据，然后两边平方，用来表示，然后根据的范围求解的范围. 【详解】（1），， ，. . 又，. （2）周长为19，，①. 中，由余弦定理，即②. 联立①②可得. 设，为的角平分线， 则，即，解得. （3）是边上靠近的一个三等分点，. 两边平方可得. 又，. 由正弦定理可得， . ，. ， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $