专题01 正弦定理七大题型（高效培优专项训练）数学人教B版高一必修第四册

专题01 正弦定理七大题型 题型一：正弦定理解三角形 题型二：三角形解的个数判断 题型三：三角形的外接圆问题 题型四：正弦定理边角互化应用 题型五：正弦定理判断三角形形状 题型六：三角形的面积公式 题型七：几何图形进行解三角形 题型一：正弦定理解三角形 1．在中，，，，则这个三角形的最长边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，，，则， 因为最大，由三角形的性质可得对应的边最大， 由正弦定理可得，. 2．在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若，，，则________． 【答案】2 【详解】由正弦定理得，解得. 3．在中，已知，，，则__________． 【答案】 【详解】在中，， ，． ，． ． 由正弦定理知， ． 故答案为： 4．如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，，且，两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，，， ， 由正弦定理，得， 所以建筑物的高度为． 故选：A． 5．已知中，，，则______． 【答案】3 【详解】，则， 联立得，解得，， ，则， 联立得，解得，， 在中，则， ， ， 由正弦定理得，解得. 6．在中，，，分别为内角，，所对的边，． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选择条件①②，周长为；选择条件③，三角形不存在 【分析】 【详解】（1）因为，所以． 因为，所以， 所以，所以. （2）由（1）知. 选择条件①：因为，，由正弦定理，得． 因为，所以，所以． ． 由正弦定理，所以，解得． 所以三角形的周长． 选择条件②：． 因为， 所以． 由正弦定理，所以， 解得， 所以三角形的周长. 择条件③：因为，，， 由正弦定理，则， 解得，故不存在. 题型二：三角形解的个数判断 7．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A． B．，， C． D．，， 【答案】C 【详解】对于选项A，已知两边及夹角，由三角形全等的条件可知△ABC有唯一解． 对于选项B，，，，又，故，故△ABC无解． 对于选项C，，，，有，∴， 又，故△ABC有两个解． 对于选项D，，，，由，得，故B为锐角，故△ABC有唯一解． 故选：C． 8．在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理可得, ,可得, 由△ABC有两解知，有两个解， 故，即 ， 或， 又， ∴ A为锐角，所以， 故选: . 9．在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，根据三角形全等的判定方法，可知满足条件的三角形只有一解，故A正确； 对于B，因为，所以，又为钝角，所以不存在， 所以满足条件的三角形不存在，故B错误； 对于C，因为，所以三角形不存在，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为且，所以有两解且这两个解互补，故D错误. 故选：A 10．（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【详解】由正弦定理可得， 若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解； 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解； 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故三角形有两个解； 若D 成立，，，，有， ∴，由于，故三角形有唯一解． 故选：AD． 11．在中，，，，若满足要求的三角形有且只有一个，则的取值范围为___________. 【答案】 【详解】设边上的高为，则，又， 要使满足要求的三角形有且只有一个，则有或， 即的取值范围为. 故答案为：. 题型三：三角形的外接圆问题 12．在中，，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设外接圆的半径为，则，则外接圆的面积为. 13．已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设的外接圆的半径为， 因为， 所以，解得. 故选：D. 14．在锐角中，，为的垂心，，则的外接圆周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为外接圆的外心，连接并延长交于点，连接、、，如图所示， 由为外接圆的外心可知，， 又因为为垂心，所以， 所以，同理：， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为， 所以在中，，即， 所以，所以外接圆周长为. 故选：D. 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为____________. 【答案】 【详解】在中，由，，得，则， 则的外接圆半径，所以的外接圆面积为. 故答案为： 16．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约，则该月牙泉的面积约为_________（精确到整数位）（参考数据：） 【答案】 【详解】设的外接圆的半径为， 则，得， 因为月牙内弧所对的圆心角为， 所以内弧的弧长， 所以弓形的面积为， 以为直径的半圆的面积为， 所以该月牙泉的面积为． 故答案为： 17．若函数的图象上任意两个相邻最高点之间的距离为. (1)求的值； (2)在中，若点是函数图象的一个对称中心，且，求外接圆的面积. 【答案】(1)1 (2) 【分析】 【详解】（1） ， 由题，函数的图象上任意两个相邻最高点之间的距离为，即函数的最小正周期为， 且，所以. （2）点是函数图象的一个对称中心,所以, 又因为的内角, 则，可知， 可得，所以， 在中，设外接圆半径为， 由得， 所以的外接圆的面积. 题型四：正弦定理边角互化应用 18．设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理化边为角可得， 因为， 所以， 整理可得，所以，即，所以. 19．在中，若，则______. 【答案】/ 【详解】由，得，化简得， 由二倍角公式得，解得， 因为，所以，则，所以，解得， 所以. 20．在中，角所对的边分别为，已知，则______． 【答案】 【详解】因为， 所以由正弦定理得：， 所以， ， 即，因为，所以， 所以，又因为，所以， 因为，且，即， 所以. 21．已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______. 【答案】2 【详解】因为，由正弦定理得， 故， 即， 所以， 又由正弦定理及三角形面积公式，可得， 又因为，所以，解得. 22．已知中的内角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求； (2)若，函数的图像经过点，求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，得， 所以，即， 又因为，所以，所以，解得， 所以； （2）由（1）知， 又因为函数的图像经过点， 所以，解得. 由正弦定理可得，所以. 所以，所以，又，所以， 所以，又，所以， 所以. 23．在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）由，结合正弦定理， 得， 即，即， 因为，所以，即． （2）． 利用正弦定理得． 而， 故的面积． 题型五：正弦定理判断三角形形状 24．已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】根据正弦定理可得：. 因为，所以. 所以或者. 即或者. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 25．在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】由，结合正弦定理可得：， ，可得：， ，则的形状为等腰三角形． 故选：A 26．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】因为，由正弦定理可得， 即，所以 所以或， 又因为，，为三角形内角，所以或， 即的形状为等腰三角形或直角三角形， 故选：D. 27．记..的内角的对边分别为，且，则一定为（　　） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【详解】在中， 由正弦定理得，， 即． 又，， 故 所以（舍去）或， 所以. 故为等腰三角形． 故选： B． 28．在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】化简得：，， 根据正弦定理整理可得，因为 即，所以或， 可得或或, 所以等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 29．在中，角的对边分别为，若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【详解】因为，又， 即，由正弦定理可得， 即，所以为直角三角形且为直角. 故选：B 题型六：三角形的面积公式 30．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，因为，且的面积为， 可得，即，所以， 由正弦定理得，所以， 代入，可得，所以. 31．记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以 32．记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意及正弦定理，得， 又，所以，则， 因为， 所以， 所以， 又，所以， 所以，又， 所以当且仅当时，， 又，且，所以，， 所以，则， 故的面积． 故选:C 33．已知的面积为1，，，则_______． 【答案】 【分析】 【详解】，，，. ，，，. ， 设的外接圆半径为，则由正弦定理得，，， ， 即，化简得，. . 34．在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理得，所以， 因为，所以， 又，所以， 因为，所以，所以， 所以的面积. 故选：B 35．在中，. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，得，解得. 此时，所以. 于是. （2）由，得. 由正弦定理得，可得. 所以的面积. 题型七：几何图形进行解三角形 36．克罗狄斯∙托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师.托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.已知四边形是圆的内接四边形，且.若，则圆的半径为__________. 【答案】2 【详解】由托勒密定理，得. 因为，所以.设圆的半径为， 由正弦定理，得. 又，所以. 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，则，故. 故答案为：2. 37．如图，已知D为线段BC的延长线上一点，且，，，则______． 【答案】 【详解】设，，， 则在，由正弦定理可得， 即， 在中，由正弦定理可得， 即， 所以，所以， 又，所以，故． 故答案为：. 38．如图，在平面凸四边形ABDC中，对角线AD与CB相交于点O．，，，． (1)求的值； (2)求CO； (3)求四边形ABDC的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为，且， 所以，所以CB为∠ACD的平分线， 则． （2）由（1）知，所以， 又因为， 所以， 所以，解得． （3）取CD中点E，连接BE，因为，所以， 所以， 所以 ． 39．在中，角，，对应的边分别为，，，且. (1)求； (2)如图，过外一点作，，，，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）∵， ∴根据正弦定理得， ∴， ∴， ， ，， ，. （2）解法一：连接，设， 在和中，， 即， ，，， 四边形的面积. 解法二：延长，交于点， ，，， ，， ，， 四边形的面积. 40．设中，角所对的边分别为，． (1)求A； (2)已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值． 【答案】(1) (2)24 【分析】 【详解】（1）由正弦定理及， 得， ， ， ． ∵，∴，整理得． 又∵， ∴，∴． （2）由题知， 则， 故， 两边平方得． ∵， ∴， 即． ∵，即，∴， ∴． 41．在中，内角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)如图，若是边的中点，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由及正弦定理，得． 又因为，则， 所以， 即． 又因为，则，即， 所以． （2）由（1）知，所以． 因为是的中点，所以． 则， 又，，则， 则，解得或（负值，舍去）． 所以． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 正弦定理七大题型 题型一：正弦定理解三角形 题型二：三角形解的个数判断 题型三：三角形的外接圆问题 题型四：正弦定理边角互化应用 题型五：正弦定理判断三角形形状 题型六：三角形的面积公式 题型七：几何图形进行解三角形 题型一：正弦定理解三角形 1．在中，，，，则这个三角形的最长边的长为（    ） A． B． C． D． 2．在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若，，，则________． 3．在中，已知，，，则__________． 4．如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，，且，两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（   ） A． B． C． D． 5．已知中，，，则______． 6．在中，，，分别为内角，，所对的边，． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 题型二：三角形解的个数判断 7．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A． B．，， C． D．，， 8．在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．在中，，，，若满足要求的三角形有且只有一个，则的取值范围为___________. 题型三：三角形的外接圆问题 12．在中，，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 13．已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 14．在锐角中，，为的垂心，，则的外接圆周长为（    ） A． B． C． D． 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为____________. 16．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约，则该月牙泉的面积约为_________（精确到整数位）（参考数据：） 17．若函数的图象上任意两个相邻最高点之间的距离为. (1)求的值； (2)在中，若点是函数图象的一个对称中心，且，求外接圆的面积. 题型四：正弦定理边角互化应用 18．设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 19．在中，若，则______. 20．在中，角所对的边分别为，已知，则______． 21．已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______. 22．已知中的内角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求； (2)若，函数的图像经过点，求的解析式. 23．在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 题型五：正弦定理判断三角形形状 24．已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 25．在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 26．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 27．记..的内角的对边分别为，且，则一定为（　　） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 28．在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 29．在中，角的对边分别为，若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 题型六：三角形的面积公式 30．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（   ） A． B． C． D． 31．记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 32．记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 33．已知的面积为1，，，则_______． 34．在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 35．在中，. (1)求； (2)若，求的面积. 题型七：几何图形进行解三角形 36．克罗狄斯∙托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师.托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.已知四边形是圆的内接四边形，且.若，则圆的半径为__________. 37．如图，已知D为线段BC的延长线上一点，且，，，则______． 38．如图，在平面凸四边形ABDC中，对角线AD与CB相交于点O．，，，． (1)求的值； (2)求CO； (3)求四边形ABDC的面积． 39．在中，角，，对应的边分别为，，，且. (1)求； (2)如图，过外一点作，，，，求四边形的面积. 40．设中，角所对的边分别为，． (1)求A； (2)已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值． 41．在中，内角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)如图，若是边的中点，，，求的面积． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $