精品解析：江苏常州市金坛区第一中学2025-2026学年高一下学期数学调研试题

2026年春学期常州市金坛区第一中学高一数学调研 （用时：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积的定义计算． 【详解】． 故选：C 3. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 4. 若为钝角，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得，故， 而为钝角，故为锐角，故. 5. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得. 【详解】若，则，即， 向量，则，解得. 故选：A 6. 非零向量，满足：，，则与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积将已知条件化简可得，再利用向量的夹角公式进行运算即可. 【详解】因为，所以，即，① 又因为，所以，即， 将①代入得，， 设与夹角为， 所以， 因为，所以. 故选：B. 7. 在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量共线定理，结合为的中点，可得，由向量的线性运算，分别用表示，由，即可求得的值, 【详解】由图象可得，，，三点共线，且为的中点， 故存在实数使， 有， 且， 因为，即， 因为与不共线，所以有，解得. 故选：C. 8. 设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的外接圆半径为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式及余弦定理角化边，然后因式分解得到为直角三角形，进而求得外接圆半径. 【详解】. 由余弦定理得，， 整理得，，即. 又，所以. 所以是以为斜边的直角三角形， 所以外接圆半径为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律，求出向量与的夹角即可判断A、B，再根据向量模的计算公式及向量垂直的性质判断C、D即可. 【详解】设与的夹角为， 由得， 将代入得，∴， 又，∴，故A正确，B错误; ，故C正确; ，故，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式和辅助角公式即可得出答案. 【详解】对于A，， 已知，，，代入可得： ，故A错误； 对于B，由于，由辅助角公式可得，故B正确； 对于C，已知，则，由于，根据同角三角函数基本公式可得： ，又因为，根据两角和的余弦公式，可得： ，故C正确； 对于D，已知，根据正切公式，可得， 又因为，所以，根据两角和的正弦公式，可得： ，故D正确. 11. 已知，则下列说法中正确的是（ ）． A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 【答案】AB 【解析】 【分析】化简函数，根据三角函数的性质判断选项. 【详解】 ， ，选项A正确； ，令，在单调递减， 所以在上单调递减，选项B正确； ，所以函数图象的对称中心为， 选项C错误； 函数图象上各点的横坐标不变， 纵坐标伸长为原来的2倍得到，选项D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角差的正切公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知的内角的对边分别为，若，，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用三角函数关系式平方和关系求出，根据三角形面积及已知条件求出的值，最后利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，因为， 所以， 由，， 所以，解得：， 由余弦定理得： 即， 由，所以， 故答案为：3. 14. 已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可得结果. 【详解】因为平面向量，，所以， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以，进而. 因为是三角形内角，所以. 【小问2详解】 因为​，为三角形内角，所以.  由正弦定理​，所以. 因此 . 16. 已知，且，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由进行求解； （2）由进行求解. 【小问1详解】 由，得， 则， 所以． 【小问2详解】 ， 因为， 所以 ， 则． 17. 已知． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，结合向量的模长公式求解即可； （2）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为，设，则，解得． 因此或． 【小问2详解】 由已知可得，因为， 则，可得， ． 18. 在中，，，，为的三等分点（靠近点）． （1）求的值； （2）若点满足，求的最小值，并求此时的． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将化为和表示，利用和的长度和夹角计算可得结果； （2）用、表示，求出关于的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果. 【小问1详解】 因为为的三等分点（靠近点），所以， 所以， 所以 . 【小问2详解】 因为，所以， 因为， 所以 ， 所以当时，取得最小值. 19. 已知，，函数. （1）求函数的解析式及周期； （2）若，且，求的值. （3）角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据余弦定理结合基本不等式计算求解即可. 【小问1详解】 . 周期； 【小问2详解】 由可知，，化简得， ，，， ； 【小问3详解】 由可得，即， 又，则，则，所以. 由余弦定理知： ， 当且仅当时“”成立， 此时为等边三角形， 又所以的周长的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期常州市金坛区第一中学高一数学调研 （用时：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 15 3. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 若为钝角，，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 非零向量，满足：，，则与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的外接圆半径为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，，则 11. 已知，则下列说法中正确的是（ ）． A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ____________． 13. 已知的内角的对边分别为，若，，，则__________. 14. 已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 16. 已知，且，求： （1）的值； （2）的值． 17. 已知． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角． 18. 在中，，，，为的三等分点（靠近点）． （1）求的值； （2）若点满足，求的最小值，并求此时的． 19. 已知，，函数. （1）求函数的解析式及周期； （2）若，且，求的值. （3）角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $