专题10 期中真题百练通关（132题30类基础题型，期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材浙教版

专题10 期中真题百练通关（132题30类基础题型） 题型1 利用二次根式的运算判断等式是否正确（基础题） 题型16 求一组数据的平均数、众数、中位数以及方差基础题） 题型2 利用二次根式有意义的条件求参数取值范围（高频题） 题型17 平均数、众数、中位数以及方差相互求解（基础题） 题型3 利用二次根式的非负性求代数式的值 题型18 利用方差进行决策（重点题） 题型4 利用二次根式的性质化简（重点题） 题型19 数据的分析初步解答题（重点题） 题型5 二次根式的混合运算（计算题）（必考题） 题型20 多边形内角和外角综合 题型6 已知一元二次方程的解求参数或代数式的值 题型21 中心对称的图形的识别 题型7 解一元二次方程（计算题）（重点题） 题型22 利用旋转的性质求线段、角度等 题型8 利用根的判别式判断根的情况（高频题） 题型23 网格中的旋转问题 题型9 利用根的判别式求参数的取值范围（高频题） 题型24 利用平移、对称、旋转、中心对称设计图案 题型10 利用根与系数的关系进行求解 题型25 利用平行四边形的判定判断结论是否正确 题型11 利用根与系数的关系求参数（高频题） 题型26 利用平行四边形的性质与判断求解 题型12 根的判别式与根与系数的关系综合 题型27 利用平行四边形的判定证明（重点题） 题型13 一元二次方程实际应用之增长率问题（重点题） 题型28 平行四边形的性质与判定应用 题型14 一元二次方程实际应用之与图形有关问题 题型29 与三角形中位线相关求解（高频题） 题型15 一元二次方程实际应用之销售问题（重点题） 题型30 与三角形中位线相关的证明 题型一 利用二次根式的运算判断等式是否正确（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江台州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的除法，二次根式的加法，二次根式的减法，解题关键是掌握上述法则求解． 根据利用二次根式的性质化简，二次根式的除法，二次根式的加法，二次根式的减法，分别对四个式子逐一计算后作出判断． 【详解】解：，而选项结果为，故A错误； ，故B正确； 与不是同类二次根式，无法合并，且计算结果显然不等，故C错误； ，结果不等于，故D错误， 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 直接根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意； B. ，计算正确，符合题意； C. ，计算错误，不符合题意； D. ，计算错误，不符合题意； 故选B． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，故此选项计算正确，不符合题意； B、，故此选项计算正确，不符合题意； C、，故此选项计算正确，不符合题意； D、，故此选项计算错误，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加减法，根据以上知识逐一分析判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 题型二 利用二次根式有意义的条件求参数取值范围（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）要使二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期中）二次根式中字母的取值范围为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键． 根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：． 故选B． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若成立，则满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质列式求解即可． 【详解】解：∵成立， ∴， ∴． 故选B． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期中）若根式有意义，则x的取值范围是______________ ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件列出不等式组即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：且， 故答案为：且． 题型三 利用二次根式的非负性求代数式的值（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）实数x，y满足，则的平方根为______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，求出x的值，代入求出y的值，再计算，最后求解的平方根即可． 【详解】解：由题意得，二次根式的被开方数非负， ∴， 解得， 将代入，得： ， ∴， ∴的平方根为． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知实数a，b，c满足，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，绝对值的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据二次根式的非负性得出，再根据完全平方公式和绝对值的非负性得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期中）若a、b都为实数，且， _____． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，已知字母的值求代数式的值等．根据题意可得，，继而代入中即可求出本题答案． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴， 故答案为：1． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知，则___________． 【答案】22 【分析】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，直接利用二次根式的性质将已知式子化简，再将原式变形求出答案． 【详解】解：∵一定有意义， ∴， ∴ ∴ 整理得：， ∴， 则． 故答案为：22． 题型四 利用二次根式的性质化简（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江金华·月考）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键． 先根据数轴的定义得出，，，，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由题意得：，，， ∴ ，， ∴ ． 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知，，则代数式的值是（    ） A． B．0 C．4 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式乘除法公式和合并同类二次根式法则是解本题的关键． 根据题意可判断，，然后再根据二次根式乘除法法则和合并同类二次根式法则进行化简求值即可． 【详解】 ，， ，， ． 故选：A． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）设，则S最接近的数是（   ） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 【答案】B 【分析】此题是数字规律题，主要考查了二次根式的性质，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 由可化为，由原式可以看出，被开方数都是1加连续两个自然数平方倒数和的形式；中间的算式都是1加第一个自然数的倒数，再减去第二个自然数的倒数；右边的结果为1加两个自然数乘积的倒数，进而求解即可． 【详解】设n为任意正整数， ∴ ∴ ， 因此与s最接近的整数是2009． 故选B． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知，化简（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．利用进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级下·浙江金华·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数在数轴上的位置，得到，判断，再由二次根式性质化简，去绝对值后，运用整式加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：由实数在数轴上的位置，如图所示： ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式化简，涉及利用数轴判断代数式符号、二次根式性质化简、去绝对值及整式加减运算等知识，根据实数在数轴上的位置判断代数式符号去绝对值是解决问题的关键． 题型五 二次根式的混合运算（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先计算二次根式乘法，再计算二次根式加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）按照二次根式的运算法则计算，化简即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式去括号，计算化简即可． 【详解】（1）解： （2）解： 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的加减及混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）将二次根式化简后，再合并即可； （2）原式根据平方差公式和完全平方公式去括号再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六 已知一元二次方程的解求参数或代数式的值（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知m是关于x的一元二次方程的根，且，，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式．根据一元二次方程的解的定义可得，从而得到，再由完全平方公式计算，即可求解． 【详解】解：∵m是关于x的一元二次方程的根， ∴， ∴， ∵，， ∴ 故选：D 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 把代入方程，得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知一元二次方程的一根为，则a的值为_______． 【答案】 【分析】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是把方程的解代入原方程进行计算求解．把代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把代入，得 ， 解得． 故答案为：7． 4．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）设是方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义推出，然后将所求代数式变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴， ∴的值为． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为_______． 【答案】15 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵ m是方程的一个根， ， ， ∴ 故答案为：15． 题型七 解一元二次方程（计算题）（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的求解，根据方程的特点灵活运用合适的方法求解是解题关键 ． （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解； 【详解】（1）解： ， ，； （2）解： ， ． 2．（24-25八年级下·浙江·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解， （2）采用公式法求解． 【详解】（1）解：， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ 或 ； （2）解： ∴ ，，，， ∴ ， ∴ ，． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解，熟练掌握解一元二次方程——因式分解法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程——因式分解法，进行计算即可解答； （2）先将原方程进行化简整理可得，然后利用解一元二次方程——因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：，； （2）， ， ， 或， 解得：，． 4．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）将原式变形得整理得，运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得，， ∴或， ∴； （2）解：， 等式两边同时除以2得，， 整理得，， 因式分解得，，即， ∴或， ∴． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是∶ （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得：，； （2）解∶ ， ，， ， ，． 题型八 利用根的判别式判断根的情况（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（    ） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．由直线解析式求得，然后确定的符号即可． 【详解】解：直线不经过第四象限， ， 关于的方程 ， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．若是方程的解，则 B．若，则方程必有两个不相等的实数根 C．若，则方程必有两个不相等的实根 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 【答案】B 【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根，方程没有实数根． 根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可． 【详解】解：、将代入方程可得：， ∴本选项说法正确，不符合题意； 、若，则方程为， ∴， ∴程必有两个的实数根，故原说法错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，原说法正确，不符合题意； 、∵方程中，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，掌握判别式是解题的关键．计算出方程的进行判断即可，当时，方程有两个实数根，时，方程无实数根． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况．根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：A、，，方程没有实数根，不符合题意； B、，，方程没有实数根，不符合题意； C、，，方程有两个相等的实数根，不符合题意； D、，，方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 题型九 利用根的判别式求参数的取值范围（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式以及解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的根的判别式求出，根据题意得，解关于的一元一次不等式，结合一元二次方程的定义即即可得出得取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得：且． 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，， ∴且 即：， 解得：且， 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江衢州·期中）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式且二次项系数，继而可求得的范围． 【详解】解：方程有实数根， 当时， 且 解得∶且， 当时，，解得：， 综上：系数a的取值范围是． 故选∶D． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．由一元二次方程定义得出二次项系数；由方程有两个不相等的实数根，得出“”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：， 解得：且； 故选：D． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知关于的方程有两个相等的实数根，若，，则与的关系正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式．方程化为一般式为，根据根的判别式的意义得到，所以，于是可计算出，，然后消去得到与的关系． 【详解】解：方程化为一般式为， 根据题意得， ∴， ∴， 即， ，， ． 故选：A． 题型十 利用根与系数的关系进行求解（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）设，是一元二次方程的两个根，则（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再通过完全平方公式变形将所求式子转化，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， 又∵， ∴代入得． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2025 B．2023 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键是明确两根之和为． 先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：A． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的两根为，则的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入求值式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为 ∴由根与系数的关系，得 ，． 则 ． 故答案为：2． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一定二次方程，有两个实数根．设则的最大值为_____ 【答案】 【分析】题考查了根的判别式和根与系数的关系，一次函数的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据题意得出，，解得：，将，代入函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵关于的一定二次方程，有两个实数根． ∴， 解得： ∴ ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值为 故答案为：． 题型十一利用根与系数的关系求参数（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知m，n是有理数，并且方程有一个根为，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键． 设另一个根为x根据根与系数的关系得到，然后结合题意得到， 求出m，n的值，进而求解即可． 【详解】解：∵方程有一个根为，设另一个根为x ∴， ∵m，n是有理数， ∴， ∴， ∴． 故答案：． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于x的一元二次方程的两根为，，当k取到最小整数时，此时代数式的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，．也考查了根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围，可得，将代入方程得到，根据根与系数的关系得到即可． 【详解】解：方程有两个实数根， 根的判别式， 解得， 取到的最小整数为， 方程为， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，且，则k的值为____________． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题解题关键． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如果，是一元二次方程的两个根，那么，，已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则______． 【答案】 【分析】由根与系数的关系可得出，，结合，代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵m与n是方程的两根， ∴，， ∴． ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，完全平方公式变形的应用，根据根与系数的关系找出，是解题的关键． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为______________． 【答案】 【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系将已知条件转化为关于a的方程。 由一元二次方程根与系数的关系可知，再整体代入中，求出a的值． 【详解】解：∵是的两个实数根， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数法关系，因式分解法解一元二次方程，完全平方公式的应用，先根据一元二次方程根与系数法关系得出，，再利用完全平方公式得出关于n的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得出n的值． 【详解】解： 即， ∵，是的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或， 故选：C 题型十二 根的判别式与根与系数的关系综合（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江·期中）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围． (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． (3)若方程的两个实数根为，满足，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，解不等式即可得出答案； （2）求出的值为6，解方程求出，代入方程求出的值即可； （3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，     解得； （2）解：∵是符合条件的最大整数， ∴的值为6， ∴方程变形为， 解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，， 解得：， ∵， ∴； 当时，， 解得：， ∴的值为． （3）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的关键． （1）利用根的判别式，进行计算即可解答； （2）利用根与系数的关系和已知可得，求出，代入方程得：，再求解即可． 【详解】（1）， 方程总有两个不相等的实数根； （2）， ， 代入方程得：， 解得：． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)证明：该方程一定有两个不相等的实数根． (2)已知该方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边的长度，当这个直角三角形的斜边长为时，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数之间的关系、勾股定理．掌握一元二次方程根的判别式与根的个数之间的关系以及根与系数之间的关系，是解题的关键． （1）求出根的判别式的符号即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，以及勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴该方程一定有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个根为， 则：，， ∵该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，且这个直角三角形的斜边长为， ∴， ∴， ∴，即 解得：或， ∵， 当时，，不合题意，舍去． ∴． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数，m≠1） (1)若方程一个根是2，求m的值及方程的另一个根？ (2)求证：此方程总有两个实数根． 【答案】(1)，方程的另一个根为-1 (2)见解答 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）先把代入一元二次方程可求得，则此时一元二次方程为，设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，然后解一次方程即可； （2）计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：把代入一元二次方程得， 解得， 此时一元二次方程为， 设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得， 解得， 即方程的另一个根为-1； （2）证明：，， 此方程总有两个实数根． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根和． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，勾股定理，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键． （1）求出的值，根据已知得出不等式，求出即可； （2）根据根与系数的关系得出，，根据已知得出，变形后代入求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实根和， ， 解得：； （2）和一元二次方程的两根， ，， 和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为， ， ， ， 解得：， ，， 不符合题意， 不存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为． 题型十三 一元二次方程实际应用之增长率问题（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，核心是根据每月销量的增长关系列出方程． 【详解】解：∵月增长率为x，5月份销售量为144个， ∴6月份销售量为个， ∴7月份销售量为个， 又∵7月份实际销售量为225个， ∴可列方程为. 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）随着体育节的开展，浣江初中八年级学生关注篮球比赛的人数由月初的人，上升到月初的人，设月至月关注篮球比赛的人数月平均上升率为，根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵月平均上升率为，月初人数为， ∴月初人数为， ∴月初人数为， ∵月初人数为， ∴可得方程． 3．（25-26九年级上·浙江台州·期中）某地政府通过下调药品价格来解决老百姓看病贵、看病难的问题，某种药品经过连续两次调价，由每盒元下调至元，求平均每次下调的百分率．设平均每次下调百分率为x，根据题意列方程得（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系． 设平均每次下调百分率为x，则每次调价后价格为原价的倍，经过两次调价，列方程求解． 【详解】解：∵初始价格为元，经过两次下调，每次下调率为x， ∴第一次下调后价格为元， 第二次下调后价格为元， 根据题意，下调后价格为元， ∴． 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树676棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用；设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据“第一年共植树400棵，第三年共植树676棵”列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 即x的值为． 故选：B． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）春暖花开，温州各园区的郁金香都盛开了．已知温州某郁金香园区2023年的赏花人数为5500人，预计2025年赏花人数将达到6050人．若设2023年至2025年赏花人数年平均增长率为，由题可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及年均增长率问题．根据题意，2023年至2025年共两年，年均增长率为x，则两年后的总人数为初始人数乘以． 【详解】解：2023年到2025年共经过2年，故增长次数为2次， 设年均增长率为x，则2025年人数为，根据题意，该值等于6050，即 故选：A 题型十四 一元二次方程实际应用之与图形有关问题（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是________．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的知识，根据已知条件，用a和S表示出矩形的面积，根据一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：根据题意，得起始矩形的面积，变化后矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∵有且只有一个a的值， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴S的值是． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用一条长的绳子围成一个面积为的长方形．设长方形的长为，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用周长用表示出长方形的宽是解题的关键．根据长方形的周长可以用表示宽的值为，然后根据面积公式即可列出方程． 【详解】解：设长方形的长为，则宽为， 依题意得：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）小明为班级围建一个矩形蔬菜园，其中一边靠墙，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形． （1）当围成的菜园面积为时，的长为_____； （2）记，若围成面积比大的菜园，则的范围为_____． 【答案】 6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元二次不等式的应用 （1）设，则，根据围成的菜园面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）根据围成面积比大的菜园，可列出关于a的一元二次不等式，解之可得出a的取值范围，结合墙可利用的最大长度为，即可确定a的取值范围． 【详解】解：（1）设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴当围成的菜园面积为时，的长为， 故答案为：6； （2）根据题意得：， 即， 解得：， 又∵墙可利用的最大长度为， ∴， ∴a的范围为． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1、则直角三角形的较长直角边长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中找到和的等量关系是解题的关键．根据图中大、小正方形的面积可以计算大、小正方形的边长，找到两直角边相差1，两直角边平方和等于斜边的平方的等量关系，从而求解． 【详解】解：设图中直角三角形的边长分别为、， ∵图中大、小正方形的面积为13和1，则大、小正方形的边长为、， 则、满足， ，代入 解得， ， 故较长的直角边为3， 故答案为：3． 题型十五 一元二次方程实际应用之销售问题（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江衢州·期中）某商场销售某款上衣，刚上市时每件售价100元，一段时间之后开始滞销，经过两次连续下降后，每件售价81元，平均每天售出30件． (1)求平均每次降价的百分率． (2)为了尽量减少库存，“五一”期间商场决定再次降价，经调查发现，一件上衣每降价1元，每天可多售出2件，若商场销售额为4590元，则每件降价多少元？ 【答案】(1)． (2)每件应降价36元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每次降价的百分率为x，根据题意，得：，即可求解； （2）设每件应降价元，由题意得方程，进而求解． 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为． （2）解：设每件应降价元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 答：每件应降价36元． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）学校举行课外研学活动，需要实验器材A和B共50套，已知实验器材A的售价为180元/套，实验器材B的售价为100元/套，现商家优惠销售，器材A数量超过5套时，每增加1套，每套的价格降低2元，为保障盈利，每套售价不可低于150元；器材B每套按九折销售，设学校购买x套器材A (1)当时，根据以上信息完成填表： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） A x ______ B ______ ______ (2)若学校订购这批实验器材总价为5300元，则实验器材A和B各多少套？ 【答案】(1)见解析 (2)实验器材A为10套，实验器材B为40套 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据已知条件列式计算即可； （2）设实验器材A为x套，则实验器材B为套，根据订购这批实验器材总价为5300元，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：∵器材A数量超过5套时，每增加1套，每套的价格降低2元，为保障盈利，每套售价不可低于150元， ∴实验器材A的数量为x套，当时，实验器材A的销售单价为： （元/套）， 则实验器材B的数量为套，实验器材B的销售单价为： （元/套）， 填表如下： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） A x B 90 （2）解：设实验器材A为x套，则实验器材B为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，舍去， ∴，， 答：实验器材A为10套，实验器材B为40套． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）综合与实践：洗衣粉售价方案设计 某厂家生产的一种洗衣粉采用、两种包装，当前销售的相关信息如下表： 包装规格 含量（千克/袋） 2 1 成本（元/袋） 10 5 售价（元/袋） 25 17 日销量（袋） 60 40 该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋． 根据以上信息解决问题：设包装洗衣粉每袋售价提高元． (1)问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由． (2)当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元． ①求关于的函数关系． ②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？ 【答案】(1)能，A包装洗衣粉的售价为30或35元 (2)①；②见解析，达不到1450元 【分析】本题主要考查一元二次方程，一次函数的运用． （1）由题意设包装洗衣粉每袋售价提高元（），则每袋的利润为（元），日销售量为袋，由此列方程求解即可； （2）①厂家每日定额产销150千克洗衣粉，包装洗衣粉提价元后的日销售量为袋，每袋量2千克，包装洗衣粉日销量为袋，降低元后的销量为，每袋含量为1千克，由此列式求解即可； ②包装洗衣粉提价后的利润为（元），包装洗衣粉降低元后的利润为（元），由此列式求解即可． 【详解】（1）解：能，理由如下， 由题意设包装洗衣粉每袋售价提高元（），则每袋的利润为（元），日销售量为袋， ∴， 解，得， ∴（元）或（元）， 包装洗衣粉的售价为30或35元； （2）解：①厂家每日定额产销150千克洗衣粉，包装洗衣粉提价元后的日销售量为袋，每袋量2千克，包装洗衣粉日销量为袋，降低元后的销量为，每袋含量为1千克， ∴， 化简，得； ②包装洗衣粉提价后的利润为（元），包装洗衣粉降低元后的利润为（元）， ∴日总利润为 ， ∴， 此时， ∴达不到1450元． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）综合与实践：洗衣粉售价方案设计，某厂家生产的一种洗衣粉采用A、B两种包装，当前销售的相关信息如下表：该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋．根据以上信息解决问题：设包装洗衣粉每袋售价提高元（）． 包装规格 含量（千克／袋） 2 1 成本（元／袋） 10 5 售价（元／袋） 25 17 日销量（袋） 60 40 (1)问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由． (2)当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元（）． ①求关于的函数关系． ②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？ 【答案】(1)能，包装洗衣粉的售价为30或35元 (2)①，②达不到1450元，见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程，一次函数的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）由题意设包装洗衣粉每袋售价提高元（），则每袋的利润为（元），日销售量为袋，由此列方程求解即可； （2）①厂家每日定额产销150千克洗衣粉，包装洗衣粉提价元后的日销售量为袋，每袋量2千克，包装洗衣粉日销量为袋，降低元后的销量为，每袋含量为1千克，由此列式求解即可； ②包装洗衣粉提价后的利润为（元），包装洗衣粉降低元后的利润为（元），由此列式求解即可． 【详解】（1）解：能，理由如下， 由题意设包装洗衣粉每袋售价提高元（），则每袋的利润为（元），日销售量为袋， ∴， 解，得， ∴（元）或（元）， 包装洗衣粉的售价为30或35元； （2）解：①厂家每日定额产销150千克洗衣粉，包装洗衣粉提价元后的日销售量为袋，每袋量2千克，包装洗衣粉日销量为袋，降低元后的销量为，每袋含量为1千克， ∴， 化简，得； ②包装洗衣粉提价后的利润为（元），包装洗衣粉降低元后的利润为（元）， ∴日总利润为 ， ∴， 此时， ∴达不到1450元． 题型十六 求一组数据的平均数、众数、中位数以及方差（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）在22，24，27，21，22，25，22，26这一组数据中插入一个任意数，则一定不会改变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查了众数的概念，根据众数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵22出现了3次，其他数字都只出现了一次， ∴这组数据的众数是22， ∴在这组数据中插入一个任意数都不会改变22是众数． 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班51名同学视力检查数据如表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 7 4 4 7 11 10 5 3 这51名同学视力检查数据的众数是（   ） A．4 B．4.7 C．7 D．4.6或4.3 【答案】B 【分析】本题主要考查了众数的定义，在一组数据中出现最多的数，叫做众数，根据众数的定义进行判断即可． 【详解】解：这51名同学视力检查数据中，4.7出现的次数最多，因此众数是4.7． 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）李老师准备选一名同学代表班级参加数学竞赛，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的数学测试成绩统计如表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准选拔，则应选择的同学是（    ） 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛． 【详解】解：由表知四位同学中甲、乙的平均成绩较好， 又甲的方差小于乙， 所以甲的成绩好且稳定， 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）在一次中学生田径运动会上，男子跳高项目的成绩统计如下： 成绩（） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 人数（人） 2 8 6 4 1 表中表示成绩的一组数据中，众数和中位数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了众数、中位数，掌握以上知识点是解题的关键．根据出现最多的数为众数解答；按照从小到大的顺序排列，然后找出中间的一个数即为中位数． 【详解】解：出现次数最多的数为，是众数； 21个数按照从小到大的顺序排列，中间一个是,所以中位数是. 故选： B． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）数据1，4，5，9，6，5的中位数是_________，众数是_________． 【答案】 5 5 【分析】根据中位数与众数的定义，先将给定数据从小到大排序，再根据数据个数确定中位数，最后找出出现次数最多的数据得到众数． 【详解】解：将数据从小到大排列为：，，，，，， 本组数据共个，根据中位数定义，中位数为排序后中间两个数的平均数， 即，因此中位数为， 根据众数定义，一组数据中出现次数最多的数为众数， 本组数据中出现了2次，出现的次数最多，因此众数为． 题型十七 平均数、众数、中位数以及方差相互求解（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知一组数据，，的平均数和方差分别是2，，那么另一组数据，，的平均数和方差分别是_________． 【答案】1， 【分析】此题考查已知一组数据的平均数和方差求相关已知数据的平均数和方差，数学公式是解题的关键． 根据平均数与方差的定义，结合已知原数据的平均数和方差，推导计算新数据的平均数与方差． 【详解】解：由题意得，对于原数据，，，可得， 原数据方差为， 计算新数据，，的平均数：， 计算新数据的方差：． 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一组数据1，2，3，4，5，将这组数据的每个数都减去20得到一组新的数据，这组新数据的方差是__________． 【答案】 【分析】本题考查了求一组数据的方差；由新数据是将这组数据中的每一个数都减去20所得知新数据与原数据的波动幅度不变，据此求解可得答案． 【详解】解：数据1，2，3，4，5的平均数为， 方差为 ∵新数据是将这组数据中的每一个数都减去20所得， ∴新数据与原数据的波动幅度不变， ∴将这组数据的每个数都减去20得到一组新的数据，这组新数据的方差是2． 故答案为：2． 3．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）已知一组数据：8，4，6，a，5的平均数为5，则这组数据的标准差为______． 【答案】2 【分析】此题考查了平均数，计算一组数据的标准差，正确理解平均数求出x及掌握方差的计算公式是解题的关键． 先利用平均数求出，再求出这组数据的方差，即可得到标准差． 【详解】解：∵一组数据：8，4，6，a，5的平均数为5， ∴， 解得， ∴这组数据的方差为， ∴这组数据的标准差为． 故答案为：2． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）现有数据：1，4，3，2，4，．若该组数据的中位数是3，则_______． 【答案】3 【分析】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，解题的关键是熟练掌握中位数的概念． 根据中位数的定义，数据：1，4，3，2，4，，共有6个数，最中间的数只能为和3，然后根据它们的中位数为3，即可求出的值． 【详解】解：对原数据进行大小排列1，2，3，，4，4．此时，该组数据的中位数为3， 则， 解得， 故答案为：3． 题型十八 利用方差进行决策（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江衢州·期中）甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是，方差分别是，，，，则这四名同学跳高成绩最稳定的是________． 【答案】 丁 【分析】根据方差的意义，方差越小数据波动越小，成绩越稳定，比较四个方差的大小即可判断出成绩最稳定的同学. 【详解】解：，，，， ， 这四名同学跳高成绩最稳定的是丁. 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击．下列是关于他们射击成绩的平均数和方差的描述，其中能说明A成绩较好且更稳定的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定． 根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可． 【详解】解：根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定． 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）某校运动队为准备省运动会，对甲，乙两名同学100米短跑进行了6次测试，他们的成绩通过计算得：甲和乙的平均数相等，方差分别是，则关于甲，乙两人在这次测试中成绩稳定性的描述正确的是（　　） A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定 C．甲和乙一样稳定 D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 比较甲、乙两人成绩的稳定性，只需比较方差的大小，方差越小，成绩越稳定． 【详解】解：已知甲、乙两人测试成绩的平均数相同，甲的方差为，乙的方差为，因为， 所以甲的成绩比乙更稳定， 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）某班八上期末考试数学的平均成绩为78分，方差为225，如果每名学生都多考3分，下列说法正确的是（    ） A．平均分不变，方差不变 B．平均分变大，方差不变 C．平均分不变，方差变大 D．平均分变大，方差变大 【答案】B 【分析】本题考查了算术平均数，方差．由题意知，每名学生都多考3分，则平均分比原来大3，由数据的波动情况不变，可知方差不变． 【详解】解：由题意知，每名学生都多考3分，则平均分比原来大3，平均分变大， ∵数据的波动情况不变， ∴方差不变， 故选：B． 题型十九 数据的分析初步解答题（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某校举办了“绿水青山，生态文明”知识竞赛（竞赛每一项的满分均为分，学生得分均为整数）．在这次竞赛中张山与李仕两位同学表现优秀，并将他们的四项成绩绘制成如图所示的条形统计图根据统计图解答下列问题： (1)补充完成下表： 姓名 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 张山 李仕 (2)若实践操作、环保论文、现场抢答、笔试得分按的比例折合成综合得分，请通过计算说明哪位同学的综合得分更高． 【答案】(1)见解析 (2)张山综合得分更高 【分析】（1）由频数分布直方图得出张山和李仕四个项目的得分，再利用平均数、中位数、众数、方差的概念分别求解可得； （2）利用加权平均数的定义列式计算，从而得出答案． 【详解】（1）解：张山的成绩为∶， ∴张山成绩的中位数为（分）， 方差为； 李仕的成绩为， ∴李仕成绩的平均数为（分），众数为分； 补全表格如下： 姓名 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分²） 张山 9 9 9 李仕 9 10 （2）解：张山的综合得分为（分）； 李仕的综合得分为（分）； ∵， ∴张山的综合得分高． 2．（25-26九年级上·浙江台州·期中）学校准备组织九年级游泳比赛，现将某班甲、乙、丙三位同学的5次游泳成绩整理成下列统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 9 乙 丙 8 根据以上信息，完成下列问题： (1)______，______； (2)若该班要从甲、乙、丙三位同学中选一位参加学校游泳比赛，你认为选谁更合适？请说明理由； (3)在比赛中，为避免受到极端值的影响，往往会采用“去掉一个最高分和一个最低分”的方式处理数据．若数据处理前后，某同学游泳成绩的方差分别为和，则与的大小关系为：______． 【答案】(1)9， (2)甲，理由见解析 (3) 【分析】本题考查中位数、平均数、方差的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． （1）根据乙5次游泳成绩条形统计图计算中位数即可，根据丙5次游泳成绩扇形统计图计算平均数即可； （2）根据表格，结合平均数和方差的意义进行分析即可； （3）根据方差公式进行计算数据处理前后的方差，再比较大小即可． 【详解】（1）解：由乙5次游泳成绩条形统计图可知，乙的成绩排序为：7、9、9、9、10， 则中位数为9； 由丙5次游泳成绩扇形统计图可知，有2次成绩为10分，有3次成绩为8分， 则丙5次游泳成绩的平均数为：， 故答案为：9，； （2）解：选甲更合适，理由如下： 由表格结合（1）可知，甲、乙、丙三人的平均数相同，则 甲的方差为，乙的方差为，丙的方差为， 由于， 则甲的方差最小，说明甲的成绩最稳定， 因此选甲更合适； （3）解：①甲“去掉一个最高分和一个最低分”后的平均数为：， 甲的方差为， 因此甲同学游泳成绩的方差分别为、， 则，即； ②乙“去掉一个最高分和一个最低分”后的平均数为：， 乙的方差为， 因此乙同学游泳成绩的方差分别为、， 则，即； ③丙“去掉一个最高分和一个最低分”后的平均数为：， 丙的方差为， 因此丙同学游泳成绩的方差分别为、， 则，即； 综上所述，与的大小关系为：． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）某校为提高学生的汉字书写能力，开展了“汉字听写”大赛．七、八年级学生参加比赛，为了解这两个年级参加比赛学生的成绩情况，从中各随机抽取10名学生的成绩，数据如下（单位：分）： 七年级85  94  87  94  84  94  99  94  99  100 八年级84  93  88  94  93  98  94  100  97  99 统计量　   年级 平均数 中位数 方差 七年级 93 94 八年级 94 22.4 (1)计算表格中的值； (2)你认为哪个年级学生“汉字听写”大赛的成绩比较好?并说明理由．（从两个不同的角度说明推断的合理性） 【答案】(1)， (2)八年级学生“汉字听写”大赛的成绩比较好，理由见解析 【分析】本题考查求方差、求平均数、利用平均数做决策、利用方差确定稳定性等知识，熟记相关统计量的意义及求法是解决问题的关键． （1）根据方差公式、平均数公式代值求解即可得到答案 （2）从平均数看，七年级平均数小于八年级平均数；从方差来看，七年级方差大于八年级方差，八年级成绩更稳定，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：八年级学生“汉字听写”大赛的成绩比较好． 理由如下： 从平均数看，七年级平均数小于八年级平均数，则八年级学生“汉字听写”大赛的成绩比较好； 从方差来看，七年级方差大于八年级方差，八年级成绩更稳定，则八年级学生“汉字听写”大赛的成绩比较好； 八年级学生“汉字听写”大赛的成绩比较好． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）为积极响应国家体育发展试点城市建设号召，温州市某中学面向八年级学生开展“健康体育”知识间答系列活动，现从八年级参与活动的学生中随机抽取20名学生，记录成绩，相关数据统计、整理如下： 根据以上信息，解答下列问题 (1)补全学生成绩统计图． (2)这20名学生成绩的中位数为______分，众数为______分． (3)若八年级学生共有500人，估计成绩8分及以上的学生有多少人？ 【答案】(1)见解析 (2)7.5，7 (3)250人 【分析】本题考查了条形统计图，众数，中位数以及用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用20分别减去其它分值的人数可得9分的人数，再补全学生成绩统计图即可； （2）根据众数和中位数的定义解答即可； （3）用总人数乘样本中成绩8分及以上的学生所占比例即可． 【详解】（1）解：9分的人数有：（人）， 补全学生成绩统计图如下： （2）解：把随机抽取20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数是7，8，故中位数为（分）； 在这20名学生成绩中，7分出现次数最多，故众数为7分． 故答案为：7.5，7； （3）解：（人）， 答：估计成绩8分及以上的学生有250人． 题型二十 多边形内角和外角综合（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江·期中）若一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和综合，设这个多边形的边数是，根据多边形的内角和定理，外角和定理列出方程，然后解方程即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 根据题意得：， 解得：， 故选：． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，小明从点出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转，一直这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形外角和问题，有理数乘法的应用，掌握正多边形的外角和为是解题关键．由题意可知，当小明第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，再根据正多边形的外角和，得出小明所走过的图形是正十八边形，即可求解． 【详解】解：由题意可知，当小明第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形， 正多边形的外角和为，且每个外角都为， 正多边形的边数为，即小明所走过的图形是正十八边形， 路程为， 故选：A． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若n边形的内角和与外角和相等，则_______． 【答案】4 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，根据n边形的内角和为，外角和为，即可列出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， 故答案为：4． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）一个多边形的内角和比四边形内角和的4倍多，这个多边形的边数是____． 【答案】11 【分析】本题考查了多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．结合题意，根据四边形内角和等于，得到这个多边形内角和；再结合多边形内角和公式，通过求解方程，即可得到答案． 【详解】解：四边形内角和为 ∴这个多边形内角和为 ∵多边形内角和为 ∴ ∴ ∴这个多边形的边数为：11． 故答案为：11． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若一个多边形的内角和的比一个五边形的内角和多，那么这个多边形的边数是_______． 【答案】16 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角．设这个多边形的边数是，根据已知条件列出关于的方程式即可作答． 【详解】解：设这个多边形的边数是， ， 解得：． 故答案为：16． 题型二十一 中心对称的图形的识别（共4小题） 1．（25-26八年级下·浙江·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此进行逐一判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． C．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2．（24-25八年级下·浙江衢州·期中）下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】“中心对称图形是把一个图形绕着某一个点（即对称中心）旋转后，能够与原图完全重合”，据此判断即可． 【详解】解：A选项中的图形不是中心对称图形； B选项中的图形是中心对称图形； C选项中的图形不是中心对称图形； D选项中的图形不是中心对称图形． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形的识别． 根据中心对称图形的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 4．（24-25九年级上·浙江台州·期末）志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 题型二十二 利用旋转的性质求线段、角度等（共5小题） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据旋转的性质得出，根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据题意可得，将绕点旋转得到， 故， ∴， ∴． 故选：A． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得，，可得，，进而可得． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，且点恰好落在上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理．由旋转前后对应角相等，可得，再由三角形内角和为180度，即可求解． 【详解】解：由旋转得， 又 ， ， 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，，点为的中点，点为上任意一点，连结并将线段绕点逆时针旋转得线段，当点落在各边所在直线上时，的长度为__________． 【答案】或或 【分析】过点作于点，先求出根据点为的中点得，依题意有以下三种情况：①当点落在直线上时，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，进而得，，再求出得，据地可得出的长；②当点落在直线上时，过点作于点，的延长线交的延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形，设，则， ，证明和全等得，进而得，然后在中，根据得，建立方程，解出即可得出的长；③当点落在直线上时，过点作于点，过作，交延长线于点，则四边形是矩形，进而得同①证明和全等得，由①可知，然后根据即可得出的长，综上所述即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 四边形是平行四边形，，，， ，，，，， 在中，， ， 点为的中点， ， 点为上任意一点， 当点落在各边所在直线上时，有以下三种情况： ①当点落在直线上时，过点作，交的延长线于点，如图所示： ， ， 由旋转的性质得：，， ， 四边形是矩形， ， 根据平行线间的距离相等得： 在中， ， ； ②当点落在直线上时，过点作于点，的延长线交的延长线于点，过点作于点，如图所示： 同①证明：四边形是矩形， ， 设， 在中，， ， ， ， ， ， 在和中， ， 在中，， ， ③当点落在直线上时，过点作于点，过点作，交延长线于点，如图所示： 同①证明：四边形是矩形， ，， 同②证明：， 由①可知：， 综上所述的长为：或或． 故答案为：或或． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，图形的旋转变换及其性质，熟练掌握平行四边形的性质，图形的旋转变换及其性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点，分类讨论是解题的关键． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，构造旋转图形是本题的关键．将绕着点A逆时针旋转，得到，连接，，根据旋转可知：，，，，证明为等边三角形，得出，说明，得出当、O、E、D在同一直线上时，最小，即最小，根据勾股定理求出． 【详解】解：将绕着点A逆时针旋转，得到，连接，，如图所示： 根据旋转可知：，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、O、E、D在同一直线上时，最小，即最小， ∴的最小值为的长， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 故答案为：． 题型二十三 网格中的旋转问题（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上． (1)写出点的坐标． (2)先将向左平移2个单位，再作与所得三角形关于原点成中心对称的图形，得到，请在图中画出． (3)上有一点，经上述变换后所得的对应点为，则点的坐标为（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移和中心对称，正确画出对应的图形是解题的关键． （1）根据坐标系中点的 位置写出点的坐标即可； （2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律先得到向左平移2个单位后A、B、C的对应点坐标，再根据关于原点成中心对称的点横纵坐标都互为相反数得到的坐标，描出病顺次连接即可； （3）仿照（2）求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：向左平移2个单位后得到的点的坐标为， ∵与关于原点成中心对称图形， ∴． 2．（24-25八年级下·浙江·期中）下图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知点A，B，P在格点上．请解答下列问题． (1)在图1中找点Q，使A，B，P，Q四点构成一个平行四边形（要求点Q在格点上，画出一种情况即可）． (2)如图2，以点P为坐标原点建立直角坐标系．若，则点A关于P的对称点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，关于原点对称的点的特征， 对于（1），以为一边，作，交格点于点，则四边形是平行四边形，以为对角线，作，则四边形是平行四边形； 对于（2），先确定点A关于原点对称的点，再根据坐标特征得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，四边形，是平行四边形； （2）解：如图，点A关于点P对称的点是点，其坐标是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． 请画出绕顺时针旋转后的并写出点 的坐标． 【答案】画图见解析，，． 【分析】本题考查了作图——旋转变换，根据旋转的性质作图，即可得出答案，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求； 由图可得，，． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，把绕点按顺时针方向旋转后得到．（每个方格的边长均为1个单位） (1)画出； (2)并直接写出：的坐标为________，的坐标为________； (3)判断直线与直线的位置关系为________． 【答案】(1)见详解 (2)， (3)垂直 【分析】本题考查了旋转的性质和旋转作图，点的坐标，掌握旋转的作图方法是解题关键． （1）按照旋转的定义进行旋转即可； （2）由（1）中的图即可得坐标； （3）由旋转性质：对应线段所在的直线所交的角等于旋转角度可得结论． 【详解】（1）解：如图， （2）解：由（1）图可知点坐标为，点坐标为， 故答案为：，． （3）解：∵把绕点按顺时针方向旋转后得到， ∴直线与直线的位置关系为垂直． 题型二十四 利用平移、对称、旋转、中心对称设计图案（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影． (1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形． (2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形． （请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； 【分析】本题考查了利用轴对称和中心对称设计图案，掌握轴对称和中心对称图形的概念是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义画出图形，同时保证非中心对称图形即可（答案不唯一）； （2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）； 【详解】（1）组成一个轴对称图形而非中心对称图形如图所示， （2）组成一个中心对称图形而非轴对称图形如图所示， 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的定义画出图形； （2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）所求图形，如图所示． ．   （2）所求图形，如图所示． ．   【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，下列网格图都是由个相同小正方形组成，每个网格图中有个小正方形已涂上阴影，按下列要求涂上阴影． (1)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一个中心对称图形； (2)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一中心对称图形．请将两个小题依次作答在图，图中，均只需画出符合条件的一种情形 【答案】(1)利用中心对称图形的定义分析得出答案，见解析． (2)利用中心对称图形的定义分析得出答案，见解析． 【分析】中心对称图形是指绕着中心点旋转图形两部分完全重合，根据题目中的图形先作出对称中心，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，中心对称图形是指绕着中心点旋转 上半部的左侧与下半部分的右侧，上半部的右侧与下半部分的左侧重合，中心点在如图所示的位置， （2）解：如图所示，旋转180°后上半部的左侧与下半部分的右侧，上半部的右侧与下半部分的左侧重合，中心点在如图所示的位置， 【点睛】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握中心对称图形的定义是解题关键． 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）生活中因为有美丽的图案，才显得丰富多彩，以下是来自现实生活中的三个图案（图①、②、③）． (1)以上三个图中轴对称图形有___________；中心对称图形___________．（写序号） (2)请在图④中画出是轴对称图形但不是中心对称图形的新图案；在图⑤中画出是轴对称图形又是中心对称的新图案． 【答案】(1)图1、图2、图3；图1、图3 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形与中心对称图形的概念，分析各图形的特征求解； （2）由于圆既是轴对称图形又是中心对称图形，要在图4中画出是轴对称图形但不是中心对称图形的新图案，只需在圆内画出一个是轴对称图形但不是中心对称图形的图案即可，要在图5中画出是轴对称图形又是中心对称图形的新图案，只需在圆内画出一个既是轴对称图形又是中心对称图形的图案即可． 【详解】（1）解：图1、2、3是轴对称图形，图1、3是中心对称图形； （2）如图所示． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念及其应用． 题型二十五 利用平行四边形的判定判断结论是否正确（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江衢州·期中）如图，四边形的对角线交于点O，则不能判断四边形是平行四边形的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由不能判断四边形是平行四边形，符合题意； B、由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断四边形是平行四边形，不符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； D、由，可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断四边形是平行四边形，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，得到，推出，由此判断B；由得到，由此依据B判断C选项；添加，由此证明，得到，推出，由此判断D；由此得到A选项符合题意． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴； ∴四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； ∴； ∴四边形是平行四边形，故C正确，不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∴； ∴； ∴四边形是平行四边形，故D正确，不符合题意； 添加后，不能得出，进而得不出四边形是平行四边形，故A不能； 故选：A． 【点睛】此题考查了添加条件证明平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，已知四边形，对角线和相交于，下面选项不能得出四边形是平行四边形的是（　　） A．，且 B．， C．， D．，且 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定逐个进行判断即可． 【详解】解：、依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 、由，得出，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 、，，， ， ， ∴依据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能推出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 、不能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定的应用，能熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　　) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，利用平行四边形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由，，不能判定这个四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 题型二十六 利用平行四边形的性质与判断求解（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形的外部有四个全等的直角三角形，分别为，，，，连接，交于点O，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、交于点，连接，证明出四边形为平行四边形，得到，，推导出与的比，即得出与的比，即可解答与的比． 【详解】解：如图，设、交于点，连接，   ， ，， 由，得为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形、平行四边形、三角形全等相关知识点的应用，同高三角形的面积比的应用是解题关键． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，矩形中，，点E为直线的一点，连，平移至，连接，则四边形的面积是（    ）    A．15 B．40 C．20 D．30 【答案】B 【分析】求出矩形的面积，可得的面积，根据平移的性质可得四边形是平行四边形，然后可得答案． 【详解】因为矩形的面积 所以的面积， 由平移得：，， 所以四边形是平行四边形， 所以四边形的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是求出的面积． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，过对角线上任意一点P作，，且，若的面积为1，则的面积为（    ） A．9 B． C．12 D．18 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和三角形的面积，可以求得行四边形的面积，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 四边形是平行四边形，四边形、四边形，四边形均为平行四边形， ， ， ， ， ∵， ， ∵， ，（与平行四边形等高） ， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，明确题意，利用数形结合的思想解题，是解答本题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为______ ．    【答案】 【分析】延长至点，使，连接，通过勾股定理的逆定理得出是直角三角形，过点作于点，利用等面积法求出的长，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， 如图，延长至点，使，连接，   ， 又， 四边形是平行四边形， ， 在中，， 是直角三角形， 如图，过点作于点，则， ， 平行四边形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 题型二十七 利用平行四边形的判定证明（共5小题） 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质， （1）证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得证； （2）根据平行线的性质可得答案； 掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：由（1）知：， 又∵， ∴， 即的度数为． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，是的一条对角线，于点于点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 先证明，则，得到，即可证明为平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∴四边形是平行四边形． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，是的一条对角线，点、在上． (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接交于点O，首先根据平行四边形的性质得到，，然后求出，即可证明出四边形是平行四边形； （2）过点D作交的延长线于点G，求出，，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，连接交于点O ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形； （2）如图所示，过点D作交的延长线于点G ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 4．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，是的对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据四边形是平行四边形得，，再证明，得，可得，，即可得，，即可证明； （2）根据题意得，，在中，利用勾股定理可得，，，再利用平行四边形的面积公式即可计算． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形，， ， ，， 在中，， ， ，， ． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，对角线相交于点分别平分与． (1)求证：； (2)猜想与的关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)证明见解析 (2)与平行且相等，证明见解析 【分析】（1）由平行四边形性质得到，进而，再结合角平分线定义即可得证； （2）由（1）知，由平行线的判定与性质、三角形的判定与性质求证即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵分别平分与， ∴，， ∴； （2）解：与平行且相等． 证明如下： 由（1）知， ∴， ∵对角线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与平行且相等． 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、三角形全等的判定与性质．熟记相关几何判定与性质是解决问题的关键． 题型二十八 平行四边形的性质与判定应用（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）图1，图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，连结，请完成下列作图： (1)以为对角线在图1中作一个正方形．且正方形各顶点均在格点上； (2)以为对角线在图2中作出一个面积为8的平行四边形（不含矩形），且平行四边形顶点在格点上． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】（1）根据正方形的判定与性质，结合网格特点作图即可； （2）根据平行四边形的判定与性质，结合网格特点作图即可． 【详解】（1）解：如图所示的正方形即为所求 ∵，同理可求， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：如图所示的平行四边形即为所求： ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形即为所求． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图、平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握正方形，平行四边形的判定与性质． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知格点线段，请按要求画出格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个等腰三角形． (2)在图2中画一个，使得恰好平分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的判定画出图形（答案不唯一）； （2）以为对角线，构造平行四边形，即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）解：如图2中，即为所求（答案不唯一）． ． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期中）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为______cm．    【答案】 12 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】解：（1） ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 当关闭状态下，， 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型． 题型二十九 与三角形中位线相关求解（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（   ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，连接，根据题意得到是的中位线，即可得出结论，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形中，是中点，分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 由题意可知，线段的长度是定值， ∴线段的长度是定值， ∴线段的长不变， 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在四边形中，，，、分别是，的中点，则线段的取值范围(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答．连接，取的中点G，连接，．利用中位线定理可得，，利用三边关系可得的取值范围． 【详解】解：连接，取的中点G，连接，． ∵M是边的中点，G是的中点 ∴是的中位线， ∴； ∵N是的中点，G是的中点 ∴是的中位线， ∴ 在中，由三角形三边关系可知， 即， ∴， 当，即时，四边形是梯形， 故线段长的取值范围是． 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，则线段的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查中位线的性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．利用中位线求出，利用矩形性质求出，，利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，于点，点在上，连结，点分别是上的中点，连结．已知，若要求的长，只需知道（    ）     A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】D 【分析】此题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质、勾股定理等知识，连接，由四边形是平行四边形得到，证明是的中位线，是的中位线，得到，，证明，得到，由勾股定理得到，即可得到结论． 【详解】解：要求的长，只需知道线段的长，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵点分别是上的中点，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴要求的长，只需知道线段的长， 故选：D． 题型三十 与三角形中位线相关的证明（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江·期末）如图，在中，点是边的中点，点，G在边上，，交于E， ． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线定理． （1）根据等腰三角形三线合一得到，再利用三角形的中位线定理证明，再加上条件可证出结论． （2）先证明，再证明，可得到． 【详解】（1）证明：，， ． 又是边的中点， ∴， 为的中位线， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， 、分别是、的中点， ， ， ． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）利用三角形中位线的性质得，进而可得，即可求证； （）由可得，，利用勾股定理得，再根据平行四边形的性质得，，利用勾股定理求出即可求解； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形中位线的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在平行四边形中，，， 在中，， ∴． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，和的角平分线与交于点E，且点E恰好在边上． (1)求证：． (2)若，求的长； (3)点F为的中点，连接，交于点G，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，再由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得，据此可证明结论； （2）由平行四边形的性质得、，再说明可证得，同理，则，进而求出，再利用勾股定理求解即可； （3）取的中点H，连接，由三角形中位线定理得，且，再证得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 由（1）得 ∴，即AE的长为． （3）证明：如图，取的中点H，连接，则，    ∵点F为的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理： （1）根据三角形中位线定理得到且，进而证明，，则可证明四边形是平行四边形； （2）先利用勾股定理求出，再由平行四边形的性质求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴且， 又∵，即， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得， 又由（1）知，，且， ∴， 在中，，，， ∴由勾股定理得． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 期中真题百练通关（132题30类基础题型） 题型1 利用二次根式的运算判断等式是否正确（基础题） 题型16 求一组数据的平均数、众数、中位数以及方差基础题） 题型2 利用二次根式有意义的条件求参数取值范围（高频题） 题型17 平均数、众数、中位数以及方差相互求解（基础题） 题型3 利用二次根式的非负性求代数式的值 题型18 利用方差进行决策（重点题） 题型4 利用二次根式的性质化简（重点题） 题型19 数据的分析初步解答题（重点题） 题型5 二次根式的混合运算（计算题）（必考题） 题型20 多边形内角和外角综合 题型6 已知一元二次方程的解求参数或代数式的值 题型21 中心对称的图形的识别 题型7 解一元二次方程（计算题）（重点题） 题型22 利用旋转的性质求线段、角度等 题型8 利用根的判别式判断根的情况（高频题） 题型23 网格中的旋转问题 题型9 利用根的判别式求参数的取值范围（高频题） 题型24 利用平移、对称、旋转、中心对称设计图案 题型10 利用根与系数的关系进行求解 题型25 利用平行四边形的判定判断结论是否正确 题型11 利用根与系数的关系求参数（高频题） 题型26 利用平行四边形的性质与判断求解 题型12 根的判别式与根与系数的关系综合 题型27 利用平行四边形的判定证明（重点题） 题型13 一元二次方程实际应用之增长率问题（重点题） 题型28 平行四边形的性质与判定应用 题型14 一元二次方程实际应用之与图形有关问题 题型29 与三角形中位线相关求解（高频题） 题型15 一元二次方程实际应用之销售问题（重点题） 题型30 与三角形中位线相关的证明 题型一 利用二次根式的运算判断等式是否正确（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江台州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二 利用二次根式有意义的条件求参数取值范围（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）要使二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期中）二次根式中字母的取值范围为（      ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若成立，则满足的条件是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期中）若根式有意义，则x的取值范围是______________ ． 题型三 利用二次根式的非负性求代数式的值（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）实数x，y满足，则的平方根为______． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知实数a，b，c满足，则的值为_________． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期中）若a、b都为实数，且， _____． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知，则___________． 题型四 利用二次根式的性质化简（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江金华·月考）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知，，则代数式的值是（    ） A． B．0 C．4 D．1 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）设，则S最接近的数是（   ） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知，化简（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江金华·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 题型五 二次根式的混合运算（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期中）计算： (1) (2) 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1) (2) 题型六 已知一元二次方程的解求参数或代数式的值（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知m是关于x的一元二次方程的根，且，，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则______． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知一元二次方程的一根为，则a的值为_______． 4．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）设是方程的一个根，则的值为__________． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为_______． 题型七 解一元二次方程（计算题）（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解方程 (1)； (2)． 2．（24-25八年级下·浙江·期中）解下列方程： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期中）解方程： (1)； (2)． 4．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）解方程： (1)； (2)． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 题型八 利用根的判别式判断根的情况（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（    ） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．若是方程的解，则 B．若，则方程必有两个不相等的实数根 C．若，则方程必有两个不相等的实根 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 题型九 利用根的判别式求参数的取值范围（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D．且 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．（24-25八年级下·浙江衢州·期中）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 5．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知关于的方程有两个相等的实数根，若，，则与的关系正确的是 （   ） A． B． C． D． 题型十 利用根与系数的关系进行求解（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）设，是一元二次方程的两个根，则（        ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2025 B．2023 C．2024 D．2023 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的两根为，则的值为________． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一定二次方程，有两个实数根．设则的最大值为_____ 题型十一利用根与系数的关系求参数（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知m，n是有理数，并且方程有一个根为，那么______． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于x的一元二次方程的两根为，，当k取到最小整数时，此时代数式的值为______． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，且，则k的值为____________． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如果，是一元二次方程的两个根，那么，，已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则______． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为______________． 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 题型十二 根的判别式与根与系数的关系综合（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江·期中）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围． (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． (3)若方程的两个实数根为，满足，求此时的值． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两个实数根为，且，求的值． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)证明：该方程一定有两个不相等的实数根． (2)已知该方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边的长度，当这个直角三角形的斜边长为时，求m的值． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数，m≠1） (1)若方程一个根是2，求m的值及方程的另一个根？ (2)求证：此方程总有两个实数根． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根和． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 题型十三 一元二次方程实际应用之增长率问题（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）随着体育节的开展，浣江初中八年级学生关注篮球比赛的人数由月初的人，上升到月初的人，设月至月关注篮球比赛的人数月平均上升率为，根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江台州·期中）某地政府通过下调药品价格来解决老百姓看病贵、看病难的问题，某种药品经过连续两次调价，由每盒元下调至元，求平均每次下调的百分率．设平均每次下调百分率为x，根据题意列方程得（ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树676棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，则x的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）春暖花开，温州各园区的郁金香都盛开了．已知温州某郁金香园区2023年的赏花人数为5500人，预计2025年赏花人数将达到6050人．若设2023年至2025年赏花人数年平均增长率为，由题可列方程为（    ） A． B． C． D． 题型十四 一元二次方程实际应用之与图形有关问题（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是________．    2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用一条长的绳子围成一个面积为的长方形．设长方形的长为，则可列方程为________． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）小明为班级围建一个矩形蔬菜园，其中一边靠墙，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形． （1）当围成的菜园面积为时，的长为_____； （2）记，若围成面积比大的菜园，则的范围为_____． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1、则直角三角形的较长直角边长为________． 题型十五 一元二次方程实际应用之销售问题（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江衢州·期中）某商场销售某款上衣，刚上市时每件售价100元，一段时间之后开始滞销，经过两次连续下降后，每件售价81元，平均每天售出30件． (1)求平均每次降价的百分率． (2)为了尽量减少库存，“五一”期间商场决定再次降价，经调查发现，一件上衣每降价1元，每天可多售出2件，若商场销售额为4590元，则每件降价多少元？ 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）学校举行课外研学活动，需要实验器材A和B共50套，已知实验器材A的售价为180元/套，实验器材B的售价为100元/套，现商家优惠销售，器材A数量超过5套时，每增加1套，每套的价格降低2元，为保障盈利，每套售价不可低于150元；器材B每套按九折销售，设学校购买x套器材A (1)当时，根据以上信息完成填表： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） A x ______ B ______ ______ (2)若学校订购这批实验器材总价为5300元，则实验器材A和B各多少套？ 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） A x B 90 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）综合与实践：洗衣粉售价方案设计 某厂家生产的一种洗衣粉采用、两种包装，当前销售的相关信息如下表： 包装规格 含量（千克/袋） 2 1 成本（元/袋） 10 5 售价（元/袋） 25 17 日销量（袋） 60 40 该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋． 根据以上信息解决问题：设包装洗衣粉每袋售价提高元． (1)问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由． (2)当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元． ①求关于的函数关系． ②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？ 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）综合与实践：洗衣粉售价方案设计，某厂家生产的一种洗衣粉采用A、B两种包装，当前销售的相关信息如下表：该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋．根据以上信息解决问题：设包装洗衣粉每袋售价提高元（）． 包装规格 含量（千克／袋） 2 1 成本（元／袋） 10 5 售价（元／袋） 25 17 日销量（袋） 60 40 (1)问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由． (2)当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元（）． ①求关于的函数关系． ②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？ 题型十六 求一组数据的平均数、众数、中位数以及方差（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）在22，24，27，21，22，25，22，26这一组数据中插入一个任意数，则一定不会改变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班51名同学视力检查数据如表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 7 4 4 7 11 10 5 3 这51名同学视力检查数据的众数是（   ） A．4 B．4.7 C．7 D．4.6或4.3 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）李老师准备选一名同学代表班级参加数学竞赛，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的数学测试成绩统计如表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准选拔，则应选择的同学是（    ） 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）在一次中学生田径运动会上，男子跳高项目的成绩统计如下： 成绩（） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 人数（人） 2 8 6 4 1 表中表示成绩的一组数据中，众数和中位数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）数据1，4，5，9，6，5的中位数是_________，众数是_________． 题型十七 平均数、众数、中位数以及方差相互求解（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知一组数据，，的平均数和方差分别是2，，那么另一组数据，，的平均数和方差分别是_________． 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一组数据1，2，3，4，5，将这组数据的每个数都减去20得到一组新的数据，这组新数据的方差是__________． 3．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）已知一组数据：8，4，6，a，5的平均数为5，则这组数据的标准差为______． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）现有数据：1，4，3，2，4，．若该组数据的中位数是3，则_______． 题型十八 利用方差进行决策（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江衢州·期中）甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是，方差分别是，，，，则这四名同学跳高成绩最稳定的是________． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击．下列是关于他们射击成绩的平均数和方差的描述，其中能说明A成绩较好且更稳定的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）某校运动队为准备省运动会，对甲，乙两名同学100米短跑进行了6次测试，他们的成绩通过计算得：甲和乙的平均数相等，方差分别是，则关于甲，乙两人在这次测试中成绩稳定性的描述正确的是（　　） A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定 C．甲和乙一样稳定 D．无法比较 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）某班八上期末考试数学的平均成绩为78分，方差为225，如果每名学生都多考3分，下列说法正确的是（    ） A．平均分不变，方差不变 B．平均分变大，方差不变 C．平均分不变，方差变大 D．平均分变大，方差变大 题型十九 数据的分析初步解答题（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某校举办了“绿水青山，生态文明”知识竞赛（竞赛每一项的满分均为分，学生得分均为整数）．在这次竞赛中张山与李仕两位同学表现优秀，并将他们的四项成绩绘制成如图所示的条形统计图根据统计图解答下列问题： (1)补充完成下表： 姓名 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 张山 李仕 (2)若实践操作、环保论文、现场抢答、笔试得分按的比例折合成综合得分，请通过计算说明哪位同学的综合得分更高． 姓名 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分²） 张山 9 9 9 李仕 9 10 2．（25-26九年级上·浙江台州·期中）学校准备组织九年级游泳比赛，现将某班甲、乙、丙三位同学的5次游泳成绩整理成下列统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 9 乙 丙 8 根据以上信息，完成下列问题： (1)______，______； (2)若该班要从甲、乙、丙三位同学中选一位参加学校游泳比赛，你认为选谁更合适？请说明理由； (3)在比赛中，为避免受到极端值的影响，往往会采用“去掉一个最高分和一个最低分”的方式处理数据．若数据处理前后，某同学游泳成绩的方差分别为和，则与的大小关系为：______． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）某校为提高学生的汉字书写能力，开展了“汉字听写”大赛．七、八年级学生参加比赛，为了解这两个年级参加比赛学生的成绩情况，从中各随机抽取10名学生的成绩，数据如下（单位：分）： 七年级85  94  87  94  84  94  99  94  99  100 八年级84  93  88  94  93  98  94  100  97  99 统计量　   年级 平均数 中位数 方差 七年级 93 94 八年级 94 22.4 (1)计算表格中的值； (2)你认为哪个年级学生“汉字听写”大赛的成绩比较好?并说明理由．（从两个不同的角度说明推断的合理性） 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）为积极响应国家体育发展试点城市建设号召，温州市某中学面向八年级学生开展“健康体育”知识间答系列活动，现从八年级参与活动的学生中随机抽取20名学生，记录成绩，相关数据统计、整理如下： 根据以上信息，解答下列问题 (1)补全学生成绩统计图． (2)这20名学生成绩的中位数为______分，众数为______分． (3)若八年级学生共有500人，估计成绩8分及以上的学生有多少人？ 题型二十 多边形内角和外角综合（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江·期中）若一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，小明从点出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转，一直这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若n边形的内角和与外角和相等，则_______． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）一个多边形的内角和比四边形内角和的4倍多，这个多边形的边数是____． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若一个多边形的内角和的比一个五边形的内角和多，那么这个多边形的边数是_______． 题型二十一 中心对称的图形的识别（共4小题） 1．（25-26八年级下·浙江·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江衢州·期中）下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江台州·期末）志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型二十二 利用旋转的性质求线段、角度等（共5小题） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，且点恰好落在上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，，点为的中点，点为上任意一点，连结并将线段绕点逆时针旋转得线段，当点落在各边所在直线上时，的长度为__________． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是_____． 题型二十三 网格中的旋转问题（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上． (1)写出点的坐标． (2)先将向左平移2个单位，再作与所得三角形关于原点成中心对称的图形，得到，请在图中画出． (3)上有一点，经上述变换后所得的对应点为，则点的坐标为（用含的代数式表示）． 2．（24-25八年级下·浙江·期中）下图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知点A，B，P在格点上．请解答下列问题． (1)在图1中找点Q，使A，B，P，Q四点构成一个平行四边形（要求点Q在格点上，画出一种情况即可）． (2)如图2，以点P为坐标原点建立直角坐标系．若，则点A关于P的对称点的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． 请画出绕顺时针旋转后的并写出点 的坐标． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，把绕点按顺时针方向旋转后得到．（每个方格的边长均为1个单位） (1)画出； (2)并直接写出：的坐标为________，的坐标为________； (3)判断直线与直线的位置关系为________． 题型二十四 利用平移、对称、旋转、中心对称设计图案（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影． (1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形． (2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形． （请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，下列网格图都是由个相同小正方形组成，每个网格图中有个小正方形已涂上阴影，按下列要求涂上阴影． (1)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一个中心对称图形； (2)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一中心对称图形．请将两个小题依次作答在图，图中，均只需画出符合条件的一种情形 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）生活中因为有美丽的图案，才显得丰富多彩，以下是来自现实生活中的三个图案（图①、②、③）． (1)以上三个图中轴对称图形有___________；中心对称图形___________．（写序号） (2)请在图④中画出是轴对称图形但不是中心对称图形的新图案；在图⑤中画出是轴对称图形又是中心对称的新图案． 题型二十五 利用平行四边形的判定判断结论是否正确（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江衢州·期中）如图，四边形的对角线交于点O，则不能判断四边形是平行四边形的是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，已知四边形，对角线和相交于，下面选项不能得出四边形是平行四边形的是（　　） A．，且 B．， C．， D．，且 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　　) A．， B．， C．， D．， 题型二十六 利用平行四边形的性质与判断求解（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形的外部有四个全等的直角三角形，分别为，，，，连接，交于点O，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，矩形中，，点E为直线的一点，连，平移至，连接，则四边形的面积是（    ）    A．15 B．40 C．20 D．30 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，过对角线上任意一点P作，，且，若的面积为1，则的面积为（    ） A．9 B． C．12 D．18 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为______ ．    题型二十七 利用平行四边形的判定证明（共5小题） 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，是的一条对角线，于点于点，连接．求证：四边形是平行四边形． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，是的一条对角线，点、在上． (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求长． 4．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，是的对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，对角线相交于点分别平分与． (1)求证：； (2)猜想与的关系，并证明你的猜想． 题型二十八 平行四边形的性质与判定应用（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）图1，图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，连结，请完成下列作图： (1)以为对角线在图1中作一个正方形．且正方形各顶点均在格点上； (2)以为对角线在图2中作出一个面积为8的平行四边形（不含矩形），且平行四边形顶点在格点上． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知格点线段，请按要求画出格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个等腰三角形． (2)在图2中画一个，使得恰好平分的面积． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期中）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为______cm．    题型二十九 与三角形中位线相关求解（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（   ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在四边形中，，，、分别是，的中点，则线段的取值范围(    ) A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，则线段的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，于点，点在上，连结，点分别是上的中点，连结．已知，若要求的长，只需知道（    ）     A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 题型三十 与三角形中位线相关的证明（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江·期末）如图，在中，点是边的中点，点，G在边上，，交于E， ． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，和的角平分线与交于点E，且点E恰好在边上． (1)求证：． (2)若，求的长； (3)点F为的中点，连接，交于点G，求证：． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $