7.2.2复数的乘、除运算课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.2复数的乘除运算 学习目标 1.熟悉并掌握复数乘法和除法运算法则； 2.掌握复数乘除的运算律； 3.会在复数范围内解实系数的一元二次方程. 重难点 重点：掌握复数乘法和除法运算法则；理解并掌握复数除法运算的实质是分母的实数化 难点：复数的除法法则；复数范围内解方程 学习目标 1.熟悉并掌握复数乘法和除法运算法则； 2.掌握复数乘除的运算律； 3.会在复数范围内解实系数的一元二次方程. 复习回顾 复数加法与减法的运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则 z1＋z2＝ ， z1－z2＝ ___. 追问 两个复数相乘，会不会都类似于两个多项式相乘？它们的结果又会是怎样呢？ (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i 虚实各相加减 即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减). 复数乘法运算 你能仿照多项式乘法 的形式，尝试计算 ，你能得出什么形式？ 复数乘法法则： 设 , , 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律： 实数乘法有交换律、结合律等。复数的乘法也满足这些运算律吗？为什么？ 对于任意 ： 复数乘法运算 对任意复数z1=a+bi, z2=c+di，则 z1·z2 = (a+bi)(c+di ) = ac+adi+bci+bdi2 = (ac-bd)+(ad+bc)i z2·z1 = (c+di )(a+bi) = ac+bci+adi+bdi2 = (ac-bd)+(ad+bc)i 重要性质：（实数） 的结果是一个怎样的数？ 与 有什么关系呢？ 除法是乘法的逆运算。已知 复数除法运算 复数不能直接除，因此关键问题就是把分母变成实数. 分母实数化：上下同乘分母的共轭复数 ——复数的除法法则 复数范围内方程的解 例4 在复数范围内解下列方程： 解： 复数范围内方程的解 实数根 两虚根，且互为共轭复数 计算常用公式： (1)(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R); (2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R); (3)(1±i)2=±2i. 复数乘除法基础计算 （1） （2）(1－2i)(3＋4i)(－2＋i) （3） （5）(1＋2i)÷(3－4i) 在复数范围内解下列方程： 复数乘法运算 1.已知，则 A. B. C. D. 【分析】利用 ，通过复数乘法与模的性质快速计算 【详解】 已知，即. 当时，，; 当时，，. 所以. 则可得. 由可得 将代入中，得，解得或. 复数除法运算 2.欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】利用欧拉公式将复数化为代数形式，再通过分母实数化求出的代数形式，最后根据其坐标符号确定在复平面内的象限. 【详解】由题可得 所以 所以在复平面内对应的点为，位于第三象限 复数的乘方 3.已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【分析】先对进行分母实数化化简得到,再利用的幂的周期性 ()将指数 2025 拆分计算求出. 【详解】因为 所以. 故选：A 4.已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 【分析】先利用虚数单位的幂的周期性化简,再通过分母实数化求出复数 ,进而得到其共轭复数 ,最后确定的虚部. 【详解】 ，其虚部是1. 故选：C. 复数的乘方 复数范围解方程 5. 若 是关于 的实系数方程 的一个根， 求方程的另一个根，以及b和c值 [解析] 因为 是方程 的根， 所以 ，整理得 ， 又 ， ，所以 解得 故方程为 ，即 ， 解得 或 ， 所以方程的另一个根为 . 复数范围解方程 6. 若关于 的方程 有实数根，求锐角 的大小. [解析] 设 是方程 的实数根， 则 ， 所以 解得 则锐角 . 小结 1. 复数的乘法 2. 复数乘法的运算律 3. 复数的除法 分母实数化 $