精品解析：广东深圳市桃源居中澳实验学校2026届高三下学期考前热身考试数学试卷

2026届高三下学期三模热身考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则复数在复平面内所对应的点的坐标为（ ） A. （3，1） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简复数，即可得到复数对应点的坐标. 【详解】由，可得复数在复平面内所对应的点的坐标为，故选B． 2. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由， ， 则. 3. 一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，，13，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的40百分位数是（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】计算出极差，进而得到该组数据的中位数，得到，求出，进而利用百分位数的定义求出答案. 【详解】极差为，故该组数据的中位数是， 数据共6个，故中位数为，解得， ，故该组数据的40百分位数为从小到大第3个数， 故该组数据的40百分位数是. 故选：C 4. 已知中，若，且点在上，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】中，由，得， ，又，且点在上，则， 所以. 5. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【详解】由恰有5个零点， 则关于的方程恰有5个相异实根， 令，问题转化为满足的恰有5个不同的解. 作出函数的图象，如图所示， 由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且， 此时仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有两个相异实根， 而各仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有3个实根， 且各仅有1个实根， 且两实根均小于，则有三个实根，必有， 所以. 又，所以，此时的5个实根互不相等， 即恰有5个零点； 当时，仅有2个相异实根，且， 此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意. 所以实数的取值范围为. 故选：C 6. 在正四棱台中，，侧棱和底面所成角为，则该正四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，则可求，过作于，连接，则可求斜高，故可求侧面积. 【详解】如图，连接，则，过作于， 则，由正四棱台的性质可得平面， 故即侧棱和底面所成角， 所以，在中，可得， 过作于，连接，因为平面， 所以，而平面， 故平面，而平面，故， 而，则， 所以该正四棱台的侧面积为， 故选：B． 7. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，则， 由椭圆定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的离心率. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象关于点中心对称可知具有对称轴，再由得，再根据为上的偶函数且具有对称轴可得答案. 【详解】由函数的图象关于点中心对称可知， ，即， 可得，因此函数具有对称轴， 由，可得， 由为上的偶函数且具有对称轴，可得． 故选：B． 二.多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的周期为，且向右平移个单位后所得到的函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在处取极值 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据周期公式求出值，再结合函数平移后为奇函数的性质确定值，得到函数解析式.再根据正弦函数的性质，逐一判断、、各选项是否正确. 先对函数求导，再根据极值点的定义，判断选项是否正确. 【详解】由，得，则， 将向右平移个单位长度，得. 因为是奇函数，所以， ，得， . 由，得. 所以，. 选项A：令，则可转化为. 由，得，因在上单调递减， 故在上单调递减，故A正确. 选项B：因为，故B不正确. 选项C：当时，，故C正确. 选项D：，所以，， 所以在处一定不取极值，故D不正确. 10. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，点在圆上，则（ ） A. 若点的坐标为，则面积的最大值为 B. 最小值为5 C. 当与圆相切时，则面积的最小值为 D. 若过、的直线与圆相切，交抛物线于、两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A直线，利用面积公式计算即可；B分别求、的最小值；C将问题转化为求的最小值，再利用两点间距离公式求解；D设直线的方程，利用相切求出，再利用抛物线的定义求出弦长. 【详解】因为，所以，， 故当点位于圆与轴的交点时，底边上的高最大，最大为， 故面积的最大值为，故A正确； 当点位于原点时，最小，最小值为；当时，最小，最小值为， 故的最小值为，故B错误； 因为与圆相切，所以， 设，则， 则当时，取最小值， 故面积的最小值为，故C正确； 由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线， 因为直线与圆相切，所以，得， 联立，得， 设，则， 则， 则，故D正确. 故选：ACD 11. 定义: 曲线与曲线恰有三个交点，且这三个交点恰好能组成正三角形，则称互为 “正三角曲线”.下列说法正确的是（ ） A. 已知曲线与曲线恰有三个交点，且 关于原点对称，若 互为 “正三角曲线” ，则的离心率的取值范围为 B. 存在正数，使得曲线与曲线互为“正三角曲线” C. 存在实数，使得曲线与曲线互为“正三角曲线” D. 存在正数，使得曲线 与曲线互为 “正三角曲线” 【答案】AB 【解析】 【分析】设点 ，取 ，求得，得到，可判定A正确；化简方程，得到或得到这三个交点恰好能组成正三角形，可判定B正确；由方程得到或 且与 得到图象关于直线对称，得到曲线与直线相切，设切点为，利用导数的几何意义，求得切点，联立方程组，可判定C错误；假设互为“正三角曲线”，联立方程组，取两函数图象相邻的三个交点，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】对于A中，设点 ，则可取 ，则 ， 整理得，解得，即，可得 ， 则，所以的离心率的取值范围为，所以 A正确； 对于B中，由， 即或，故曲线表示两条直线； 若 互为“正三角曲线”，则直线与相切，则， 此时的圆心(0,0)到直线的距离为， 所以这三个交点恰好能组成正三角形，所以B正确； 对于C中，由，可得或 且与 互为反函数，故它们的图象关于直线对称， 曲线表示两条直线和； 若互为“ 正三角曲线”，则曲线与直线相切， 设切点为，则 ，可得，切点， 设为坐标原点，直线与曲线交于点， 则 ，所以 ，无解，所以C错误； 对于D中，假设互为“正三角曲线”，由 ， 可得 或 ， 如图所示,取两函数图象相邻的三个交点， 由图可知,正三角形的边上的高 , 为 的最小正周期，即 ,所以 ， 所以，解得， 当 且 时，曲线与曲线有四个交点 所以D错误. 故选：AB. 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则_____． 【答案】16 【解析】 【分析】通过求出部分项数值，发现奇数项的规律，进而求值即可. 【详解】数列首项为，通项公式为. 当时，，满足通项公式. 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，所以. 通过观察可知，奇数项构成公差为2的等差数列，通项公式为. 令，则，所以. 故答案为：16. 13. 已知，，且，，则的值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由平方关系求得，，再求出即可得解. 【详解】解：因为，，且，， 所以，，且， 则， 所以. 故答案为：. 14. 托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，则，且，，两两互斥．求出，，，以及，，，由全概率公式得，“求次品为第1台车床所加工的概率”，由贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥． 根据题意得：，，，， ，.由全概率公式得： ， “如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”， 所以由贝叶斯公式得：. 故答案为：. 四.解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）将两边平方，得，由余弦定理可得，进而求得； （2）①由三角形面积公式，结合正弦定理可求得，代入，可得，从而得到的周长. ②根据正弦定理、同角三角函数平方关系和三角形边角关系得到，的值，利用二倍角公式和两角和的正弦公式计算得到答案. 【小问1详解】 由两边平方，得， 由余弦定理得，又，所以. 【小问2详解】 ①由，得. 由及正弦定理，得，所以， 所以，又，所以. 所以的周长为. ②根据上述分析可知，，， 由正弦定理，因为，所以是锐角， 所以，可得 ， 计算可得. 16. 设函数. （1）当时，讨论的单调区间； （2）已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）减区间，增区间 （2）（i），（ii）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导，判断导数的正负得解； （2）（i）根据题意，只需让的所有极值均在内即可，求出极值运算得解；（ii）当时，显然成立；当时，由可证；当时，等价于证明，先证明，设，利用导数证明，得证；当时，取，可判断是偶函数，从而证明成立. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，， 当时，， 所以的单调增区间为， 单调减区间为. 【小问2详解】 （i），由，解得， ， 记，，， 记，则，， 因为恒成立，故， 则，解得， 所以的取值范围是. （ii）当时，等号成立； 下面证明当时，， 当时，有，故，此时，符合题意； 现考虑当时，成立，等价于证明， 不妨先证明，设，则， 故在上单调递增，于是，故， 于是，而， 故， 故当时，成立； 于是当时，成立； 取，当时，， 设， 且， 故是奇函数， 所以是偶函数，于是当时，成立， 综上，，即成立. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，M为中点，过点A作的垂线交于点N，交于点E. （1）证明：平面； （2）若，，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质证得平面，继而证得，再结合，即可证得线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式，即可得解. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 又因为平面，可得， 又因为，， 所以平面； 【小问2详解】 由题意可得两两互相垂直，， 以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为，， 可得，解得λ＝3，则. 所以. 设平面的法向量为， 由，令，则 则平面的一个法向量为， 由（1）得为平面的一个法向量， 可得0×1+1×（﹣1）+（﹣2）×2＝﹣5，，， 设平面与平面所成角为， 则|， 因此平面与平面所成角的余弦值为. 18. 某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于分）的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组的频数为. （1）求的值和样本容量； （2）估计所有参赛学生的平均成绩； （3）假设在抽取的样本中，男生比女生多人，女生的获奖率为，填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？ 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 附：， 【答案】（1），样本容量为 （2） （3）列联表见解析，无 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为可得的值，将第一组的容量除以第一组的频率可得出样本容量； （2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出平均数； （3）根据题意完善列联系表，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为可得，解得， 样本容量为. 【小问2详解】 所有参赛学生的平均成绩为. 【小问3详解】 由题意可知，获奖人数为人， 由题意可得如下列联表 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 所以，， 所以，依据小概率值的独立性检验，男生与女生的获奖无差异. 19. 已知无穷数列为严格增数列，且.双曲线的方程为为双曲线上两个不同的动点，其中在双曲线的右支上. （1）若，求双曲线的渐近线方程和焦点坐标； （2）若，且点为线段的中点，求实数的取值范围； （3）已知直线过双曲线的右顶点.若在双曲线的右支上，则称弦为双曲线的“同支弦”，否则称其为双曲线的“异支弦”.是否存在等差数列，使得对于任意正整数，双曲线“同支弦”弦长的最小值均大于双曲线“异支弦”弦长的最小值？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）渐近线方程；焦点坐标为. （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的标准方程求出的值，进而得到渐近线方程和焦点坐标. （2）先设出的坐标，再根据中点坐标公式得到关于的表达式，最后结合双曲线的性质求出的取值范围. （3）先设出直线的方程，然后分别联立直线与双曲线的方程，求出“同支弦”和“异支弦”弦长的表达式，再根据条件列出不等式，进而判断是否存在满足条件的等差数列. 【小问1详解】 当时，双曲线的方程为，此时. 根据双曲线渐近线方程可得. 根据可得，焦点在轴上，所以焦点坐标为. 【小问2详解】 ， ， ， ， ①，，代入上式 ②， 联立①②，得， ； 【小问3详解】 的右顶点为. 若直线的斜率为0，此时，为异支弦，. 若直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入， 得. 当时， 设，则 . 设，则. 当为异支弦时，，所以，即. 所以，所以异支弦最小值为. 当为同支弦时，. 因为，所以. 所以同支弦长最小值为，由已知，所以. 若是等差数列，设公差为，则一定存在一个充分大的，使 . 此时，不合题意，所以不存在这样的等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三下学期三模热身考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则复数在复平面内所对应的点的坐标为（ ） A. （3，1） B. C. D. 2. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 3. 一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，，13，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的40百分位数是（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 9 4. 已知中，若，且点在上，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在正四棱台中，，侧棱和底面所成角为，则该正四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 二.多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的周期为，且向右平移个单位后所得到的函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在处取极值 10. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，点在圆上，则（ ） A. 若点的坐标为，则面积的最大值为 B. 最小值为5 C. 当与圆相切时，则面积的最小值为 D. 若过、的直线与圆相切，交抛物线于、两点，则 11. 定义: 曲线与曲线恰有三个交点，且这三个交点恰好能组成正三角形，则称互为 “正三角曲线”.下列说法正确的是（ ） A. 已知曲线与曲线恰有三个交点，且 关于原点对称，若 互为 “正三角曲线” ，则的离心率的取值范围为 B. 存在正数，使得曲线与曲线互为“正三角曲线” C. 存在实数，使得曲线与曲线互为“正三角曲线” D. 存在正数，使得曲线 与曲线互为 “正三角曲线” 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则_____． 13. 已知，，且，，则的值是___________. 14. 托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是__________. 四.解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 16. 设函数. （1）当时，讨论的单调区间； （2）已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，M为中点，过点A作的垂线交于点N，交于点E. （1）证明：平面； （2）若，，求平面与平面所成角的余弦值. 18. 某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于分）的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组的频数为. （1）求的值和样本容量； （2）估计所有参赛学生的平均成绩； （3）假设在抽取的样本中，男生比女生多人，女生的获奖率为，填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？ 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 附：， 19. 已知无穷数列为严格增数列，且.双曲线的方程为为双曲线上两个不同的动点，其中在双曲线的右支上. （1）若，求双曲线的渐近线方程和焦点坐标； （2）若，且点为线段的中点，求实数的取值范围； （3）已知直线过双曲线的右顶点.若在双曲线的右支上，则称弦为双曲线的“同支弦”，否则称其为双曲线的“异支弦”.是否存在等差数列，使得对于任意正整数，双曲线“同支弦”弦长的最小值均大于双曲线“异支弦”弦长的最小值？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $