河北省邯郸市第十三中学2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

河北省邯郸十三中2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．（3分）如图、是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．（3分）下列各式中，是二次根式的是（　　） A． B．5 C． D． 3．（3分）在平行四边形中，与的度数之比为，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列命题中，其逆命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．全等三角形对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．两直线平行，内错角相等 5．（3分）下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，点是中点，表示竹竿端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则的长及在竹竿滑动过程中的情况是（　　） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 7．（3分）下列运算一定正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（　　） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 9．（3分）在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（　　） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲、乙都不可以 10．（3分）依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 11．（3分）如图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度为，支架的长度为，，保持此时△的形状不变，当平分时，点到的距离是（　　） A． B． C． D． 12．（3分）已知，则的值为（　　） A． B．3 C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　 ． 14．（3分）如图，数轴上点表示的数为，则的值是 　　． 15．（3分）如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，如果，，，那么的取值范围是　　 ． 16．（3分）如图，为正方形内一点，，垂足为，连接，，分别是，的中点，若，则的最小值是 　　． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角： 如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．设相邻两个结点之间的距离为，请你说说其中的道理． 18．（8分）小球从离地面为（单位：的高处自由下落，落到地面所用时间为（单位：．经过实验，发现与成正比例关系，而且当时，，试用表示，并求当时，小球落地所用的时间？ 19．（8分）小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长． 20．（8分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式的运算．规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： （1）接力中，自己负责的一步出现错误的是 　　； （2）请给出正确的求解过程． 21．（9分）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，已知，，． 求证：四边形是平行四边形． 22．（9分）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即，宽增加（即．得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 23．（11分）综合与实践：宽与长的比是（约为的矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用的黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等， 实践操作：下面我们折叠出一个黄金矩形（如图所示） 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸展平． 第二步：如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处． 第四步：展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图就是黄金矩形． 问题解决： （1）请在图1中证明四边形是正方形； （2）若，请通过计算来说明矩形是黄金矩形． 24．（12分）如图，已知菱形的对角线、相交于点，且，，现有线段上的一个动点（不与端点、重合）． （1）求证：点与点两点间的距离为长； （2）已知点为射线上一点，且，设，求的整数值． 河北省邯郸十三中2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A D D D A C C C D 题号 12 答案 C 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．（3分）如图、是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【分析】根据从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等即可得出答案． 【解答】解：表示这两条平行线间距离的线段有无数条， 故选：． 【点评】本题考查了平行线之间的距离，掌握从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等是解题的关键． 2．（3分）下列各式中，是二次根式的是（　　） A． B．5 C． D． 【分析】形如的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【解答】解：、被开方数为负数，不是二次根式，故此选项不符合题意； 、没有根号，不是二次根式，故此选项不符合题意； 、是二次根式，故此选项符合题意； 、根指数是3，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 3．（3分）在平行四边形中，与的度数之比为，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得，再根据与的度数之比为，即可求出的度数，即可求解． 【解答】解：四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 与的度数之比为， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 4．（3分）下列命题中，其逆命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．全等三角形对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．两直线平行，内错角相等 【分析】分别写出原命题的逆命题，再判断真假即可． 【解答】解：、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意； 、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题，不符合题意； 、两个全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题，不符合题意； 、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，正确写出一个命题的逆命题是解题的关键． 5．（3分）下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：、，不是最简二次根式； 、，不是最简二次根式； 、，不是最简二次根式； 、是最简二次根式； 故选：． 【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 6．（3分）如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，点是中点，表示竹竿端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则的长及在竹竿滑动过程中的情况是（　　） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可． 【解答】解：，为的中点， ， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线和两点之间的距离，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键． 7．（3分）下列运算一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根及立方根的定义计算各式即可． 【解答】解：，则符合题意， ，则不符合题意， ，则不符合题意， ，则不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查实数的运算，立方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．（3分）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（　　） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【解答】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，熟记“对角线相等的平行四边形为矩形”是解题的关键． 9．（3分）在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（　　） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲、乙都不可以 【分析】利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【解答】解：甲、， ， ， 整理得， 故甲满足题意； 乙、， ， ， 故乙符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键． 10．（3分）依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由菱形的判定方法，即可判断． 【解答】解：、，由勾股定理的逆定理推出四边形的对角线互相垂直，四边形的对角线又互相平分，判定是四边形是菱形，故不符合题意； 、四边形的四条边相等，判定四边形是菱形，故不符合题意； 、四边形的对角线互相平分，只能判定四边形是平行四边形，不能判定四边形是菱形，故符合题意； 、由同旁内角互补，得到四边形的两组对边平行，而四边形的邻边又相等，判定四边形是菱形，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 11．（3分）如图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度为，支架的长度为，，保持此时△的形状不变，当平分时，点到的距离是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点作于点，于点，根据角平分线性质得，先在△中，由勾股定理求出，再由三角形的面积公式求出，则，由此即可得出答案． 【解答】解：在△中，，， ， 过点作于点，于点，如图所示： 平分， ， 在△中，，，， 由三角形的面积公式得：， ， ， 点到的距离是． 故选：． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 12．（3分）已知，则的值为（　　） A． B．3 C． D． 【分析】先求出的值，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　 ． 【分析】根据分母不为零，被开方数大于等于零，列式，解答即可． 【解答】解：代数式有意义， ， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握以上知识． 14．（3分）如图，数轴上点表示的数为，则的值是 　　． 【分析】根据勾股定理以及数轴上的点表示的数是解决本题的关键． 【解答】解：由题意得，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查勾股定理、数轴上的点表示的数，熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解决本题的关键． 15．（3分）如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，如果，，，那么的取值范围是　　 ． 【分析】根据平行四边形的性质求出、，根据三角形的三边关系定理得到，代入求出即可． 【解答】解：四边形是平行四边形，，，，， 在△中，，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，求出、后得出是解此题的关键． 16．（3分）如图，为正方形内一点，，垂足为，连接，，分别是，的中点，若，则的最小值是 　　． 【分析】连接，根据三角形中位线定理得到，当取得最小值时，的值最小，得到点在以为直径的圆上，设的中点为，连接，当点在上时，的值最小，根据勾股定理得到，求得，于是得到的最小值． 【解答】解：连接， ，分别是，的中点， ， 当取得最小值时，的值最小， ， ， 点在以为直径的圆上， 设的中点为，连接， 当点在上时，的值最小， ， ， ， ， 的最小值， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角： 如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．设相邻两个结点之间的距离为，请你说说其中的道理． 【分析】根据勾股定理的逆定理进行证明即可． 【解答】解：根据题意得此三角形三边的长分别为、、， ， 以、、为边长的三角形是直角三角形． 【点评】本题考查考查了勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 18．（8分）小球从离地面为（单位：的高处自由下落，落到地面所用时间为（单位：．经过实验，发现与成正比例关系，而且当时，，试用表示，并求当时，小球落地所用的时间？ 【分析】依据题意，由待定系数法，可得函数解析式，根据自变量的值，可得函数值． 【解答】解：设，由时，，得 ，解得． 函数的解析式为， 当时，． 或（负根舍去）． 当时，小球落地所用的时间． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，关键是利用待定系数法求解析式． 19．（8分）小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长． 【分析】根据题意可知，在△由勾股定理求即可． 【解答】解：，， ， 在△中，， ， 解得． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△△是解题的关键． 20．（8分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式的运算．规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： （1）接力中，自己负责的一步出现错误的是 　甲、乙、丁　； （2）请给出正确的求解过程． 【分析】（1）根据二次根式的运算，化简运算，逐步判断即可得到结果； （2）根据二次根式的运算，即可得到结果． 【解答】解：（1）老师—甲，， 故甲的原计算错误； 甲—乙，， 故乙的原计算错误； 乙—丙，， 故丙的原计算正确； 丙—丁，不能再化简， 故丁原计算错误， 接力中，自己负责的一步出现错误的是甲、乙、丁， 故答案为：甲、乙、丁； （2） ． 【点评】本题考查了二次根式的化简和混合运算，掌握相应的运算法则是解题的关键． 21．（9分）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，已知，，． 求证：四边形是平行四边形． 【分析】证明可得结论． 【解答】证明：， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【点评】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，正确平行四边形的判定方法． 22．（9分）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即，宽增加（即．得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【分析】（1）依据题意，先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）依据题意，由矩形面积公式列式计算，然后比较大小即可； 【解答】解：（1）由题意可得：正方形的边长为：， ，． 矩形木板的面积为． （2）木工乙的想法可行，理由如下： 从长方形木板中裁出一个面积为，宽为， 裁出长为：， 由（1）得长方形的长为宽为， ，，， ，， 可以裁出所求的长方形木料． 木工乙的想法可行． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． 23．（11分）综合与实践：宽与长的比是（约为的矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用的黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等， 实践操作：下面我们折叠出一个黄金矩形（如图所示） 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸展平． 第二步：如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处． 第四步：展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图就是黄金矩形． 问题解决： （1）请在图1中证明四边形是正方形； （2）若，请通过计算来说明矩形是黄金矩形． 【分析】（1）由折叠的性质得出，，根据矩形的判定和正方形的判定可得出答案； （2）由勾股定理求出，则，根据黄金矩形的定义即可判断． 【解答】（1）证明：由矩形的性质可知， 由折叠可知，， ， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （2）解：， ， 在中，， 由折叠可知， ， 又， ， 矩形为黄金矩形． 【点评】本题考查了翻折变换、正方形的判定与性质、矩形的性质、黄金矩形的定义、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．（12分）如图，已知菱形的对角线、相交于点，且，，现有线段上的一个动点（不与端点、重合）． （1）求证：点与点两点间的距离为长； （2）已知点为射线上一点，且，设，求的整数值． 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得是线段的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线即可得出结论； （2）先求出，根据点在线段上（不与端点、重合）得，即，设，则，进而得，，，则，由此得，继而得，再根据的整数即可得出的值． 【解答】（1）证明：连接，如图所示： 四边形是菱形， ，， 是线段的垂直平分线， 又点在线段上（不与端点、重合）， ， 点与点两点间的距离为长； （2）解：四边形是菱形，，， ，，，，， 在△中，， ， 点在线段上（不与端点、重合）， ， 即， 设， 在△中，， ， ， ，， △是等边三角形， ，， 由（1）可知：， ， ， 是△的外角， ， ， ， ， ， ， 又的整数， ． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $