四川达州市渠县三江中学2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷

四川省达州市渠县三江中学2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．（4分）下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A．手可摘星辰 B．春风吹又生 C．举头望明月 D．鱼戏莲叶东 2．（4分）如图，已知直线a，b被直线c所截，则下列说法错误的是（　　） A．∠1与∠2互补 B．∠1与∠3是对顶角 C．∠2与∠4是同位角 D．∠3与∠4是内错角 3．（4分）下列运算结果错误的是（　　） A．3x﹣2x＝x B．x3÷x2＝x C．x3•x2＝x6 D．x2+2xy+y2＝（x+y）2 4．（4分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）如图所示，FE⊥CD，∠1＝65°22'，当∠2＝（　　）时，AB∥CD． A．24°68' B．24°38' C．25°68' D．25°38' 6．（4分）若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（　　） A．﹣8 B．±8 C．16 D．±16 7．（4分）已知∠1＝∠2，下列图形中，能确定AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 8．（4分）如果（x﹣4）（2x﹣3）＝2x2+mx+n，那么m、n的值分别是（　　） A．﹣11，12 B．11，12 C．﹣11，﹣12 D．11，﹣12 9．（4分）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a﹣3b）（3b+2a） B．（2a+b）（2b﹣a） C．（3m﹣n）（﹣3m+n） D． 10．（4分）如图，已知∠ABC＝∠ACB，且∠ABC，∠CAE和∠ACF的角平分线相交于点D．以下结论：①AD∥BC；②∠ABC＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④∠BDC＝∠BAC；⑤∠ADC＝∠ABC；其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．（4分）中芯国际于2025年官宣飞腾D2000成功完成5纳米工艺验证．即0.000000005米，用科学记数法表示为 　 　 米． 12．（4分）某公司低价收购一批新品种的柑橘．为统计柑橘在运输、储存中的损坏率，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中： 损坏柑橘质量n/kg 6.60 11.55 16.16 20.58 25.22 31.93 柑橘总质量m/kg 60 110 160 210 260 310 柑橘损坏的频率 0.110 0.105 0.101 0.098 0.097 0.103 据此估计这批新品种柑橘损坏的概率是　 　 （结果精确到0.01）． 13．（4分）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为 　 　 ． 14．（4分）若x+3y﹣3＝0，则3x•27y＝　 　 ． 15．（4分）如图，AB∥CD，点E和点F分别在AB和CD上，点G在AB和CD之间，连接EG和FG．∠EGF＝130°，过点E作射线EH，过点F作射线FK．且n∠AEH＝∠GEH，n∠DFK＝∠GFK，点P和点Q分别在FK和EH上，连接PQ，∠FPQ﹣∠EQP＝24°，则n的值是　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．（8分）计算： （1）； （2）（﹣xy2）3•（﹣3x2y）2． 17．（8分）化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2． 18．（8分）2023年3月5日，全国两会胜利召开，某学校就两会期间出现频率最高的热词：A．教育人才，B．社会保障，C．正风反腐，D．乡村振兴等进行了抽样调查，每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了 　 　 名同学； （2）条形统计图中，m＝　 　 ，n＝　 　 ； （3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少？ 19．（10分）如图，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F． 证明： ∵∠1＝∠3 （ 　 　 ）， ∠1＝∠2（已知）． ∴　 　 ＝　 　 （等量代换）． ∴AD∥BC （ 　 　 ）． ∴∠A+∠4＝180° （ 　 　 ）． ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠C+∠4＝180°（等量代换）． ∴　 　 ∥　 　 （同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠E＝∠F （ 　 　 ）． 20．（8分）如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D．若∠1＝69°，∠2＝68°，∠3＝111°．求∠4的度数． 21．（8分）如图，已知∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，则FH与CD平行吗？请说明理由． 22．（8分）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含x2的项和常数项． （1）分别求m、n的值； （2）求m2023n2024的值． 23．（10分）对于任意有理数a，b，c，d，我们规定（a，b）☆（c，d）＝a2﹣bc+d2． （1）填空：对于有理数x，k，若（x，k）☆（x，1）＝（x±1）2，则k＝　 　 ； （2）对于有理数x，y，若x+y＝12，（x+y，y）☆（2x+y，y）＝104． ①求xy的值； ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，点E在边CD上，连接BD，BF．若AB＝2x，AD＝x，EF＝2y，FG＝y，求图中阴影部分的面积． 24．（10分）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E． （1）求证：AD∥BE； （2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数． 25．（12分）已知：如图，AR∥CD，点B为CD上一点，∠A＝∠C． （1）如图1，求证：AB∥CR； （2）如图2，点E为线段CR上一点，∠DBE的角平分线与∠ARC的角平分线相交于点H，请直接写出∠BHR与∠BER的数量关系，不必写出证明过程； （3）如图3，在（2）的条件下，连接BR，且BR平分∠ABE，延长BE交AR的延长线于点F，过点F作FG⊥AF交线段BC于点G，FP平分∠BFG交线段HB的延长线于点P，若∠HRC＝5∠HBR，∠BHR﹣2∠HPF＝47°，求∠HRB的度数． 四川省达州市渠县三江中学2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C B D B A A C 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．（4分）下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A．手可摘星辰 B．春风吹又生 C．举头望明月 D．鱼戏莲叶东 【分析】不可能事件是不可能发生的事件，必然事件是一定会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． 【解答】解：A、手可摘星辰是不可能事件，符合题意； B、春风吹又生是随机事件，不符合题意； C、举头望明月是随机事件，不符合题意； D、鱼戏莲叶东是随机事件，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了随机事件，掌握随机事件的定义是关键． 2．（4分）如图，已知直线a，b被直线c所截，则下列说法错误的是（　　） A．∠1与∠2互补 B．∠1与∠3是对顶角 C．∠2与∠4是同位角 D．∠3与∠4是内错角 【分析】A．根据互为邻补角的定义和性质判断即可； B．根据对顶角的性质判断即可； C．根据同位角的定义进行判断即可； D．根据同旁内角的定义进行判断即可． 【解答】解：A．∵∠1和∠2是邻补角，∠1与∠2互补，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； B．∵∠1与∠3是对顶角，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； C．∵∠2与∠4是同位角，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； D．∵∠3和∠4是同旁内角，∴此选项的说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了角的有关概念，解题关键是熟练掌握对顶角、邻补角、同位角、内错角和同旁内角的定义． 3．（4分）下列运算结果错误的是（　　） A．3x﹣2x＝x B．x3÷x2＝x C．x3•x2＝x6 D．x2+2xy+y2＝（x+y）2 【分析】利用完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂乘法及除法法则逐项判断即可． 【解答】解：3x﹣2x＝x，则A不符合题意， x3÷x2＝x，则B不符合题意， x3•x2＝x5，则C符合题意， x2+2xy+y2＝（x+y）2，则D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法及除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4．（4分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据概率公式进行计算即可． 【解答】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， ∵“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张， ∴抽到“夏至”有两种等可能的情况， ∴从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是＝． 故选：C． 【点评】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 5．（4分）如图所示，FE⊥CD，∠1＝65°22'，当∠2＝（　　）时，AB∥CD． A．24°68' B．24°38' C．25°68' D．25°38' 【分析】由同位角相等，两直线平行，即可求解． 【解答】解：当∠DEN＝∠1＝65°22′时，AB∥CD， ∵FE⊥CD， ∴∠DEF＝90°， ∴∠2＝90°﹣65°22′＝24°38′， ∴当∠2＝24°38′时，AB∥CD． 故选：B． 【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 6．（4分）若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（　　） A．﹣8 B．±8 C．16 D．±16 【分析】根据完全平方式得出﹣my＝±4•y•4，求出即可． 【解答】解：∵4y2﹣my+16是一个完全平方式， ∴﹣my＝±4•y•4， 解得：m＝±16． 故选：D． 【点评】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的定义是关键． 7．（4分）已知∠1＝∠2，下列图形中，能确定AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 【分析】同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都可以判定两条被截直线平行． 【解答】解：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都可以判定两条被截直线平行判断如下： A选项：∠1和∠2是直线AE、DF被直线DA所截形成的同位角，当∠1＝∠2时，根据同位角相等，两直线平行可证AE∥DF，不能证明AB∥CD，故A选项不符合题意； B选项：∠1和∠2是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，当∠1＝∠2时，根据内错角相等，两直线平行可证AB∥CD，故B选项符合题意； C选项：∠1和∠2不是直线AB、CD被第三条直线所截形成的角，当∠1＝∠2时，不能判断AB∥CD，故C选项不符合题意； D选项：∠1和∠2不是直线AB、CD被第三条直线所截形成的角，当∠1＝∠2时，不能判断AB∥CD，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的判定，如果两条直线被第三条直线所截，解决本题的关键是判断∠1和∠2是由哪两条直线被截形成的角． 8．（4分）如果（x﹣4）（2x﹣3）＝2x2+mx+n，那么m、n的值分别是（　　） A．﹣11，12 B．11，12 C．﹣11，﹣12 D．11，﹣12 【分析】将原式按整式乘法运算展开，与2x2+mx+n的每一项一一对应即可． 【解答】解：原式＝2x2﹣8x﹣3x+12 ＝2x2﹣11x+12， ∵（x﹣4）（2x﹣3）＝2x2+mx+n， ∴m＝﹣11，n＝12． 故选：A． 【点评】本题考查整式乘法中多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答关键． 9．（4分）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a﹣3b）（3b+2a） B．（2a+b）（2b﹣a） C．（3m﹣n）（﹣3m+n） D． 【分析】根据平方差公式逐项分析判断即可． 【解答】解：A、（2a﹣3b）（3b+2a）＝4a2﹣9b2，能用平方差公式计算，符合题意； B、（2a+b）（2b﹣a）不能用平方差公式计算，不符合题意； C、（3m﹣n）（﹣3m+n）＝﹣（3m﹣n）（3m﹣n）不能用平方差公式计算，不符合题意； D、＝（，故不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键 10．（4分）如图，已知∠ABC＝∠ACB，且∠ABC，∠CAE和∠ACF的角平分线相交于点D．以下结论：①AD∥BC；②∠ABC＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④∠BDC＝∠BAC；⑤∠ADC＝∠ABC；其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平行线的性质对所给结论依次进行判断即可． 【解答】解：∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠EAC＝2∠ABC， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC． 故①正确． ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠DBC， ∴∠ABC＝2∠ADB． 故②正确． ∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF， ∴∠DAC＝∠EAC，∠DCA＝∠DCF， ∵∠EAC＝∠ACB+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD） ＝180°﹣（∠EAC+∠ACF） ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC） ＝180°﹣（180°+∠ABC） ＝90°﹣∠ABC ＝90°﹣∠ABD． 故③正确． ∵∠BDC＝∠DCF﹣∠DBC，∠BAC＝∠ACF﹣∠ABC， 又∵∠ACF＝2∠DCF，∠ABC＝2∠DBC， ∴∠BAC＝2∠DCF﹣2∠DBC＝2∠BDC． 故④错误． 同上述过程可知， ∠ADB＝∠ACB． ∵∠ACB＝∠ABC， ∴∠ADB＝∠ABC， 显然∠ADB≠∠ADC． 故⑤错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质及三角形的内角和定义以及外角定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．（4分）中芯国际于2025年官宣飞腾D2000成功完成5纳米工艺验证．即0.000000005米，用科学记数法表示为 　5×10﹣9 米． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.000000005＝5×10﹣9． 故答案为：5×10﹣9． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．（4分）某公司低价收购一批新品种的柑橘．为统计柑橘在运输、储存中的损坏率，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中： 损坏柑橘质量n/kg 6.60 11.55 16.16 20.58 25.22 31.93 柑橘总质量m/kg 60 110 160 210 260 310 柑橘损坏的频率 0.110 0.105 0.101 0.098 0.097 0.103 据此估计这批新品种柑橘损坏的概率是　0.10　 （结果精确到0.01）． 【分析】利用频率估计概率即可得出答案． 【解答】解：估计这批新品种柑橘损坏的概率是0.10， 故答案为：0.10． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 13．（4分）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为 　100°　 ． 【分析】由平行线的性质推出∠4＝∠2＝40°，得到∠5＝∠4＝40°，由平角定义即可求出∠3的度数． 【解答】解：∵两个平面镜是平行的， ∴∠4＝∠2＝40°， ∵∠5＝∠4＝40°， ∴∠3＝180°﹣40°﹣40°＝100°． 故答案为：100°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠4＝∠2． 14．（4分）若x+3y﹣3＝0，则3x•27y＝　27　 ． 【分析】由x+3y﹣3＝0可得x+3y＝3，把x+3y当做一个整体代入3x•27y＝3x+3y计算即可． 【解答】解：∵x+3y﹣3＝0， ∴x+3y＝3， ∴3x•27y＝3x+3y＝33＝27， 故答案为：27． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用，熟练掌握相关运算法则是关键． 15．（4分）如图，AB∥CD，点E和点F分别在AB和CD上，点G在AB和CD之间，连接EG和FG．∠EGF＝130°，过点E作射线EH，过点F作射线FK．且n∠AEH＝∠GEH，n∠DFK＝∠GFK，点P和点Q分别在FK和EH上，连接PQ，∠FPQ﹣∠EQP＝24°，则n的值是　　 ． 【分析】分别过点P，Q，G作PM∥AB，QN∥AB，GT∥AB，表示出，求出∠DFG﹣∠AEG＝50°，即可解答． 【解答】解：如图，分别过点P，Q，G作PM∥AB，QN∥AB，GT∥AB， ∵AB∥CD， ∴PM∥AB，QN∥AB，GT∥AB， ∴∠QPM＝∠PQN，∠AEH＝∠EQN，∠DFK＝∠FPM（两直线平行，内错角相等）， ∵∠FPQ﹣∠EQP＝24°， ∴∠FPM﹣∠EQN＝24°， ∴∠DFK﹣∠AEH＝24°， ∵n∠AEH＝∠GEH，n∠DFK＝∠GFK， ∴，，， ∴， ∵AB∥GT∥CD， ∴∠AEG＝∠EGT，∠DFG+∠FGT＝180°， ∵∠EGF＝130°， ∴∠AEG+（180°﹣∠DFG）＝130°， ∴∠DFG﹣∠AEG＝180°﹣130°＝50°， ∴， ∴， 所以n的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的性质，平行公理及推论，熟练掌握知识点，正确添加辅助线进行角度的和差计算是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．（8分）计算： （1）； （2）（﹣xy2）3•（﹣3x2y）2． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：（1）原式＝（﹣）2024×32024×（﹣） ＝（﹣×3）2024×（﹣） ＝（﹣1）2024×（﹣） ＝﹣； （2）原式＝﹣x3y6•9x4y2＝﹣9x7y8． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17．（8分）化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2． 【分析】首先利用完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则及平方差公式对括号内的式子进行化简，然后计算多项式与单项式的除法，最后把x，y的值代入求值即可． 【解答】解：原式＝[x2﹣2xy+y2﹣3x2+2xy+x2﹣y2]÷2x ＝（﹣x2）÷2x ＝﹣x， 当x＝1，y＝﹣2时，原式＝﹣． 【点评】本题考查的是整式的混合运算，以及乘法公式，正确对整式进行化简是关键． 18．（8分）2023年3月5日，全国两会胜利召开，某学校就两会期间出现频率最高的热词：A．教育人才，B．社会保障，C．正风反腐，D．乡村振兴等进行了抽样调查，每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了 　300　 名同学； （2）条形统计图中，m＝　60　 ，n＝　90　 ； （3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少？ 【分析】（1）根据A的人数为105人，所占的百分比为35%，求出总人数，即可解答； （2）C所对应的人数为：总人数×30%，B所对应的人数为：总人数﹣A所对应的人数﹣C所对应的人数﹣D所对应的人数，即可解答； （3）根据概率公式，即可解答． 【解答】解：（1）105÷35%＝300（名）， 故答案为：300； （2）n＝300×30%＝90， m＝300﹣105﹣90﹣45＝60， 故答案为：60，90； （3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是＝， 答：从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是． 【点评】本题考查概率，掌握条形统计图与扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力，作出正确的判断是解决问题的关键． 19．（10分）如图，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F． 证明： ∵∠1＝∠3 （ 　对顶角相等　 ）， ∠1＝∠2（已知）． ∴　∠2　 ＝　∠3　 （等量代换）． ∴AD∥BC （ 　同位角相等，两直线平行　 ）． ∴∠A+∠4＝180° （ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）． ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠C+∠4＝180°（等量代换）． ∴CF ∥EA （同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠E＝∠F （ 　两直线平行，内错角相等　 ）． 【分析】应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案． 【解答】证明：∵∠1＝∠3（对顶角相等）， ∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠A+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠C+∠4＝180°（等量代换）， ∴CF∥EA（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）， 故答案为：对顶角相等；∠2；∠3；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；CF，EA；两直线平行，内错角相等． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键． 20．（8分）如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D．若∠1＝69°，∠2＝68°，∠3＝111°．求∠4的度数． 【分析】根据邻补角的定义得到∠BAC＝180°﹣∠1＝180°﹣69°＝111°＝∠3，根据平行线的判定得到AC∥BD，根据平行线的性质，可得∠2+∠CDB＝180°，即可求解． 【解答】解：∵∠1＝69°， ∴∠BAC＝180°﹣∠1＝180°﹣69°＝111°＝∠3， ∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2+∠CDB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠CDB＝180°﹣∠2＝112°， ∴∠4＝∠CDB＝112°． 【点评】本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握平行线的性质与判定． 21．（8分）如图，已知∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，则FH与CD平行吗？请说明理由． 【分析】结合已知条件∠1＝∠ACB，根据同位角相等两直线平行，可证得DE∥BC，再根据两直线平行内错角相等可得∠2＝∠DCB，结合已知条件∠2＝∠3，可得∠DCB＝∠3，再根据同位角相等两直线平行即可得出结论． 【解答】解：FH∥CD，理由： ∵∠1＝∠ACB， ∴DE∥BC， ∴∠2＝∠DCB， 又∵∠2＝∠3， ∴∠DCB＝∠3， ∴FH∥CD． 【点评】本题考查了根据平行线的判定与性质证明，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 22．（8分）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含x2的项和常数项． （1）分别求m、n的值； （2）求m2023n2024的值． 【分析】（1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含x2和常数项得出2m+1＝0，﹣2+n＝0，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出m2023n2024＝m2023•n2023•n＝（mn）2023•n，根据（1）中得出的m和n的值，即可解答． 【解答】解：（1）（mx﹣2）（2x+1）+x2+n ＝2mx2+mx﹣4x﹣2+x2+n ＝（2m+1）x2+（m﹣4）x﹣2+n， ∵不含x2的项和常数项， ∴2m+1＝0，﹣2+n＝0， ∴，n＝2； （2）m2023n2024＝m2023•n2023•n＝（mn）2023•n， 由（1）知，，n＝2， 则原式＝． 【点评】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的、积的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则，正确得到m、n的方程是解答的关键，尤其（2）中利用积的乘方的逆运算求解是关键． 23．（10分）对于任意有理数a，b，c，d，我们规定（a，b）☆（c，d）＝a2﹣bc+d2． （1）填空：对于有理数x，k，若（x，k）☆（x，1）＝（x±1）2，则k＝　±2　 ； （2）对于有理数x，y，若x+y＝12，（x+y，y）☆（2x+y，y）＝104． ①求xy的值； ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，点E在边CD上，连接BD，BF．若AB＝2x，AD＝x，EF＝2y，FG＝y，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）由新定义可得（x，k）☆（x，1）＝x2﹣kx+1＝（x±1）2，从而可得答案； （2）①由新定义可得：x2+y2＝104，结合x+y＝12可得（x+y）2＝x2+2xy+y2＝144，从而可得答案； ②先表示；把xy＝20，x2+y2＝104代入计算即可． 【解答】解：（1）∵（a，b）☆（c，d）＝a2﹣bc+d2， ∴（x，k）☆（x，1）＝x2﹣kx+1＝（x±1）2， ∴k＝±2． 故答案为：±2； （2）①由题意知， ∵（x+y，y）☆（2x+y，y）＝104， ∴（x+y）2﹣（2x+y）y+y2＝x2+y2＝104， ∵x+y＝12， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝144， ∴2xy＝40， ∴xy＝20； ②由图可知，， ∵xy＝20，x2+y2＝104， ∴． 【点评】本题考查了完全平方式，掌握全平方公式的含义是关键． 24．（10分）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E． （1）求证：AD∥BE； （2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论； （2）根据AB∥CD，∠2＝60°，得到∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC＝60°，又根据∠BAC＝2∠EAC，得到∠BAC＝∠ACD＝40°，最后根据平角的定义可求出∠DCE的度数，从而可求得∠B的度数． 【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠DCE， ∵∠B＝∠D， ∴∠DCE＝∠D， ∴AD∥BE； （2）∵AB∥CD，∠2＝60°， ∴∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，∠B＝∠DCE， ∴∠EAC+∠BAC＝60°， ∵∠BAC＝2∠EAC， ∴∠EAC＝20°， ∴∠BAC＝∠ACD＝40°， ∵∠1+∠ACD+∠DCE＝180°， ∴∠DCE＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∴∠B＝∠DCE＝80°． 【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练运用定理进行推理是解答此题的关键． 25．（12分）已知：如图，AR∥CD，点B为CD上一点，∠A＝∠C． （1）如图1，求证：AB∥CR； （2）如图2，点E为线段CR上一点，∠DBE的角平分线与∠ARC的角平分线相交于点H，请直接写出∠BHR与∠BER的数量关系，不必写出证明过程； （3）如图3，在（2）的条件下，连接BR，且BR平分∠ABE，延长BE交AR的延长线于点F，过点F作FG⊥AF交线段BC于点G，FP平分∠BFG交线段HB的延长线于点P，若∠HRC＝5∠HBR，∠BHR﹣2∠HPF＝47°，求∠HRB的度数． 【分析】（1）由平行线的性质得到∠A＝∠ABD，再根据∠A＝∠C，等量代换推出∠C＝∠ABD，即可证明结论； （2）分别过点E，H作AR的平行线PQ，MN，设∠ABD＝x，∠ABH＝y，利用平行线的性质分别表示出∠BHR，∠BER，即可得出结论； （3）设∠HBR＝α，∠ABH＝β，则∠ABR＝α+β，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出∠C＝∠ABD＝2α，∠CRF＝180°﹣10α，根据∠C＝∠CRF，求出α＝15°，过点P作PK∥CD，过点H作ST∥CD，求出∠BHR＝105°+β，∠HPF＝45°，根据∠BHR﹣2∠HPF＝47°，求出β＝32°，即可解答． 【解答】（1）证明：∵AR∥CD， ∴∠A＝∠ABD， ∵∠A＝∠C， ∴∠C＝∠ABD， ∴AB∥CR； （2）解：2∠BHR+∠BER＝360°，理由如下： 如图：分别过点E，H作AR的平行线PQ，MN， ∵AR∥CD，AR∥PQ，AR∥MN， ∴AR∥MN∥PQ∥CD， 设∠ABD＝x，∠ABH＝y，则∠HBD＝x+y， ∴∠C＝x，∠BHN＝x+y， ∴∠ARC＝180°﹣x，∠PER＝x， ∵BH平分∠DBE，RH平分∠ARC， ∴， ∴， ∴∠BEP＝∠CBE＝180°﹣2x﹣2y， ∴∠BEP＝∠CBE＝180°﹣2x﹣2y ∴， ∵2∠BHR＝180°+x+2y， ∴2∠BHR+∠BER＝180°+x+2y+180°﹣x﹣2y＝360°； （3）解：设∠HBR＝α，∠ABH＝β，则∠ABR＝α+β， ∵BR平分∠ABE， ∴∠EBR＝∠ABR＝α+β， ∴∠HBE＝∠HBR+∠EBR＝2α+β， ∵BH平分∠DBE， ∴∠DBH＝∠HBE＝2α+β， ∴∠ABD＝∠DBH﹣∠ABH＝2α， ∴∠C＝∠ABD＝2α， ∵∠HRC＝5∠HBR， ∴∠HRC＝5α， ∵RH平分∠ARC， ∴∠ARH＝∠HRC＝5α， ∴∠CRF＝180°﹣10α， ∵AR∥CD， ∴∠C＝∠CRF，即2α＝180°﹣10α， ∴α＝15°， ∴∠C＝∠CRF＝30°，∠ARH＝∠HRC＝5α＝75°，∠CBE＝180°﹣2∠DBH＝180°﹣4α﹣2β＝120°﹣2β， ∴∠C＝∠CRF＝30°， 如图，过点P作PK∥CD，过点H作ST∥CD， ∴∠DBH＝∠THB＝2α+β＝30°+β，∠THR＝∠ARH＝75°， ∴∠BHR＝∠DBH+∠ARH＝7α+β＝105°+β， ∵∠CBH＝180°﹣∠DBH＝180°﹣2α﹣β＝150°﹣β， ∴∠KPB＝∠CBH＝150°﹣β， ∵FG⊥AF， ∴∠AFG＝90°， ∵AR∥CD， ∴∠CBE＝∠AFB＝120°﹣2β， ∴∠BFG＝∠AFG﹣∠AFB＝90°﹣（120°﹣2β）＝2β﹣30°， ∵FP平分∠BFG， ∴， ∵AR∥CD，PK∥CD， ∴AR∥PK， ∴∠KPF＝∠AFP＝∠AFB+∠PFB＝105°﹣β， ∴∠HPF＝∠KPB﹣∠KPF＝45°， ∵∠BHR﹣2∠HPF＝47°， ∴105°+β﹣2×45°＝47°， ∴β＝32°， ∴∠DBR＝∠DBH+∠HBR＝2α+β+α＝77°， ∴∠ARB＝180°﹣∠DBR＝180°﹣77°＝103°， ∵∠ARH＝75°， ∴∠HRB＝∠ARB﹣∠ARH＝103°﹣75°＝28°， 所以∠HRB的度数为28°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $