正弦定理、余弦定理综合练习卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

正弦定理、余弦定理综合练习卷 【题型速览】 一、正弦定理、余弦定理简单应用（判断三角形形状） 二、b+c与bc类型解答题 三、角平分线、中线问题 四、几何图形问题 【典型例题】 一、正弦定理、余弦定理简单应用（判断三角形形状） 1.在△ABC中，a-2 ccos B=0则此三角形的形状为() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形 2.在ABC中，cos9=a+C(a,b,c分别为角，B,C的对边，则ABC的形状为 22c () A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角 三角形 3.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinC+b=2bcos24+ +acosB,则ABC一 定为() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 4.(多选)下列命题中，正确的是() A.在△ABC中，A>B,.∴sinA>sinB B.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立 C.在△ABC中，若acos A=bcos B,则△ABC必是等腰直角三角形 D.在△ABC中，若B=60°，b2=ac,则△4BC必是等边三角形 5.(多选题)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的是() A.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形 B.若=b cos0sBc0sC,则aABC一定是等边三角形 C.若acos A=bcos B，,则△ABC一定是等腰三角形 D.若acos B+bcosA=a,则△ABC一定是等腰三角形 二、b+c与bc类型解答题 6.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC=26 (I)求cosC; (2)若ab=20,且a+b=9,求ABC的周长 7.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 bcosA=ccosA+acosC (1)求角A的大小： (2)若a=V7,b+c=4,求bc的值. 8.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、bC,已知△ABC的面积为 d 3sin A (I)求sin Bsin C; (2)若6c0sBc0sC=1,a=3,求△ABC的周长 9.ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c0s2A-3cosB+C)=1. (1)求角A; (2)若a=7,b-c=3,求b和C. 10.己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2 absin C=V3(b2+c2-a2) (1)求A; ②若力=子0，且a+6:3+压，求40C的面积 2 三、角平分线、中线问题 11.已知4BC的内角4，B,C的对边为a,hc,且simA-sinB_C-b sinC a+b (1)求角A; (2)若ABC的面积为4√5，E为BC的中点，且b+c=10,c>b,求ABC中线AE的长及 内角A的角平分线AD的长 12.△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍. )求$i面B sinC ②若AD=1,DC-=号，求BD和AC的长 13.△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,（a+b)=c2+3ab. (1)求角C的大小： (2)若a=3,c=7,D为AB边上的中点，求CD的长. 14在△4BC中，ab,c分别是内角4，B,C所对的边，且满足c0sB+、b + =0, cosC 2a+c (1)求角B的值； (2)若C=2,4C边上的中线BD= 2 求△ABC的面积 四、几何图形问题 15.如图，已知在△ABC中，M为BC上一点，AB=2AC≤BC,B∈0， 且sinB= 8 M ①)若AM=BM,求4C的值： AM (2)若AM为∠BAC的平分线，且AC=1,求△ACM的面积. 16.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=120°，AB=2,AD=2√2，△ABC的面积为5 D B (1)求AC: (2)求∠ACD 17.己知向量m=V3sinx,2cosx,i=(-2sinx,sinx,fx=m·i. (1)求∫(x)的单调增区间； (②)在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(C)=0,c=1,求a+b的最大值 正弦定理、余弦定理综合练习卷 【题型速览】 1、 正弦定理、余弦定理简单应用（判断三角形形状） 2、 b+c与bc类型解答题 3、 角平分线、中线问题 4、 几何图形问题 【典型例题】 一、正弦定理、余弦定理简单应用（判断三角形形状） 1.在中，则此三角形的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】由正弦定理，又因为， 所以．即，用两角和的正弦公式展开左边，得：，整理得， 所以，又因为和是三角形的内角，所以，此三角形为等腰三角形． 2．在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果. 【详解】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 3．在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 4.（多选）下列命题中，正确的是（ ） A．在中，， B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【解析】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确； 对于，在锐角中，，，，， ，因此不等式恒成立，正确； 对于，在中，由，利用正弦定理可得：， ，，，或，或， 是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误. 对于，由于，，由余弦定理可得：， 可得，解得，可得，故正确. 故选：. 5.（多选题）的内角的对边分别为，下列四个命题中正确的是（ ） A．若，则一定是锐角三角形 B．若，则一定是等边三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是等腰三角形 【答案】BD【解析】A选项：当时，， 为钝角.错误.B选项：因为， 所以，且所以，为等边三角形.正确. C选项：或. 不一定是等腰三角形.错误. D选项： 又因为，所以.即为等腰三角形.正确. 二、b+c与bc类型解答题 6．在中,角的对边分别为. (1)求; (2)若,且,求的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用同角关系式即得； （2）利用余弦定理求出第三边，即得. 【详解】（1）因为， 所以，又， 解得，又，为锐角， 所以； （2）因为，又， 所以， 解得， 所以周长为. 7．在中，角所对的边分别为，且 (1)求角的大小； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）利用正弦定理将已知的式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式化简计算可求出角， （2）利用余弦定理结合已知条件直接求解 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得，, 所以， 因为，所以， 因为，所以 （2）因为，， 所以由余弦定理得， 所以，解得 8. △ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 【答案】(1)(2) . 【详解】：（1）由题设得，即. 由正弦定理得. 故. （2）由题设及（1）得，即. 所以，故. 由题设得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周长为. 9．中，角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若，，求和． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用三角形内角和以及二倍角公式转换成关于的一元二次方程求解； （2）利用余弦定理，结合，联立方程求解，舍去负根即可． 【详解】（1）由，得①， ②， 将①和②代入，得， 解得，（舍去）， 因为，所以． （2）由（1）知，又，， 由余弦定理，得③， 将代入③，得， 化简得，即， 解得（舍去），， 所以． 10．已知的内角 的对边分别为 ，. (1)求A； (2)若，且，求的面积. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）利用三角形面积公式结合题设可得，化简得，即可求得答案； （2）结合所给条件，利用余弦定理可得，从而利用求得，进而得b,进而利用三角形面积公式求得答案. 【详解】（1）根据三角形面积公式有 , 因为，所以 ， 得 ， ，不适合该式，所以 ， 由，得. （2）由题意， 由余弦定理可得 ， 可得 ，所以由可得 得， 于是 ， 所以 的面积 . 三、角平分线、中线问题 11．已知的内角的对边为，且. (1)求角； (2)若的面积为，为的中点，且，，求中线的长及内角的角平分线的长. 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）由正弦定理得：，， ，又，. （2）由（1）知：，，解得：； 为的中线，， ， ，即中线的长为； 为内角的平分线，， ，， . 12.中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长． 【详解】（1），， ∵，，∴． 由正弦定理可知. （2）∵，， ∴．设，则，在△与△中，由余弦定理可知， ，， ∵，∴， ∴，解得，即． 13.中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若，，为边上的中点，求的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据余弦定理，结合完全和公式进行求解即可； （2）根据余弦定理进行求解即可. (1) ， 因为，所以； (2) 因为，，， 所以有，（舍去）， ， 解得：. 14.在中，分别是内角所对的边，且满足 ， （1）求角的值； （2）若 ，AC边上的中线， 求的面积. 【详解】 （1）, . .所以, （2）解法一：中线倍长法：延长BD到E，使BD=DE，易知四边形AECD为平行四边形， 在 中，EC=2，BE=2BD= ,因为，所以 ，由余弦定理 ，即，， 解得 ，所以 解法二：，所以，即 即，即，，解得 ，所以 四、几何图形问题 15．如图，已知在中，M为BC上一点，，且． (1)若，求的值； (2)若AM为的平分线，且，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由求得，由可得，结合得，利用正弦定理即可求得答案； （2）由余弦定理求得，根据角平分线性质定理可求得，再求得，由三角形面积公式可得答案. （1） 因为，, 所以， 因为， 所以由正弦定理知，即， 因为，所以，， 在中，． （2） 由题意知，设， 由余弦定理得，解得或． 因为，所以， 因为AM为的平分线， 所以（h为底边BC的高） 所以，故， 而由（1）知， 所以． 16．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为. (1)求AC； (2)求. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得； （2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可 【详解】（1）因为的面积为，所以. 又因为，，所以. 由余弦定理得，， ，所以. （2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以. 17.已知向量，，. (1)求的单调增区间； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的最大值. 【答案】(1)递增区间为，； (2). 【分析】(1)利用向量的数量积的坐标公式、二倍角公式和辅助角公式化简，然后利用整体代入法以及正弦函数的性质即可求解；(2)结合(1)中结论求出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换即可求解. （1） 由，， 得，， 所以的单调递增区间为，. （2） 由，得， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ，且， 当且仅当时，有最大值为， 故的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $