精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年高一下学期第一次数学定时作业数学试卷

重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年高一下学期第一次数学定时作业数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知方程的解为，求所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 空间中没有交点的两条直线是平行直线 B. 一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交 C. 已知空间中四条直线a，b，c，d，如果，，且，那么 D. 分别在两个平面内的直线是平行直线 4. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若，且是第四象限角，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 7. 如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则下列结论正确的有（ ） A. 复数对应的向量为 B. 的共轭复数为 C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 经过4小时，时针转了 B. 边长为6的正三角形的直观图的面积为 C. 已知非零向量，若，则的夹角为锐角 D. 若是所在平面上的一点，且满足，则为等腰三角形 11. 设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 当时，的取值范围为 C. 为奇函数 D. 方程有6个不同的实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算__________． 13. 已知正实数满足，则的最小值为__________． 14. 已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面内三个向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 在中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为，求边上的中线的长． 17. 如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． （1）求三棱锥的表面积； （2）求证：平面． 18. 在中，角所对的边分别为，． （1）求角； （2）若为锐角三角形，，求的面积的取值范围； （3）若恒成立，求实数的最小值． 19. 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）若分别为的零点，且． ①求的取值范围； ②设函数，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年高一下学期第一次数学定时作业数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算求得复数，可求复数的虚部. 【详解】由，得，所以， 所以，所以，所以的虚部为. 故选：A. 2. 已知方程的解为，求所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先构造函数判断单调性，再用零点存在定理算端点值判断零点所在区间即可. 【详解】设，因为和都是上的单调递增函数， 因此是上的单调递增函数，原方程的解就是的唯一零点. 当时，， 当时，， 由，可知单调函数的零点. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 空间中没有交点的两条直线是平行直线 B. 一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交 C. 已知空间中四条直线a，b，c，d，如果，，且，那么 D. 分别在两个平面内的直线是平行直线 【答案】C 【解析】 【分析】由空间直线的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A：空间中没有交点的两条直线可能平行，也可能异面，故错误， 对于B，一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条可能相交，也可能异面，故错误， 对于C，因为，且，则，又，则，正确， 对于D，分别在两个平面内的直线，可能平行，也可能相交，也可能异面，故错误， 故选：C 4. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，解得，即， 因为，， 所以在方向上的投影向量的坐标为. 5. 若，且是第四象限角，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角公式可得，再结合两角和差公式运算求解即可. 【详解】因为，且是第四象限角，则， 所以. 6. 在中，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【详解】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 7. 如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将侧面展开为平面，求出对应圆心角及弧长，再利用余弦定理计算两点间线段长度即可. 【详解】圆锥高底面，已知，​， 由勾股定理得母线长 ， 底面中劣弧的长度为，占底面圆周的， 圆的周长为，则几何体所在的圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为， 所以侧面展开图中的弧的长为， 设圆心角，由弧长公式得 ， 由余弦定理， 得，则从点出发沿曲面运动到点的最短路线的距离是. 8. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，， 当时，，此时， 当时，， 所以的最大值为． 因为对任意恒成立， 所以，即， 整理得，用数轴穿根法解得或， 即实数的取值范围是． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则下列结论正确的有（ ） A. 复数对应的向量为 B. 的共轭复数为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先把复数整理为标准代数形式，再按定义逐项验证即可. 【详解】因为，所以 选项A：因为复数 对应复平面内的向量为 ，因此 对应的向量应为 ，A错误； 选项B： 的共轭复数 ，B正确； 选项C：，C正确； 选项D：因为 所以，D正确. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 经过4小时，时针转了 B. 边长为6的正三角形的直观图的面积为 C. 已知非零向量，若，则的夹角为锐角 D. 若是所在平面上的一点，且满足，则为等腰三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：根据角的定义判断即可；选项B：根据斜二测画法原图形面积与直观图面积的关系计算即可；选项C：根据向量数量积的定义判断即可；选项D：取中点为，根据向量加法的平行四边形法则、向量减法及向量数量积运算得到，进而得到，判断即可. 【详解】对于选项A：时针每小时转，则4小时转过的角度为，A正确. 对于选项B：边长为6的正三角形的面积. 斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的倍， 因此直观图的面积为，B正确. 对于选项C：设与的夹角为，由得，. 又，所以，故C错误. 对于选项D：取中点为，连接. 因为， 所以，又为中点，所以为线段的垂直平分线，所以， 故为等腰三角形，所以D正确. 11. 设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 当时，的取值范围为 C. 为奇函数 D. 方程有6个不同的实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】先通过是偶函数得出函数的对称轴，再结合推导出函数的周期，借助函数的对称性和周期性做出函数的图象，数形结合即可判断函数的取值范围和方程根的情况. 【详解】由题意，是偶函数，则有， 则的图象关于直线对称，故， 又因为，用替换，得， 因此有，即， 于是，所以函数的周期， 对于A：，故A错误； 对于B：因为的图象关于直线对称，且时，，作出函数的图象，如下： 由此可得当时，的取值范围为，故B正确； 对于C：因为， 所以为奇函数，故C正确； 对于D：在同一平面内作出函数的图象与的图象，如上图所示： 可得方程有6个不同的实数解，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算__________． 【答案】1 【解析】 【分析】先利用正弦的奇函数性质，将负角化为正角，结合三角函数的周期性与诱导公式，再代入特殊角的三角函数值，按四则运算规则计算即可. 【详解】 13. 已知正实数满足，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用“”的代换结合基本不等式即可求解. 【详解】因为正实数满足，所以，所以， ，当且仅当时取等号，即，时，最小值为. 14. 已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件及三棱台的体积公式，可得正三棱台的高，根据正三棱台的性质及勾股定理，可得外接球的球心到下底面的距离，进而可得外接球的半径R，代入表面积公式，即可得答案. 【详解】因为正三棱台的上、下底面边长分别为、， 所以上底面面积，下底面面积， 设正三棱台的高为h，则体积， 则，解得， 上底面的中心到顶点A的距离， 下底面的中心到顶点D的距离， 因为，所以外接球球心O位于底面DEF的下方， 设外接球球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为，设外接球的半径为， 则，即，解得，则， 所以外接球的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面内三个向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示和相等向量的定义得到关于的方程组，解之即可得解； （2）用向量线性运算的坐标表示求得与,再利用向量平行的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 因为，则， 可得，解得. 【小问2详解】 因为， 则，， 若，则，解得. 16. 在中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为，求边上的中线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理得出，再利用余弦定理求出，最后利用同角三角函数关系即可； （2）利用面积公式得出，再利用可计算. 【小问1详解】 由以及正弦定理得，， 因为，所以由余弦定理可得， 因为，所以； 【小问2详解】 因为的面积为，所以， 得，则，， 因为是边上的中线，所以， 则， 故边上的中线的长为. 17. 如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． （1）求三棱锥的表面积； （2）求证：平面． 【答案】（1）4 （2） 连接，，设与的交点为，连接. 因为、是正方体中对边、的中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以为中点. 又为中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）借助正方体的结构特征求出三棱锥的表面积. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. 【小问1详解】 在正方体中，，、、两两垂直， 因为、、分别为、、中点，所以， 则，. 等腰底边上的高. 所以三棱锥的表面积为： . 【小问2详解】 略 18. 在中，角所对的边分别为，． （1）求角； （2）若为锐角三角形，，求的面积的取值范围； （3）若恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）正弦定理边化角，利用三角恒等变换即可求解； （2）正弦定理边化角结合三角形面积公式即可求解； （3）余弦定理结合三角形面积公式，得关于的齐次式，结合均值不等式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可变形成， 从而， 又，得，从而， 又，所以. 【小问2详解】 由的面积为， 由为锐角三角形，得，解得， 则，那么，从而. 【小问3详解】 由恒成立，即， 由， 即， 由，当且仅当，即时取等号 . 恒成立，即， 从而实数的最小值为. 19. 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）若分别为的零点，且． ①求的取值范围； ②设函数，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】(1)由，结合函数单调性得到不等式，求出答案； (2)①变形得到，即与有两个不同的交点，根据单调性和图象，数形结合得到答案； ②由①得，，且满足，即，，计算出后可得结果. 【小问1详解】 ，由，得，即 ，解得 的取值范围为. 【小问2详解】 ①为的零点，且， 有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根 ，即，解得 设，则函数与的图象有两个不同的交点 函数在上的图象，如图所示： 当时，函数单调递减，且； 当时，函数单调递增，且； 当时，取到最小值，即 函数与的图象有两个不同的交点 ②由①可知为的零点，且，， 且 ，， ，， 又 ，， ，即 的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $