2.1向量的加法课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

前情回顾 平面向量 的概念 概念 向量间关系 特殊向量 向量的模 表示 向量与数量 零向量 单位向量 平行（共线）向量 相等向量，相反向量 长度为的向量叫零向量，记为 模长为的的向量叫单位向量 有向线段 方向相同或相反 回顾数的研究路径,你能类比数的研究,给出向量的研究路径吗? 北师大版必修第二册·高一 第二章 平面向量及其应用 §2从位移的合成到向量的加减法 2.1向量的加法 学 习 目 标 1 2 3 理解向量加法的概念，了解向量加法的几何意义. 掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则及其运算律. 能熟练运用这两个法则作两个向量的加法运算和实际应用. 新知探究1 探究(1) 某质点从点经过点到达点，这个质点的位移如何表示？ 根据物理知识可知：这个质点从点 经过点到点 两次位移 的结果，与从点A直接到点C的位移 的结果相同，因此位移 可以看成是位移 与合成的，即位移可以看作是与的和 记作： 因为位移是向量，所以位移的合成可以看做向量的加法. 新知1 已知非零向量 ，在平面内任取一点，作， 则向量 叫做 与 的和，记作 ，即 1.向量加法的三角形法则： 向量的加法运算 向量加法的三角形法则的特点为：“首尾相连,首尾连”. 向量加法 平移 向量加法的 三角形法则 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的三角形法则． 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． 晶晶 郭 (晶郭) - 由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量,就是这两个向量的和向量. 晶晶 郭 (晶郭) - 练习巩固 例1：如图，在各小题中，已知非零向量，分别求作. 解：如图所示。 向量共线时，遵循三角形法则. 新知探究1 探究(2) 如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力与 的作用，你能作出这个物体所受合力吗？ 根据物理知识可知：合力 在以 ， 为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长． 从运算的角度看，可以看作 与 的和， 即 力的合成可以看做向量的加法. • 即：+ 新知1 2.向量加法的平行四边形法则： 向量的加法运算 向量加法的四边形法则的特点为：“共起点，连对角”. 如图，以同一点为起点的两个已知向量，，以、为邻边作□，则以为起点的向量（是□的对角线）就是向量与的和。 即 向量加法 向量加法的 平行四边形法则 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 力的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． 晶晶 郭 (晶郭) - 晶晶 郭 (晶郭) - 以这两个向量为邻边,作平行四边形,则由他们共同起点指向平行四边形对角顶点的向量,就是这两个向量的和向量 典例讲解 如图，已知向量 ，求作向量 。 两向量共线，不能构成平行四边形 向量加法的平行四边形法则不适用两共线向量！ 典题巩固 练习巩固 例2：如图，已知向量，，用两种法则求作向量. 解：作法1：在平面内任取一点(如下图1)， 作，.则. 作法2：在平面内任取一点(如下图2)，作，. 以为邻边作□，连接则 图1 图2 向量加法的三角形法则与平行四边形法则结果一样！ 概念辨析 思考：向量加法的三角形法则和平行四边形法则有何区别与联系？ (1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”． (2)向量的三角形法则适用于任意两个非零向量求和， 而向量的平行四边形法则仅适用于不共线的两个非零向量求和． (3)当两个非零向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则是统一的． 注:对于零向量与任意向量，规定： ． 互为相反向量的两个向量的和为零向量：+（-）=（-）+= 晶晶 郭 (晶郭) - 用适当的向量填空： 典例讲解 变 式 训 练 新知探究2 探究2 (1)用向量加法的三角形法则探索之间的关系？ 向量 与 时 |＋|＝||＋|| 当非零向量 与 不共线时， 满足 A A B C B C 向量 与 时 |＋| |||-||| 晶晶 郭 (晶郭) - 新知探究2 探究2 (2)向量 之间的关系？ 解析：当向量 与 中有一个是零向量时，不妨设 ，则 此时满足 一般地，对于任意向量 与 ，都有 成立； 当且仅当 ， 中有一个是零向量或 ， 是方向相同的非零向量时等号成立. 同理,对于任意向量 与 ，都有 成立； 当且仅当 ， 中有一个是零向量或 ， 是方向相反的非零向量时等号成立 典例讲解 例2：轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40nmile到达B处，再由B处沿正北方向行驶40nmile到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.(精确到0.1nmile)。 分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的合成位移， ， 设正东方向所在直线为，过点作垂线，垂足为点，在Rt△中，，，||=40n mile， ∴ =| ·40 ·sin30°)n mile( |=| ·40·cos30°（n mile） . 在Rt∆中，，|||=60（n mile）， |(n mile). 由||，得， 因此，此时轮船位于港北偏东30°且距港（n mile）的处. ① 交换律: 探究：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 探索新知 二、向量的加法的运算律 ② 结合律: 一组首尾相接的向量和： “首尾相接，连首尾” 探索新知 二、向量的加法的运算律 + 典例讲解 方法1：向量加法的三角形法则： 如图，在平面上任取一点A， ， 作 ， 例3：如图，已知向量，作出，并说出多个向量求 和的方法及依据. 则 . 典例讲解 方法2：向量加法的交换律 如图，在平面上任取一点A´， 作， 则 . A´ ， ， 例3：如图，已知向量，作出，并说出多个向量求 和的方法及依据. 化简 (1) (2) (3) (4) 典例讲解 变式训练 课堂小结 向量的 加法运算 三角形法则 平行四边形法则 向量三角不等式 首尾相连接 共起点，不共线 课后作业 基础层：1.整理知识框架 2.课本P87练习1，2，3 拔高层：P88练习5，6 $