精品解析：广东省中山市东升中学2025-2026学年高一上学期数学12月月考试题

2025年广东省中山市东升中学高一上学期数学12月月考 一、单选题 1. 命题“，“的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 的值（ ） A. B. C. D. 5. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A. 只有1个 B. 至少有2个 C. 至多有2个 D. 只有2个 7. 若，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 已知是R上的奇函数，当时，，函数，若，则实数x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 若角的终边上有一点，则 D. 若角为锐角，则角为钝角 10. 若实数，，满足．以下选项中正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 下列说法正确的序号是（    ） A. 偶函数的定义域为，则 B. 一次函数满足，则函数的解析式为 C. 奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则 D. 若集合中至多有一个元素，则 三、填空题 12. 求值：___________． 13. 如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是_______． 14. 已知函数，且在定义域上是单调函数，则实数a的取值范围为__________． 四、解答题 15. 已知角满足. （1）若，求，的值； （2）若角的终边与角的终边关于x轴对称，求的值. 16. 已知全集，集合 （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围. 18. 已知函数为奇函数 （1）求的值. （2）探究的单调性，并证明你的结论； （3）若存在实数，使得不等式成立，求的范围. 19. 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. （1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省中山市东升中学高一上学期数学12月月考 一、单选题 1. 命题“，“的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案． 【详解】解：命题“，“的否定是为，， 故选D． 【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全称命题和特称命题的否定方法是解答的关键． 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的性质与对数函数的性质列出不等式且，即可求解. 【详解】由题意可得且， 即且， 整理可得， 解得： 所以函数的定义域为 故选：C 3. 已知，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先化简命题p，再利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：由，得， 因为， 所以是的充分不必要条件， 故选：A 4. 的值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】. 故选：B. 5. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，进而得，再根据指数函数性质求解即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以，解得， 所以， 令得， 所以， 所以的图象过定点. 故选：D. 6. 已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A. 只有1个 B. 至少有2个 C. 至多有2个 D. 只有2个 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数的图象是连续不间断的， 且， 所以根据零点存在性定理，函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由，所以函数在区间上至少存在一个零点； 因此，函数在区间上至少存在2个零点. 故选：B. 7. 若，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相关指数函数、幂函数的性质判断大小关系即可. 【详解】因为在上为增函数，故， 又，且在上为增函数，故， 所以，即． 故选：B 8. 已知是R上的奇函数，当时，，函数，若，则实数x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合对数函数、幂函数及奇函数的性质确定函数单调性，进而求解不等式. 【详解】函数在上单调递减，则函数在上单调递增， 而是R上的奇函数，则函数在上单调递增，因此函数在上单调递增， 当时，，则， 所以时，，则，故时，， 当时，在上单调递增，此时， 综上，函数在上单调递增， 由，得，解得， 所以实数x的取值范围是. 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 若角的终边上有一点，则 D. 若角为锐角，则角为钝角 【答案】BC 【解析】 【分析】利用象限角的定义可判断A选项；利用扇形的面积公式可判断B选项；利用三角函数的定义可判断C选项；取可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为且为第二象限角， 故是第二象限角，A错； 对于B选项，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为， 因此，该扇形的面积为，B对； 对于C选项，若角的终边上有一点，则，C对； 对于D选项，因为为锐角，不妨取，则为直角，D错. 故选：BC. 10. 若实数，，满足．以下选项中正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐项进项检验即可求解. 【详解】因为实数，，所以（当且仅当时，也即时取等），整理可得：，故选项正确； 因为（当且仅当，也即时取等号），故选项错误； 因为，则有， 所以 （当且仅当，也即时取等号）因为，所以等号取不到，故选项错误； 因为，则有， 所以（当且仅当，也即时取等号），故选项正确， 故选：. 11. 下列说法正确的序号是（    ） A. 偶函数的定义域为，则 B. 一次函数满足，则函数的解析式为 C. 奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则 D. 若集合中至多有一个元素，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，由偶函数定义域对称解出参数即可； 对B，设，则可得，建立方程组求解即可； 对C，由单调性得，，由奇偶性得，，即可求解； 对D，分别讨论、解的个数即可 【详解】对A，偶函数的定义域为，，解得，A对； 对B，设一次函数，则， ∵，，解得或，函数的解析式为或，B错； 对C，奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为， ，，，，，C对； 对D，集合中至多有一个元素，方程至多有一个解， 当时，方程只有一个解，符合题意； 当时，由方程至多有一个解，可得，解得， 或，D错. 故选：AC 三、填空题 12. 求值：___________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用对数的运算公式可得答案. 【详解】 故答案为：0 13. 如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，计算，则阴影部分的面积为． 【详解】由题意，扇形的圆心角为，且 所以， 所以， 且， 所以阴影部分的面积为． 故答案为：． 14. 已知函数，且在定义域上是单调函数，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由于函数在定义域内单调递增，结合题意可知也是增函数，显然时不合题意，当时，对二次函数进行分类讨论，结合二次函数性质即可求得实数a的取值范围. 【详解】由于函数在定义域内单调递增，所以可得在定义域内是单调递增函数， 当时，函数在定义域内不单调，不符合题意； 当时，函数的对称轴为， 当时，函数在区间上单调递减，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增，若使在定义域内是单调递增的， 则需，解得，符合题意； 即实数a的取值范围为 故答案为： 四、解答题 15. 已知角满足. （1）若，求，的值； （2）若角的终边与角的终边关于x轴对称，求的值. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系结合可求出答案； （2）由题意可得，求出，再对所求式同时除以，代入化简即可. 【小问1详解】 ，即，又， 故，， 又，故，； 【小问2详解】 角的终边与角的终边关于轴对称，则，， ，， 故. 16. 已知全集，集合 （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）先求得，然后求得. （2）由可得是的子集，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，所以. （2）由于，所以是的子集，所以，解得，即实数的取值范围是. 【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数，属于基础题. 17. 二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用求得，由可求得，即得答案； （2）依题意可得当时，恒成立，参变分离可得恒成立，再令，，求出，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 由题意设， 由得； 由得， 即恒成立，故，则， 故； 【小问2详解】 因为当时，的图象恒在图象的上方， 所以当时，恒成立， 即当时，恒成立， 令，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 18. 已知函数为奇函数 （1）求的值. （2）探究的单调性，并证明你的结论； （3）若存在实数，使得不等式成立，求的范围. 【答案】（1）1；（2）单调递增 ，证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，得到，化简得出答案; （2）根据函数单调性的定义，先在区间上任取两个自变量且，然后作差比较其函数值的大小关系，从而得到函数的单调性; （3）由为奇函数，则不等式可化为，即，结合（1）得到的单调性和定义域可解. 【详解】（1）因为函数为奇函数 ∴，即 化简得 ∴; （2）为增函数. 证明：定义域为，任取设 即 所以为增函数; （3）由已知存在实数，使得不等式成立 由（1）可知只需存在实数,使得，即成立即可 令，易知在时单调递增 所以，所以. 【点睛】通过函数的奇偶性求函数中的参数时，一般来说要利用函数奇偶性的定义来求，当函数是奇函数，且定义域包含0时，可以利用求参数；第三问中的求不等式，不能直接代入函数，要充分的利用函数的单调性和定义域来求解. 19. 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. （1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果； （2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可. 【小问1详解】 当时，， 当时,， 所以. 【小问2详解】 当时，, ∴当时，， 当时, , 当且仅当，即时，， 因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $