精品解析：陕西西安市华山中学2025-2026学年高一数学第二学期4月质量检测试题

西安市华山中学高一数学第二学期4月质量检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中.只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对复数进行化简，再根据复数虚部的定义求出的虚部. 【详解】为了将分母实数化，给的分子分母同时乘以分母的共轭复数，即：  ， 所以的虚部为.  故选：D. 2. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 若是共线的单位向量，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】由共线向量、相等向量和数量积的概念逐项判断即可. 【详解】选项A：共线单位向量可同向也可反向，反向时，A错误； 选项B：相等向量的定义是方向相同、模长相等，因此若，必有，B正确； 选项C：时，两向量夹角为或，夹角为时，C错误； 选项D：若是零向量，零向量与任意向量平行，此时与可以不平行，D错误. 3. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由，列方程可求出，再由，列方程可求出，即可求得. 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以. 故选：C. 4. 已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且，则向量＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法运算，线性表示向量，可得选项. 【详解】如图，∵， ∴＝＋＝＋＝＋ (－)＝＋. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的线性表示，属于基础题. 5. 已知为不共线的非零向量，，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 6. 如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】以为坐标原点建立如图所示直角坐标系， 则，则， 则. 7. 如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的北偏西75°方向，则这时船与灯塔之间的距离是（ ） A. 10km B. 20km C. km D. km 【答案】C 【解析】 【分析】三角形为等腰三角形，利用正弦定理求出的长，即为这时船与灯塔的距离. 【详解】由题意，可得，，则， 在中，由正统定理得． 故这时船与灯塔之间的离是km. 故选：C. 8. 已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最小值. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、， 设点，则，，， 所以，， 则， 当且仅当，时，取最小值. 故选：B. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若复数，在复平面内对应点的坐标为 B. 复数的虚部为 C. 中，，，，此三角形有2解 D. 中，，此是等腰三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB，由复数的概念和几何意义即可判断，对于C，由正弦定理求得，再结合大边对大角即可判断，对于D，由边化角结合正弦二倍角公式即可判断. 【详解】选项A，由题意得复数，因此对应点坐标为，A正确， 选项B，化简，因此的虚部为，B正确， 选项C，由正弦定理，得， 又，故，既可以是锐角， 也可以是钝角（两种情况都满足三角形内角和小于），因此三角形有2解，C正确， 选项D，由正弦定理，可化为， 即，又， 可得（即，为等腰三角形）， 或（即​，为直角三角形）， 因此三角形是等腰三角形或直角三角形，并非一定是等腰三角形，D错误. 10. 点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（ ） A. 若，则点为的重心 B. 若．则点为的垂心 C. 若，则点为的外心 D. 在中，且，则为等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，如图 因为，所以，取中点， 则有，所以点三点共线，则为三角形中线， 同理所在直线也是中线，所以点为的重心，故A正确. 对于B，因为，所以， 所以，同理，，所以点为的垂心，故B正确 对于C，由B可知，选项C错误. 对于D，因为表示方向上的单位向量，同理表示方向上的单位向量， 由平行四边形法则，在的角平分线上， 又因为，所以的角平分线垂直于，所以为等腰三角形， 又因为， 所以，所以， 所以为等边三角形，D正确. 11. 在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用向量的线性运算判断AC，再利用三点共线得到，进而利用基本不等式与“1”的妙用即可得解. 【详解】如图所示，因为，则，即， 所以，故A错误； 又因为， 所以，故C正确； 因为三点共线，则， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误； 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确. 故选：BC. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分共15分，正确答案填在答题卡的横线上. 12. 平面向量，在上的投影向量为_____．（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，， 所以在上的投影向量为. 13. 复数满足，则的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合复数的几何意义，可知表示所对应的点到点的距离，从而可可求出的最大值. 【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义为所对应的点到点的距离， 因为， 所以的最大值为. 故答案为： 14. 在中，角所对的边分别为，且.若，则周长的最大值为______. 【答案】21 【解析】 【分析】将已知等式利用正弦定理统一成角的形式，化简后求得，由余弦定理结合基本不等式，可求得，即可得出三角形周长最大值. 【详解】解：因为，所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 由余弦定理得，即， 因为，所以， 得，当且仅当时取等号， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以周长的最大值为21. 故答案为：21. 四、解答题：本题共5个小题共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 当实数为何值时，复数是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？ 【答案】（1）；（2）且；（3）或. 【解析】 【分析】（1）根据是实数，可得出复数的虚部为零，分母不为零可得出关于的等式与不等式，由此可求得实数的值； （2）根据是虚数，可得出复数的虚部不为零，实部为零可得出关于的等式与不等式，由此可求得实数的取值范围； （3）根据是纯虚数，可得出复数的实部为零，虚部不为零可得出关于的等式与不等式，由此可求得实数的值. 【详解】（1）因为是实数，则，解得； （2）因为是虚数，则，解得且； （3）因为是纯虚数，则，解得或. 16. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）求； （3）若向量与夹角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）且. 【解析】 【分析】（1）先由数量积公式求出，故； （2）利用数量积运算法则计算出的值； （3）且与不同向共线，从而得到不等式，求出且.. 【小问1详解】 ， 故； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由题意得且与不同向共线， ，解得 令，即，解得，则， 综上，且. 17. 如图，在平面四边形中，，，的面积为． ⑴求的长； ⑵若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式求得，再由余弦定理即可得到的长； （2）由（1）可得，在中，利用正弦定理即可得的长． 【详解】⑴∵，，的面积为 ∴ ∴ ∴由余弦定理得 ∴ ⑵由（1）知中，， ∴ ∵,∴ 又∵ ， ∴在中，由正弦定理得 即,∴ 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题． 18. 已知在中，为中点，，，. （1）若，求； （2）设和的夹角为，若，求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）点为线段的中点 【解析】 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . 【小问2详解】 因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. 【小问3详解】 因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 19. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解． 【小问1详解】 由正弦定理可知，即， 所以， 又，所以， 因为，所以，因为，所以. 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则，即， 所以，② 由②①得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以， 即，则，即， 则，故的周长的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市华山中学高一数学第二学期4月质量检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中.只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 若是共线的单位向量，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 12 4. 已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且，则向量＝（ ） A. B. C. D. 5. 已知为不共线的非零向量，，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 6. 如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的北偏西75°方向，则这时船与灯塔之间的距离是（ ） A. 10km B. 20km C. km D. km 8. 已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若复数，在复平面内对应点的坐标为 B. 复数的虚部为 C. 中，，，，此三角形有2解 D. 中，，此是等腰三角形 10. 点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（ ） A. 若，则点为的重心 B. 若．则点为的垂心 C. 若，则点为的外心 D. 在中，且，则为等边三角形 11. 在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分共15分，正确答案填在答题卡的横线上. 12. 平面向量，在上的投影向量为_____．（用坐标表示） 13. 复数满足，则的最大值为________. 14. 在中，角所对的边分别为，且.若，则周长的最大值为______. 四、解答题：本题共5个小题共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 当实数为何值时，复数是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？ 16. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）求； （3）若向量与夹角为锐角，求实数k的取值范围． 17. 如图，在平面四边形中，，，的面积为． ⑴求的长； ⑵若，，求的长． 18. 已知在中，为中点，，，. （1）若，求； （2）设和的夹角为，若，求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 19. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $