几何最值模型提升：将军饮马问题、胡不归问题、阿氏圆问题专项训练-2026年中考数学一轮复习

几何最值模型提升：将军饮马问题、胡不归问题、阿氏圆问题专项训练 几何最值模型提升：将军饮马问题、胡不归问题、阿氏圆问题专项训练 考点目录 将军饮马问题 胡不归问题 阿氏圆问题 考点一 将军饮马问题 例1．（24-25九年级上·山东济宁·月考）如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，利用等腰三角形的三线合一的性质和角平分线的性质证明线段半径，根据切线的定义即可得出结论； （2）延长交于点，连接交于点，利用轴对称的性质中的将军饮马模型可得点为所求的点；连接，过点作于点H，利用等边三角形的判定定理可得为等边三角形，利用等腰三角形的性质与直角三角形的边角关系定理可求与的长，再利用勾股定理即可求得结论． 【详解】（1）证明：过点作与点，如图， ∵，， ∴平分． ∵，， ∴． ∵是圆的半径， ∴是圆的半径． 即：经过半径OD的外端，且垂直于半径， ∴是的切线； （2）解：在边上存在一点使有最小值． 延长交于点，连接交于点，连接，则此时最小． 连接，过点作于点，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴在中，． ∴在中，． ∵，， ∴． ∴． ∴在边上存在一点P使有最小值．的最小值为． 例2．（24-25九年级下·吉林长春·月考）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长为1，顶点称为格点，线段的端点均在格点上．按要求画图（只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）． (1)在图中画出一个以为边的等腰钝角三角形，使点C在格点上． (2)图中的面积为________． (3)在（1）的基础上，在线段上找点P，在线段上找点Q，使最短． 【答案】(1)作图见解析 (2)1.5 (3)作图见解析 【分析】本题重点考查了轴对称的性质，割补法求三角形面积，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）在网格中，通过观察和尝试，找到一个格点C，使得，且为钝角即可； （2）利用割补法计算的面积，将放置在一个边长为3的正方形中，用正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积以及一个小正方形的面积，即可得到的面积； （3）利用轴对称的性质求最短路径，要使最短，可以作点C关于线段的对称点，过作，根据垂线段最短，此时的长度即为最小值，从而确定点P，点Q． 【详解】（1）解：符合条件的点C有两个，如图，即为所求； （2）解：； （3）解：如图，作点C关于线段的对称点，则， ∴， 过作，此时，P，Q三点共线，有最小值，最小值为的长，此时P，点Q即为所求． 同理，当点C在线段右侧，作图如下， 例3．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当B、C、Q三点共线时，的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点Q； （3）设，而可得；；，再由等腰三角形的边的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点 ∴当时，； ∴ ∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴ 解得： ∴ ∴ （2）存在； 如图；连接与对称轴交于点；连接 ，此时的周长最小； ∵ 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线： ∴当时，代入得： ∴ （3）设，而 ∴；； ∵是以为腰的等腰三角形 ∴①当时，则；解得 当时，在一条直线上，故舍去； ∴ ②当时，则 ；解得： ∴；. 综上所述：点坐标为；；. 变式1．（24-25九年级下·江苏宿迁·月考）如图，二次函数的图像与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，直线是过点且平行于y轴的直线，在直线上是否存在点Q？使得的长度最短．若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P为二次函数图像上的一个动点，且．求P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据二次函数的图像与x轴交于点，代入函数求解即可； （2）由（1）可知，则直线是过点且平行于y轴的直线，作点关于直线的对称点，连接与直线交点是Q，此时的长度最短，设直线的表达式为，代入点的坐标求解即可； （3）在y轴上取点D，使得，则 设，得，在中，根据勾股定理得，解得，可得，由，可得，连接，作轴于点，点在函数上，设，则 ，可得，列出，分类讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点． ∴ ∴ ∴该二次函数的表达式为． （2）解：∵C在y轴上， ∴当时，，则， 如图，直线是过点且平行于y轴的直线，作点关于直线的对称点，连接与直线交点是Q，连接， 则，即， ∴当三点共线时，的长度最短， ∵点是点关于直线的对称点，直线是过点且平行于y轴的直线， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得 ， ∴直线的表达式为， 设， ∵在直线上， ∴， ∴； （3）解：如图，在y轴上取点D，使得， 则，， ∴ ， 设， ∵， ∴ ， 在中，根据勾股定理得，解得， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 连接，作轴于点， ∵点在函数上，设，则 ， ∴在中， ， ∴ ， 即：， 整理得：， ①当取正时，即在轴上方时，， 解得或（舍去不合题意）， 当时，， ∴， ②当取负时，即在轴下方时，， 解得或（舍去不符合题意）， 当时，， ∴ ， 综上所述：的坐标为或. 变式2．（2025·陕西宝鸡·一模）问题探究 （1）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的动点．当取得最小值时，的值是 ； （2）如图，在中，，，，点为边的中点，过点作于点，求的长； 问题解决 （3）如图，四边形的四边是某市产业新区的外环路，已知，，，，是其中的一条贯穿路，点、分别是线段、上的动点，且满足，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，现计划将区域修建成一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能的小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）的周长存在最小值，其最小值为． 【分析】（1）取点关于轴的对称点点，连接交轴于点，此时取最小值，设直线的解析式为，将点、点坐标代入求出解析式后，即可求得直线与轴的交点的坐标，可得值； （2）由勾股定理求出，证明后，由相似三角形的性质即可求出； （3）先证四边形是矩形，结合勾股定理求出，设，由平行线性质和正切值得出、、，证明后，由相似三角形的性质求出后即可得，即为定值，故只需求出的最小值即可，过作，作点关于的对称点，连接，则，即为的最小值，过作于点，由等面积法求出后即可得，再由勾股定理可得，周长的最小值即为． 【详解】解：（1）取点关于轴的对称点点，连接交轴于点， 由对称性质可得，，， 则取得最小值即取最小值， 且当点是与轴的交点时，取得最小值， 设直线的解析式为， 将，代入解得， 当时，， 即， ． 故答案为：． （2）在中，，，点为边的中点， ，， ， ， 是公共角， ， ， 即， 解得． （3），， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即， ， ， 即为定值，故只需求出的最小值即可， 如图，过作，作点关于的对称点，连接，则， ， 故为的最小值， 过作于点， 由等面积法知， ，， ， ， ， 周长的最小值为． 故的周长存在最小值，其最小值为． 变式3．（24-25九年级下·陕西西安·期中）【问题探究】 （1）如图 1，在 中， 为 的中点，连接 ，则 与 的位置关系是_____．     （2）如图 2，在 中， ， ， 是线段 上一动点(不与 、 重合)，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点 和点 分别是边 的中点． 试探究 和 的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图 3，正方形 是一块蔬菜种植基地，边长为 3 千米，对角线 为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路 上确定一点 (不与点 重合)，连接 ，以线段 为斜边，在 右侧建等腰直角 区域( )，用来种植新品有机蔬菜，并在 处设立蔬菜仓库． 点和 点为基地的两个蔬菜打包装运点， 在 上且 ． 现要沿 修建蔬菜运输轨道，请确定运输轨道 的最小值． 并求出当 最小时，有机蔬菜种植区域的面积 (即 的面积)．      【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）运输轨道的最小值为千米，的面积为平方千米． 【分析】（1）根据全等三角形的判定得出，进一步根据，即可推出，即证； （2）由题意连接，，先得出，同理可得，，进一步利用即可进行证明； （3）首先确定出的运动轨迹，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值，继而在中，由勾股定理得出，过作,交于点，利用相似性质得出，即可进一步求的面积． 【详解】解：（1）由题意知，在与中， ，（中点定义），， ， ， 又（平角定义）， ，即． 故答案为：． （2），理由如下： 如图，连接，， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ． （3）取中点，连接，过作，交于， 由正方形可得 , ， , ， ， , 是等腰直角三角形， 从而确定出的运动轨迹即如下图： , ，即最小值等于最小值, 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值， 正方形边长为3千米，是中点， 在中，由勾股定理得千米, ， 千米，千米， 千米， 在中，由勾股定理得千米， 即运输轨道的最小值为千米， 过作,交于点，如图， , , , 千米， 此时的面积为平方千米． 考点二 胡不归问题 例1．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，、为轴上的动点（点在点的下方）且，连接、．当最大时，此时点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，难度较大，属中考压轴题． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，直线的解析式，过点作平行于轴交抛物线于点，设，，，可得，再利用，求出，进而利用二次函数的最值求出当时，最小，最小值为4，此时，对于可利用三角形两边之差小于第三边求解，先利将点向下平移1个单位长度得，可得，即可得出，由此求出最大值为． （3）先求出平移后抛物线解析式为，再根据已知可得，然后根据点F在左侧时可得，由此求出直线的解析式为，进而联立解析式求出交点坐标，再根据对称求出另一种情况求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线（） 得， 解得， 所以抛物线的表达式为． （2）解：∵，，抛物线与轴交点为， ∴直线的解析式为，直线的解析式， ， 设，， 延长交于点，则 ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ， ∴，即 当时，最大，最大值为4，此时， 将点向下平移1个单位长度得， 连接、，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴当点在线段与抛物线交点上时，最大值，最大值为， 则的最大值， 综上所述，，的最大值． （3）解：， ①抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向右平移1个单位，向下平移3个单位得到新抛物线， ∵ ∴平移后抛物线的表达式为： ∵，， ∴， ， ∴， 当在左侧时，如图： ∵轴， ∴， ∴ ， ∵直线的解析式为，， 直线的解析式为 与抛物线联立得 方程组， 解得：（不合题意，舍去），， ∴． 如图2，当在右侧时，如图， 取点关于（即）的对称点， 则直线解析式为：， 直线与抛物线联立得 方程组， 解得：，（在第四象限，不合题意，舍去，）， ∴． 例2．（25-26九年级下·山东济南·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新拋物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标． 【答案】(1) (2)点F的坐标为；的最小值为 (3)点K的横坐标是或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴分别交x轴、于点、，对称轴交x轴于点，设，易求直线的解析式，从而得的坐标，利用“”得，进而可得，则，根据二次函数的性质值，即可求出点F的坐标；根据题意可知是“胡不归模型”，则构造，，且，当点、、在同一条直线上时，的值最小，利用勾股定理，计算，的值，即可求出最小值； （3）利用待定系数法求新抛物线和直线的解析式，得，根据题意可得，直线与直线的交点在射线上或在射线上两种情况，利用等腰三角形的性质和两点间的距离公式，求出交点、的坐标，从而求出直线的解析式，进而列方程，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点C， 当时，，则， ， ，， ，， ，， 抛物线与x轴交于A、B两点， ，解得， ； （2）如图，过点作轴分别交x轴、于点、，对称轴交x轴于点， ， 顶点，则，， 在中，， 设，则，，， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ，则，， 轴，轴， 轴， ， 又， ， ，轴， ， ， ，即， 则， ， ， 当时，取得最大值， 当时，， 当取得最大值时，点F的坐标为， 如图，作，过点作，使得， 在中，， ， ，即当点、、在同一条直线上时，的值最小， ， ，轴， ，则， 在中，，即， 则，即， 解得， ， ， ，， ， ， 则的最小值为； （3）点K的横坐标是或； 由平移可知，平移后解析式的二次项系数不变， 新抛物线的顶点， 新抛物线的解析式为：，即， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 当时，， ， ， 由图可得，直线与直线的交点在射线上或在射线上， 情况一：如图，当交点在射线上时，连接， 直线与直线所夹锐角为的两倍， 则， ， ，即是等腰三角形， ， 设， ，， ，， ， ， 左右平方，得， 解得，则， ， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 点的横坐标是4， 点K的横坐标是； 情况二：如图，当交点在射线上时，连接， 直线与直线所夹锐角为的两倍， 则， ， ，即是等腰三角形， ， 设， ，， ，， ，左右平方，得， 解得（舍去）或， 当，， ， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 点的横坐标是4， 点K的横坐标是， 综上：点K的横坐标是或． 例3．（24-25九年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在y轴的左侧），与y轴交于点C．已知抛物线的对称轴为直线，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为线段上一动点（不与端点重合），过点D作轴交抛物线于点P，过点P作交x轴于点E，F为线段上的一个动点，连接，当取得最大值时，求点D的坐标及的最小值； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿射线方向平移，在平移过程中斜边的对应边与原抛物线恰好只有一个交点时，记这个交点为点G．连接，过点B作交y轴于点H，设N是直线上一点，若点G关于直线的对称点恰好落在直线上，请直接写出所有符合条件的N点的横坐标，并写出必要的求解过程． 【答案】(1) (2)点D的坐标为，的最小值为 (3)或 【分析】（1）利用二次函数的对称轴，得到，再代入点A的坐标到抛物线，解出的值即可求解； （2）利用二次函数的性质求出点，的坐标，得出直线的解析式为，延长交轴于点，通过证明得到，设，得出的表达式，求出此时取得最大值时点的坐标，作直线，过点作轴交直线于点，利用三角函数的知识推出，作于点，则，再利用垂线段的性质和锐角三角函数的定义求出的最小值即可； （3）由平移的性质得，则设直线的解析式为，结合与原抛物线恰好只有一个交点，联立函数利用根的判别式求出的值，得出点的坐标，利用待定系数法求出直线和的解析式，连接交于点，连接、，利用对称的性质和平行线的性质推出四边形是菱形，得出，设，利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线， ， ， 代入得，， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：令，则， ， ， ， 令，则， 解得：，， ， 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得：， 直线的解析式为， 如图，延长交轴于点， 轴， ， ， ， ， ，即， ， ， 设，则，， ，， ， 当时，有最大值，即取得最大值，此时点D的坐标为， 作直线，过点作轴交直线于点， 令，则，解得， ， ， 在中，， ， 作于点，则， ， ， 当三点共线时，有最小值，此时， 过点作轴交直线于点，则， 令，则， ， ， 在中，， ， 的最小值为， 综上所述，点D的坐标为，的最小值为． （3）解：由（2）得，直线的解析式为， 由平移的性质得，， 设直线的解析式为， 联立， 消去整理得：， 与原抛物线恰好只有一个交点， ， 解得：， 代入得，， 解得：， ， 又， ， 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得：， 直线的解析式为， ，， 同理可得，直线的解析式为， 连接交于点，连接、， 点G关于直线的对称点为， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， 设， ， 解得：，， 符合条件的N点的横坐标为或． 变式1．（24-25九年级上·海南三亚·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①9；②．③ 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可． （2）①先求出抛物线的顶点坐标为，再根据四边形的面积计算即可； ②求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案； ③以点A为顶点作，过点G作于点M，得到三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置，利用解直角三角形求出答案即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为 ∴四边形的面积； 即四边形的面积 ②设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ③以点A为顶点作，过点G作于点M， ∴， ∴，即三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置， 如图： 由可知，当时，， ∴有最大值时，点E的坐标为， 则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为 变式2．（2025·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（1）10；（2）8；（3）． 【分析】本题是三角形综合题，涉及了解特殊的直角三角形、对角互补模型、最值胡不归模型、角平分线性质及判定、全等三角形的判定，解题关键是利用三角形全等转化线段和角的关系，由30度角、45度角的解直角三角形，求边长，构造胡不归模型利用垂线段最短求出最值． （1）易证，从而可得，，进而由含30度直角三角形性质可得； （2）如图2，取的中点O，连接、， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可证明是等腰直角三角形，，即可求出． （3）由已知可以求得证明，，再构造含30度的直角三角形求出，再利用胡不归模型构造的折线段，根据垂线段最短，得出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）∵，，； ∴； ∴， ∴， ∴． （2）如图②，取的中点O，连接、， ∵， ∴，， ∴，， ∴，； ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， （3）如图③，过点A作， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点A作交于点Q， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图④，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M， ∴，， ∴，， ∵，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴最小值为． 变式3．（24-25九年级下·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，若，函数的最小值为，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果将该抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形．当函数的图象与图形的公共点的个数大于时，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当取最大值时，函数的图象与图形的对称轴交于点，若过作平行于轴的直线交图形于点，过点作轴的平行线交函数的图象于点，为线段上的一点，动点从点出发，沿运动到点停止，已知点在上运动的速度为单位长度每秒，在上运动的速度为单位长度每秒．求当点运动的时间最短时，对应的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）令，解方程求得，得出，进而根据二次函数的性质，得出求得的值，即可求解； （2）先得出过点，根据题意画出图象，观察函数图象可得当过点时，与抛物线有3个交点，当与抛物线只有一个交点时，与图形有3个交点，进而得出的范围； （3）根据题意得出的最大值为，则，解方程得出或，进而分类讨论，根据胡不归问题作出辅助线，进而即可求解． 【详解】（1）解：令， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵，当时，， ∴过点 如图所示， 当过点时，与抛物线有3个交点， 将代入， 即 解得：， 依题意，当时的抛物线解析式为， 当与抛物线只有一个交点时， ∴ 消去得， ∴ 解得：或（舍去） 结合函数图象可得：当函数的图象与图形的公共点的个数大于时， ； （3）∵ ∴的最大值为 ∴ ∵ ∴抛物线的对称轴为直线 ∴当时，，则 当时，， 解得：， ∴或， 当时，如图所示，则， 令，代入，则 ∴，则， ∴， 如图所示，作关于的对称点，则，过点作于点， . ∴ ∴， 依题意，点在上运动的速度为单位长度每秒，在上运动的速度为单位长度每秒． ∵， 当在上时，取得最小值，即点运动的时间最短时， 此时如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示， 同理可得， ∴， 综上所述，或． 考点三 阿氏圆问题 例1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图所示，，半径为2的圆O内切于．P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 ________________． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形．过点M作于H，作于F，推出，进而有，由四边形是矩形得出，因此当与相切时，取得最大和最小，进而确定的最大值和最小值即可解答． 【详解】解：过点M作于H，作于F ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当与相切时，取得最大和最小， 如图，    连接，，， 可得：四边形是正方形， ， 在中，， ， 在中，， ， ∴． 如图，    由上知：，， ， ， ， ∴． 故答案为：． 例2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的性质作线段的等量转移是解题关键．作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，、与交于点、，则，，，当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长，过点作于点，求出，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为2，点O是边的中点， ，，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，与与交于点、， 则，，， ， 当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为，即， 故答案为：． 例3．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 __． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：延长到T，使得，连接，． ， ， 点D是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 变式1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________． 【答案】 【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答． 【详解】解：设⊙O半径为r， OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2， 取OB的中点I，连接PI， ∴OI＝IB＝， ∵， ， ∴ ，∠O是公共角， ∴△BOP∽△POI， ∴， ∴PI＝PB， ∴AP＋PB＝AP＋PI， ∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小， 作IE⊥AB于E， ∵∠ABO＝45°， ∴IE＝BE＝BI＝1， ∴AE＝AB−BE＝3， ∴AI＝， ∴AP＋PB最小值＝AI＝， ∵PA＋PB＝（PA＋PB）， ∴PA＋PB的最小值是AI＝． 故答案是． 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ___． 【答案】5 【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ得即AQ＝2，在AD上取AE＝1，证明△QAE∽△DAQ得EQ＝QD，故DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可． 【详解】解：如图，连接AC、AQ， ∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ， ∴∠ACB＝∠PCQ＝45°， ∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝， ∴∠ACB=∠PCO， ∴△BCP∽△ACQ， ∴ ∵BP＝， ∴AQ＝2， ∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上， 在AD上取AE＝1， ∵，，∠QAE＝∠DAQ， ∴△QAE∽△DAQ， ∴即EQ＝QD， ∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE， 连接CE， ∴， ∴DQ+CQ的最小值为5． 故答案为：5． 变式3．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________.    【答案】 【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值． 【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4      ∵AC=9，CD=6，CE=4 ∴ ∵∠ECD=∠ACD ∴△DCE∽△ACD ∴ ∴ED= 在△EDB中，ED+DB≥EB ∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB ∴ 在Rt△ECB中，EB= ∴ ∴2AD+3DB= 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $几何最值模型提升：将军饮马问题、胡不归问题、阿氏圆问题专项训练 几何最值模型提升：将军饮马问题、胡不归问题、阿氏圆问题专项训练 考点目录 将军饮马问题 胡不归问题 阿氏圆问题 考点一 将军饮马问题 例1．（24-25九年级上·山东济宁·月考）如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 例2．（24-25九年级下·吉林长春·月考）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长为1，顶点称为格点，线段的端点均在格点上．按要求画图（只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）． (1)在图中画出一个以为边的等腰钝角三角形，使点C在格点上． (2)图中的面积为________． (3)在（1）的基础上，在线段上找点P，在线段上找点Q，使最短． 例3．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 变式1．（24-25九年级下·江苏宿迁·月考）如图，二次函数的图像与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，直线是过点且平行于y轴的直线，在直线上是否存在点Q？使得的长度最短．若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P为二次函数图像上的一个动点，且．求P点的坐标． 变式2．（2025·陕西宝鸡·一模）问题探究 （1）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的动点．当取得最小值时，的值是 ； （2）如图，在中，，，，点为边的中点，过点作于点，求的长； 问题解决 （3）如图，四边形的四边是某市产业新区的外环路，已知，，，，是其中的一条贯穿路，点、分别是线段、上的动点，且满足，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，现计划将区域修建成一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能的小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 变式3．（24-25九年级下·陕西西安·期中）【问题探究】 （1）如图 1，在 中， 为 的中点，连接 ，则 与 的位置关系是_____．     （2）如图 2，在 中， ， ， 是线段 上一动点(不与 、 重合)，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点 和点 分别是边 的中点． 试探究 和 的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图 3，正方形 是一块蔬菜种植基地，边长为 3 千米，对角线 为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路 上确定一点 (不与点 重合)，连接 ，以线段 为斜边，在 右侧建等腰直角 区域( )，用来种植新品有机蔬菜，并在 处设立蔬菜仓库． 点和 点为基地的两个蔬菜打包装运点， 在 上且 ． 现要沿 修建蔬菜运输轨道，请确定运输轨道 的最小值． 并求出当 最小时，有机蔬菜种植区域的面积 (即 的面积)．      考点二 胡不归问题 例1．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，、为轴上的动点（点在点的下方）且，连接、．当最大时，此时点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 例2．（25-26九年级下·山东济南·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新拋物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标． 例3．（24-25九年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在y轴的左侧），与y轴交于点C．已知抛物线的对称轴为直线，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为线段上一动点（不与端点重合），过点D作轴交抛物线于点P，过点P作交x轴于点E，F为线段上的一个动点，连接，当取得最大值时，求点D的坐标及的最小值； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿射线方向平移，在平移过程中斜边的对应边与原抛物线恰好只有一个交点时，记这个交点为点G．连接，过点B作交y轴于点H，设N是直线上一点，若点G关于直线的对称点恰好落在直线上，请直接写出所有符合条件的N点的横坐标，并写出必要的求解过程． 变式1．（24-25九年级上·海南三亚·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 变式2．（2025·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 变式3．（24-25九年级下·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，若，函数的最小值为，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果将该抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形．当函数的图象与图形的公共点的个数大于时，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当取最大值时，函数的图象与图形的对称轴交于点，若过作平行于轴的直线交图形于点，过点作轴的平行线交函数的图象于点，为线段上的一点，动点从点出发，沿运动到点停止，已知点在上运动的速度为单位长度每秒，在上运动的速度为单位长度每秒．求当点运动的时间最短时，对应的点的坐标． 考点三 阿氏圆问题 例1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图所示，，半径为2的圆O内切于．P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 ________________． 例2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为______． 例3．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 __． 变式1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________． 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ___． 变式3．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________.    2 学科网（北京）股份有限公司 $