专题03 最值模型：胡不归、阿氏圆综合34种题型全归纳（精选近2年中考真题+模拟）（专项训练）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

专题03最值模型：胡不归、阿氏圆34种综合题型全归纳 目录 1/10 学科网（北京）股份有限公司 题型一二次函数+胡不归最值+锐角三角函数+点线最值 题型二二次函数+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型三一次函数背景+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型四等腰三角形+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型五等边三角形+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型六平行四边形+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型七直角三角形+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型八等腰三角形+圆背景+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型九等腰直角三角形+胡不归最值+两定一动+特殊系数+线段差形式 题型十等腰直角三角形+胡不归最值+三定一动+双特殊系数 题型十一等腰直角三角形+反比例函数背景+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型十二等边三角形+圆背景+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型十三胡不归最值+锐角三角函数+点线最值 题型十四二次函数+平行四边形+胡不归最值+平移 题型十五二次函数+旋转+胡不归最值+代数综合压轴 题型十六菱形+对角线+胡不归最值+点线最值 题型十七菱形+对角线+特殊角度+胡不归最值+点线最值 题型十八二次函数+阿氏圆最值+三角形背景+定弦定圆 题型十九二次函数+圆+阿氏圆最值+动点轨迹 题型二十二次函数+阿氏圆最值+坐标变换+定比线段 题型二十一直角三角形+圆+阿氏圆最值+定比线段构造 题型二十二直角三角形+圆+阿氏圆最值+动态半径 题型二十三圆+切线+阿氏圆最值+定角定距 题型二十四直角三角形+圆+阿氏圆最值+母子型相似构造 题型二十五二次函数+圆+阿氏圆最值+定比线段 题型二十六直角三角形+隐形圆+阿氏圆最值+定比线段 题型二十七三角形+隐形圆+胡不归最值+定角定弦 题型二十八等腰直角三角形+扇形弧+阿氏圆最值+中点 题型二十九圆+切线+阿氏圆最值+中点 题型三十直角三角形+圆+阿氏圆最值+定比线段 题型三十一三角形+定角+阿氏圆最值+双目标表达式 题型三十二扇形+弧+阿氏圆最值+中点 题型三十三正方形+圆+阿氏圆最值+中点 题型三十四几何综合+胡不归最值+阿氏圆最值 题型一二次函数+胡不归最值+锐角三角函数+点线最值 1．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，的最小值为 【分析】（1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点 ∴设，； ∵旋转， ∴， 当点在轴上方时， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：或； （3）存在； 在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：，的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 题型二二次函数+胡不归最值+两定一动+特殊系数 2．（2025·江苏无锡·三模）如图，抛物线与轴交于点，，顶点为，点为对称轴上一动点，的最小值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，解直角三角形，连接，，过点作，连接，过点作于点，设对称轴与轴交于点，得，进而可得当重合时，此时取得最小值，根据等面积法求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作，连接，过点作于点，设对称轴与轴交于点， ∵抛物线与轴交于点，，顶点为， ∴， 当时 解得： ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当重合时，此时取得最小值， ∵ ∴，即的最小值， 故选：A． 3．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为： 【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）求解的对称轴为直线，而，再利用二次函数的性质可得答案； （3）求解，，可得，求解直线为，及，证明在直线上，如图，过作于，连接，过作于，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵的对称轴为直线，而， ∴函数最小值为：， 当时，， 当时，， ∴函数值的范围为：； （3）解：∵， 当时，， ∴， 当时， 解得：，， ∴， ∴， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， ∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为， ∴， ∴在直线上， 如图，过作于，连接，过作于， ∵，， ∴，， ∵对称轴与轴平行， ∴， ∴， ∴， 由抛物线的对称性可得：，， ∴， 当三点共线时取等号， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 题型三一次函数背景+胡不归最值+两定一动+特殊系数 4．（2025·广东惠州·三模）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为，点Q为直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．作轴于点，求得，推出，当共线，且轴时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：作轴于点， ∵点Q为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当共线，且轴时，有最小值， ∵点P的坐标为， ∴，即的最小值为2， ∴的最小值为， 故选：D． 题型四等腰三角形+胡不归最值+两定一动+特殊系数 5．（2025·四川自贡·二模）等腰中，，于，点是线段上一个动点．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的有关计算，画出图形，过作于，过作于，根据结合求出，，得到，则，得到，再根据面积求出，得到的最小值为． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∵，于， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 题型五等边三角形+胡不归最值+两定一动+特殊系数 6．（2025·山西晋中·三模）如图，为等边三角形，平分，点为上一动点，连接，当取最小值时，的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，得到的最小值为的长是解决本题的关键． 过A作于F，过点E作于P，故，得到的最小值为的长，求出此时的的长即可． 【详解】解：过A作于F，过点E作于P， ∵为等边三角形，平分， ∴， ∴， ∴，即的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 此时点E是和的交点，如图， ∵，为等边三角形，平分， ∴，， ∴， ∵ ∴， 解得（负值已舍去） 故选：C． 题型六平行四边形+胡不归最值+两定一动+特殊系数 7．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，平行四边形中，，，，为边上的一动点，则最小值等于. 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，锐角三角形函数的应用，垂线段最短等知识，根据题意添加合适的辅助线是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为， ∵， ∴， 故答案为：． 题型七直角三角形+胡不归最值+两定一动+特殊系数 8．（2025·吉林·二模）【问题原型】如图①，在中，是线段上任意一点，试探究的最小值． 【问题探究】如图②，小明首先以为一边作．然后，作，由三角函数的定义，将转化为．于是求的最小值就转化为求的最小值．当点A、P、H在一条直线上时，即可求出的最小值． 以下是小明的部分求解过程： 由【问题探究】的作法可知 过点作射线使，作于 在中， 求解过程缺失 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图③，在中，为边CD上的一动点，直接写出的最小值____________．并用圆规和无刻度的直尺在图③中确定点的位置（保留作图痕迹）； 【问题迁移】小明在此基础上想求解的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接写出最小值____________． 【答案】[问题探究]见解析；[问题应用]，尺规作图见解析；[问题迁移] 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形，勾股定理，掌握用转化的思想思考问题是关键． [问题探究]按照题中思路将过程补充完整即可解答； [问题应用]过点作，交的延长线于点，有锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为; [问题迁移]根据题意画出图形求解即可， 【详解】[问题探究]解：过点作射线使，作于 在中， ， ， ， 当点A、P、H在一条直线上时，有最小值， 此时； [问题应用]解：如图，过点作，交的延长线于点， ，， ， ， ， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， ， ， 故答案为：； 尺规作图如下： 以点为顶点作，则，与的交点即为点， ； [问题迁移]解：如图，，， ， 令， 根据勾股定理可得， ，， ， 求的最小值，即求的最小值， 当三点共线时，的值最小，为的长度， 连接， , ， ， 根据勾股定理可得， ， 即的最小值为， 故答案为：． 题型八等腰三角形+圆背景+胡不归最值+两定一动+特殊系数 9．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②的最小值为． 【分析】本题考查与圆的性质概念，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键． （1）连接、，由“直径所对的圆周角是直角”得，即有，由已知、根据“等腰三角形三线合一”得，从而得出：是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，由已知、“一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条得，根据切线的判定定理得证； （2）①由题意证明，求出，从而得出结论； ②在中，由边角关系可以求出，从而得出：，，过点P作于点G，则由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”得，延长到点F，使，则由线段垂直平分线的性质可知：上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有，由“两点之间，线段最短”可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长，此时，在中，由边角关系即可求出最小值． 【详解】（1）证明：连接、，如图： ∵是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：①若，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为． ②点P为上一点，连接，有最小值， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 过点P作于点G，则， 延长到点F，使，则上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有， 由两点之间，线段最短可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长， 此时，在中，， ， 即的最小值为． 题型九等腰直角三角形+胡不归最值+两定一动+特殊系数+线段差形式 10．（2025·重庆开州·二模）在中，，，点在边上，连接． (1)如图1，若，，求； (2)如图2，若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点为的中点，连接，请探究并证明线段与之间的关系； (3)如图3，若，，点在边上，连接，，在边上有一点，当取得最小值时，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)且，证明见解析 (3) 【分析】（1）设，由，，可得，，则，再根据正切定义即可求解； （2）延长至，使得，连接，，先证明，得，，可知，由题意可知，，，则，，由旋转可知，，则，进而证得，得，，再证，则，结合等腰三角形的性质，解直角三角形即可得结论； （3）由题意可知，，过点作，且，则，可证明，得，则，当点在上时，取得等号，即当取得最小值时，点在上，此时，可知，得，则，过点作于点，则，在上取，连接，则，，得，，过点作，求得，过点作，则，可知，当点与点重合时，取等号，此时有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：设， ∵，， ∴，，则， 在中，； （2）且， 证明：延长至，使得，连接，， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由题意可知，，，则，， 由旋转可知，，则， ∴， ∴， ∴，， ∵，则， ∴，则， ∵， ∴，， ∴； （3）由题意可知，， ∴， 过点作，且，则， ∵， ∴， ∴， 则，当点在上时，取得等号， 即当取得最小值时，点在上，此时， ∴， ∴，则， 过点作于点，则， 在上取，连接，则，， ∴，， 过点作， ∵，则 ∴， 过点作，则， ∴，当点与点重合时，取等号， 此时有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，垂线段最短等知识点，添加辅助线构造全等三角形及直角三角形是解决问题的关键． 题型十等腰直角三角形+胡不归最值+三定一动+双特殊系数 11．（2025·重庆·三模）在等腰中，，，在线段上取一点D，连接．过点B作交于点G． (1)如图1，当点D是的中点，时，求的长度； (2)如图2，当为的角平分线时，过点C作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，过点B作，求证： (3)在内部有一点P，连接、、，设Q为线段上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求得，再用等面积法即可求得； （2）连接，证明，得，继而可证明，得，证明，由，从而证明； （3）作，使，作，使，连接，，作，交的延长线于点，可得，，得，当四点共线时，PA取得最小值，设，则，从而可得，，，求得，作于，证明，求得，进而可求，，，作于，求得，在下方作，作于，当最小时，的值最小，求得相关线段的长即可求解． 【详解】（1）解：点D是的中点， ， 在中，， ， ， ； （2）证明：连接， 中，，， ， 为的角平分线， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， 即； （3）解：作，使，作，使，连接，，作，交的延长线于点， ， 即， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 当四点共线时，取得最小值，如图所示： 中，，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 同理可求， ， 在中，， 作于， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 作于， ， 即， ， ， 在下方作，作于， ， ， 当最小时，的值最小，当共线且时最小， ，， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形的相关知识，勾股定理，翻折的性质，动点线段和最小问题等，掌握相关的判定方法及性质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键． 题型十一等腰直角三角形+反比例函数背景+胡不归最值+两定一动+特殊系数 12．（2024·四川广元·二模）如图，在等腰三角形中，，，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式，并证明为直角三角形； (2)在x轴上求作一点P，使的值最小，写出点P的坐标并求出最小值． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；最小值是 【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，通过证明，得到A，B两点的坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式，通过全等得到，进而得到，从而得到结论； （2）过点C在x轴下方作射线，使，过点B作，垂足为M，交x轴于点P，则，根据解直角三角形求出，根据“垂线段最短”可知，此时的值最小，过点B作轴，垂足为F，根据解直角三角形求出P点坐标，进而求出的长度，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图1，过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， 则， ∵点，，， ， ， ， ， ， ∴点B的坐标是， ∵点在反比例函数的图象上， ，解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ， ∴反比例函数的解析式是， ， ， 又， ， ， 为直角三角形； （2）如图2，过点C在x轴下方作射线，使，过点B作，垂足为M，交x轴于点P，则， ， ， 根据“垂线段最短”可知，此时的值最小， 过点B作轴，垂足为F， ， ， ， ， ， ， 综上可知，点使的值最小，最小值是． 【点睛】本题考查了求反比例函数综合，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，垂线段最短，正确作出辅助线构造直角三角形，是解题关键． 题型十二等边三角形+圆背景+胡不归最值+两定一动+特殊系数 13．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为．    【答案】6 【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可． 【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接    ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形的外接圆，其半径为4 ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的最小值为的长度 ∵是等边三角形，， ∴ ∴的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 题型十三胡不归最值+锐角三角函数+点线最值 14．（2025甘州区模拟）如图，在中，，，，交于点．点为线段上的动点，则的最小值为． 【答案】 【分析】过点P作PH⊥AB于点H，由题意易得BD=4，则有AD=3，然后可得，进而可得即为，若使的值为最小，也就相当于为最小，则有当点C、P、H三点共线时，的值为最小，最后问题可求解． 【详解】解：过点P作PH⊥AB于点H，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 若使的值为最小，也就相当于为最小， ∴当点C、P、H三点共线时，的值为最小，如图所示： ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查三角函数及勾股定理，解题的关键是利用“胡不归”模型找到最小值的情况，然后进行求解即可． 题型十四二次函数+平行四边形+胡不归最值+平移 15．（2025新疆维吾尔自治区三模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连接．    (1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标； (2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A，C，E，F为顶点，为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1)，顶点D的坐标为 (2)或 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解二次函数解析式，再化成顶点式即可得出顶点坐标； （2）先用待定系数法求直线解析式为，再过点F作于点G，证，得，设F点的坐标为，则G点的坐标为，所以，即可求出或，从而求得点F坐标； （3）由题意，点M的坐标为，则（2）知点与点关于对称轴对称，连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．在中，，则在中，，所以，所以为最小值，根据，所以，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴顶点D的坐标为； （2）解：设直线的解析式为：， 把点，代入得：，， ∴直线解析式为：， 过点F作于点G，    ∵以A、C、E、F四点为顶点的四边形是以为边的平行四边形， ∴，， 又∵， ∴ ∴， ∴， 设F点的坐标为， 则G点的坐标为， ∴， ∴或，当时，， ∴， 当时， ∴， ∴或； （3）解：由题意，得点M的坐标为， 由题意知：点与点关于对称轴对称， 连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．    在中，， 则在中， ∴， 又∵ ∴为最小值， 又∵， ∴， 即：， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，平行四边形的性质，解直角三角形，利用轴对称求最小值，本题属二次函数综合题目，掌握二交次函数图象性质和灵活运用是解题的关键． 题型十五二次函数+旋转+胡不归最值+代数综合压轴 16．（2024广安市模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值． （3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的横坐标分别为：2，，或． 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为将，两点代入求得，c的值即可； （2）胡不归问题，要求的值，将折线化为直线，构造相似三角形将转化为，再利用三角形两边之和大于第三边求得最值； （3）分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N点的坐标; ②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN=AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的坐标． 【详解】解：（1）∵过， ∴ ∴， ∴抛物线的解析式为： （2）在上取一点，使得，连接， ∵ 对称轴． ∴， ， ∴， ∴ ∴ ∴ 当，，三点在同一点直线上时，最小为． 在中，， ∴ 即最小值为． （3）情形①如图，AB为矩形的一条边时， 联立 得 是等腰， 分别过两点作的垂线，交于点， 过作轴，轴, ,也是等腰直角三角形 设，则，所以 代入，解得,（不符题意，舍） 同理，设，则，所以 代入，解得,（不符题意，舍） ②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,则 ， 设，则 整理得： 解得：（不符题意，舍），（不符题意，舍）， ， 综上所述：点的横坐标分别为：2，，或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识，能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键． 题型十六菱形+对角线+胡不归最值+点线最值 17．（24-25九年级下·黑龙江绥化·月考）如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且．点为线段上的一个动点，则的最小值为． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质，合理做出辅助线是解本题的关键． 过点作于点M，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可． 【详解】解：过点作于点M， 在菱形中，， ，， ∴为等边三角形，， ∵在中，， ， 当、、三点共线时，取得最小值， ，， ， 在中，， 则的最小值为． 题型十七菱形+对角线+特殊角度+胡不归最值+点线最值 18．（20-21九年级上·陕西西安·月考）如图，已知菱形的面积为，，对角线、交于点，若点为对角线上一点，则的最小值是． 【答案】 【分析】根据菱形的性质作PM⊥AB，先将进行转化，再利用轴对称最短路径构造，作DQ⊥AB，DQ的长度即为的最小值，再利用三角函数解三角形即可． 【详解】如图，作PM⊥AB， ∵，结合菱形的性质可得：∠BAO=30°， ∴sin∠BAO=sin30°=，即：， ∴求的最小值，即为求的最小值， 此时，根据菱形的性质，将B对称至D，作DQ⊥AB， DQ即为的最小值， 设菱形的边长为a，则DQ==， 根据菱形面积可得：， 即：，解得：， ∴，即：的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质，解直角三角形等知识，学会添加常用辅助线，构造含30度角的直角三角形是解题的关键． 题型十八二次函数+阿氏圆最值+三角形背景+定弦定圆 19．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线图象经过点，可得当时，，据此可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，则，再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，求出，，再分当时， 当时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，可证明，由相似三角形的性质可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的图象经过点， ∴当时，，故①正确； ∵抛物线的图象交x轴于点、， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴； ∵、， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 当时，则由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； 同理当时，可得； 综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误； 当时，，则， 如图所示，取点，连接，则，    ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得，故④正确， ∴正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 题型十九二次函数+圆+阿氏圆最值+动点轨迹 20．（2025·陕西汉中·模拟预测）抛物线 的图像与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，半径长为2画圆，点P是上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的解析式，再求出对称轴，代入解析式求出，然后取点，连接，求出，，因为以点B为圆心，半径长为2画圆，点P是上一动点．得，整理得，因为，得，即， 得，由两点之间，线段最短，得出当三点共线时，则最小，即最小值为，运用勾股定理算出，即可作答． 【详解】解：∵的图像与x轴交于点和， ∴， 解得， ∴， 对称轴为， 把代入，得， 即， 过点D作轴，如图所示： 取点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵以点B为圆心，半径长为2画圆，点P是上一动点． ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 由两点之间，线段最短，得出当三点共线时，则最小，即最小值为， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，求二次函数的解析式，勾股定理，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型二十二次函数+阿氏圆最值+坐标变换+定比线段 21．（2025·广东广州·二模）已知抛物线C：的最小值为． (1)求a的值； (2)已知直线l：，记，求的最小值（用k表示）； (3)如图，为抛物线C上一点，，直线过点，在抛物线上取一点P，使得，若，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) (3)5 【分析】（1）由抛物线C的解析式可知对称轴为直线，进而可得时，从而可解得a； （2）先求出直线l：过定点，且在抛物线C：的图象上，令，可得，求出方程的另一个解为，故，再根据k的不同取值展开分类讨论求m（x）最小值即可； （3）连接，求出，则，，得到，易证，推出，进而得到，再求出，即可得到的最小值为5． 【详解】（1）解：∵抛物线C的解析式为， ∴抛物线C的图象与x轴的交点坐标为， ∴抛物线C图象的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴； （2）解：∵， 当时，则， ∴直线l：过定点， 将代入抛物线C：中，则， ∴在抛物线C：的图象上， 令，可得， 设方程的解为， ∴， ∵是方程的一个解， ∴方程的另一个解为； 故， 当时，一次函数的函数值y随x的增大而减小，即时，的最小值为6； 当时，，即； 当时，一次函数的函数值y随x的增大而增大，即时，的最小值为； ∵抛物线的对称轴为直线， 当时，直线， 故此时的最小值为在抛物线顶点处取得，即最小值为． 综上，； （3）解：如图所示，连接， 由题意可得， 则， 又， 故， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即的最小值为5． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，包括对称轴，最值，一次函数的图象和性质，根系关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系，熟练掌握以上内容综合分析是解题关键． 题型二十一直角三角形+圆+阿氏圆最值+定比线段构造 22．（2024昆山市模拟预测）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）连接，得到当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．求出的长即可； （2）连接，在上取点D，使，连接，，证明．得到．则．当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，进一步求出的长即可； （3）延长到点E，使，连接，．证明．得到．．当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．进一步求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，要使最小，即最小． 当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长． 在中，，，． 的最小值为． （2）如图，连接，在上取点D，使，连接，，． ， ． ． ． ． 当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长， 在中，． 的最小值为． （3）如图，延长到点E，使，连接，． ． ，， ． ， ． ． ． ． 当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长． 在中，． 的最值为13． 题型二十二直角三角形+圆+阿氏圆最值+动态半径 23．（2025·广西梧州·二模）在中，，，，点是线段上的一个动点，以为直径作圆． (1)当时，如图1，求证：圆与相切； (2)如图2，连接，与圆相交于点，连接，请你求出的最小值并说明理由； (3)如图3，，若点是圆上的一个动点，且点在内，连接、，请你直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)最小值为，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点O作与点，易证，求出，即可证明结论； （2）连接，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接，易得点在上运动，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解； （3）在上取点，使得，且位于点O上方，连接，证明，推出，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：过点O作与点， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点H在上，且， ∴圆与相切； （2）解：最小值为，理由如下： 连接，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接， ∵， ∴， ∴点在上运动， 当三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， ∴最小值为； （3）解：在上取点，使得，且位于点O上方，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 此时，， ∴． 【点睛】本题主要考查点到圆上的最值问题，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，构造三角形相似是解题的关键． 题型二十三圆+切线+阿氏圆最值+定角定距 24．（2024·广东广州·三模）已知，如图1，为的割线，直线与有公共点C，且．    (1)求证：①； ②直线是的切线； (2)如图2，作弦，使，连接、，，若，，求的半径； (3)如图3，若的半径为，，，，上是否存在一点Q，使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，最小值为 【分析】（1）①根据已知条件得到，推出，根据相似三角形的性质得到；②作直径，连接，则，得到，过直径的一端点，于是得到结论； （2）作直径，连接、．则，推出，得到，根据勾股定理得到，于是得到结论； （3）取中点，连接与的交点就是符合条件的点，连接、，得到，根据相似三角形的性质得到，求得，根据两点之间线段最短，即可得到结论． 【详解】（1）证明：①， ， ， ， ； ②作直径，连接，    则， ， ，， ， 经过直径的一端点， 直线是的切线； （2）解：作直径，连接、．    则， ， ， ∴， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ； （3）解：取中点，连接与的交点就是符合条件的点， 连接、，   ， ， 的半径， ， ， ， ， ， ， 根据两点之间线段最短， 此时最小， 最小值为． ∴存在，最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，线段最短，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型二十四直角三角形+圆+阿氏圆最值+母子型相似构造 25．（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间，线段最短，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，利用相似三角形的判定与性质求得，则当A、P、M三点共线时最小，利用勾股定理解答即可； 模型探究：利用相似三角形的判定与性质解答即可； 模型应用：延长至点E使，连接，利用相似三角形的判定与性质得到，则，当点E，P，B在一条直线上时，为线段，利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵， 此时． 故答案为：； 模型探究：证明：∵， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 题型二十五二次函数+圆+阿氏圆最值+定比线段 26．（2024·湖北·模拟预测）若抛物线交x轴于交y轴于 (1)请求出抛物线的解析式并直接写出的解集． (2)在抛物线对称轴上有一点P．当三角形为直角三角形时请求出P点的坐标． (3)以B为圆心2为半径做圆，上有一点M，连接．请求出的最小值． 【答案】(1)， (2)当的坐标为、、或时三角形为直角三角形 (3) 【分析】（1）将、、代入即可求解；由图象可知当时，；据此即可求解； （2由题意得其对称轴，设 ，分别求出直线、直线、直线的解析式，分类讨论、、三种情况即可求解； （3） 在上做一点，使，可证，推出，即可求解； 【详解】（1）解：抛物线过、、 可得方程组 解得 由图象可知：当时，； ∴的解集为 （2）解： ∵ 抛物线的对称轴为直线 设 ， ∵、 ∴，， 当时，， 即： 解得； 当时，有, 即： 解得 ； 当时，有; 即： 解得、 ； 当的坐标为、、或时三角形为直角三角形 （3）解：在上做一点，使，连TC，TM，MB 在与中， ， ， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为即 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了二次函数与不等式的关系、待定系数法、二次函数与特殊三角形综合、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相关函数性质是解题关键. 题型二十六直角三角形+隐形圆+阿氏圆最值+定比线段 27．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，D，E为上的动点，且，P为的中点． (1)若，求的长． (2)在线段的运动过程中，的长由2到，求这一变化过程中，点 P运动的路程． (3)连结，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用勾股定理求出，根据，证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）连接，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，再根据当时，为等边三角形，；当时，，得到弧的圆心角为，利用弧长公式即可求解； （3）在 上取一点F，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，根据，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：连接， ∵，P为的中点，， ∴， ∴点P运动的路线是以C为圆心，2为半径的一段圆弧， 当时，为等边三角形，； 当时，，得到弧的圆心角为， 则 P运动的路程即为圆心角为的弧的长度，即为； （3）解：如图，在上取一点F，使得，连接，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 题型二十七三角形+隐形圆+胡不归最值+定角定弦 28．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】过点作，垂足为，如图所示，利用三角函数定义得到，延长到，使，连接，如图所示，从而确定，，再由辅助圆-定弦定角模型得到点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，即是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示：    ， 在中，设，则，由勾股定理可得， ，即， ， 延长到，使，连接，如图所示：    ， ，， 是等腰直角三角形，则， 在中，，，由辅助圆-定弦定角模型，作的外接圆，如图所示：   由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图所示：   是的直径， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，则由勾股定理可得，即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问题的关键． 题型二十八等腰直角三角形+扇形弧+阿氏圆最值+中点 29．（20241萧山区一模）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的弧EF上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ． 【答案】2 【分析】在AB上取一点T，使得AT＝2，连接PT，PA，CT，构造出△PAT∽△BAP，从而有PB+CP＝CP+PT，即三点共线时和最小，求CT的值即可． 【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝2，连接PT，PA，CT， ∵PA＝4．AT＝2，AB＝8， ∴PA2＝AT•AB， ∴， ∵∠PAT＝∠PAB， ∴△PAT∽△BAP， ∴， ∴PT＝PB， ∴PB+CP＝CP+PT， ∵PC+PT≥TC， 在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝2，AC＝8， ∴， ∴PB+PC≥2， ∴PB+PC的最小值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、线段和最小等知识，构造出相似三角形将BP转化为PT是解决问题的关键． 题型二十九圆+切线+阿氏圆最值+中点 30．（2025玉环市模拟）如图，在中，直径切于点，且，点分别是的中点，点是上一动点，连结，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质、切线的性质及勾股定理的应用，熟练掌握相似三角形判定与性质是解题关键，延长到点F，使，连接，证明，得出，得出当点P落在线段上时，取最小值，最小值即线段值，作，垂足为点H，证明求出，再利用勾股定理求出结论即可． 【详解】解：延长到点F，使，连接， 在中，直径，则， 点C是中点， ， ， ， ， ， 当点P落在线段上时，取最小值，最小值即线段值， 作，垂足为点H， 切于点， ， ， ， ， ， 点E是中点， ， ， ， 在中，， ， 则的最小值是， 故答案为：． 题型三十直角三角形+圆+阿氏圆最值+定比线段 31．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，6为半径的圆上有一动点，连接、、，则的最小值是    【答案】 【分析】本题考查求最值问题，在上取一点，使得，先证，将转化为，从而求得的最小值．解题关键是构造出由性质转换等量关系． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，    ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴最小值为的长度， ∴的最小值等于的长度， 在中，， ∴的最小值． 故答案为：． 题型三十一三角形+定角+阿氏圆最值+双目标表达式 32．（2020九年级·全国·专题练习）在中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是上一动点，连接PB，PC，则的最小值 的最小值 【答案】 【分析】①连接AP，在AB上取点Q，使AQ=4，连接CQ，利用相似三角形的判定和性质得到，推出，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理即可求解； ②在AC上取点G，使AG=，连接PG，BG，同①得到当三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理即可求解． 【详解】①连接AP，在AB上取点Q，使AQ=4，连接CQ， ∵⊙A的半径为6，即AP=6， ∴，又， 且， ∴， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，的值最小，最小值为的长， 过C作CI⊥AB于I， ∴， 在Rt△CIB中，∵，BC=8， ， ∴， ∴， ， 在Rt△CIQ中，， ∴的最小值为； 故答案为：； ②连接AP， 由①得：在Rt△CIA中，， 在AC上取点G，使AG=，连接PG，BG， ∴， ∵， ∴， 且， ∴， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，的值最小，最小值为的长， 过G作GH⊥AB于H， ∴， 在Rt△CIA中，， 在Rt△GAH中， ， ∴， ∴， ， 在Rt△GHB中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解本题的关键是构造出相似三角形，也是解本题的难点． 题型三十二扇形+弧+阿氏圆最值+中点 33．如图，在扇形中，，，D为的中点，P为弧上一动点（不与C，B重合），则的最小值为（　　） A． B． C．10 D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称-最短距离问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，如图，作，使，连接，，则，推出，得到，于是得到，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：如图，作，使，连接，， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 34．（2020九年级·全国·专题练习）如图点A，B在上，，点C是的中点，D在上，，点P是上一动点，则的最小值 ，的最小值 ． 【答案】 26 15.6 【分析】如图1，延长OA到E，使OA=AE，连接PE、OP，证明△OCP∽△OPE，得到PE=2PC， ,进而得到当E、P、D三点共线时，有最小值，根据勾股定理即可求解；如图2，延长OB到F，使OF=，连接PF、OP，证明△ODP∽△OPF， 得到PF=PD，,进而得到当C、P、F三点共线时，有最小值，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图1，延长OA到E，使OA=AE，连接PE、OP， ∵OA=OP，C为OA中点， ∴，， ∴， ∵∠COP=∠POE， ∴△OCP∽△OPE， ∴， ∴PE=2PC， ∴, 即当E、P、D三点共线时，有最小值， 最小值为； 如图2，延长OB到F，使OF=，连接PF、OP， ∵OD=10，OP==OA=12， ∴， ∵∠DOP=∠POF， ∴△ODP∽△OPF， ∴， ∴PF=PD， ∴, 即当C、P、F三点共线时，有最小值， 最小值为． 故答案为：26；15.6 【点睛】本题考查了胡不归与阿氏圆问题，根据题意添加适当辅助线，构造相似三角形进行线段转化是解题问题关键． 题型三十三正方形+圆+阿氏圆最值+中点 35．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图，正方形的边长为4，为的中点，以为圆心，为半径作，点是上一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】在上取一点，使得，连接，，．可得，根据，，，可得，即有，即可得，则有，即可得，进而可得，问题随之得解． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，，． 四边形是正方形， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ，（D、P、T三点共线时取等号） 的最小值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，做辅助线，构造是解答本题的关键． 题型三十四几何综合+胡不归最值+阿氏圆最值 36．（2025·渭南·预测）[问题发现] （1）如图1，已知线段和，，，则线段的最小值为______． [问题探究] （2）如图2，矩形中，，，P为矩形内部一点，分别连接、、，且，延长交于点F，若，求的值； [问题解决] （3）如图3是某街心花园的一角，在扇形AOB中，，米，在矮围墙和上分别有两个入口C和D，米，D为的中点，现要在上找一个出口E，沿、从入口到出口铺设两条景观小路．已知铺设小路所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路所用的景观石材每米的造价是400元，则在上是否存在点E，使铺设小路和的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线的距离；若不存在，请说明理由．（小路的宽度忽略不计） 【答案】（1）3；（2）；（3）铺设小路和的总造价最低为元，出口E距直线的距离为米． 【分析】（1）由线段的和差直接求出答案即可； （2）证明△ABP∽△PBF，由相似三角形的性质得出PF=AP，由勾股定理可求出答案； （3）铺设小路CE和DE的总造价为200CE+400DE=200（CE+2DE），连接OE，延长OB到点Q，使BQ=OB=12，连接EQ，推出QE=2DE，所以CE+2DE=CE+QE，问题转化为求CE+QE的最小值，连接CQ，交弧AB于点E′，此时CE+QE取得最小值为CQ，可求出CQ的长度及总造价最小值；作E′H⊥OB，垂足为H，连接OE′，设E′H=x，则QH=3x，由勾股定理可求出x的值，即出口E距直线OB的距离． 【详解】解：（1） ，， 当点A在线段上时，线段的最小值为， 故答案为：3； （2） ，，， ， 又 ， ， ， ； （3）如图，连接，延长到点Q，使，连接， 在和中，，且， ， ， 即． 铺设小路和的总造价为，则求的最小值即可， 连接，交于点，当点E与重合时，取得最小值为． 在中，，， ， 故总造价的最小值为元． 过点作，垂足为H，连接， ， 故设（米），则（米）， ， ， 解得，（舍去）， 铺设小路和的总造价最低为元，出口E距直线的距离为米． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，圆的有关概念及性质，最大面积、最低造价等，解题关键是能够将最小周长、最小造价等转化为两点之间线段最短的问题． $专题03最值模型：胡不归、阿氏圆34种综合题型全归纳 目录 1/10 学科网（北京）股份有限公司 题型一二次函数+胡不归最值+锐角三角函数+点线最值 题型二二次函数+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型三一次函数背景+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型四等腰三角形+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型五等边三角形+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型六平行四边形+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型七直角三角形+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型八等腰三角形+圆背景+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型九等腰直角三角形+胡不归最值+两定一动+特殊系数+线段差形式 题型十等腰直角三角形+胡不归最值+三定一动+双特殊系数 题型十一等腰直角三角形+反比例函数背景+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型十二等边三角形+圆背景+胡不归最值+两定一动+特殊系数 题型十三胡不归最值+锐角三角函数+点线最值 题型十四二次函数+平行四边形+胡不归最值+平移 题型十五二次函数+旋转+胡不归最值+代数综合压轴 题型十六菱形+对角线+胡不归最值+点线最值 题型十七菱形+对角线+特殊角度+胡不归最值+点线最值 题型十八二次函数+阿氏圆最值+三角形背景+定弦定圆 题型十九二次函数+圆+阿氏圆最值+动点轨迹 题型二十二次函数+阿氏圆最值+坐标变换+定比线段 题型二十一直角三角形+圆+阿氏圆最值+定比线段构造 题型二十二直角三角形+圆+阿氏圆最值+动态半径 题型二十三圆+切线+阿氏圆最值+定角定距 题型二十四直角三角形+圆+阿氏圆最值+母子型相似构造 题型二十五二次函数+圆+阿氏圆最值+定比线段 题型二十六直角三角形+隐形圆+阿氏圆最值+定比线段 题型二十七三角形+隐形圆+胡不归最值+定角定弦 题型二十八等腰直角三角形+扇形弧+阿氏圆最值+中点 题型二十九圆+切线+阿氏圆最值+中点 题型三十直角三角形+圆+阿氏圆最值+定比线段 题型三十一三角形+定角+阿氏圆最值+双目标表达式 题型三十二扇形+弧+阿氏圆最值+中点 题型三十三正方形+圆+阿氏圆最值+中点 题型三十四几何综合+胡不归最值+阿氏圆最值 题型一二次函数+胡不归最值+锐角三角函数+点线最值 1．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 题型二二次函数+胡不归最值+两定一动+特殊系数 2．（2025·江苏无锡·三模）如图，抛物线与轴交于点，，顶点为，点为对称轴上一动点，的最小值为（  ） A． B． C． D．1 3．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 题型三一次函数背景+胡不归最值+两定一动+特殊系数 4．（2025·广东惠州·三模）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为，点Q为直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 题型四等腰三角形+胡不归最值+两定一动+特殊系数 5．（2025·四川自贡·二模）等腰中，，于，点是线段上一个动点．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型五等边三角形+胡不归最值+两定一动+特殊系数 6．（2025·山西晋中·三模）如图，为等边三角形，平分，点为上一动点，连接，当取最小值时，的长为（    ） A．1 B． C． D． 题型六平行四边形+胡不归最值+两定一动+特殊系数 7．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，平行四边形中，，，，为边上的一动点，则最小值等于. 题型七直角三角形+胡不归最值+两定一动+特殊系数 8．（2025·吉林·二模）【问题原型】如图①，在中，是线段上任意一点，试探究的最小值． 【问题探究】如图②，小明首先以为一边作．然后，作，由三角函数的定义，将转化为．于是求的最小值就转化为求的最小值．当点A、P、H在一条直线上时，即可求出的最小值． 以下是小明的部分求解过程： 由【问题探究】的作法可知 过点作射线使，作于 在中， 求解过程缺失 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图③，在中，为边CD上的一动点，直接写出的最小值____________．并用圆规和无刻度的直尺在图③中确定点的位置（保留作图痕迹）； 【问题迁移】小明在此基础上想求解的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接写出最小值____________． 题型八等腰三角形+圆背景+胡不归最值+两定一动+特殊系数 9．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 题型九等腰直角三角形+胡不归最值+两定一动+特殊系数+线段差形式 10．（2025·重庆开州·二模）在中，，，点在边上，连接． (1)如图1，若，，求； (2)如图2，若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点为的中点，连接，请探究并证明线段与之间的关系； (3)如图3，若，，点在边上，连接，，在边上有一点，当取得最小值时，直接写出的最小值． 题型十等腰直角三角形+胡不归最值+三定一动+双特殊系数 11．（2025·重庆·三模）在等腰中，，，在线段上取一点D，连接．过点B作交于点G． (1)如图1，当点D是的中点，时，求的长度； (2)如图2，当为的角平分线时，过点C作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，过点B作，求证： (3)在内部有一点P，连接、、，设Q为线段上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值． 题型十一等腰直角三角形+反比例函数背景+胡不归最值+两定一动+特殊系数 12．（2024·四川广元·二模）如图，在等腰三角形中，，，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式，并证明为直角三角形； (2)在x轴上求作一点P，使的值最小，写出点P的坐标并求出最小值． 题型十二等边三角形+圆背景+胡不归最值+两定一动+特殊系数 13．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为．    题型十三胡不归最值+锐角三角函数+点线最值 14．（2025甘州区模拟）如图，在中，，，，交于点．点为线段上的动点，则的最小值为． 题型十四二次函数+平行四边形+胡不归最值+平移 15．（2025新疆维吾尔自治区三模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连接．    (1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标； (2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A，C，E，F为顶点，为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 题型十五二次函数+旋转+胡不归最值+代数综合压轴 16．（2024广安市模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值． （3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由； 题型十六菱形+对角线+胡不归最值+点线最值 17．（24-25九年级下·黑龙江绥化·月考）如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且．点为线段上的一个动点，则的最小值为． 题型十七菱形+对角线+特殊角度+胡不归最值+点线最值 18．（20-21九年级上·陕西西安·月考）如图，已知菱形的面积为，，对角线、交于点，若点为对角线上一点，则的最小值是． 题型十八二次函数+阿氏圆最值+三角形背景+定弦定圆 19．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十九二次函数+圆+阿氏圆最值+动点轨迹 20．（2025·陕西汉中·模拟预测）抛物线 的图像与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，半径长为2画圆，点P是上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型二十二次函数+阿氏圆最值+坐标变换+定比线段 21．（2025·广东广州·二模）已知抛物线C：的最小值为． (1)求a的值； (2)已知直线l：，记，求的最小值（用k表示）； (3)如图，为抛物线C上一点，，直线过点，在抛物线上取一点P，使得，若，求的最小值． 题型二十一直角三角形+圆+阿氏圆最值+定比线段构造 22．（2024昆山市模拟预测）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 题型二十二直角三角形+圆+阿氏圆最值+动态半径 23．（2025·广西梧州·二模）在中，，，，点是线段上的一个动点，以为直径作圆． (1)当时，如图1，求证：圆与相切； (2)如图2，连接，与圆相交于点，连接，请你求出的最小值并说明理由； (3)如图3，，若点是圆上的一个动点，且点在内，连接、，请你直接写出的最小值． 题型二十三圆+切线+阿氏圆最值+定角定距 24．（2024·广东广州·三模）已知，如图1，为的割线，直线与有公共点C，且．    (1)求证：①； ②直线是的切线； (2)如图2，作弦，使，连接、，，若，，求的半径； (3)如图3，若的半径为，，，，上是否存在一点Q，使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由． 题型二十四直角三角形+圆+阿氏圆最值+母子型相似构造 25．（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 题型二十五二次函数+圆+阿氏圆最值+定比线段 26．（2024·湖北·模拟预测）若抛物线交x轴于交y轴于 (1)请求出抛物线的解析式并直接写出的解集． (2)在抛物线对称轴上有一点P．当三角形为直角三角形时请求出P点的坐标． (3)以B为圆心2为半径做圆，上有一点M，连接．请求出的最小值． 题型二十六直角三角形+隐形圆+阿氏圆最值+定比线段 27．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，D，E为上的动点，且，P为的中点． (1)若，求的长． (2)在线段的运动过程中，的长由2到，求这一变化过程中，点 P运动的路程． (3)连结，求的最小值． 题型二十七三角形+隐形圆+胡不归最值+定角定弦 28．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，则的最大值为 ．    题型二十八等腰直角三角形+扇形弧+阿氏圆最值+中点 29．（20241萧山区一模）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的弧EF上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ． 题型二十九圆+切线+阿氏圆最值+中点 30．（2025玉环市模拟）如图，在中，直径切于点，且，点分别是的中点，点是上一动点，连结，则的最小值是 ． 题型三十直角三角形+圆+阿氏圆最值+定比线段 31．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，6为半径的圆上有一动点，连接、、，则的最小值是    题型三十一三角形+定角+阿氏圆最值+双目标表达式 32．（2020九年级·全国·专题练习）在中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是上一动点，连接PB，PC，则的最小值 的最小值 题型三十二扇形+弧+阿氏圆最值+中点 33．如图，在扇形中，，，D为的中点，P为弧上一动点（不与C，B重合），则的最小值为（　　） A． B． C．10 D． 34．（2020九年级·全国·专题练习）如图点A，B在上，，点C是的中点，D在上，，点P是上一动点，则的最小值 ，的最小值 ． 题型三十三正方形+圆+阿氏圆最值+中点 35．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图，正方形的边长为4，为的中点，以为圆心，为半径作，点是上一动点，连接、，则的最小值为 ． 题型三十四几何综合+胡不归最值+阿氏圆最值 36．（2025·渭南·预测）[问题发现] （1）如图1，已知线段和，，，则线段的最小值为______． [问题探究] （2）如图2，矩形中，，，P为矩形内部一点，分别连接、、，且，延长交于点F，若，求的值； [问题解决] （3）如图3是某街心花园的一角，在扇形AOB中，，米，在矮围墙和上分别有两个入口C和D，米，D为的中点，现要在上找一个出口E，沿、从入口到出口铺设两条景观小路．已知铺设小路所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路所用的景观石材每米的造价是400元，则在上是否存在点E，使铺设小路和的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线的距离；若不存在，请说明理由．（小路的宽度忽略不计） $